Что называется касательной к точке графика

Уравнение касательной к графику функции

п.1. Уравнение касательной

п.2. Алгоритм построения касательной

На входе: уравнение кривой \(y=f(x)\), абсцисса точки касания \(x_0\).
Шаг 1. Найти значение функции в точке касания \(f(x_0)\)
Шаг 2. Найти общее уравнение производной \(f’ (x)\)
Шаг 3. Найти значение производной в точке касания \(f'(x_0 )\)
Шаг 4. Записать уравнение касательной \(y=f’ (x_0)(x-x_0)+f(x_0)\), привести его к виду \(y=kx+b\)
На выходе: уравнение касательной в виде \(y=kx+b\)

Пусть \(f(x)=x^2+3\). Найдем касательную к этой параболе в точке \(x_0=1\).

п.3. Вертикальная касательная

Не путайте вертикальные касательные с вертикальными асимптотами.
Вертикальная асимптота проходит через точку разрыва 2-го рода \(x_0\notin D\), в которой функция не определена и производная не существует. График функции приближается к асимптоте на бесконечности, но у них никогда не бывает общих точек.
А вертикальная касательная проходит через точку \(x_0\in D\), входящую в область определения. График функции и касательная имеют одну общую точку \((x_0,y_0)\).

Вертикальные касательные характерны для радикалов вида \(y=\sqrt[n]\).

Пусть \(f(x)=\sqrt[5]+1\). Найдем касательную к этой кривой в точке \(x_0=1\).

\(f(x_0)=\sqrt[5]<1-1>+1=1\)
\(f'(x)=\frac15(x-1)^<\frac15-1>+0=\frac15(x-1)^<-\frac45>=\frac<1><5(x-1)^<\frac45>> \)
\(f'(x_0)=\frac<1><5(1-1)^<\frac45>>=\frac10=+\infty\)
В точке \(x_0\) проходит вертикальная касательная.
Её уравнение: \(x=1\)
Ответ: \(y=2x+2\)

п.4. Примеры

Пример 1. Для функции \(f(x)=2x^2+4x\)
a) напишите уравнения касательных, проведенных к графику функции в точках его пересечения с осью OX.

б) Найдите, в какой точке касательная образует с положительным направлением оси OX угол 45°. Напишите уравнение этой касательной.

в) найдите, в какой точке касательная будет параллельна прямой \(2x+y-6=0\). Напишите уравнение этой касательной.

Найдем угловой коэффициент заданной прямой: \(y=-2x+6\Rightarrow k=-2\). Касательная должна быть параллельной, значит, её угловой коэффициент тоже \(k=-2\). Получаем уравнение: \begin f'(x_0)=-2\\ 4x_0+4=-2\Rightarrow 4x_0=-6\Rightarrow x_0=-\frac32 \end Точка касания \(x_0=-\frac32\) \begin f(x_0)=2\cdot\left(-\frac32\right)^2+4\cdot\left(-\frac32\right)=\\ =\frac92-6=-\frac32 \end Уравнение касательной: \begin y=-2\cdot\left(x+\frac32\right)-\frac32=-2x-\frac92 \end Или, в каноническом виде: \begin 2x+y+\frac92=0 \end

г) в какой точке функции можно провести горизонтальную касательную? Напишите уравнение этой касательной.

У горизонтальной прямой \(k=0\). Получаем уравнение: \(f'(x_0)=0\). \begin 4x_0+4=0\Rightarrow 4x_0=-4\Rightarrow x_0=-1 \end Точка касания \(x_0=-1\) \begin f(x_0)=2\cdot(-1)^2+4\cdot(-1)=-2 \end Уравнение касательной: \begin y=0\cdot(x+1)-2=-2 \end

Ответ: а) \(y=4x\) и \(y=-4x-8\); б) \(y=x-\frac98\); в) \(2x+y+\frac92=0\); г) \(y=-2\)

Пример 3*. Найдите точку, в которой касательная к графику функции \(f(x)=\frac-x\) перпендикулярна прямой \(y=11x+3\). Напишите уравнение этой касательной.

Угловой коэффициент данной прямой \(k_1=11\).
Угловой коэффициент перпендикулярной прямой \(k_2=-\frac<1>=-\frac<1><11>\) \begin f'(x)=\left(\frac\right)’-x’=\frac<2x(x+3)-(x^2+2)\cdot 1><(x+3)^2>-1=\frac<2x^2+6x-x^2-2-(x+3)^2><(x+3)^2>=\\ =\frac<(x+3)^2>=- \frac<11> <(x+3)^2>\end В точке касания: \begin f'(x_0)=k_2\Rightarrow=-\frac<11><(x+3)^2>=-\frac<1><11>\Rightarrow (x+3)^2=121\Rightarrow (x+3)^2-11^2=0\Rightarrow\\ \Rightarrow (x+14)(x+8)=0\Rightarrow \left[ \begin x=-14\\ x=8 \end \right. \end
Уравнение касательной при \(x_0=-14\) \begin f(x_0)=\frac<(-14)^2+2><-14+3>+14=\frac<198><-11>+14=-18+14=-4\\ y=-\frac<1><11>(x+14)-4=-\frac <11>\end Уравнение касательной при \(x_0=8\) \begin f(x_0)=\frac<8^2+2><8+3>-8=\frac<66><11>-8=-2\\ y=-\frac<1><11>(x-8)-2=-\frac <11>\end
Ответ: точка касания (-14;-4), уравнение \(y=-\frac<11>\)
и точка касания (8;-2), уравнение \(-\frac<11>\)

Пример 4*. Найдите уравнения общих касательных к параболам \(y=x^2-5x+6\) и \(y=x^2+x+1\). Укажите точки касания.

Пример 5*. Докажите, что кривая \(y=x^4+3x^2+2x\) не пересекается с прямой \(y=2x-1\), и найдите расстояние между их ближайшими точками.

Чтобы найти расстояние, необходимо построить касательную к кривой с тем же угловым коэффициентом \(k=2\), то и y данной прямой. Тогда искомым расстоянием будет расстояние от точки касания до прямой \(y=2x-1\).
Строим уравнение касательной. По условию: \(f'(x)=4x^3+6x+2=2\) \begin 4x^3+6x=0\Rightarrow 2x(2x^2+3)=0\Rightarrow \left[ \begin x=0\\ 2x^2+3=0 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=0\\ x^2=-\frac32 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=0\\ x\in\varnothing \end \right. \Rightarrow x=0 \end Точка касания \(x_0=0,\ y_0=0^4+3\cdot 0^2+2\cdot 0=0\).
Уравнение касательной: \(y=2(x-0)+0=2x\)

Ищем расстояние между двумя параллельными прямыми: \(y=2x\) и \(y=2x-1\). Перпендикуляр из точки (0;0) на прямую \(y=2x-1\) имеет угловой коэффициент \(k=-\frac12\), его уравнение: \(y=-\frac12 x+b\). Т.к. точка (0;0) принадлежит этому перпендикуляру, он проходит через начало координат и \(b=0\).

Уравнение перпендикуляра: \(y=-\frac x2\).
Находим точку пересечения прямой \(y=2x-1\) и перпендикуляра \(y=-\frac x2\): \begin 2x-1=-\frac x2\Rightarrow 2,5x=1\Rightarrow x=0,4;\ y=-\frac<0,4><2>=-0,2 \end Точка пересечения A(0,4;-0,2).
Находим расстояние \(OA=\sqrt<0,4^2+(-0,2)^2>=0,2\sqrt<2^2+1^2>=\frac<\sqrt<5>><5>\)
Ответ: \(\frac<\sqrt<5>><5>\)

Источник

Справочник репетитора по математике. Касательные, экстремумы и исследования функций

Cправочник репетитора по математике предназначен для учащихся 5-11 классов и для преподавателей математики. Последние найдут в нем несколько оригинальных подходов к подаче и оформлению теоретических конспектов, упрощающих работу школьников с математическими понятиями и законами.

Касательная к графику функции.

Школьное определение касaтельной: прямая y=f (x) называется касательной к графику функции f (x) в точке если она проходит через точку и имеет угловой коэффициент .

Строгое определение касательной (из курса математического анализа) : прямая называется касательной к графику функции в точке , если при разность есть бесконечно малая величина, более высокого порядка малости чем

Иллюстрация касательной m к графику функции в точке :

Геометрический смысл производной: Значение производной функции в точке равнo угловому коэффициенту касательной, проведенной к в точке , то есть , где k — угловой коэффициент касательной.

Комментарий репетитора по математике: угол наклона касательной определяется как направленный положительный угол, то есть тот самый угол, который вы привыкли откладывать на тригонометрическом круге от положительного направления оси OX против часовой стрелки. Поэтому, если если касательная отклонена влево от вертикального положения, ваш угол наклона окажется тупым, то есть принадлежащим промежутку . Так как тангенс любого такого угла (угла второй четверти) отрицательный, то отрицательной окажется и производная.

Общая форма уравнения касательной:
Окончательная форма уравнения касательной :

Полезные факты для решения задач на касательную:

1) две наклонный прямые параллельны, тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты равны.

Как найти угол наклона касательной по ее угловому коэффициенту:

Если , то
Если , то

Достаточный признак возрастания функции: если все значения производной некоторой функции положительны внутри промежутка, то функция внутри него строго возрастает.

Замечание репетитора по математике: если концы промежутка являются точками непрерывности функции (один или оба), то их можно присоденить к указанному промежутку возрастания.

Достаточный признак убывания функции: если все значения производной некоторой функции отрицательны внутри промежутка, то функция внутри него строго убывает.

Замечание репетитора по математике: если функция непрерывна на концах промежутка (на одном или на обоих), то эти концы можно присоединить к указанному промежутку убывания.

Блиц вопросы к репетитору:

Что такое критическая точка? Внутренняя точка области определения функции называется критической, если производная в этой точке либо не сущуствует, либо она равна нулю.

Что такое стационарная точка: Если у критической точки производная равна нулю — она называется стационарной точной.

Экстремумы

Минимум функции.
Определение: Точка называется точкой минимума функции , если в некотором промежутке I оси ОХ, содержащем для всех точек выполняется неравенство . В этом случае число называется минимумом функции в точке (или локальным минимумом).

Фрагмент графика функции, имеющей точку минимума:

Комментарий репетитора по математики к рисунку: знаки — и + на оси OХ показывают на отрицательные/положитлеьные значения производной в левой/правой окрестности точки . Стрелки указывают на возрастание и убывание функции в этих крестностях. Я советую репетиторам математики включать в теоретические памятки для учеником именно такую (интегрированную) иллюстрацию минимума.

Максимум функции.
Определение:Точка называется точкой максимума функции , если в некотором промежутке I оси ОХ, содержащем для всех точек выполняется неравенство . В этом случае число называется максимумом функции в точке (или локальным максимумом).

Фрагмент графика функции, имеющей точку максимума:

Комментарий репетитора по математике: все обозначения и опорные знаки для подачи материала преподавателем аналогичны случаю с минимумом.

Необходимое условие существования экстремума: если — точка экстремума и в этой точке существует производная, то она равна нулю, то есть . В этом случае касательная, проведенная к графику функции будет параллельна оси ОХ.

Признак минимума функции: если функция y=f (x) непрерывна в точке и производная меняет знак с минуса на плюс, то — точка минимума.

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции y=f (x) на отрезке [a;b], на которм она непрерывна

1) Найдите производную от данной функции
2) Найдите стационарные точки, решив уравнение
2*) В редких случаях функция может иметь точки, в которых производной не существует. Их тоже нужно выявить.
3) Выберите из всех найденных точек те, которые попадают в исследуемый отрезок
4) Найдите значения данной функции в выбранных точках
5) Выберите среди них наименьшее и наибольшее

План исследования функции с применением производной. Построение графика.
1) Найдите производную
2) Разложите ее на множители (если это возможно) или приведите все ее дроби к общему знаменателю, а затем разложите числитель. Тем самым вы ее готовите к дальнейшему исследованию методом интервалов
2) Определите у функции критические и стационарные точки, приравнивая числитель и знаменатель ее производной к нулю
2*) Точки, в которых производной не существует (обычно это нули знаменателя) отесите в группу тех, в которых функция будет иметь вертикальные асимптоты
3) Отметьте все найденные точки на оси Х и раставьте методом интервалов на образовавшихся промежутках знаки производной
4) Определите промежутки монотонности (промежутки возрастания и убывания) и над каждым из них поставьте соответствующую стрелку в соответствии с видом этой монотонности
5) Определите через признак минимума и максимума (или по характеру расположения стрелок) соответствующие точки экстремумов и найдите значения функции в этих точках
6) Нанесите их на координатной плоскости и также по характеру стрелок проведите через эти точки график.

Замечание репетитора по математике: аккуратнее выполняйте рисунок вблизи асимптот. График функции не должен их пересекать и обрываться рядом с ними. Плавно приближайте его к асимтоте пока на это хватает выделенного пространства системы координат.

Удачи в изучении математики!
Колпаков Александр Николаевич, репетитор по математике, Москва, Строгино.

Виртуальный математический справочник профессионального репетитора — преподавателя.

Источник

Касательная к графику функции в точке. Уравнение касательной. Геометрический смысл производной

Статья дает подробное разъяснение определений, геометрического смысла производной с графическими обозначениями. Будет рассмотрено уравнение касательной прямой с приведением примеров, найдено уравнения касательной к кривым 2 порядка.

Определения и понятия

На рисунке направление о х обозначается при помощи зеленой стрелки и в виде зеленой дуги, а угол наклона при помощи красной дуги. Синяя линия относится к прямой.

Когда угловой коэффициент прямой равняется тангенсу угла наклона, то видно, что тангенс из прямоугольного треугольника А В С можно найти по отношению противолежащего катета к прилежащему.

Получаем формулу для нахождения секущей вида:

По определению видно, что прямая и ее секущая в данном случае совпадают.

Секущая может множественно раз пересекать график заданной функции. Если имеется уравнение вида у = 0 для секущей, тогда количество точек пересечения с синусоидой бесконечно.

Теперь перейдем к рассмотрению геометрического смысла производной функции в точке.

Геометрический смысл производной функции в точке

Геометрический смысл производной функции в точке в том, что дается понятие существования касательной к графику в этой же точке.

Уравнение касательной прямой

Чтобы записать уравнение любой прямой на плоскости, необходимо иметь угловой коэффициент с точкой, через которую она проходит. Его обозначение принимается как x 0 при пересечении.

Решение

Значение f ’ ( x ) в точке касания является угловым коэффициентом касательной, который равняется тангенсу наклона.

Тогда k x = t g α x = y ‘ ( x 0 ) = 3 3

Отсюда следует, что α x = a r c t g 3 3 = π 6

Ответ: уравнение касательной приобретает вид

Для наглядности приведем пример в графической иллюстрации.

Черный цвет используется для графика исходной функции, синий цвет – изображение касательной, красная точка – точка касания. Рисунок, располагаемый справа, показывает в увеличенном виде.

Решение

По условию имеем, что областью определения заданной функции считается множество всех действительных чисел.

Перейдем к нахождению производной

Для наглядности изобразим графически.

Решение

Необходимо продифференцировать функцию. Имеем, что

Вычисляем соответствующие значения функции

Рассмотрим графическое изображение решения.

Черная линия – график функции, красные точки – точки касания.

Первое уравнение не имеет корней, так как дискриминант меньше нуля. Запишем, что

Другое уравнение имеет два действительных корня, тогда

Перейдем к нахождению значений функции. Получаем, что

Возможно существование бесконечного количества касательных для заданных функций.

Решение

Это тригонометрическое уравнение будет использовано для вычисления ординат точек касания.

Найдены х точек касания. Теперь необходимо перейти к поиску значений у :

Ответ: необходимы уравнения запишутся как

Для наглядного изображения рассмотрим функцию и касательную на координатной прямой.

Касательная к окружности, эллипсу, гиперболе, параболе

Канонические уравнения кривых 2 порядка не являются однозначными функциями. Уравнения касательных для них составляются по известным схемам.

Касательная к окружности

Данное равенство может быть записано как объединение двух функций:

Первая функция располагается вверху, а вторая внизу, как показано на рисунке.

Касательная к эллипсу

Эллипс и окружность могут быть обозначаться при помощи объединения двух функций, а именно: верхнего и нижнего полуэллипса. Тогда получаем, что

Решение

Применим стандартный алгоритм для того, чтобы составить уравнение касательной к графику функции в точке. Запишем, что уравнение для первой касательной в точке 2 ; 5 3 2 + 5 будет иметь вид

Графически касательные обозначаются так:

Касательная к гиперболе

Гипербола может быть представлена в виде двух объединенных функций вида

Отсюда следует, что для того, чтобы найти уравнение касательной к гиперболе, необходимо выяснить, какой функции принадлежит точка касания. Чтобы определить это, необходимо произвести подстановку в уравнения и проверить их на тождественность.

Решение

Необходимо преобразовать запись решения нахождения гиперболы при помощи 2 функций. Получим, что

Ответ: уравнение касательной можно представить как

Наглядно изображается так:

Касательная к параболе

Графически изобразим как:

Решение

Начинаем решение с представления параболы в качестве двух функций. Получим, что

Значение углового коэффициента равняется значению производной в точке x 0 этой функции и равняется тангенсу угла наклона.

Отсюда определим значение х для точек касания.

Первая функция запишется как

Очевидно, что действительных корней нет, так как получили отрицательное значение. Делаем вывод, что касательной с углом 150 ° для такой функции не существует.

Вторая функция запишется как

Ответ: уравнение касательной принимает вид

Источник