Что называется каркасом поверхности

Определитель поверхности, каркас поверхности

Поверхность можно представить как общую часть двух смежных областей пространства. В начертательной геометрии поверхность определяется как совокупность последовательных положений линии, перемещающейся в пространстве по определенному закону. Такой способ образования поверхности называется кинематическим. Линия, перемещающаяся в пространстве, называется образующей. Образующая может быть прямой линией или кривой. Она может иметь постоянную форму или менять ее в процессе перемещения. Закон перемещения в пространстве образующей удобно задавать в виде совокупности неподвижных линий. Их называют направляющими. Процесс образования поверхности показан на рис.8.1.

Образующей является кривая 1. Закон перемещения задан двумя направляющими d₁, d₂ и плоскостью g. Обра-зующая 1 скользит по направ-ляющим d₁ и d₂, оставаясь параллельной плоскости g, Точка А, принадлежащая поверхности принадлежит 1₂.

Поверхность определена, если можно однозначно решить, принадлежит точка пространства данной поверхности или нет. Совокупность условий, задающих поверх-ность в пространстве и на чертеже, называется опре-делителем поверхности.

Одна и та же поверхность может быть образована разными способами, поэтому может иметь различные определители. Например, поверхность прямого кругового цилиндра можно представить:

а) как результат вращения прямой 1 при ее вращении вокруг оси i С (1, i); [вращение 1 вокруг i];

б) как результат вращения кривой k, точки которой равноудалены от оси i, вокруг оси i. С (k., i); [ вращение k вокруг i];

Упорядоченное множество точек или линий, принадлежащих поверхности называется ее каркасом (рис.8.3). Каркас поверхности может быть точечным или линейным. Линейным каркасом называется множество линий имеющих единый закон образования и связанных между собой определенной зависимостью. Эта зависимость называется параметром каркаса. Если параметр каркаса непрерывная функция, каркас называется непрерывным, т.е. через любую точку поверхности проходит одна линия.

Каркасом задают сложные поверхности технических объектов, таких как обшивки самолетов, автомобилей, судов, лопатки турбин, насосов. Каркасные поверхности задают на чертеже проекциями элементов каркаса (рис.8.4.).

Каркас таких поверхностей называется дискретным. В этом случае положение точки, не принадлежащей линии каркаса можно определить только приближенно.

Источник

Определитель поверхности, каркас поверхности

Поверхность можно представить как общую часть двух смежных областей пространства. В начертательной геометрии поверхность определяется как совокупность последовательных положений линии, перемещающейся в пространстве по определенному закону. Такой способ образования поверхности называется кинематическим. Линия, перемещающаяся в пространстве, называется образующей. Образующая может быть прямой линией или кривой. Она может иметь постоянную форму или менять ее в процессе перемещения. Закон перемещения в пространстве образующей удобно задавать в виде совокупности неподвижных линий. Их называют направляющими. Процесс образования поверхности показан на рис.8.1.

Образующей является кривая 1. Закон перемещения задан двумя направляющими d₁, d₂ и плоскостью g. Обра-зующая 1 скользит по направ-ляющим d₁ и d₂, оставаясь параллельной плоскости g, Точка А, принадлежащая поверхности принадлежит 1₂.

Поверхность определена, если можно однозначно решить, принадлежит точка пространства данной поверхности или нет. Совокупность условий, задающих поверх-ность в пространстве и на чертеже, называется опре-делителем поверхности.

Одна и та же поверхность может быть образована разными способами, поэтому может иметь различные определители. Например, поверхность прямого кругового цилиндра можно представить:

а) как результат вращения прямой 1 при ее вращении вокруг оси i С (1, i); [вращение 1 вокруг i];

б) как результат вращения кривой k, точки которой равноудалены от оси i, вокруг оси i. С (k., i); [ вращение k вокруг i];

Упорядоченное множество точек или линий, принадлежащих поверхности называется ее каркасом (рис.8.3). Каркас поверхности может быть точечным или линейным. Линейным каркасом называется множество линий имеющих единый закон образования и связанных между собой определенной зависимостью. Эта зависимость называется параметром каркаса. Если параметр каркаса непрерывная функция, каркас называется непрерывным, т.е. через любую точку поверхности проходит одна линия.

Каркасом задают сложные поверхности технических объектов, таких как обшивки самолетов, автомобилей, судов, лопатки турбин, насосов. Каркасные поверхности задают на чертеже проекциями элементов каркаса (рис.8.4.).

Каркас таких поверхностей называется дискретным. В этом случае положение точки, не принадлежащей линии каркаса можно определить только приближенно.

Задание поверхности проекциями определителя не всегда обеспечивает нагляд-ность, что затрудняет чтение чертежа. Для придания чертежу поверхности нагляд-ности его дополняют очер-ковыми линиями очерком поверхности (при ортого-нальном проецировании) называют след на плос-кости проекции проецирующей цилиндрической поверхность, которая огибает данную поверхность. Рис.8.5.

Классификация поверхностей

Многообразие поверхностей требует их систематизации. В основе систематизации лежат два признака: вид образующей и закон ее перемещения. По виду образующей поверхности делят на линейчатые (образующая прямая) линии и нелинейчатые ^образующая кривая). По закону перемещения поверхности параллельного переноса, вращения и винтовые.

Линейчатые поверхности

Коническая поверхность образуется перемещением прямой 1 (образующей) по кривой направляющей m и, проходящей через фиксированную точку S (вершину). a (1,m,S); (liÇm, SÎli),(Рис.8.6.) Точка М, принадлежащая поверхности конуса, принадлежит образующей 1.

Цилиндрическая поверхность b (рис.8.9.) образуется перемеще-нием прямой образую-щей 1 по кривой направляющей m. При этом образующие параллель-ны заданному направле-нию s Цилиндрическую поверхность можно рассматривать как частный случай кони-ческой поверхности с бесконечно удаленной вершиной s.

b (1, m, s); (li Ç m, li // s ).

Точка М, принадлежащая цилиндру, принадлежит образующей 1.

При этом горизонтальные проекции точек 1 и 2 являются точками касания к проекции hi направляющей h очерковых образующих, а проекции 3 и 4 являются точками касания к h₁ линий связи. Этими очерковыми образующими определяются на плоскостях проекций области, внутри которых могут находиться проекции точек данных поверхностей, а также производится разграничение проекций поверхностей на видимую и невидимую части на каждой из плоскостей проекций.

Поверхности вращения

Поверхности вращения создаются при вращении прямолинейной или криволинейной образующей m вокруг неподвижной оси 1. (Рис.8.13.а.)

Благодаря простоте формирования этих поверхностей они получили широкое применение в технике. Геометрическая часть определителя поверхности вращения состоит всего из двух линий: образующей m и оси i.

Алгоритмическая часть определителя включает так же две операции:

2) каждую точку вращают вокруг оси i.

На чертеже ось поверхности вращения располагают перпендикулярноодной из плоскостей проекций. Так на рис.8.13. ось i ^ H.

1. Сфера. Образуется вращением окружности вокруг оси, проходящей через центр сферы. При сжатии или растяжении сферы она преобразуется в эллипсоиды, которые могут быть образованы и при вращении эллипса вокруг одной из его осей. Если осью вращения является большая ось эллипса, эллипсоид называется вытянутым, а если меньшая то сжатым (Рис.8.14.)

2. Тор. Поверхность тора формируется при вращении окружности вокруг оси, не проходящей через центр, Рис.8.21.

Различают;

а) открытый тор (рис.8.16,а), б) замкнутый (рис.8.16.б.),

Отсеки тора, обра-зованные вращением дуги окружности называются глобоидами. Рис.8.17.

При вращении вокруг оси прямой линии образуется цилиндрическая поверхность вращения (образующая параллельна оси вращения) и коническая поверхность вращения (образующая пересекает ось вращения) (рис. 8.18., 8.19.)

Источник

Научная электронная библиотека

7.1. Понятия и определения

В начертательной геометрии фигуры задаются графически, поэтому целесообразно рассматривать поверхность как совокупность всех последовательных положений некоторой перемещающейся в пространстве линии. Образование поверхности с помощью линии позволяет дать иное определение поверхности, базирующейся на таких основных элементарных геометрических понятиях, как точка и множество. В свою очередь, линия определяется как непрерывное однопараметрическое множество точек, поэтому можно дать следующее определение поверхности:

Поверхностью называется непрерывное двупараметрическое множество точек.

Закон перемещения образующей линии, как правило, задается при помощи направляющих линий и алгоритма перемещения образующей по направляющим.

На чертеже кинематическая кривая поверхность задается при помощи ее определителя. Определителем поверхности называют совокупность условий, необходимых и достаточных для задания поверхности в пространстве.

Примером такого способа образования могут служить все технологические процессы обработки металлов режущей кромкой, когда поверхность изделия несет на себе «отпечаток» профиля резца.

Режущие кромки являются неотъемлемой частью исполнительных механизмов многих строительных и дорожных машин, применяемых не только для разработки и перемещения грунта (бульдозеры, грейдеры и т. п.), но и рытье траншей, котлованов, проходка траншей, профилирование откосов и многое другое.

Рассмотрим некоторые кривые поверхности.

Кривые поверхности широко применяются в различных областях науки и техники при создании очертаний различных технических форм или как объекты инженерных исследований. Существуют три способа задания кривых поверхностей:

Рис. 7.1. Пример поверхности, заданной аналитически

Составлением уравнений поверхностей занимается аналитическая геометрия; она рассматривает кривую поверхность как множество точек, координаты которых удовлетворяют некоторому уравнению. На рис. 7.1 приведен пример поверхности, за­данной аналитически (системой алгебраических уравнений).

При каркасном способе задания кривая поверхность задается совокупностью некоторого количества линий, принадлежащих поверхности.

Каркас поверхности

Другим способом образования поверхности и ее изображения на чертеже может служить каркас поверхности.

Каркасом поверхности принято называть упорядоченное множество точек или линий, принадлежащих поверхности.

На рис. 7.2 приведен пример каркаса поверхности, состоящей из двух ортогонально расположенных семейств линий а₁, а₂, а₃. а_n, b₁, b₂, b₃. b_n.

Рис. 7.2. Пример линейного каркаса поверхности

Определитель поверхности

Кинематический способ образования поверхности можно представить как множество положений движущейся линии или поверхности.

Этот способ дает возможность сформулировать понятие определителя поверхности. Под этим понятием обычно подразумевают необходимую и достаточную совокупность геометрических фигур и кинематических связей между ними, которые однозначно определяют поверхность.

Определитель поверхности состоит из двух частей:

Чтобы найти определитель поверхности, следует исходить из кинематического способа образования поверхности.

Для того чтобы построить чертеж поверхности, необходимо предварительно выявить ее определитель. Определитель поверхности выявляется путем анализа способов образования поверхности или ее основных свойств. В общем случае поверхность может быть образована несколькими способами и поэтому может иметь несколько определителей. Обычно из всех способов образования поверхности выбирают простейший.

Поверхность считается заданной на комплексном чертеже, если относительно любой точки пространства, заданной на чертеже, можно однозначно решить вопрос о принадлежности ее данной поверхности. Построение проекций любых точек и линий, принадлежащих поверхности, а также второй их проекции, если одна задана, выполняется на основании ее определителя.

Точка принадлежит поверхности, если она принадлежит линии, принадлежащей поверхности.

Рассмотрим примеры выявления определителя для некоторых простейших поверхностей:

Через три точки А, В, С, не принадлежащие одной прямой, можно провести одну и только одну плоскость ( на рис. 7.3, а). Точки А, В и С составляют геометрическую часть определителя плоскости.

Вторая часть определителя, т. е. алгоритм построения в плоскости (А, В, С) любых линий и точек, выражается рассмотренными ранее условиями принадлежности прямой и точки плоскости.

На чертеже (рис. 7.3, б) плоскость задана проекциями геометрической части своего определителя: А(А₁А₂), В(В₁В₂), С(С₁С₂).

Цилиндрическая поверхность вращения может быть образована вращением прямой 1 || i вокруг оси i (рис. 7.4, а).

Геометрическая часть определителя поверхности состоит из образующей 1 и оси i. Алгоритмическая часть определителя состоит из операции вращения образующей линии 1 вокруг оси i.

Определитель цилиндрической поверхности вращения имеет вид Ф(l i, i) [А]. На чертеже (рис. 7.4, б) цилиндр вращения задан проекциями геометрической части своего определителя.

Коническая поверхность вращения может быть образована вращением прямой l, пересекающей ось вращения i под некоторым углом (рис. 7.5, а). Алгоритмическая часть определителя состоит из словесного указания о том, что поверхность образуется вращением образующей l вокруг оси i.

Определитель конической поверхности вращения имеет вид Ф( l ∩ i)[A].

На чертеже (рис. 7.5, б) конус вращения задан проекциями геометрической части его определителя:

В указанных примерах определитель поверхности выявляется путем анализа способов ее образования. Рассмотрим пример выявления определителя поверхности путем анализа ее основных свойств. Возьмем, например, сферу. Сферой называется поверхность, образованная множеством точек пространства, находящихся на расстоянии | r | от данной точки O (рис. 7.6, а). Геометрическая часть определителя сферы состоит из точки O (центра сферы) и точки М, принадлежащей ее поверхности. Алгоритм построения любой точки сферы заключается в проведении через точку О произвольной прямой и откладывания на ней от точки О отрезка | OM’ = | ОМ | = | r |. Определитель сферы имеет вид Ф(О, М) [А]. На рис. 7.6, б (справа) сфера задана проекциями точек О(O₁O₂) и М(М₁М₂), которые составляют геометрическую часть ее определителя, и показано построение произвольной точки М n (М n ₁ М n ₂) сферы. При чтении чертежа немаловажную роль играет его наглядность. Задание поверхности проекциями геометрической части ее определителя не обеспечивает наглядности изображений. Поэтому для придания чертежу поверхности большей наглядности и выразительности прибегают к построению очерков ее проекций или проекций достаточно плотного каркаса ее образующих.

Рис. 7.5. Изображение определителя конической поверхности:

На чертежах (рис. 7.8, а, в) конус вращения и сфера заданы проекциями геометрической части своего определителя, а на чертежах (рис. 7.8, б, г) для тех же поверхностей построены очерки их проекций. Последние, безусловно, обладают большей наглядностью и выразительностью.

Закономерные поверхности, в зависимости от вида уравнения, разделяются на алгебраические и трансцендентные.

Рис. 7.7. Образование проекций сферы

Определитель может быть положен в основу классификации поверхностей. К одному и тому же классу относятся поверхности, имеющие одинаковую структуру определителя.

Наибольшее применение в технике получили кинематические кривые поверхности с образующими постоянной формы:

1. Линейчатые поверхности:

Источник

Научная электронная библиотека

Пиралова О. Ф., Ведякин Ф. Ф.,

7.1. Понятия и определения

В начертательной геометрии фигуры задаются графически, поэтому целесообразно рассматривать поверхность как совокупность всех последовательных положений некоторой перемещающейся в пространстве линии. Образование поверхности с помощью линии позволяет дать иное определение поверхности, базирующейся на таких основных элементарных геометрических понятиях, как точка и множество. В свою очередь, линия определяется как непрерывное однопараметрическое множество точек, поэтому можно дать следующее определение поверхности:

Поверхностью называется непрерывное двупараметрическое множество точек.

Для получения наглядного изображения поверхности на чертеже закон перемещения линии целесообразно задавать графически в виде совокупности линий и указаний о характере перемещения линии. Эти указания могут быть заданы графически, в частности с помощью направляющей поверхности. В процессе образования поверхностей линия может оставаться неизменной или менять свою форму. Такой способ образования поверхности называется кинематическим, а сама поверхность − кинематической. Закон перемещения образующей линии, как правило, задается при помощи направляющих линий и алгоритма перемещения образующей по направляющим.

На чертеже кинематическая кривая поверхность задается при помощи ее определителя. Определителем поверхности называют совокупность условий, необходимых и достаточных для задания поверхности в пространстве.

Подвижная линия называется образующей, неподвижные линии и поверхность – направляющими.

Примером такого способа образования могут служить все технологические процессы обработки металлов режущей кромкой, когда поверхность изделия несет на себе «отпечаток» профиля резца.

Режущие кромки являются неотъемлемой частью исполнительных механизмов многих строительных и дорожных машин, применяемых не только для разработки и перемещения грунта (бульдозеры, грейдеры и т. п.), но и рытье траншей, котлованов, проходка траншей, профилирование откосов и многое другое.

Но режущие кромки во многих случаях начинают уступать место производящей поверхности, с которой связано развитие прогрессивных производительных процессов обработки металлов давлением и обкаткой. Геометрическая сущность этих процессов – метод огибания.

Рассмотрим некоторые кривые поверхности.

Кривые поверхности широко применяются в различных областях науки и техники при создании очертаний различных технических форм или как объекты инженерных исследований. Существуют три способа задания кривых поверхностей:

2. При помощи каркаса;

3. Кинематический, т. е. перемещением линий в пространстве.

.

Рис. 7.1. Пример поверхности, заданной аналитически

Составлением уравнений поверхностей занимается аналитическая геометрия; она рассматривает кривую поверхность как множество точек, координаты которых удовлетворяют некоторому уравнению. На рис. 7.1 приведен пример поверхности, за­данной аналитически (системой алгебраических уравнений).

При каркасном способе задания кривая поверхность задается совокупностью некоторого количества линий, принадлежащих поверхности.

Каркас поверхности

Другим способом образования поверхности и ее изображения на чертеже может служить каркас поверхности.

Каркасом поверхности принято называть упорядоченное множество точек или линий, принадлежащих поверхности.

В зависимости от того, чем задается каркас поверхности, точками или линиями, каркасы называют точечными или линейными. Линейным каркасом называется множество таких линий, которые имеют единый закон образования и связаны между собой определенной зависимостью. Условия связи между линиями каркаса называются зависимостью каркаса. Эта зависимость характеризуется некоторой изменяющейся величиной, которая называется параметром каркаса. Если параметр линейного каркаса является непрерывной функцией, то каркас называется непрерывным, а если параметр − прерывная функция, то каркас называется дискретным.

На рис. 7.2 приведен пример каркаса поверхности, состоящей из двух ортогонально расположенных семейств линий а₁, а₂, а₃,…, а_n, b₁, b₂, b₃,…b_n.

.

Рис. 7.2. Пример линейного каркаса поверхности

Определитель поверхности

Кинематический способ образования поверхности можно представить как множество положений движущейся линии или поверхности.

Этот способ дает возможность сформулировать понятие определителя поверхности. Под этим понятием обычно подразумевают необходимую и достаточную совокупность геометрических фигур и кинематических связей между ними, которые однозначно определяют поверхность.

Определитель поверхности состоит из двух частей:

Чтобы найти определитель поверхности, следует исходить из кинематического способа образования поверхности.

Для того чтобы построить чертеж поверхности, необходимо предварительно выявить ее определитель. Определитель поверхности выявляется путем анализа способов образования поверхности или ее основных свойств. В общем случае поверхность может быть образована несколькими способами и поэтому может иметь несколько определителей. Обычно из всех способов образования поверхности выбирают простейший.

Поверхность считается заданной на комплексном чертеже, если относительно любой точки пространства, заданной на чертеже, можно однозначно решить вопрос о принадлежности ее данной поверхности. Построение проекций любых точек и линий, принадлежащих поверхности, а также второй их проекции, если одна задана, выполняется на основании ее определителя.

Точка принадлежит поверхности, если она принадлежит линии, принадлежащей поверхности.

Рассмотрим примеры выявления определителя для некоторых простейших поверхностей:

Через три точки А, В, С, не принадлежащие одной прямой, можно провести одну и только одну плоскость ( на рис. 7.3, а). Точки А, В и С составляют геометрическую часть определителя плоскости.

Вторая часть определителя, т. е. алгоритм построения в плоскости (А, В, С) любых линий и точек, выражается рассмотренными ранее условиями принадлежности прямой и точки плоскости.

На чертеже (рис. 7.3, б) плоскость задана проекциями геометрической части своего определителя: А(А₁А₂), В(В₁В₂), С(С₁С₂).

Цилиндрическая поверхность вращения может быть образована вращением прямой l i вокруг оси i (рис. 7.4, а).

Геометрическая часть определителя поверхности состоит из образующей l и оси i. Алгоритмическая часть определителя состоит из операции вращения образующей линии l вокруг оси i.

Определитель цилиндрической поверхности вращения имеет вид Ф(l i, i) [А]. На чертеже (рис. 7.4, б) цилиндр вращения задан проекциями геометрической части своего определителя.

Коническая поверхность вращения может быть образована вращением прямой l, пересекающей ось вращения i под некоторым углом (рис. 7.5, а). Алгоритмическая часть определителя состоит из словесного указания о том, что поверхность образуется вращением образующей l вокруг оси i.

.

Рис.7.3. Примеры определителя: а − алгоритмическая часть; б − геометрическая часть

Определитель конической поверхности вращения имеет вид Ф(l i)[A].

На чертеже (рис. 7.5, б) конус вращения задан проекциями геометрической части его определителя:

l(l₁l₂) i(i₁i₂>

В указанных примерах определитель поверхности выявляется путем анализа способов ее образования. Рассмотрим пример выявления определителя поверхности путем анализа ее основных свойств. Возьмем, например, сферу. Сферой называется поверхность, образованная множеством точек пространства, находящихся на расстоянии | r | от данной точки O (рис. 7.6, а). Геометрическая часть определителя сферы состоит из точки O (центра сферы) и точки М, принадлежащей ее поверхности. Алгоритм построения любой точки сферы заключается в проведении через точку О произвольной прямой и откладывания на ней от точки О отрезка | OM’ = | ОМ | = | r |. Определитель сферы имеет вид Ф(О, М) [А].

.

На рис. 7.6, б (справа) сфера задана проекциями точек О(O₁O₂) и М(М₁М₂), которые составляют геометрическую часть ее определителя, и показано построение произвольной точки М n (М n ₁ М n ₂)сферы.

При чтении чертежа немаловажную роль играет его наглядность. Задание поверхности проекциями геометрической части ее определителя не обеспечивает наглядности изображений. Поэтому для придания чертежу поверхности большей наглядности и выразительности прибегают к построению очерков ее проекций или проекций достаточно плотного каркаса ее образующих.

При проецировании поверхности на какую-либо плоскость проекций часть проецирующих лучей касается ее, образуя проецирующую поверхность. Точки касания при этом образуют линию видимого контура поверхности относительно этой плоскости проекций (рис. 7.7). Очерк проекции поверхности является проекцией соответствующей линии видимого контура.

Линия видимого контура поверхности разделяет ее на две части − видимую, обращенную к наблюдателю, и невидимую. Никакая точка поверхности не может спроецироваться за пределы очерка.

.

На чертежах (рис. 7.8, а, в) конус вращения и сфера заданы проекциями геометрической части своего определителя, а на чертежах (рис. 7.8, б, г) для тех же поверхностей построены очерки их проекций. Последние, безусловно, обладают большей наглядностью и выразительностью.

Кривые поверхности разделяются на линейчатые и нелинейчатые, закономерные и незакономерные. Поверхность называется линейчатой, если она может быть образована перемещением прямой линии, в противном случае − нелинейчатой.

Если поверхность может быть задана каким-либо уравнением, она называется закономерной, в противном случае − незакономерной, или графической (задается только чертежом).

Закономерные поверхности, в зависимости от вида уравнения, разделяются на алгебраические и трансцендентные.

Алгебраическое уравнение n-й степени (в декартовых координатах) задает алгебраическую поверхность n-го порядка (трансцендентные поверхности порядка не имеют). Алгебраическая поверхность n-го порядка пересекается плоскостью по кривой n-го порядка, а с прямой линией − в n точках.

.

Рис. 7.6. Изображение определителя сферы: а – алгоритмическая часть; б – геометрическая часть

Плоскость, имеющую уравнение первой степени (с произвольной плоскостью пересекается по прямой линии, а с прямой − в одной точке), можно рассматривать как поверхность первого порядка. Примерами кривых поверхностей второго порядка могут служить поверхности, образованные вращением кривых второго порядка вокруг одной из своих осей.

Поверхности второго порядка пересекаются с произвольной плоскостью по кривым второго порядка, а с прямой − в двух точках. Примером поверхности четвертого порядка может служить тор (см. поверхности вращения).

.

Рис. 7.7. Образование проекций сферы

.

Рис. 7.8. а, в − проекции геометрической части определителей конуса и сферы; б, г − очерки проекций конуса и сферы

Определитель может быть положен в основу классификации поверхностей. К одному и тому же классу относятся поверхности, имеющие одинаковую структуру определителя.

Наибольшее применение в технике получили кинематические кривые поверхности с образующими постоянной формы:

1. Линейчатые поверхности:

Источник