Что называется коэффициентом выражения
Числовой коэффициент выражения, определение, примеры.
В математических описаниях используется термин «числовой коэффициент», в частности, при работе с буквенными выражениями и выражениями с переменными удобно использовать понятие числового коэффициента выражения. В этой статье мы дадим определение числового коэффициента выражения и разберем примеры его нахождения.
Навигация по странице.
Определение числового коэффициента, примеры
В учебнике Н. Я. Виленкина математика для 6 классов дается следующее определение числового коэффициента выражения.
Если буквенное выражение является произведением одной или нескольких букв и одного числа, то это число называется числовым коэффициентом выражения.
К слову, числовой коэффициент часто называют просто коэффициентом.
А в произведении 5·a·2·b·3·c содержится не одно, а три числа. Для определения числового коэффициента этого выражения, его нужно преобразовать в произведение, содержащее единственный числовой множитель. Как это делается, мы разберемся в следующем пункте этой статьи, в этом заключается процесс нахождения числового коэффициента выражения.
Нахождение числового коэффициента выражения
Когда выражение представляет собой произведение с одним числовым множителем, этот множитель и является числовым коэффициентом. Когда выражение имеет другой вид, то нахождение его числового коэффициента подразумевает предварительное выполнение некоторых тождественных преобразований, с помощью которых исходное выражение приводится к произведению с одним числовым множителем.
Числовой коэффициент выражения: определение, примеры
В математических описаниях часто фигурирует термин «числовой коэффициент», например, в работе с буквенными выражениями и выражениями с переменными. Материал статьи ниже раскрывает понятие этого термина, в том числе, на примере решения задач на нахождение числового коэффициента.
Определение числового коэффициента. Примеры
Учебник Н.Я. Виленкина (учебный материал для учащихся 6 классов) задает такое определение числового коэффициента выражения:
Если буквенное выражение является произведением одной или нескольких букв и одного числа, то это число называется числовым коэффициентом выражения.
Числовой коэффициент зачастую называют просто коэффициентом.
Данное определение дает возможность указать примеры числовых коэффициентов выражений.
Также разберем такое выражение:
Мы видим, что запись выражения содержит три числа, и, чтобы найти числовой коэффициент исходного выражения, его следует переписать в виде выражения с единственным числовым множителем. Собственно, это и является процессом нахождения числового коэффициента.
Отметим, что произведения одинаковых букв могут быть представлены как степени с натуральным показателем, поэтому определение числового коэффициента верно и для выражений со степенями.
Далее определение числового коэффициента расширяется с произведения нескольких букв и числа до произведения числа и нескольких буквенных выражений.
Нахождение числового коэффициента выражения
Выше мы говорили о том, что если выражение представляет собой произведение с единственным числовым множителем, то этот множитель и будет являться числовым коэффициентом выражения. В случае, когда выражение записано в ином виде, предстоит совершить ряд тождественных преобразований, который приведет заданное выражение к виду произведения с единственным числовым множителем.
Решение
Ответ: 18
Решение
С целью определения числового коэффициента преобразуем в многочлен заданное целое выражение. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, получим:
Числовой коэффициент — как найти его для буквенно-числовых и буквенных выражений
«Числовой коэффициент», или просто «коэффициент» — термин, который подразумевает под собой одно и то же математическое понятие. Усвоить, в чем смысл термина, очень просто, а найти числовой коэффициент на конкретном примере еще легче. Но для начала разберемся с официальным определением.
Что называют математическим числовым коэффициентом?
Согласно учебнику математики, если выражение состоит из одного числа и нескольких буквенных обозначений, умноженных друг на друга, то данное число и будет коэффициентом всего выражения. При этом количество букв не имеет значения — число может быть умножено на одну букву, на две или сразу на пять, оно все равно остается коэффициентом.
Например, рассмотрим следующие выражения:
Необходимо напомнить, что последнее правило распространяется и на выражения, где числовые обозначения стоят не друг рядом с другом, а разделены буквами. Например, 2*c*4*a — мы можем смело переписывать данное выражение в виде 2*4*с*а, потому что при умножении не имеет значения, в каком порядке стоят множители. И таким образом, коэффициент по-прежнему находится легко и просто — это будет число «8».
Не стоит теряться, если в задаче предлагается найти коэффициент для буквенного выражения без чисел — например, y*z. В данном случае всегда используется число «1» — поскольку выражение из примера можно записать в виде 1*y*z. Коэффициент находится в выражениях и с положительными, и с отрицательными множителями.
В каких случаях найти коэффициент для всего выражения нельзя?
Общий коэффициент не может быть найден, если предусмотрены другие действия, помимо умножения. Например, если взять 3*с + а, то число «3» будет коэффициентом лишь для одного из слагаемых, но никак не для всего выражения.
Алгебраические выражения
Алгебраическое выражение — это запись, составленная со смыслом, в которой числа могут быть обозначены и буквами, и цифрами. Также она может содержать знаки арифметических действий и скобки.
Любую букву, обозначающую число, и любое число, изображённое с помощью цифр, принято считать в алгебре также алгебраическим выражением.
Алгебраические выражения, входящие в состав формул, могут применяться к решению частных арифметических задач, если в них заменить буквы данными числами и произвести указанные действия. Число, которое получится, если взять вместо букв какие-либо числа и произвести над ними указанные действия, называется численной величиной алгебраического выражения. Из этого легко сделать вывод, что одно и то же алгебраическое выражение при различных значениях входящих в него букв может иметь различные числовые величины.
при a = 2, m = 5, b = 1, n = 4 вычисляется:
а при a = 3, m = 4, b = 5, n = 1 вычисляется:
3 · 4 + 5 · 1 = 17 и т. д.
при a = 1, b = 2, c = 3 равно:
а при a = 2, b = 3, c = 4 равно:
Коэффициент
Коэффициент — это числовой множитель алгебраического выражения, представляющего собой произведение нескольких сомножителей. Коэффициент в выражении ставится перед всеми остальными буквенными множителями. Таким образом,
произведение чисел a, b, c, d, 4 записывается так: 4abcd;
произведение чисел m, n, 
, p записывается так: 
.
Числа 4 и — это коэффициенты. Очевидно, что
.
Итак, коэффициент показывает, сколько раз целое алгебраическое выражение или известная его часть берется слагаемым.
Если в алгебраическом выражении нет числового множителя, то подразумевается, что коэффициент равен единице, так как
Виды выражений
Алгебраическое выражение, в которое не входят буквенные делители, называется целым, в противном случае дробным или алгебраической дробью.
Целые алгебраические выражения:
Дробные алгебраические выражения:
Выражения, не содержащие корней, называются рациональными, а содержащие корни — иррациональными или радикальными. Например, все выражения, приведённые выше, являющиеся целыми или дробными, так же можно назвать и рациональными.
Урок 41 Бесплатно Коэффициент
В предыдущих уроках мы уже познакомились со свойствами действий с рациональными числами и раскрытием скобок. В этих темах у нас зачастую фигурируют не числа, а выражения.
В некоторых случаях у выражения можно выделить такое число, которое называют коэффициентом.
О том, что это такое, чему он равен, какой у него может быть знак и где его можно применить, мы узнаем в сегодняшнем уроке.
Определение коэффициента
Мы уже знаем переместительное и сочетательное свойства умножения.
Они позволяют нам упрощать выражения, что делает работу удобнее.
Упростим выражение \(\mathbf<\frac<1><2>a\cdot(-\frac<2><3>b)>\), используя эти свойства.
\(\mathbf<\frac<1><2>a\cdot(-\frac<2><3>b)=\frac<1><2>\cdot a\cdot(-\frac<2><3>)\cdot b=\frac<1><2>\cdot(-\frac<2><3>)\cdot a\cdot b=-\frac<1><3>\cdot a\cdot b=-\frac<1><3>ab>\)
Мы представили выражения как произведение четырех множителей, сгруппировали в начало численные множители, а в конец буквенные, далее мы перемножили имеющиеся численные множители так, чтобы получилось одно число.
В данном случае коэффициентом выражения будет являться число \(\mathbf<-\frac<1><3>>\)
Определение: если выражения является произведением числа и одной или нескольких букв, то это число называется числовым коэффициентом (или сокращенно коэффициентом).
Коэффициент обычно пишут перед буквенными множителями; также после него можно написать знак умножения, но обычно его не пишут, а он просто подразумевается.
Пример:
Каков коэффициент выражения \(\mathbf<0.4a>\)?
Проверяем, подходит ли выражение под определение: да, оно подходит, так как является произведением.
Числовой множитель только один, значит, ничего считать не надо, и мы сразу можем сказать, что коэффициент данного выражения равен \(\mathbf<0.4>\)
Пример:
Опять же, данное выражение является произведением, правда коэффициент пока не ясен, так как числовой множитель не один.
В данном случае, как и в примере из начала урока множители необходимо сгруппировать, в результате получим, что коэффициент равен \(\mathbf<3\cdot 2\cdot 4=24>\)
Что если мы хотим посчитать коэффициент выражения, которое является произведением одних лишь буквенных множителей?
Тут нам поможет следующая логика.
Например, очевидно такое равенство: \(\mathbf
Так мы можем приписать умножение на единицу к любому выражению, при этом значение выражения никак не изменится.
Таким образом мы получим необходимый для определения числовой множитель, он и будет коэффициентом.
Поэтому если мы видим выражения, состоящие из одних лишь буквенных множителей, то мы знаем, что их коэффициент равен единице.
Примеры:
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Знак коэффициента
Как мы уже определили в прошлой главе, коэффициент будет являться произведением числовых множителей.
Значит, знак коэффициента будет соответствовать знаку этого произведения.
Посмотрим на примерах:
Пример:
Посчитаем коэффициент выражения \(\mathbf<3a\cdot (-3)\cdot b>\):
В данном случае коэффициент получился равным \(\mathbf<-9>\), то есть отрицательным, так как произведение числовых множителей получилось отрицательным.
Пример:
Посчитаем коэффициент выражения \(\mathbf<-\frac<1><3>a\cdot (-\frac<1><2>)bc>\):
В данном случае количество отрицательных множителей четное, поэтому и коэффициент получается меньше нуля.
Если бы отрицательных множителей было число нечетное, то коэффициент получился бы отрицательным.
Правило: если выражение является произведением числовых и буквенных множителей и отрицательных числовых множителей четное количество, а остальные множители больше нуля, то коэффициент будет положительным; если же их нечетное количество, то коэффициент будет отрицательным.
Также мы знаем, что произведение любых чисел и нуля равняется нулю.
То же самое касается и буквенных множителей.
Пример:
\(\mathbf<\frac<1><2>ab\cdot 0c=0>\)
Поэтому такие выражения, которые являются произведением, а один из их множителей равен нулю, сами равны нулю.
Сразу можно понять, как можно использовать эти знания.
Представим, что у нас есть некоторая сумма. И если для каждого выражения, которое является слагаемым, мы посчитаем коэффициент, то, возможно, некоторые слагаемые уничтожаться, потому что их коэффициент окажется равен нулю.
Пример:
Как видите, нам не пришлось вдаваться в подробности слагаемого, так как один из его числовых множителей равен нулю.
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Применение коэффициента выражений
Вы уже знаете с прошлых уроков, что умножение рациональных чисел обладает распределительным свойством относительно сложения.
То есть для любых рациональных чисел a, b и c будет верно равенство:
Мы знаем, что выражение, состоящее из рациональных чисел и включающее в себя операции сложения, вычитания, умножения и деления, также будет равняться рациональному числу.
Также известно, что отношение равенства симметрично, то есть из того, что (\(\mathbf
Значит, мы можем использоваться распределительное свойство и так:
Часто мы будем называть такой переход вынесением общего множителя (общим является множитель с).
Теперь применим все эти факты на практике.
Пример:
Упростим выражение \(\mathbf<345ab+345bc+345cd>\) :
Первым делом мы добавили скобки для наглядности, чтобы показать, что дальше мы будет упрощать сумму первых двух слагаемых.
К ним мы применили распределительной свойство и вынесли общий множитель 345.
Заметим, что теперь выражение представляет из себя два слагаемых, и у них у обоих есть общий множитель 345.
Поэтому в следующем действие мы снова выносим общий множитель.
Теперь остается убрать ненужные скобки, и мы получаем упрощенное выражение.
Кстати, на этом примере становится понятно, что распределительно свойство работает на любом количестве слагаемых:
Под троеточием в данном случае подразумевается сколько угодно много слагаемых, главное, что они такого же вида, как первые и последние.
То есть первое троеточие обозначает слагаемые, состоящие из одного числа (буквы), второе же троеточие обозначает слагаемые вида «слагаемое из левой части выражения домноженное на t».
Как же в данном случае нам может помочь коэффициент?
В нашем примере мы выносили общий множитель. Им как раз и является коэффициент таких выражений, как ab, bc и cd.
В примере он уже был везде посчитан и нам ничего не приходилось умножать.
Пример:
Упростим выражение \(\mathbf<30a+15b\cdot2c+10d\cdot3e>\) :
В данном случае мы сначала посчитали в каждом слагаемом коэффициент (слагаемые в данном случае являются не просто числами, а выражениями).
А далее мы поняли, что этот коэффициент является общим множителем и мы его выносим, пользуясь распределительным свойством.
Пример:
Это выражение можно упростить еще сильнее, вынося общий буквенный множитель. В данном случае в скобках у слагаемых общий множитель a и с, их и вынесем:
Здесь мы применили тот факт, что если у выражения не стоит коэффициент, то мы считаем, что его коэффициент равен единице.
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации