Что называется минором и алгебраическим дополнением

Минор и алгебраическое дополнение матрицы

Что такое минор и алгебраическое дополнение матрицы

Минор Mij к элементу aij определителя n-го порядка является определителем (n−1)-го порядка, получающимся из начального определителя после исключения i-той строки и j-того столбца.

Исходя из определения, минор представляет собой определитель, который остается после того, как вычеркнуть конкретную строку и конкретный столбец. К примеру, M12 будет получен в результате устранения первой строки и второго столбца. Для того чтобы получить M34 следует вычеркнуть третью строку и четвертый столбец.

Найти миноры с помощью вычерков можно, следуя алгоритму:

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Порядок действия при определении алгебраического дополнения следующий:

Общие понятия, основные формулы

Предположим, что существует какая-то квадратная матрица или квадратная матрица n-го порядка:

\(Минор \ M_ \ элемента \ a_ \ матрицы \ A_\) будет являться определитель матрицы, которая получается из матрицы A в результате устранения i-й строки и j-го столбца, которые расположены таким образом, что их пересечение совпадает с элементом \(a_.\)

В качестве доказательства можно рассмотреть такую квадратную матрицу четвертого порядка:

Данный минор достаточно просто рассчитать с помощью теоремы для вычисления определителей второго и третьего порядков. Расчет будет следующий:

Таким образом, минор элемента \(a_<32>\) равен 579, то есть \(M_<32>=579\)

Нередко в тематической литературе вместо «минор элемента матрицы» употребляют понятие «минор элемента определителя». Смысл выражения сохраняется. Таким образом, для вычисления минора элемента \(a_\) требуется исключить из начального определителя i-ю строку и j-й столбец. Элементы, которые остались, следует записать в новый определитель, который представляет собой минор элемента \(a_.\)

В качестве примера можно рассчитать минор элемента \(a_<12>\) определителя:

Вычислить минор целесообразно с помощью формулы для расчета определителей второго и третьего порядков:

В результате минор элемента \(a_<12>\) составит 83, то есть \(M_<12>=83\)

где \(M_\) является минором элемента \(a_.\)

В качестве примера можно рассчитать алгебраическое дополнение элемента \(a_<32>\) матрицы:

Как правило, при определении алгебраических дополнений не требуется выполнять отдельный расчет минора перед вычислением непосредственно дополнения. К примеру, если требуется определить \(A_<12>\) при условии, что:

Необходимо записать справедливое равенство:

Рассчитать \(M_<12>\) легко с помощью вычерка первой строки и второго столбца матрицы А. Поэтому нет необходимости вводить лишнее обозначение для минора. Достаточно сразу записать уравнение для алгебраического дополнения \(A_<12>\) :

Решение миноров и алгебраических дополнений

Миноры и алгебраические дополнения встречаются в задачах не только с квадратными матрицами, но и прямоугольными. Во втором случае матрицы отличаются тем, что количество строк не обязательно совпадает с количеством столбцов. К примеру, записана матрица:

В рассматриваемой матрице m строк и n столбцов. Минор k-го порядка матрицы \(A_\) представляет собой определитель с элементами, расположенными на пересечении k строк и k столбцов матрицы A. Следует учитывать, что при этом k≤ m и k≤ n.

В качестве примера можно рассмотреть матрицу:

Можно записать для нее какой-то минор третьего порядка. Для этого следует отобрать какие-то три строки и три столбца рассматриваемой матрицы. Выберем для расчета строки №2, №4, №6 и столбцы №1, №2, №4. Данные строки и столбцы будут пересекаться в том месте, где расположены элементы искомого минора.

\(M=\left|\begin 2 & 7 & 6 \\ 0 & 1 & 8 \\ 5 & 3 & 9 \end \right|.\)

Расположение миноров первого порядка будет совпадать с пересечением одной строки и одного столбца. Таким образом, выводим равенство миноров первого порядка элементам рассматриваемой матрицы.

Минор k-го порядка матрицы \(A_=(a_)\) является ключевым в том случае, когда главная диагональ рассматриваемого минора включает исключительно ключевые диагональные элементы матрицы A.

Главные диагональные элементы представляют собой такие элементы матрицы, которые содержат индексы, равные \( a_<11>, a_<22>, a_<33>\) и так далее. К примеру, матрица А, которая рассматривается в примере, содержит элементы \(a_<11>=-1, a_<22>=7, a_<33>=18, a_<44>=8.\)

В том случае, когда в матрице А исключены строки и столбцы, которые соответствуют номерам 1 и 3, их пересечение будет совпадать с элементами минора второго порядка. Главная диагональ этого минора будет содержать лишь диагональные элементы матрицы А. К примеру, такими элементами являются элементы \( a_<11>=-1\) и \(a_<33>=18\) матрицы A. Таким образом, главный минор второго порядка будет равен:

В том случае, если выбрать строки и столбцы с другими номерами, получится другой главный минор второго порядка.

Можно предположить, что какой-то минор M k-го порядка матрицы A_ обладает ненулевым значением, то есть M\neq 0. В данном случае, для всех миноров с порядками выше, чем k, справедливо равенство нулю. Тогда минор M является базисным, а строки и столбцы, содержащие элементы базисного минора, носят названием базисных строк и базисных столбцов.

В качестве примера можно рассмотреть следующую матрицу:

Запись минора рассматриваемой матрицы с элементами, распложенными на месте, где пересекаются строки №1, №2, №3 и столбцы №1, №3, №4, представляет собой минор третьего порядка и имеет следующий вид:

Рассчитать значение искомого минора можно, используя правило для расчета определителей второго и третьего порядков:

Далее можно попытаться записать какой-либо минор с порядком выше, чем 3. Для составления минора четвертого порядка необходимо воспользоваться четвертой строкой, элементы которой имеют нулевые значения. Исходя из этого, можно заключить, что любой минор четвертого порядка обладает нулевой строкой. Таким образом, значение каждого из миноров четвертого порядка равно нулю. Записать миноры пятого порядка и выше не представляется возможным по причине наличия в матрице А всего четырех строк.

По результатам вычислений удалось определить минор третьего порядка с ненулевым значением. Одновременно с этим, миноры более высоких порядков равны нулю, из чего можно сделать вывод: рассматриваемый минор является базисным. Строки №1, №2, №3 матрицы А, которые содержат элементы данного минора, являются базисными строками, а столбцы №1, №3, №4 матрицы А — базисными столбцами.

Пример, который был рассмотрен, является тривиальным. Однако с его помощью удобно продемонстрировать смысл базисного минора. В реальных условиях базисных миноров может быть более одного, а решение подобных задач на нахождение подобного минора существенно сложнее и объемнее.

Еще одним важным термином является окаймляющий минор. Для раскрытия понятия можно предположить, что какой-то минор k-го порядка M матрицы \(A_\) находится в месте, где пересекаются k строки и k столбцы. Если прибавить к совокупности данных строк и столбцов дополнительные строку и столбец, то минор (k+1)-го порядка, который получился в результате, представляет собой окаймляющий минор для минора M.

В качестве примера можно рассмотреть матрицу:

В первую очередь нужно записать минор второго порядка с элементами, расположенными в месте, где пересекаются строки №2 и №5, а также столбцы №2 и №4.

\(M=\left|\begin -17 & 19 \\ 12 & 21 \end \right|\)

К комплекту строк с элементами минора М требуется прибавить одну строку №1, а к столбцам — столбец №5. В результате манипуляций получится новый минор M’ третьего порядка с элементами, расположенными там, где пересекаются строки №1, №2, №5 и столбцы №2, №4, №5.

Минор M’ представляет собой окаймляющий минор для минора M. Таким же образом, путем добавления к комплекту строк с элементами минора М строки №4, а к совокупности столбцов — столбца №3, можно записать минор M», то есть минор третьего порядка.

Минор M», аналогично предыдущему, представляет собой окаймляющий минор для минора M.

Предположим, что существует какой-то минор M k-го порядка матрицы \(A_.\)

Определитель (n-k)-го порядка с элементами, полученными из матрицы A путем исключения строк и столбцов, которые содержали минор M, называется минором, дополнительным к минору M.

В качестве примера можно рассмотреть квадратную матрицу пятого порядка:

В рассматриваемой матрице можно выбрать строки №1 и №3, столбцы №2 и №5. Пересечение данных строк и столбцов будет совпадать с элементами минора М второго порядка.

Далее следует исключить из матрицы А строки №1 и №3, а также столбцы №2 и №5. На пересечении данных компонентов расположены элементы минора М. Элементы, которые остались нетронутыми, сформируют минор M’.

Минор M’ с порядком, соответствующим 5-2=3, представляет собой минор, являющийся дополнительным к минору M.

Запись алгебраического дополнения к минору M квадратной матрицы \(A_\) имеет следующий вид:

В данном случае \alpha является суммой номеров строк и столбцов матрицы A, содержащих элементы минора M, а M’ является дополнительным к минору M. Термин «алгебраическое дополнение к минору M», как правило, формулируют таким образом: «алгебраическое дополнение минора M».

В качестве примера можно рассмотреть матрицу А. Ранее для рассматриваемой матрицы был определен в ходе расчетов минор второго порядка:

Дополнительным к данному минору является такой минор третьего порядка:

В качестве обозначения алгебраического дополнения минора M целесообразно использовать: M^*

Исходя из определения, получим:

Параметр \alpha представляет собой сумму номеров строк и столбцов, которым соответствует минор М. Расположение данного минора соответствует пересечению строк №1, №3 и столбцов №2, №5. Таким образом:

В результате можно записать:

Благодаря формуле для расчета определителей второго и третьего порядков, представляется возможным вычислить алгебраическое дополнение:

Источник

Алгебраические дополнения и миноры. Виды миноров и алгебраических дополнений.

В данной теме рассмотрим понятия алгебраического дополнения и минора. Изложение материала опирается на термины, пояснённые в теме «Матрицы. Виды матриц. Основные термины». Также нам понадобятся некоторые формулы для вычисления определителей. Так как в данной теме немало терминов, относящихся к минорам и алгебраическим дополнениям, то я добавлю краткое содержание, чтобы ориентироваться в материале было проще.

Этот минор несложно вычислить, используя формулу №2 из темы вычисления определителей второго и третьего порядков:

Чтобы найти значение данного минора используем формулу №1 из темы вычисления определителей второго и третьего порядков:

Например, рассмотрим такую матрицу:

Запишем для неё какой-либо минор третьего порядка. Чтобы записать минор третьего порядка нам потребуется выбрать какие-либо три строки и три столбца данной матрицы. Например, возьмём строки №2, №4, №6 и столбцы №1, №2, №4. На пересечении этих строк и столбцов будут располагаться элементы требуемого минора. На рисунке элементы минора показаны синим цветом:

Миноры первого порядка находятся на пересечении одной строки и одного столбца, т.е. миноры первого порядка равны элементам заданной матрицы.

Естественно, что мы могли взять иные строки и столбцы, – например, с номерами 2 и 4, получив при этом иной главный минор второго порядка.

Для примера рассмотрим такую матрицу:

Найдём значение этого минора, используя формулу №2 из темы вычисления определителей второго и третьего порядков:

Данный пример, конечно, тривиальный, так как его цель – наглядно показать суть базисного минора. Вообще, базисных миноров может быть несколько, и обычно процесс поиска такого минора куда сложнее и объёмнее.

Введём ещё одно понятие – окаймляющий минор.

Для примера обратимся к такой матрице:

Запишем минор второго порядка, элементы которого расположены на пересечении строк №2 и №5, а также столбцов №2 и №4. Эти элементы выделены в матрице красным цветом:

Вновь вернёмся к квадратным матрицам. Введём понятие дополнительного минора.

Для примера рассмотрим квадратную матрицу пятого порядка:

Заметили ошибку, опечатку, или некорректно отобразилась формула? Отпишите, пожалуйста, об этом в данной теме на форуме (регистрация не требуется).

Источник

Минор и алгебраическое дополнение

Вы будете перенаправлены на Автор24

Для квадратной матрицы в теории матриц вводятся понятия «минор элемента» и «алгебраическое дополнение».

Для прямоугольной матрицы вводится понятие «минор k-го порядка».

Готовые работы на аналогичную тему

Схема формирования минора 3-го порядка изображена на рисунке.

$M=\left|1\right|=1$ (пересечение первой строки с первым столбцом);

$M=\left|\begin <1>& <9>\\ <1>& <3>\end\right|=1\cdot 3-1\cdot 9=3-9=-6$ (пересечение первой и третьей строк с первым и вторым столбцами).

Из примера видно, что миноры первого порядка совпадают с элементами исходной матрицы.

$M=\left|\begin <1>& <9>\\ <0>& <-3>\end\right|=1\cdot (-3)-0\cdot 9=-3$ (пересечение первой и второй строки, первого и второго столбца).

$M=\left|\begin <1>& <-2>\\ <1>& <4>\end\right|=1\cdot 4-1\cdot (-2)=4+2=6$ (пересечение первой и третьей строки, первого и третьего столбца).

$M=\left|\begin <1>& <-2>\\ <0>& <2>\end\right|=1\cdot 2-0\cdot (-2)=2-0=2$ (пересечение первой и второй строки, первого и третьего столбца).

Любой минор 3-го порядка совпадает с исходной матрицей. Так как матрица имеет нулевой столбец, то ее определитель равен нулю. Следовательно, найденный минор является базисным.

$M=\left|\begin <1>& <2>\\ <4>& <2>\end\right|=1\cdot 2-4\cdot 2=2-8=-6$ (пересечение первой и второй строки, первого и второго столбца).

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 18 11 2021

Источник

Миноры и алгебраические дополнения

Определение. Если в определителе n-го порядка выбрать произвольно k строк и k столбцов, то элементы, стоящие на пересечении указанных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу порядка k. Определитель такой квадратной матрицы называют минором k-го порядка.

Элементы, стоящие на пересечении оставшихся (n-k) строк и (n-k) столбцов, составляют квадратную матрицу порядка (n-k). Определитель такой матрицы называется минором, дополнительным к минору M_k. Обозначается M_n-k.

Алгебраическим дополнением минора M_k будем называть его дополнительный минор, взятый со знаком “+” или “-” в зависимости от того, четна или нечетна сумма номеров всех строк и столбцов, в которых расположен минор M_k.

Если k=1, то алгебраическое дополнение к элементу a_ik вычисляется по формуле

Теорема. Произведение минора k-го порядка на его алгебраическое дополнение равно сумме некоторого числа членов определителя D_n.

.

Вычислим алгебраическое дополнение к минору M_k. По определению,

Берем произвольный член минора M_k

, (1)

(2)

и произвольный член минора M_n-k

, (3)

(4)

Перемножая (1) и (3), получим

.(5)

Произведение состоит из n элементов, расположенных в различных строках и столбцах определителя D. Следовательно, это произведение является членом определителя D. Знак произведения (5) определяется суммой инверсий в подстановках (2) и (4), а знак аналогичного произведения в определителе D определяется числом инверсий s_k в подстановке

Таким образом, возвращаясь к равенству (*), получим, что произведение M_k A_n-k состоит только из членов определителя.

Теорема Лапласа. Если в определителе n-го порядка выбрать произвольно k строк (или k столбцов) 1£k£n-1, тогда сумма произведений всех миноров k-го порядка, содержащихся в выбранных строках, на их алгебраические дополнения равна определителю D.

.

Следствие (теорема о разложении определителя по строке). Сумма произведений элементов некоторой строки определителя на соответствующие алгебраические дополнения равна определителю.

(Доказательство в качестве упражнения.)

Теорема. Сумма произведений элементов i-ой строки определителя на соответствующие алгебраические дополнения к элементам j-ой строки (i¹j) равна 0.

(Доказательство в качестве упражнения.)

Таким образом, мы получили формулы

Пример 1. Вычислить определитель по теореме Лапласа (предварительно разложив его по 2 и 3 строкам).

= =

Пример 2. Вычислить определитель, разложив его по последнему столбцу.

7

Замечание. Удобно применять следствие из теоремы Лапласа к определителю, преобразованному с помощью свойств таким образом, что в одной из строк (или в одном из столбцов) все элементы, кроме одного, равны 0.

Пример. Вычислить определитель

Источник

Минор и алгебраическое дополнение

Минором m_ij некоторого элемента a_ij определителя n–го порядка называется определитель (n – 1)-го порядка, полученный из исходного определителя путем вычеркивания i-й строки и j-го столбца, на пересечениях которых находится выбранный элемент.

Например, минором элемента a₁₁ определителя третьего порядка является .

Алгебраическим дополнением называется A_ij = (– 1) i + j m_ij. Если сумма индексов алгебраического дополнения i + j четное число, то алгебраические дополнения и миноры совпадают: A_ij = m_ij, а если – нечетное число, то они отличаются знаком: A_ij = – m_ij.

Свойства определителей

1. Если какой-то ряд состоит из одних нулей, то определитель равен 0.

2. Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами, и наоборот.

3. При перестановке двух параллельных рядов определитель меняет знак.

4. Определитель, имеющий два одинаковых ряда, равен нулю.

5. Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно вынести за знак определителя.

6. Если элементы какого-либо ряда определителя представляют собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть разложен на сумму двух определителей, с соответствующими слагаемыми этой суммы.

7. Определитель не изменится, если к элементам одного ряда прибавить соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные на любое число.

8. Определитель равен сумме произведений элементам некоторого ряда на соответствующие им алгебраические дополнения.

Например, определитель третьего порядка равен:

@ Задача 3. Найти .

Решение: Определитель найдем, применяя формулу (3):

Наибольший порядок отличных от нуля детерминантов (миноров) прямоугольной матрицы m ´ n, называется рангом матрицы r, причем r £ min(m, n). Для квадратной матрицы ранг r £ n.

Минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называется базисным. У матрицы может быть несколько базисных миноров.

@ Задача 4. Найти ранг матрицы размерности 3´4.

Решение: Ранг матрицы r £ min(3, 4) = 3. Все детерминанты третьего порядка равны нулю, так как две их строки (вторая и третья) одинаковые (отличаются на постоянный множитель). Отличны от нуля только детерминанты второго порядка, поэтому r = 2.

§1.4. Обратная матрица

Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель отличен от нуля: detA ¹ 0. В противном случае матрица называется вырожденной.

Только у невырожденных квадратных матриц есть обратные матрицы.

Обратная матрица вычисляется по формуле (detA ¹ 0):

.

Для матрицы A второго порядка обратная матрица равна:

.

Решение: 1. Находим определитель матрицы:

.

2. Находим обратную матрицу:

.

Решение: 1. Находим определитель матрицы:

.

2. Вычисляем алгебраические дополнения: , , , , , , , , .

3. Находим обратную матрицу:

.

Источник