Уравнение – это равенство, содержащее переменную, значение которой надо найти.
Уравнение с одним неизвестным, содержащим первую степень, называется линейным уравнением с одной переменной. Стандартный вид линейного уравнения ax+b=0, где a и b некоторые числа, а х – переменная. Также стандартным видом уравнения можно считать и вид ax=b.
Так, например, к линейным относятся уравнения:
6х+21=0; 34–2х=0; 34х=17; 89х=0
Уравнения, содержащие несколько слагаемых с переменной или без нее, а также скобки, называются уравнениями, сводящимися к линейным. То есть при его упрощении должно получиться линейное уравнение стандартного вида. К таким уравнениям могут относиться уравнения вида:
х+12=4х–45; 19х–67=98; х=–32+17х; 7(х+13)=89–14х
Решить уравнение – это значит найти все его корни или доказать, что корней нет.
Что такое корень уравнения?
Вспомним, что корнем уравнения называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство.
Корни линейного уравнения
Наличие корней зависит от коэффициентов а и b.
Рассмотрим нахождение количества корней на примерах.
Здесь коэффициент а отличен от нуля. Значит, уравнение имеет один корень.
Здесь коэффициент а равен нулю, поэтому корней нет.
Здесь оба коэффициента равны нулю, поэтому уравнение имеет множество корней, или, еще можно сказать, что корнем уравнения является любое число.
Чтобы найти корни уравнения, надо его решить, используя алгоритм, по которому из одного уравнения мы сможем получить уравнение, равносильное данному. Сначала вспомним, что при переносе слагаемых из одной части в другую, мы получаем уравнение, равносильное данному. Также можно делить или умножать обе части уравнения на одно и то же число.
Пример №2. Решить уравнение:
В данном уравнении нет скобок, поэтому выполняем перенос слагаемых, изменяя соответственно знаки у тех слагаемых, которые переносим (обычно слагаемые с переменной собираем слева, а без переменной – справа): 2х–9х=10+11. Теперь приводим подобные слагаемые и получаем: –7х=21. Видим, что корень находится действием деления (неизвестный множитель): х=21:(–7). Ответ х=–3.
При оформлении решения запись оформляем следующим образом:
Пример №3. Решить уравнение:
Здесь мы видим скобки, поэтому сначала раскроем их, помня о том, то число 2 в левой части уравнения надо умножить на каждое слагаемое в скобках, а в правой части уравнения перед скобкой стоит «минус», поэтому изменяем знаки у слагаемых при раскрытии скобок: 5х–2х+16=9х–3х–11. Выполняем перенос слагаемых: 5х–2х–9х+3х=–11–16. Приводим подобные: –3х=–27. Находим корень уравнения: х=–27:(–3). Получаем ответ: х=9
Пример №4. Решить уравнение:
Выполним всё по алгоритму: перенос слагаемых и приведение подобных слагаемых. 2х–2х=3+12; 0х=15. Видим, что коэффициент а=0, поэтому запишем ответ – нет корней, так как надо 15:0, а мы знаем правило, что на нуль делить нельзя.
Имеем линейное уравнение:
Следовательно, начинаем решение с переноса слагаемых (с переменной влево, без переменной – вправо): 3х + 7х= – 5 – 2, не забывая изменять знак у слагаемых, которые переносим. Теперь приводим подобные в каждой части, получаем 10х= –7.
Находим неизвестный множитель делением произведения –7 на известный множитель 10, получаем –0,7.
Как распознать, является ли произвольное уравнение линейным или нет? Надо обратить внимание на переменную, которая присутствует в нем. Если старшая степень, в которой стоит переменная, равна единице, то такое уравнение является линейным уравнением.
Примеры решения линейных уравнений:
Это линейное уравнение, так как переменная стоит в первое степени.
Попробуем преобразовать его к виду a x = b :
Для начала раскроем скобки:
− 2 x − 2 = 1 − 2 = − 1 2 = − 0,5
Это уравнение не является линейным уравнением, так как старшая степень, в которой стоит переменная x равна двум.
Это уравнение выглядит линейным на первый взгляд, но после раскрытия скобок старшая степень становится равна двум:
Это уравнение не является линейным уравнением.
Особые случаи (встречаются редко, но знать их полезно).
Это линейное уравнение. Раскроем скобки, перенесем иксы влево, числа вправо:
Это линейное уравнение. Раскроем скобки, перенесем иксы влево, числа вправо:
Задания для самостоятельного решения
Если корней несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.
Решение:
2 − 3 ( 2 x + 2 ) = 5 − 4 x
Переносим иксы влево, числа вправо:
x = 9 − 2 = − 9 2 = − 4,5
№2. При каком значении x значения выражений 7 x − 2 и 3 x + 6 равны?
Решение:
Приравниваем эти два выражения:
№3. Решите уравнение ( − 5 x + 3 ) ( − x + 6 ) = 0.
Если корней несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.
Решение:
Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Чтобы найти все корни данного уравнения, надо приравнять каждый множитель к нулю и оба корня взять в ответ.
( − 5 x + 3 ) ( − x + 6 ) = 0 ⇔ [ − 5 x + 3 = 0 − x + 6 = 0 ⇒ [ − 5 x = − 3 ; − x = − 6 ; ⇒ [ x = − 3 − 5 = 3 5 = 0,6 x = − 6 − 1 = 6 1 = 6
В задании указано, что в ответ надо записать корни в порядке возрастания 0,6 6.
Если корней несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.
Решение:
Раскроем квадраты, используя ФСУ (формулы сокращенного умножения):
x 2 − 2 ⋅ x ⋅ 4 + 4 2 + x 2 + 2 ⋅ x ⋅ 9 + 9 2 − 2 x 2 = 0
Статья находится на проверке у методистов Skysmart. Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).
Понятие уравнения
Понятие уравнения обычно проходят в самом начале школьного курса алгебры. Его определяют, как равенство с неизвестным числом, которое нужно найти.
В школьной программе за 7 класс впервые появляется понятие переменных. Их принято обозначать латинскими буквами, которые принимают разные значения. Исходя из этого можно дать более полное определение уравнению.
Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.
Например, возьмем выражение 2 + 4 = 6. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 6 = 6.
Уравнением можно назвать выражение 2 + x = 6, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.
Корень уравнения — то самое число, которое при подстановке на место неизвестной уравнивает выражения справа и слева.
Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.
Решить уравнение значит найти все возможные корни или убедиться, что их нет.
Решить уравнение с двумя, тремя и более переменными — это два, три и более значения переменных, которые обращают данное выражение в верное числовое равенство.
Какие бывают виды уравнений
Уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные.
Особенность преобразований алгебраических уравнений в том, что в левой части должен остаться многочлен от неизвестных, а в правой — нуль.
Линейное уравнение выглядит так
ах + b = 0, где a и b — действительные числа.
Что поможет в решении:
Система уравнений — это несколько уравнений, для которых нужно найти значения неизвестных. Она имеет вид ax + by + c = 0 и называется линейным уравнением с двумя переменными x и y, где a, b, c — числа.
Решением этого уравнения называют любую пару чисел (x; y), которая соответствует этому выражению и является верным числовым равенством.
Числовой коэффициент — число, которое стоит при неизвестной переменной.
Кроме линейных и квадратных есть и другие виды уравнений, с которыми мы познакомимся в следующий раз:
Как решать простые уравнения
Чтобы научиться решать простые линейные уравнения, нужно запомнить формулу и два основных правила.
1. Правило переноса. При переносе из одной части в другую, член уравнения меняет свой знак на противоположный.
Для примера рассмотрим простейшее уравнение: x+3=5
Начнем с того, что в каждом уравнении есть левая и правая часть.
Перенесем 3 из левой части в правую и меняем знак на противоположный.
Можно проверить: 2 + 3 = 5. Все верно. Корень равен 2.
Решим еще один пример: 6x = 5x + 10.
Перенесем 5x из правой части в левую. Знак меняем на противоположный, то есть на минус.
Приведем подобные и завершим решение.
2. Правило деления. В любом уравнении можно разделить левую и правую часть на одно и то же число. Это может ускорить процесс решения. Главное — быть внимательным, чтобы не допустить глупых ошибок.
Применим правило при решении примера: 4x=8.
При неизвестной х стоит числовой коэффициент — 4. Их объединяет действие — умножение.
Чтобы решить уравнение, нужно сделать так, чтобы при неизвестной x стояла единица.
Разделим каждую часть на 4. Как это выглядит:
Теперь сократим дроби, которые у нас получились и завершим решение линейного уравнения:
Рассмотрим пример, когда неизвестная переменная стоит со знаком минус: −4x = 12
Если знак минус стоит перед скобками, и по ходу вычислений его убрали — важно не забыть поменять знаки внутри скобок на противоположные. Этот простой факт позволит не допустить обидные ошибки, особенно в старших классах.
Напомним, что не у каждого линейного уравнения есть решение — иногда корней просто нет. Изредка среди корней может оказаться ноль — ничего страшного, это не значит, что ход решения оказался неправильным. Ноль — такое же число, как и остальные.
Способов решения линейных уравнений немного, нужно запомнить только один алгоритм, который будет эффективен для любой задачки.
Чтобы быстрее запомнить ход решения и формулу линейного уравнения, скачайте или распечатайте схему-подсказку — храните ее в телефоне, учебники или на рабочем столе.
А вот и видео «Простейшие линейные уравнения» для тех, кто учиться в 5, 6 и 7 классе.
Примеры линейных уравнений
Теперь мы знаем, как решать линейные уравнения. Осталось попрактиковаться на задачках, чтобы чувствовать себя увереннее на контрольных. Давайте решать вместе!
Пример 1. Как правильно решить уравнение: 6х + 1 = 19.
Пример 2. Как решить уравнение: 5(х — 3) + 2 = 3 (х — 4) + 2х — 1.
5х — 15 + 2 = 3х — 2 + 2х — 1
Ответ: х — любое число.
Пример 3. Решить: 4х = 1/8.
Пример 4. Решить: 4(х + 2) = 6 — 7х.
Пример 5. Решить:
Пример 6. Как решить линейное уравнение: х + 7 = х + 4.
Теперь перейдем к чуть более сложному – линейным уравнениям с двумя переменными.
Линейные уравнения с двумя переменными имеют вид:
\( \displaystyle ax+by+c=0\), где \( \displaystyle a\), \( \displaystyle b\) и \( \displaystyle c\) – любые числа и \( \displaystyle a\ne 0\).
Как ты видишь, вся разница только в том, что в уравнение добавляется еще одна переменная. А так все то же самое – здесь нет иксов в квадрате, нет деления на переменную и т.д. и т.п.
Какой бы привести тебе жизненный пример… Возьмем того же Васю. Допустим, он решил, что каждому из 3-ех друзей он даст одинаковое количество яблок, а \( \displaystyle 2\) яблока оставит себе.
Сколько яблок нужно купить Васе, если каждому другу он даст по \( \displaystyle 1\) яблоку? А по \( \displaystyle 2\)? А если по \( \displaystyle 3\)?
Зависимость количества яблок, которое получит каждый человек к общему количеству яблок, которое необходимо приобрести будет выражена уравнением:
\( \displaystyle y=3x+2\), где
Решая эту задачу, мы получим, что если одному другу Вася даст \( \displaystyle 1\) яблоко, то ему необходимо покупать \( \displaystyle 5\) штук, если даст \( \displaystyle 2\) яблока – \( \displaystyle 8\) и т.д.
И вообще. У нас две переменные. Почему бы не построить эту зависимость на графике?
Строим и отмечаем значение наших \( \displaystyle x\), то есть точки, с координатами \( \displaystyle 1\), \( \displaystyle 2\) и \( \displaystyle 3\)!
Как ты видишь, \( \displaystyle x\) и \( \displaystyle y\) зависят друг от друга линейно, отсюда и название уравнений – «линейные».
Графическое изображение линейных и нелинейных уравнений
Абстрагируемся от яблок и рассмотрим графически различные уравнения. Посмотри внимательно на два построенных графика – прямой и параболы, заданными произвольными функциями:
Найди и отметь на обоих рисунках точки \( \displaystyle x\), соответствующие \( \displaystyle y=2\).
Что у тебя получилось?
Ты видишь, что на графике первой функции одному \( \displaystyle y\) соответствует один \( \displaystyle x\).
То есть \( \displaystyle y\) и \( \displaystyle x\) линейно зависят друг от друга, что не скажешь про вторую функцию.
Да и построенный график никак не напоминает линию, а является параболой.
Графиком линейного уравнения должна быть прямая линия.
С тем, что уравнение не будет линейным, если у нас идет \( \displaystyle x\) в какой-либо степени – это понятно на примере параболы, хотя для себя ты можешь построить еще несколько простых графиков, например \( \displaystyle y=<^<3>>\) или \( \displaystyle y=<^<4>>\).
Но я тебя уверяю – ни один из них не будет представлять собой ПРЯМУЮ ЛИНИЮ.
Не веришь? Построй, а затем сравни с тем, что получилось у меня:
А что будет, если мы разделим что-то на \( \displaystyle x\), например, какое-то число? Будет ли линейная зависимость \( \displaystyle y\) и \( \displaystyle x\)?
Не будем рассуждать, а будем строить! Например, построим график функции \( \displaystyle y=\frac<1>\).
Как-то не выглядит построенное прямой линией… соответственно, уравнение не линейное.
При решении линейных уравнений, в большинстве случаев может понадобиться правило переноса слагаемого.
Случай ненулевого коэффициента при неизвестной переменной после тождественных преобразований [ править ]
Для начала перенесём в одну сторону члены с неизвестной (с иксом), а в другую сторону — числа. Необходимо помнить, что при перенесении слагаемого в другую сторону оно меняет знак:
Приведём подобные слагаемые:
При неизвестной коэффициент сократится и получится ответ:
Пример 1 [ править ]
Для начала перенесём в одну сторону члены с неизвестной (с иксом), а в другую сторону — числа. Необходимо помнить, что при перенесении слагаемого в другую сторону оно меняет знак:
Приведём подобные слагаемые:
При неизвестной коэффициент сократится и получится ответ:
Это и будет ответом. Если мы захотим проверить, является ли число 4 корнем этого уравнения, необходимо подставить в изначальное уравнение вместо икса это самое число:
Так как это равенство является верным, то 4 действительно является корнем уравнения.
Пример 2 [ править ]
После переноса неизвестных и чисел по разные стороны и приведения слагаемых получаем:
Пример 3 [ править ]
После переноса неизвестных и чисел по разные стороны и приведения слагаемых получаем:
Пример 4 [ править ]
Вначале избавляемся от иррациональности в коэффициенте при неизвестном, домножая каждое слагаемое на 5 <\displaystyle <\sqrt <5>>> (это нужно для более сложных случаев):
Но такая форма считается упрощаемой, так как в числителе располагается корень числа в знаменателе. Требуется упростить ответ домножением числителя и знаменателя на одно и то же число, в данном случае на 5 <\displaystyle <\sqrt <5>>> :
x = ( 5 ) ( 5 ) / ( 5 ) ( 5 ) <\displaystyle x=(<\sqrt <5>>)(<\sqrt <5>>)/(5)(<\sqrt <5>>)> x = 5 / ( 5 ) ( 5 ) <\displaystyle x=5/(5)(<\sqrt <5>>)> x = 1 / 5 <\displaystyle x=1/<\sqrt <5>>> Ответ x = 1 / 5 <\displaystyle x=1/<\sqrt <5>>>
Пример 5 [ править ]
После переноса неизвестных и чисел по разные стороны и приведения слагаемых получаем:
Пример 6 [ править ]
Решим уравнение с параметрами:
Случай отсутствия решений [ править ]
После переноса всех иксов и чисел в разные стороны и приведения подобных слагаемых получим уравнение:
Частный случай — бесконечное число решений [ править ]
После переноса всех иксов и чисел в разные стороны и приведения подобных слагаемых получим уравнение:
В этом случае тоже нельзя разделить обе части на ноль, так как это запрещено. Но подставив на место икса любое число, мы получим верное равенство. Значит, любое число является решением этого уравнения. Таким образом, у этого уравнения бесконечно много решений.
Ответ Бесконечно много решений.
Случай равенства двух полных форм [ править ]
Примеры и их решения [ править ]
Пример 1 [ править ]
После переноса всех иксов и чисел в разные стороны и приведения подобных слагаемых получим уравнение:
Пример 2 [ править ]
После переноса всех иксов и чисел в разные стороны и приведения подобных слагаемых получим уравнение:
(это нужно для более сложных случаев):