Что называется математической моделью сигнала

СИГНАЛ И ЕГО МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

Сигнал электросвязи. В большинстве случаев сигнал элек­тросвязи можно рассматривать как меняющуюся во времени элек-трическую величину (напряжение, ток, электромагнитное колеба­ние, напряженность поля). Эти величины можно наблюдать и ре-гистрировать с помощью различных приборов, например осцилографа. После наблюдения сигнал будет задан в виде графика или таблицы как функция времени. Это представление назы-вают временной диаграммой. Один из примеров временной диаг-раммы дан на рис. 2.1, где изображена осциллограмма тока, про-текающего через микрофон. Такое представление является наглядным. На интервале (0, t₁) звуковые колебания на микрофон не воздействовали; на интервале (t₁, t₂) — воздействовало звуковое колебание определенного тона; на интервале (t₂, t₃) — сложные звуковые колебания.

Рис. 2.1. Временная диаграмма то­ка через микрофон

Однако временные диаграммы сигнала являются неудобными как для теоретических расчетов, так и для представления дли­тельных сигналов. Подсчитайте, какую длину будет иметь времен­ная диаграмма телеграфного сигнала при времени наблюдения 30 мин, если каждый кодовый символ длительностью 20 мс изо­бразить в масштабе 5 мм на символ. 450 метров! Поэтому для проведения всевозможных расчетов с сигналами возникает зада­ча их математического описания. Оно заключается в получении такого относительно простого математического выражения (фор­мулы, уравнения, неравенства и т. д.), по которому можно было бы вычислить необходимые свойства и параметры сигналов (мгно­венные значения, числовые характеристики и т. п.). Математиче­ское описание сигнала и называют его математической моделью.

Математическая модель отображает существенные свойства реального сигнала. Один и тот же реальный сигнал может быть представлен несколькими моделями. Например, отрезок гармо­нического колебания можно записать в виде u(t)=U_mcos(w₀t+p/2) или u(t)=U_msinw₀t.

Выбор наиболее подходящего для каждого конкретного сигнала математического выражения осу­ществляется, как правило, на основе анализа временной диаг­раммы. Это и есть выбор математической модели. Одна и та же математическая модель служит для описания тока, напряжения, напряженности поля и т. д. В дальнейшем математические моде­ли сигналов будут обозначаться символами латинского алфавита s(t), u(t), a(t), b(t). При этом не будет специально подчерки­ваться, что это не сам реальный сигнал, а его модель. Ведь эти представления адекватны. Обозначенные на обобщенной струк­турной схеме системы связи (см. рис. 1.1) сигналы в различных точках как раз и являются математическими моделями этих сиг­налов. Можно сказать: в реальных каналах действуют сигналы, а для расчетов используются их математические модели.

Из анализа временной диаграммы следует, что сигнал можно записать •в виде системы равенств

Примечание. Подобрать математическую формулу для отрезка (t₂, t₃) труд-чно из-за сложной формы сигнала.

Классы сигналов и их математическое пред­ставление. Разделение сигналов на классы можно провести по следующим признакам:

форме — простые и сложные;

информативности — детерминированные и случайные;

характеристикам —непрерывные, дискретные и цифровые.

Математической моделью простого сигнала является простая функция времени. Из простых сигналов в электросвязи находят применение гармонические сигналы, конечные и бесконечные по­следовательности импульсов, испытательные сигналы и др.

Гармонический сигнал, который часто называют гармоничес­ким колебанием, записывается в виде

Импульсными сигналами являются сигналы, отличные от ну­ля в течение ограниченного времени. Эти сигналы существуют лишь в пределах конечного отрезка (t_1,t₂) При этом различают видеоимпульсы (рис. 2.3,а) я радиоимпульсы (рис. 2.3,6). Если u_B(t)—видеоимпульс, то соответствующий ему радиоимпульс u_p(t)=u_в(t)cos(wt+y₀) (частота w и начальная фаза y₀ могут быть произвольными).

В радиоимпульсе u_B(t) называется огиба­ющей, а функция cos(wt+y₀) — заполнением. Параметрами видеоимпульса принято считать его амплитуду U_m, дли- тельность t_и, длительность фронта t_ф, длительность спада t_e. Происхождение термина «видеоимпульс» связано с тем, что впервые такие имлульсы начали применять для описания сигналов в телевидение

Рис. 2.2. Гармоническое колебание: а—начальная фаза y₀=0;

б- начальная фазаy₀>0

Рис. 2.3. Импульсные сигналы:

а — видеоимпульс; б — радиоимпулье

В электросвязи наибольшее применение находят одиночные импульсы или их периодическая последовательность, форма ко­торых приближается к прямоугольной. Для периодической после­довательности импульсов, кроме перечисленных выше параметров, вводится понятие скважности, определяемой как отношение пе­риода к длительности импульса: S=T/t_и

Бесконечно короткий видеоимпульс бесконечной амплитуды называется б-функцией (читается «дельта-функция»), которая за-

d(t-t₀)=

где to — момент действия импульса. Эта функция обладает ин­тересным свойством:

физически означающим, что хотя значение б-функции в точке /о и равно бесконечности, но площадь ее конечна и единична.

Широко используется б-функция при анализе различных ра­диотехнических цепей. Она является математической моделью прямоугольного импульса малой длительности и большой ампли­туды.

Сложные сигналы представляют собой такие функции време­ни, которые трудно выразить в виде простой математической фор­мулы. Пример сложного сигнала — отрезок речевого сигнала, изображенного на рис. 2.1. Большинство реальных сигналов — это сложные сигналы. Как же для них подобрать приемлемое математическое выражение? Причем желательно такое, которое подходило бы для большинства сигналов.

Математиками найдено такое решение. Им широко пользу­ются в электро- и радиотехнике. Подобно тому, как любое здание можно собрать из упорядоченного ряда простых конструкций, так и сигнал можно представить в виде ряда некоторых элемен­тарных (простых) функций y_k(t) называемых базисными:

, (2.2)

где a_k—коэффициенты разложения, зависящие от сигнала u(t)

Пример 2.2. Представить сигнал u₁(t), изображенный на рис. 2А,а,б в виде

ряда (суммы) элементарных функций.

Для наглядности разложения приведем графически на временной диаграм­ме. В качестве элементарных функций выберем последовательности прямоуголь­ных (рис. 2.4,в — вариант 1) или треугольных (рис. 2.4,г —вариант 2) импуль­сов единичной амплитуды. Длительность импульсов меньше длительности сиг­нала u₁(t) Графические построения показаны на рис. 2А,а,б. Коэффициенты a_kв данном примере равны значениям сигналав моменты времени.

Из сравнения рис. 2.4,а и б следует, что u₁(t) при одинаковом числе членов ряда в двух вариантах сумма треугольных функций более точно описывает заданный сигнал. Для увеличения точности необходимо увеличить число сла­гаемых ряда, что требует уменьшения их длительности.

Выбор системы базисных функций y_k(t) зависит от вида сиг-

меньше требуется составляющих ряда nдля представления сиг­нала u(t) с заданной точностью:

Рис.2.4. К представлению сигнала u(t) рядами простых функций:

при прямоугольных функциях; б —ряд при треугольных функциях;

в — прямобазисные функции; г — треугольные базисные функции

Детерминированные и случайные сигналы. Де­терминированным является сигнал, задаваемый функцией време­ни, по которой можно вычислить его мгновенные значения в лю-6ые моменты. Примерами таких сигналов являются приведенные ранее гармоническое колебание (2.1), видеоимпульсы с извест­ными параметрами. Детерминированные сигналы используются в технике связи как контрольные, испытательные и в качестве пе­реносчика (несущей) для получения модулированных сигналов.

Строго говоря, детерминированных сигналов в природе не су­ществует. Из-за многочисленных внешних и внутренних воздей­ствий на источник (генератор) сигналов их форма непредсказу­емо изменяется. Реальные сигналы и помехи всегда случайны.

Необходимо отметить, что только случайные сигналы являют­ся переносчиками информации. По определению, информация — это какие-то новые сведения для получателя. А в детерминиро­ванном сигнале этих новых сведений нет, сигнал полностью изве­стен. Нет новых сведений — нет и информации.

Свойства случайных сигналов, базирующиеся на математиче­ском аппарате теории вероятностей, приведены в § 2.5.

Непрерывные, дискретные и цифровые сигна-л ы. Любой физический процесс формирования сообщений и со­ответствующих им сигналов, в сущности, протекает так, что в лю­бой момент можно измерить значение сигналов. Сигналы, суще­ствующие непрерывно во времени и принимающие любые значе­ния из какого-то интервала, принято называть непрерывными, или аналоговыми (рис. 2.5,а).

Дискретные сигналы — это сигналы, принимающие конечное число значений или состояний. Дискретные сигналы могут непо­средственно создаваться на выходе преобразователя сообщение — сигнал или образовываться в результате дискретизации аналого­вых сигналов. Здесь следует различать дискретизацию по време­ни и по уровню.

дискретные по времени

На рис. 2.5,6 изображен сигнал, заданный в дискретные мо­менты t_к Значения сигнала в точках t_к (отсчетные значения) u(t_к) такие же, как и в аналоговом сигнале. Такой сигнал назы­вают дискретным по времени. Обычно шаг дискретизации Dt_к= t_к— t_к-1 выбирают постоянным.

Можно произвести дискретизацию сигнала не по времени, а по уровню (рис. 2.5,в). Здесь сигнал непрерывный по времени но принимает только конечное число значений по уровню. Чтобы отличить эту процедуру от предыдущей, принято дискретизацию сигнала по уровню называть квантованием.

В принципе, можно осуществить для одного и того же сигна­ла и дискретизацию по времени, и квантование по уровню (рис.2.5,г), получая квантованные отсчетные значения сигнала u_кв(t_к)

Цифровые сигналы — разновидность дискретных сигналов когда квантовые отсчетные значения представлены в виде цифр. Цифровыми также являются сигналы, соответствующие ко довым комбинациям на выходе кодера. Преимущество цифровых сигналов — более высокая помехоустойчивость и возможность их формирования и обработки микроэлектронными логическими уст­ройствами. Цифровые сигналы находят все большее применение в новых системах электросвязи.

Источник

Сигнал и его математическая модель

Чаще всего сигнал электросвязи можно рассматривать как меняющуюся во времени электрическую величину (напряжение, ток, электромагнитное колебание, напряженность поля). Эти величины можно наблюдать и регистрировать с помощью различных приборов, например осциллографов. После наблюдения сигнал будет задан в виде графика или таблицы как функция времени. Такое представление называется временной диаграммой. В качестве примера можно привести осциллограмму тока, протекающего через микрофон.

Временная диаграмма тока через микрофон.

На интервале звуковые колебания на микрофон не воздействовали; на интервале – воздействовало звуковое колебание определенного тона; на интервале – сложные звуковые колебания.

Однако временные диаграммы сигнала являются неудобными как для теоретических расчетов, так и для представления длительных сигналов. Поэтому для проведения всевозможных расчетов с сигналами возникает задача их математического описания. Оно заключается в получении такого относительно простого математического выражения (формулы, уравнения, неравенства и т.д.), по которому можно было бы вычислить необходимые свойства и параметры сигналов (мгновенные значения, числовые характеристики и т.п.). Математическое описание сигнала называется его математической моделью.

Классы сигналов и их математическое представление.

Разделение сигналов на классы производится по следующим признакам:

— форме – простые и сложные;

— информативности – детерминированные и случайные;

— характеристикам – непрерывные, дискретные и цифровые.

Математической моделью простого сигнала является простая функция времени. Из простых сигналов в электросвязи находят применение гармонические сигналы, конечные и бесконечные последовательности прямоугольных импульсов, испытательные сигналы и др.

Гармонический сигнал, который часто называют гармоническим колебанием, записывается в виде

при ,

где – максимальное значение (амплитуда); – циклическая частота; – начальная фаза. Сдвиг по фазе приводит к сдвигу гармонического колебания на время влево. Начальная фаза , циклическая частота . Часто при расчетах используется угловая частота .

Импульсными сигналами являются сигналы, отличные от нуля в течение ограниченного времени. Эти сигналы существуют лишь в пределах конечного отрезка . При этом различают видеоимпульсы и радиоимпульсы.

Импульсные сигналы: а) – видеоимпульс; б) – радиоимпульс.

Если – видеоимпульс, то соответствующий ему радиоимпульс (частота и начальная фаза могут быть произвольными).

В радиоимпульсе называется огибающей, а функция – заполнением. Параметры видеоимпульса: – амплитуда; – длительность импульса; – длительность фронта импульса; – длительность спада импульса. Происхождение термина «видеоимпульс» связано с тем, что впервые такие импульсы начали применять для описания сигналов в телевидении.

В электросвязи наибольшее применение находят одиночные импульсы или их периодическая последовательность, форма которой приближается к прямоугольной. Для периодической последовательности импульсов, кроме перечисленных параметров, вводится понятие скважности, определяемой как отношение периода к длительности импульса:

Бесконечно короткий видеоимпульс бесконечной амплитуды называется δ – функцией (дельта – функция), которая записывается в виде:

где – момент действия импульса. Эта функция обладает следующим свойством:

,

физически означающим, что хотя значение δ – функции в точке и равно бесконечности, но площадь ее конечна и единична.

Широко используется δ – функция при анализе различных радиотехнических цепей. Она является математической моделью прямоугольного импульса малой длительности и большой амплитуды.

Сложные сигналы представляют собой такие функции времени, которые трудно выразить в виде простой математической формулы. Например – отрезок речевого сигнала. Большинство реальных сигналов – это сложные сигналы. Возникает вопрос, как же для них подобрать приемлемое математическое выражение, причем желательно такое, которое подходило бы для большинства сигналов?

Математиками найдено такое решение. Им широко пользуются в электро– и радиотехнике. Сигнал можно представить в виде ряда некоторых элементарных (простых) функций , называемых базисными:

,

где – коэффициенты разложения, зависящие от сигнала .

Выбор системы базисных функций зависит от вида сигнала и решаемой задачи. Но имеется общее правило – функции сами должны быть простыми, обеспечивать простое вычисление коэффициентов и давать хорошую сходимость ряда к сигналу . Выбор функции считается тем лучше, чем меньше требуется составляющих ряда для представления сигнала с заданной точностью:

.

Детерминированные и случайные сигналы.

Детерминированным является сигнал, задаваемый функцией времени, по которой можно вычислить его мгновенные значения в любые моменты. Примерами таких сигналов являются гармоническое колебание, видеоимпульсы с известными параметрами. Детерминированные сигналы используются в технике связи как контрольные, испытательные и в качестве переносчика (несущей) для получения модулированных сигналов.

Случайным называется сигнал, математическим описанием которого является случайная функция времени. Физически сигнал можно считать случайным, если невозможно определенно предсказать или вычислить его мгновенные значения. Помехи системы связи чаще всего являются случайными. Сигналы же, в зависимости от обстоятельств, могут быть и детерминированными, и случайными. Случайные сигналы не обязательно являются сложными, они могут быть и простыми.

Непрерывные, дискретные и цифровые сигналы.

Сигналы, которые существуют непрерывно во времени и принимают любые значения из какого – то интервала называются непрерывными. Также непрерывные сигналы называются аналоговыми.

Первоначально в электросвязи использовались преимущественно аналоговые сигналы. Их можно просто генерировать, усиливать, передавать и принимать. Недостатком таких сигналов является то, что любое изменение их формы из – за помех и искажений влечет за собой изменение формы принимаемого сообщения. Возросшие требования к точности воспроизведения сообщений заставили перейти к дискретным и цифровым сигналам.

Дискретные сигналы – это сигналы, принимающие конечное число значений или состояний. Дискретные сигналы могут непосредственно создаваться на выходе преобразователя сообщение – сигнал или образовываться в результате дискретизации аналогового сигнала.

Цифровые сигналы – разновидность дискретных сигналов, когда квантованные отсчетные значения представлены в виде цифр. Цифровыми также являются сигналы, соответствующие кодовым комбинациям на выходе кодера. Преимущество цифровых сигналов – более высокая помехоустойчивость и возможность их формирования и обработки микроэлектронными логическими устройствами. Цифровые сигналы находят все большее применение в новых системах электросвязи.

Сигналы: а) – непрерывные; б) – дискретные по времени; в) – квантованные по уровню и непрерывные по времени; г) – квантованные по уровню и дискретные по времени.

Источник