Что называется коэффициентами разложения
Большая Энциклопедия Нефти и Газа
Коэффициенты разложения вектора по базису ( т.е. числа, фигурирующие в этом разложении), называются координатами вектора в этом базисе. [1]
Коэффициенты разложения векторов с началом в точке О по указанному базису называются декартовыми координатами элементов пространства. Прямые, проходящие через точку О параллельно базисным векторам, называются декартовыми осями координат с началом в точке О. [2]
Итак, коэффициентами разложения вектора R no координатным ортам прямоугольной системы являются его проекции Rx, Rv, Rz на соответствующие координатные оси. [4]
Видим, что коэффициенты разложений векторов RI и R2 оказываются постоянными. [5]
Если базисные векторы даны, то определение коэффициентов разложения вектора приводит к системе линейных уравнений, так как данный вектор надо получить в виде линейной комбинации столбцов, представляющих базисные векторы. [7]
После выделения направляющей строки и направляющего столбца находят новый опорный план и коэффициенты разложения векторов Р, через векторы нового базиса, соответствующего новому опорному плану. Это легко реализовать, если воспользоваться методом Жордана-Гаусса. [10]
Соотношение (2.6.23) означает, что уклонения истинной диаграммы направленности от оптимальной представляют собой коэффициенты разложения вектора А по векторам Fp. Таким образом, квадрат длины вектора А может быть представлен в виде суммы квадратов его разложения векторам Fp или в виде суммы квадратов его собственных компонентов. [11]
Это и позволяет производить ортонормирование базиса ( получать новый базис) с одним условием: будут определяться коэффициенты разложения векторов нового базиса в старом. [13]
Математика
Урок 4: Координаты вектора. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам
Координаты вектора. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам.
Теорема
На плоскости любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.
Напомню, что для задания прямоугольной системы координат нужно провести две взаимно перпендикулярные прямые, на каждой из них выбрать направление (оно обозначается стрелкой) и выбрать единицу измерения отрезков. При выбранной единице измерения отрезков длина каждого отрезка выражается положительным числом.
В дальнейшем под длиной отрезка мы будем понимать это число.
Отложим от начала координат O единичные векторы (т.е. векторы, длины которых равны единице) i ⃗ и j ⃗ так, чтобы направление вектора i ⃗ совпало с напралением оси Ox, а направление вектора j ⃗ – с направлением оси Oy. Векторы i ⃗ и j ⃗ назовем координатными векторами.
Рассмотрим правила, позволяющие по координатам векторов находить координаты их суммы, разности и произведения вектора на число.
Каждая координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов.
Следовательно, что координаты вектора a ⃗ + b ⃗ равны < x 1 + x 2 ; y 1 + y 2 >.
Аналогично доказывается следующее утверждение:
Каждая координата разности двух или более векторов равна разности соответствующих координат этих векторов.
Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число.
Рассмотренные правила позволяют определить координаты любого вектора, представленного в виде алгебраической суммы данных векторов с известными координатами.
Чтобы найти координаты вектора суммы, надо сложить соответствующие координаты данных векторов, получим:
a ⃗ + b ⃗ имеет координаты <3 + 2; 2 5>, то есть
Значит, вектор 2 a ⃗ имеет координаты <2 ⋅ 3; 2>, то есть
Итак, сегодня мы узнали, что любой вектор можно разложить по двум неколлинеарным векторам, ввели понятие координат вектора и рассмотрели правила, позволяющие находить координаты суммы, разности векторов, и произведения вектора на число. А в следующий раз мы найдем связь между координатами вектора и координатами его начала и конца.
Что такое коэффициент разложения
Смотреть что такое «коэффициент разложения» в других словарях:
БИНОМИАЛЬНЫЙ КОЭФФИЦИЕНТ — коэффициент в формуле разложения Ньютона бинома … Естествознание. Энциклопедический словарь
биномиальный коэффициент — коэффициент в формуле разложения Ньютона бинома. * * * БИНОМИАЛЬНЫЙ КОЭФФИЦИЕНТ БИНОМИАЛЬНЫЙ КОЭФФИЦИЕНТ, коэффициент в формуле разложения Ньютона бинома (см. НЬЮТОНА БИНОМ) … Энциклопедический словарь
БИНОМИАЛЬНЫЙ КОЭФФИЦИЕНТ — коэффициент в формуле разложения Ньютона бинома … Большой Энциклопедический словарь
БИНОМИАЛЬНЫЙ КОЭФФИЦИЕНТ — коэфф. в ф ле разложения Ньютона бинома … Большой энциклопедический политехнический словарь
Квантовая механика — волновая механика, теория устанавливающая способ описания и законы движения микрочастиц (элементарных частиц, атомов, молекул, атомных ядер) и их систем (например, кристаллов) а также связь величин, характеризующих частицы и системы, с… … Большая советская энциклопедия
Ортонормированный базис — Ортогональный (ортонормированный) базис ортогональная (ортонормированная) система элементов линейного пространства со скалярным произведением, обладающая свойством полноты. Конечномерный случай Ортогональный базис базис, составленный из попарно … Википедия
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ — функция, к рая может быть представлена степенным рядом. Исключит, важность класса А. ф. определяется следующим. Во первых, этот класс достаточно ш и р о к: он охватывает большинство функций, встречающихся в основных вопросах математики и ее… … Математическая энциклопедия
ЛИНЕЙНЫЙ ОПЕРАТОР — линейное преобразование, отображение между двумя векторными пространствами, согласованное с их линейными структурами. Точнее, отображение где Еи F векторные пространства над полем k, наз. л и н е й н ы м оператором из Ев F, если при всех… … Математическая энциклопедия
Юпитер — У этого термина существуют и другие значения, см. Юпитер (значения). Юпитер … Википедия
Корреляция — (Correlation) Корреляция это статистическая взаимосвязь двух или нескольких случайных величин Понятие корреляции, виды корреляции, коэффициент корреляции, корреляционный анализ, корреляция цен, корреляция валютных пар на Форекс Содержание… … Энциклопедия инвестора
Коэффициент – разложение – вектор
Коэффициенты разложения вектора по базису ( т.е. числа, фигурирующие в этом разложении), называются координатами вектора в этом базисе. [1]
Коэффициенты разложения векторов с началом в точке О по указанному базису называются декартовыми координатами элементов пространства. Прямые, проходящие через точку О параллельно базисным векторам, называются декартовыми осями координат с началом в точке О. [2]
Для нахождения коэффициентов разложения вектора b по векторам – а и oj составлена система из трех линейных уравнений с двумя неизвестными. Установить, что теорема Фредгольма для этой системы равносильна следующему ( геометрически очевидному) утверждению: вектор b раскладывается по – а и – о / 2 тогда и только тогда, когда он ортогонален каждому вектору у, ортогональному этим векторам. [3]
Итак, коэффициентами разложения вектора R no координатным ортам прямоугольной системы являются его проекции Rx, Rv, Rz на соответствующие координатные оси. [4]
Видим, что коэффициенты разложений векторов RI и R2 оказываются постоянными. [5]
Числа х и у, являющиеся коэффициентами разложения вектора а по векторам базиса, называются координатами этого вектора в данном базисе. При этом х называется его абсциссой, ay – ординатой. [6]
Если базисные векторы даны, то определение коэффициентов разложения вектора приводит к системе линейных уравнений, так как данный вектор надо получить в виде линейной комбинации столбцов, представляющих базисные векторы. [7]
Выше было установлено, что, если хотя бы один из коэффициентов разложения вектора PJ по векторам базиса положителен, может бцть получен новый опорный план, соответствующий введению в базис нового вектора PJ. Случай, когда все коэффициенты разложения для всех векторов Р, отрицательны, здесь не рассматривается. Следует, однако, иметь в виду, что как можно показать, этой ситуации соответствует неограниченность линейной формы снизу. Сравнение (10.28) и (10.29) показывает, что если в этом случае разность Zj – Cj0, то новому опорному плану соответствует значение линейной формы меньшее, чем это значение z0 для исходного опорного плана. [9]
После выделения направляющей строки и направляющего столбца находят новый опорный план и коэффициенты разложения векторов Р, через векторы нового базиса, соответствующего новому опорному плану. Это легко реализовать, если воспользоваться методом Жордана-Гаусса. [10]
Соотношение (2.6.23) означает, что уклонения истинной диаграммы направленности от оптимальной представляют собой коэффициенты разложения вектора А по векторам Fp. Таким образом, квадрат длины вектора А может быть представлен в виде суммы квадратов его разложения векторам Fp или в виде суммы квадратов его собственных компонентов. [11]
Это и позволяет производить ортонормирование базиса ( получать новый базис) с одним условием: будут определяться коэффициенты разложения векторов нового базиса в старом. [13]
Общий объем памяти, требуемый для размещения числовой информации при решении задачи линейного программирования с п – – т переменными и т ограничениями типа ( VIII, 195), исключая память, необходимую для размещения программы вычислений, складывается из массивов: 1) для размещения матрицы обобщенных векторов Ys: ( п т) ( т 3) ячеек; 2) для размещения обратной матрицы исходного базида: т2 ячеек; 3) для размещения коэффициентов разложения небазисных векторов : 2т или т2 ячеек, если матрица коэффициентов разложения небазисных векторов запоминается полностью. [15]
В теореме нет слова ЕСТЕСТВЕННЫМ.
Теорема звучит так:
Введем в пространстве систему прямоугольных координат х, у, z с началом в точке О и единичными векторами 
В данной системе координат каждый вектор имеет ЕДИНСТВЕННЫЙ набор координат
– Ненулевые векторы
называются компланарными, если изображающие их направленные отрезки лежат в одной плоскости или параллельны одной и той же плоскости.
(можно и так: Три вектора называются компланарными, если существует плоскость, параллельная всем этим трем векторам.
Три ненулевых вектора называются компланарными, если равные им векторы с общим началом лежат в одной плоскости.
Картинку посмотрите здесь:
http: // webmath. exponenta. ru / s / c / stereometry / content /chapter9 /section /paragraph2 / theory.html
(уберите пробелы)
КОЭФФИЦИЕНТЫ РАЗЛОЖЕНИЯ вектора a по векторам базиса – это координаты (или компоненты) вектора a в базисе
(объяснение есть здесь:
http: // webmath. exponenta. ru / dnu / lc/age / pyartli1 / node4.htm
(уберите пробелы)
В этой ссылке (http://ru.wikipedia.org/wiki/Вектор_(математика ) прочитайте пункт
Координаты вектора в декартовой системе координат (ДСК)
Для начала дадим определение координат вектора в заданной системе координат. Чтобы ввести данное понятие, определим что мы называем прямоугольной или декартовой системой координат.
Прямоугольная система координат представляет из себя прямолинейную систему координат с взаимно перпендикулярными осями на плоскости или в пространстве.
С помощью введения прямоугольной системы координат на плоскости или в трехмерном пространстве становится возможным описывание геометрических фигур вместе с их свойствами при помощи уравнений и неравенств, то есть использовать алгебраические методы при решении геометрических задач.
Тем самым, мы можем привязать к заданной системе координат векторы. Это значительно расширит наши возможности при решении определенных задач
Координатные векторы
Векторы i → и j → называются координатными векторами для заданной системы координат.
Разложение вектора
Коэффициенты a x и a y называются координатами вектора в данной системе координат на плоскости.
Следует обратить внимание, что порядок записи координат, имеет важное значение, если вы запишите координаты вектора в другом порядке, вы получите совершенно другой вектор.
Равные и противоположные векторы
Векторы a → и b → равны тогда, когда их соответствующие координаты равны.
Противоположным вектором называется вектор противоположный данному.
Координаты радиус-вектора точки
Чтобы ввести данное определение, требуется показать в данной системе координат связь координат точки и координат вектора.
Вектор O M → называется радиус-вектором точки M .
Определим, какие координаты в данной системе координат имеет радиус-вектор точки
Иначе говоря, координаты радиус-вектора точки М равны соответствующим координатам точки М в прямоугольной декартовой системе координат.
Магия тензорной алгебры: Часть 3 — Криволинейные координаты
Введение
Читая отзывы к своим статьям, понял, что я излишне перегрузил читателя теоретическими вводными. Прошу за это прощения, признаться честно, я сам далек от формальной математики.
Однако, тензорное исчисление пестрит понятиями, многие из которых требуется вводить формально. Поэтому третья статься цикла тоже будет посвящена сухой теории. Тем не менее, я обещаю, что в следующей работе приступлю к тому, к чему сам давно хотел — к описанию практической ценности тензорного подхода. На примете имеется интересная задача, большая часть которой в моей голове уже разобрана. Тензорное исчисление для меня не праздный интерес, а способ обработать некоторые из своих теоретических и практических соображений в области механики. Так что практика по полной программе ещё предстоит.
А пока что рассмотрим некоторые теоретические основы. Добро пожаловать под кат.
1. Матрица Якоби и локальная метрика. «Жонглирование» индексами
Те системы координат, что мы рассматривали до сих пор были косоугольными. Но их оси были прямыми линиями. Однако, крайне часто приходится работать в пространстве, координатные линии которого — кривые. Такая система координат называется криволинейной.
Простейший жизненный пример криволинейной системы координат — географические координаты 
— широта, долгота и высота над уровнем моря, по которой определяется положение объектов вблизи поверхности Земли. Криволинейные координаты широко применяются в астрономии. В механике примером таких координат могут служить обобщенные координаты механической системы, однозначно определяющие её положение в пространстве с учетом геометрии наложенных на систему связей. На этом и строится аналитическая механика.
Рис. 1. Криволинейные координаты в трехмерном пространстве
Рассмотрим криволинейные координаты, заданные в трехмерном евклидовом пространстве (рисунок 1). Пусть положение точки задается в этих координатах вектором
и декартовы координаты точки связаны с (1) соотношением
или, в компонентной форме
Рассмотрим частную производную . Результат такого дифференцирования — это вектор, направленный по касательной к координатной линии . Дифференцируя (2) по всем криволинейным координатам получим тройку векторов
Эти векторы задают базис так называемого касательного пространства. И в отличие от базиса в косоугольной системе координат, модуль и направление этих векторов будут изменятся при переходе от одной точки к другой. Мы получаем переменный базис, зависящий от положения в пространстве, заданного вектором (1). Такой базис называется локальным
Векторы (4) собирают в матрицу
которая называется матрицей Якоби, и по сути определяется как производная от одного вектора по другому вектору. В нашем случае
Легко догадаться, что если функция (2) линейна относительно компонент вектора , то её можно выразить матричным соотношением
то мы рассматриваем косоугольную систему координат, и матрица Якоби будет равна матрице преобразования от косоугольных координат к декартовым
Теперь, любой вектор, заданный в пространстве (тензор ранга (1, 0)) можно представить через его контравариантные компоненты в криволинейной системе координат
Однако, компоненты вектора, из-за переменного базиса, будут зависеть от положения в пространстве точки приложения вектора. Кроме того, для того чтобы представление (6) существовало, надо чтобы векторы, составляющие базис были не компланарны. Из курса векторной алгебры нам известно, что векторы некомпланарны, если их смешанное произведение отлично от нуля. Отсюда возникает условие, которому должен удовлетворять определитель матрицы Якоби
Данный определитель как раз определяет смешанное произведение векторов базиса.
Теперь вычислим ковариантные компоненты вектора . Для этого, в самой первой статье цикла, мы умножали вектор скалярно на соответствующий вектор базиса
В той же, первой статье, мы определили, что ковариантные компоненты вектора связаны с контравариантными через метрический тензор
Сравнивая два последних выражения мы получаем определение метрического тензора в криволинейных координатах
которое можно представить в матричной форме
Эту связь можно представить и в тензорной форме, но для этого придется ввести явно метрику для декартовых координат
Тогда, преобразование декартовой метрики в криволинейную будет выглядеть так
Выражение (8) вводит метрический тензор для криволинейных координат. Этот тензор зависит от положения точки в пространстве, поэтому говорят что он задан локально или определяет локальную метрику
Определившись с метрикой, мы можем записать правила преобразования контравариантных координат в ковариантные
и ковариантных координат в контравариантные
В тензорном исчислении операции опускания (9) и поднятия (10) индексов называют «жонглированием» индексами.
Выписав соотношения (9) и (10) мы подразумевали, что матрицы и взаимно обратимы. Это возможно лишь в том случае, если
Данное условие выполняется для криволинейных координат, если матрица Якоби не вырождена, и это непосредственно следует из (8), так как
то есть условие (7) выполняемое для всех точек пространства — достаточное условие невырожденности локальной метрики.
Рассмотрение вырожденнных метрик, это отдельный и сложный вопрос, поэтому мы ограничимся метриками, в которых матрица метрического тензора обратима, то есть выполняется условие
2. Взаимный базис
Введем векторы , получаемые из векторов исходного базиса путем поднятия индекса
Теперь возьмем и умножим (11) скалярно на вектор
но, мы знаем, что — метрический тензор, поэтому, приходим к уравнению
Если мы возьмем, например, вектор , то в силу (12) он перпендикулярен векторам и (его скалярное произведение с ними равно нулю), а скалярное произведение этого вектора на — равно единице
Дальше возьмем и умножим (11) скалярно на
и в силу (12) это дает контравариантный метрический тензор
Система векторов тоже образует базис, который называют взаимным или сопряженным с базисом .
Снова рассмотрим вектор . Из соотношений (10) и (11) следует цепочка преобразований
Умножим (13) скалярно на
приходим к заключению, что любой вектор может быть разложен как по базису — тогда его компоненты будут контравариантные, так и по базису — компоненты будут ковариантными
При этом, ковариантные компоненты — это скалярные произведение вектора на векторы базиса , а контравариантные компоненты — скалярные произведения вектора на векторы базиса
что ещё раз иллюстрирует взаимность этих базисов.
Тут надо отметить, что векторы базиса получаются естественным путем — они касательны соответствующим координатным линиям и им можно приписать геометрический смысл. Что касается базиса , то его векторы не направлены по касательной координатным линиям, а перпендикулярны парам векторов касательного базиса. Такой базис иногда принято называть неголономным
3. Преобразование криволинейных координат. Формальное определение ковариантных и контравариантных компонент
Допустим, что мы работаем в криволинейной система координат, определенной вектором . Перейдем к другой системе координат, положение точек которой определяется вектором , таким, что преобразование от старой системы координат к новой определяется уравнениями
Будем считать преобразование (16) обратимым, то есть допустим существование функции
Для этого требуется, чтобы определитель матрицы Якоби
был отличен от нуля
Тогда существует матрица , обратная матрице (18), такая, что
Матрица является матрицей Якоби для преобразования (17). Тогда можно вычислить векторы нового базиса
Получаем связь между старым базисом и новым
Разложим вектор в новом базисе
и используя соотношение (19), напишем
С учетом того, что векторы базиса линейно независимы, приравниваем коэффициенты при них в (21)
Теперь умножим обе части (21) на
То есть, получаем формулу обратного преобразования контравариантных компонент
Контравариантные компоненты вектора преобразуются оператором, обратным оператору преобразования базиса
Действительно, чтобы получить векторы нового базиса, мы использовали матрицу по формуле (19). Чтобы получить контравариантные компоненты заданного в новом базисе вектора мы используем матрицу
А теперь посмотрим, как преобразуется вектор, заданный своими ковариантными компонентами
Ковариантные компоненты вектора преобразуются тем же оператором, которым осуществляется преобразование базиса
Тензор ранга (1,0) преобразуется оператором обратным, используемому при преобразовании базиса, а тензор ранга (0,1) преобразуется тем же самым оператором, что используется при преобразовании базиса.
4. Ковариантная производная. Символы Кристоффеля 2-го рода
Предположим, что мы хотим продифференцировать вектор, заданный произвольными координатам по какой-то из координат. Что мы должны сделать? Давайте попробуем выполнить эту операцию
На каком основании мы выписали производную от базисного вектора? А на том основании, что базис в криволинейных координатах зависит от них, а значит его производная от координаты отлична от нуля. Ну и ладно, эта производная тоже будет вектором, а значит её можно разложить по локальному базису, например вот так
Найдем коэффициенты разложения в (25). Для этого, возьмем ковариантный метрический тензор и продифференцируем его по указанной координате
Здесь очевидно присутствие компонент метрического тензора, поэтому выполняем замену
Прежде чем начать работать с (27), скажем, что искомые коэффициенты разложения симметричны относительно нижних индексов, так как проведя прямое дифференцирования базисного вектора приходим к выражению
откуда, в силу непрерывности рассматриваемых функций, заключаем, что
Теперь, в (27) переставим индексы i и k
А теперь, переставим в (27) индексы j и k
Теперь сложим (29) и (30) учтя при этом симметричность (28)
Вычитаем (27) из (31), снова учитывая (28)
Умножаем (32) на , и получаем окончательно
Выражение (33) определяет так называемый символ Кристоффеля 2-го рода. Тогда
Выражение, стоящее в скобках в (34) называется ковариантной производной контравариантных компонент вектора
Исходя из (35) мы должны понимать, что пытаясь дифференцировать по криволинейной координате, мы обязаны учитывать зависимость базиса от координат. Если метрика не зависит от положения точки приложения вектора в пространстве, то (35) превращается в частную частную производную, ибо все символы Кристоффеля равны будут нулю, из-за того что метрический тензор не зависит от координат. В любой косоугольной системе координат, и в их частном случае — декартовых координатах, символы Кристоффеля, согласно (33) равны нулю. А значит, согласно (35) ковариантрая производная от вектора по координате будет совпадать с его частной производной по этой координате, к чему мы приучены вобщем-то давно. Но если бы (33) был тензором, то он, будучи равен нулю, остался бы нулевым в любой другой системе координат. Но в криволинейных координатах (33) нулю не равны. А значит символы Кристоффеля не являются тензором. При преобразовании системы координат меняются компоненты, но не сущность тензора. Нулевой тензор должен быть таковым в любой системе координат.
Заключение
Первичные теоретические основы разобраны. Со следующей статьи мы уйдем в практику использования тензорного исчисления для решения конкретных задач. Спасибо Вам за оказанное мне внимание и доверие.