Что называется коэффициентом подобия

Подобные треугольники

Определение

Подобные треугольники — треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного соответственно пропорциональны сторонам другого треугольника.

Сходственные (или соответственные) стороны подобных треугольников — стороны, лежащие напротив равных углов.

Признаки подобия треугольников

I признак подобия треугольников

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

II признак подобия треугольников

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.

Свойства подобных треугольников

Примеры наиболее часто встречающихся подобных треугольников

1. Прямая, параллельная стороне треугольника, отсекает от него треугольник, подобный данному.

2. Треугольники и , образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны. Коэффициент подобия –

3. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобных исходному.

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Помогите пожалуйста решить вот такую задачу окруж. пересекает АВ и АС в точках К и Р соответственно и проходит через вершины В и С. Найдите длину отрезка КР если АК=14, а сторона АС в 2 раза больше ВС. Буду очень благодарна. Спасибо

Треугольники AKP,ACB подобны по двум углам.
AK:AC=KP:BС, откуда KP=7.

очень интересная и полезная информация спасибо

Найти отношение периметров подобных треугольников ∆ и ∆,
если = 18, = 6.
Помогите)

Не понятно, что такое 18 и 6…

Найти отношение периметров подобных треугольников ∆ и ∆,
если = 18см, = 6см.

Найти отношение периметров подобных треугольников ∆АВС и ∆КМН,
если ВС = 18, КМ = 6.

Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
Коэффициент подобия в вашем случае, судя по-всему, равен 3.
По хорошему, если BC и KM сходственные стороны, то следовало бы написать вместо ∆KMH – ∆HKM…

В прямоугольном треугольнике ABC (LC = 90°) BD — биссектриса. Площади треугольников ABD и BCD относятся как 17:8. Найдите синус угла ABC.

Добрый вечер, помогите пожалуйста решить такую задачу:
Стороны KN и LM трапеции KLMN параллельны, прямые LM и MN – касательные к окружности, описанной около треугольника KLN/
a) Докажите, что треугольники LMN и KLN подобны

Пусть . Тогда и
Треугольник – равнобедренный.
Но и – равнобедренный, так как вписанный угол опирается на дугу в (подумайте, почему…).
Итак, треугольники указанные подобны, так как оба равнобедренные с равными углами при основании (то есть по двум углам).

Почему треугольник LMN равнобедренный?

Даша, вы про какую задачу

Про эту, конечно же. Которая с трапецией.

Не всегда вижу, к чему идет коммент…
Потому что по условию MN,ML – касательные к окр. По свойству отрезков касательных.

Помогите решить задачу:Стороны прямоугольника пропорциональны числам 3,4,5.Какими будут стороны подобного ему треугольника с периметром 58,5.

Прямоугольник не может быть подобен треугольнику. Видимо, имелось ввиду – Стороны прямоугольного треугольника пропорциональны числам 3,4,5.
Пусть – коэффициент подобия. Тогда стороны второго треугольника –
А поскольку его периметр – то
…

2. Треугольники AOD и COB, образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны. Коэффициент подобия –если я найду k мне еще надо найти сторону то как?

Вопрос неточен… Нет конкретики.

Добрый вечер. Помогите пожалуйста решить эту задачу: в треугольнике АВС угол С – прямой, АС=4. Чему равно расстояние от вершины В до биссектрисы угла А, если расстояние от вершины С до этой биссектрисы равно 2?

Пусть – перпендикуляры к биссектрисе угла .
В треугольнике гипотенуза вдвое больше катета , поэтому
Тогда Стало быть,
В треугольнике также есть угол в 30 градусов. Тогда

Помогите срочно. доказать,что отношение соответствующих биссектрис в подобных треугольниках равно коэффициэнту подобия

В параллелограмме ABCD точка К лежит на стороне AD. Отрезок СК пересекает диагональ BD в точке N. Найдите длину диагонали BD, если известно, что ВС=10см, АК=4см, BN=7см.

Помог ите решить, там через подобие

Треугольники BCN,DKN подобны по двум углам. BN:DN=BC:DK, то есть 7:DN=10:6
Дальше сами…

Помогите пожалуйста решить задачу. Треугольники АВС И EFG подобны, стороны АВ и EF – сходственные, AB:EF = 1:4. Стороны треугольника АВС равны 5,7,9. Найдите наименьшую сторону треугольника EFG.

Стороны треугольника EFG – 20, 28, 36 (каждая сторона в 4 раза больше соответствующей стороны треугольника ABC).
Думаю, наименьшее из трех чисел выбрать не сложно.

Источник

Планиметрия. Страница 9

1.Преобразование подобия и его свойства

Преобразованием подобия называется преобразование фигуры G в фигуру G’, у которой расстояние между точками изменяется в одно и тоже число раз. Т.е. ОA’ = k OA. Это означает, что для любых двух точек геометрической фигуры выполняется равенство A’B’ = k AB. (Рис.1) Число k называется коэффициентом подобия.

Если взять произвольную точку, например точку О. И отложить отрезок OB’ = k OB, то такое преобразование фигуры G в фигуру G’ называется гомотетией. А число k называется коэффициентом гомотетии. Таким образом, гомотетия есть преобразование подобия.

Свойства преобразования подобия

Преобразование подобия переводит прямые в прямые, полупрямые в полупрямые, отрезки в отрезки и при этом углы между прямыми сохраняются.

6.Пример 1

Докажите, что фигура подобная окружности, есть окружность.

Доказательство:

Зададим на плоскости систему координат с осями Оx и Oy таким образом, чтобы центр первой окружности F совпал с началом координат. Параллельным переносом переместим вторую окружность F’ так, чтобы ее центр также совпал с началом координат. На окружности F возьмем две произвольные точки А и В. И проведем между ними хорду. Также проведем к этим точкам радиусы ОА и ОВ, которые продлим до окружности F’, т.е. ОA’ и OB’. Оси Оx и Оy повернем так, чтобы ось Oy пересекала хорду под прямым углом (Рис.7). Тогда k OA = OA’.

Теперь рассмотрим треугольник ОАС.

Рис.7 Задача. Докажите, что фигура подобная окружности, есть окружность.

Таким образом, мы пришли к выводу, что A’B’ = k AB. А это означает, что расстояние между любыми двумя точками окружности F’ в k раз больше, чем расстояние между подобными точками в окружности F, т.е фигуру F’ можно получить преобразованием подобия или гомотетией относительно точки О. А это значит, что окружности F и F’ подобны.

Пример 2

У треугольников АВС и А₁В₁С₁ ∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁. AB = 6, AC = 9, A₁B₁ = 10, B₁C₁ = 10. Найдите остальные стороны треугольников.

Решение:

Пусть даны два треугольника АВС и А₁В₁С₁ ∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁ (Рис.8). Данные треугольники подобны по двум углам: ∠A = ∠A₁ и ∠В = ∠B₁. Отсюда следует, что все стороны второго треугольника отличаются от сторон первого треугольника в k число раз, т.е. коэффициент подобия. Найдем число k:

k = AB / А₁В₁ = 6 / 10 = 3 / 5

Отсюда следует, что

ВС = k * В₁С₁ = (3 / 5) * 10 = 6 см

А₁С₁ = АС / k = 9 / (3 / 5) = 15 см

Рис.8 Задача. У треугольников АВС и А₁В₁С₁.

Пример 3

В трапеции ABCD основание АD = 32 см, а основание ВС = 8 см. Угол между диагональю АС и стороной СD равен углу ∠АВС, т.е. ∠АВС = ∠АСD. Найдите диагональ АС.

Решение:

В трапеции два основания лежат на параллельных прямых (Рис.9). Отсюда следует, что угол ∠CAD = ∠BCA, как внутренние накрест лежащие углы. Следовательно, треугольники АВС и АСD подобны по двум углам: ∠AВС = ∠АCD по условию задачи, ∠CAD = ∠BCA, как внутренние накрест лежащие углы.

Тогда можно составить следующие соотношение:

Рис.9 Задача. В трапеции ABCD основание АD = 32 см.

Пример 4

В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты AD, BE, CF. Найдите углы треугольника DEF, если в треугольнике АВС ∠А = α, ∠В = β, ∠С = γ.

Решение:

Рассмотрим два прямоугольных треугольника AFC и ABE. Они подобны по одному острому углу, так как угол при вершине А у них общий. Следовательно, угол ∠FCE = ∠ABE. Обозначим его как ϕ₃. Аналогичным образом обозначим:

Рассмотрим два прямоугольных треугольника AFO и DOC. Они подобны по одному острому углу: углы при вершине О равны как вертикальные (Рис.10). Отсюда следует, что треугольники FOD и AOC также подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.

Так как OD / OF = OC / AO

Следовательно, OD / OС = OF / AO

Отсюда следует равенство углов:

Треугольники BFO и EOC подобны. У них углы при вершине О равны как вертикальные, а углы при вершинах F и E прямые. Отсюда следует подобие треугольников FOE и BOC. Следовательно,

Рис.10 Задача. В остроугольном треугольнике АВС.

Так как ϕ₁ + ϕ₂ + ϕ₃ = 90° (из прямоугольного треугольника BFC), то в треугольнике FDE угол при вершине F равен:

Аналогичным образом выводится, что:

Пример 5

В треугольник ABC вписан ромб ADEF, таким образом, что угол А у них общий, а вершина Е находится на стороне ВС. АВ = 12 см, АС = 4 см. Найдите сторону ромба.

Решение:

Так как у ромба противоположные стороны параллельны, то треугольники АВС и DBE подобны по двум углам: ∠А = ∠D, ∠C = ∠E как соответственные (Рис.11).

Тогда можно составить следующие соотношение:

Рис.11 Задача. В треугольник ABC вписан ромб ADEF.

Источник

Что называется коэффициентом подобия

Сходственные (или соответственные) стороны подобных треугольников — стороны, лежащие напротив равных углов.

Признаки подобия треугольников

I признак подобия треугольников

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

II признак подобия треугольников

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

III признак подобия треугольников

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.

Свойства подобных треугольников

Примеры наиболее часто встречающихся подобных треугольников

1. Прямая, параллельная стороне треугольника, отсекает от него треугольник, подобный данному.

3. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобных исходному.

Источник

Подобные треугольники

Подобные треугольники — это треугольники, у которых все три угла равны, а все стороны одного треугольника в одно и то же число раз длиннее (или короче) сторон другого треугольника, то есть треугольники подобны если их углы равны, а сходственные стороны пропорциональны.

Сходственные стороны — это стороны двух треугольников, лежащие против равных углов.

Рассмотрим два треугольника ABC и A₁B₁C₁, у которых ∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁, ∠C = ∠C₁:

Стороны AB и A₁B₁, BC и B₁C₁, CA и C₁A₁, лежащие напротив равных углов, называются сходственными сторонами. Следовательно, отношения сходственных сторон равны:

Главная > Учебные материалы > Математика: Планиметрия. Страница 9
Рис.1 Преобразование подобия и его свойства. 2.Подобие фигур. Подобие треугольников по двум углам Две фигуры называются подобными, если преобразованием подобия они переходят друг в друга. (Рис.2) Если две фигуры подобны третьей, то они подобны друг другу. Из свойств преобразования подобия следует, что у подобных фигур, соответсвующие стороны пропорциональны и соответствующие углы равны. Рис.2 Подобие фигур. Подобие треугольников по двум углам Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. (Рис.3) Докажем это утверждение. Пусть даны два треугольника ABC и A’B’C’. Преобразованием подобия преобразуем треугольник A’B’C’ в треугольник A»B»C» с коэффициентом k, т.е. подвергнем гомотетии. Полученный треугольник A»B»C» равен треугольнику ABC по стороне и прилегающим к ней углам. Т.к. преобразование подобия сохраняет углы, а расстояние между двумя точками изменяется в k раз. Следовательно треугольники A’B’C’ и A»B»C» подобны. А т.к. треугольники ABC и A»B»C» равны, то треугольник ABC подобен треугольнику A’B’C’. Рис.3 Подобие треугольников по двум углам. 3.Подобие треугольников по двум сторонам и углу между ними Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны. Докажем это утверждение. (Доказательство аналогично доказательству подобия по двум углам) Пусть даны два треугольника ABC и A’B’C’. Преобразованием подобия преобразуем треугольник A’B’C’ в треугольник A»B»C» с коэффициентом k, т.е. подвергнем гомотетии. Полученный треугольник A»B»C» равен треугольнику ABC по двум сторонам и углу между ними со сторонами kA’B’=A»B» и kA’C’=A»C». Т.к. преобразование подобия сохраняет углы, а расстояние между двумя точками изменяется в k раз. Следовательно треугольники A’B’C’ и A»B»C» подобны. А т.к. треугольники ABC и A»B»C» равны, то треугольник ABC подобен треугольнику A’B’C’, т.е. kA’B’=AB, kB’C’=BC и kA’C’=AC.	Рис.3 Подобие треугольников. 4.Подобие треугольников по трем сторонам Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны. Доказательство. (Доказательство аналогично доказательству подобия по двум углам) Пусть даны два треугольника ABC и A’B’C’. Преобразованием подобия преобразуем треугольник A’B’C’ в треугольник A»B»C» с коэффициентом k, т.е. подвергнем гомотетии. В результате получим треугольник A»B»C», который равен треугольнику ABC по трем сторонам kA’B’=A»B», kВ’C’=В»C» и kA’C’=A»C». Т.к. преобразование подобия сохраняет углы, а расстояние между двумя точками изменяется в k раз. Следовательно треугольники A’B’C’ и A»B»C» подобны. И т.к. треугольники ABC и A»B»C» равны, то треугольник ABC подобен треугольнику A’B’C’.	Рис.4 Подобие треугольников по трем сторонам. 5.Подобие прямоугольных треугольников Если два прямоугольных треугольника имеют по одному равному острому углу, то такие треугольники подобны. Пусть дан прямоугольный треугольник ABC. Проведем высоту CD. Треугольники ABC и ADC подобны, т.к. угол А у них общий. Так же как и треугольники ADC и BDC. Следовательно: Т.е. катет прямоугольного треугольника равен средней геометрической гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу. А высота в прямоугольном треугольнике равна средней геометрической между проекциями катетов на гипотенузу. Отсюда можно сделать вывод, что в любом треугольнике биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам. (Свойство биссектрисы треугольника).	Рис.5 Подобие прямоугольных треугольников. Т.е. отрезки AD и DC пропорциональны сторонам AB и BC.	Рис.6 Подобие прямоугольных треугольников.

k — это коэффициент подобия ( число, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников). Если k = 1, то треугольники равны, то есть равенство треугольников – это частный случай подобия.

Подобие треугольников обозначается знаком

: ABC

A₁B₁C₁.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Если обозначить площади двух подобных треугольников буквами S и S₁, то:

Первый признак подобия треугольников

Если два угла одного треугольника равны двум углам другого, то треугольники подобны.

то ABC

A₁B₁C₁.

Второй признак подобия треугольников

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами, равны, то треугольники подобны.

Если	AB	=	AC	, ∠A = ∠A1,
	A1B1		A1C1
то ABC A1B1C1.

Третий признак подобия треугольников

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сходственным сторонам другого, то треугольники подобны.

Источник