Что называется импликацией двух высказываний

ИМПЛИКАЦИЯ

Полезное

Смотреть что такое «ИМПЛИКАЦИЯ» в других словарях:

Импликация — Импликация (лат. implicatio связь) бинарная логическая связка, по своему применению приближенная к союзам «если… то…». Импликация записывается как посылка следствие; применяются также стрелки другой формы и направленные в другую… … Википедия

ИМПЛИКАЦИЯ — ИМПЛИКАЦИЯ, логическое высказывание типа «если Р, то Q», соединяющее два элементарных высказывания Р (антецедент) и Q (логическое следствие). В математической ЛОГИКЕ эти два высказывания не связываются. Существует материальная импликация,… … Научно-технический энциклопедический словарь

Импликация — Импликация ♦ Implication Отношение между двумя суждениями, при котором второе является необходимым следствием первого: если р, то q. Если первое суждение истинно, истинно и второе. Если второе ложно, ложно и первое. Напротив, если первое… … Философский словарь Спонвиля

ИМПЛИКАЦИЯ — (от лат. implico тесно связываю) (материальная импликация) приблизительный логический эквивалент оборота если. то. ; операция, формализующая логические свойства этого оборота … Большой Энциклопедический словарь

ИМПЛИКАЦИЯ — [лат. implicatio сплетение, переплетение] лог. логическая операция, образующая сложное высказывание из двух высказываний посредством логической связки, соответствующей союзу «если. то. ». Словарь иностранных слов. Комлев Н.Г., 2006. импликация … Словарь иностранных слов русского языка

импликация — сущ., кол во синонимов: 1 • операция (457) Словарь синонимов ASIS. В.Н. Тришин. 2013 … Словарь синонимов

импликация — вовлечение проблема смысл значение последствие — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом Синонимы вовлечениепроблемасмыслзначениепоследствие EN… … Справочник технического переводчика

ИМПЛИКАЦИЯ — в информатике эквивалент оборота «если. то. », образующий сложное высказывание из двух высказываний, а также логическая операция, формализующая в программе логические свойства этого оборота … Большая политехническая энциклопедия

Источник

Импликация

Импликация — это логическая операция, принятая в формализованных языках (см. Язык формализованный) для образования сложных высказываний (формул) из элементарных (простых) высказываний (см. Высказывание) и по смыслу равнозначная нестрогому условию «если…, то…», принятому в естественном языке (см. Язык).

Импликация читается: «если A, то B», или «из A следует B»; записывается: A → B (здесь высказывание A называется посылкой высказывания A → B, а высказывание B — его заключением, для записи применяются также стрелки другой формы, но всегда указывающие на соотношение посылка → следствие), другое обозначение импликации: A ⊃ B; другое название импликации: логическое следование (см. Логическое следование), однако между ними есть различие — импликация как логическое выражение может принимать значения «истина» или «ложь», тогда как логическое следование A → B утверждает, что во всех случаях, когда значение A истинно, B также будет истинно.

Понятие импликации сформировалось в процессе обособления языка логики и его последующей символизации (см. Логика символическая). Различные подходы к формализации логического следования привели, наряду с классической теорией импликации, к построению различных теорий строгой, сильной, аналитической, интенсиональной, релевантной и некоторых других видов импликации.

В естественном языке импликация играет важную роль в рассуждениях и умозаключениях (см. Рассуждение, Умозаключение), так как [при учитывании смыслового содержания высказываний] предполагает причинную связь между посылкой и заключением, и её истинность зависит от смысла этих высказываний. Так, в русском языке распространены следующие выражения импликации:

В математической логике обычно учитывается лишь истинность или ложность высказываний, а не смысловое содержание. Поэтому импликация обычно понимается в соответствии с истинностной таблицей:

В классической логике (см. Логика), формальной логике (см. Логика формальная), языках формальных теорий (см. Формализация) и языках программирования импликация составляет одну из пяти наиболее распространённых логических связок, или логических операций (см. Логические операции), наряду с конъюнкцией (см. Конъюнкция), дизъюнкцией (см. Дизъюнкция), эквиваленцией (см. Эквиваленция) и отрицанием (см. Отрицание).

Источник

Импликация высказываний

Рассмотрим составное высказывание, которое образуется из двух элементарных при помощи логической связки «если …, то …».

Например, пусть даны высказывания А: «Вчера было воскресенье» и В: «Я не был на работе». Тогда составное высказывание «Если вчера было воскресенье, то я не был на работе» имеет структуру «Если А, то В» и называется импликацией.

Пусть даны высказывания А и В.

Импликацией высказываний А и В называется высказывание, которое ложно, когда высказывание А истинно, а высказывание В ложно.

Импликация высказываний А и В обозначается: А В. Читаем: «Импликация высказываний А и В» или «Если А, то В» (Иногда читают и по-другому: «Из А следует В», «В следует из А»).

Высказывание А, входящее в импликацию АВ, называют условием импликации, а высказывание В – ее заключением.

Название «импликация» произошло от латинского слова «implico», что значит «тесно связываю».

Определение импликации высказываний А и В дано в следующей таблице истинности.

А	В	АВ
и	и	и
и	л	л
л	и	и
л	л	и

3. Составное высказывание «Если число 2∙5=9, то 2>9» истинно, т.к. условие и заключение импликации ложны.

Таким образом, из примеров видно, что употребление слов «если …, то …» в логике отличается от употребления их в обыденной речи, где мы, как правило, считаем, что если высказывание А ложно, то высказывание «Если А, то В» вообще не имеет смысла. Кроме того, строя предложения вида «Если А, то В» в обыденной речи, мы почти всегда подразумеваем, что предложение В следует из предложения А, а употребление слов «если …, то …» в логике не требует этого, поскольку, как уже отмечалось ранее, сам смысл высказываний в логике не рассматривается. Поэтому с точки зрения логики и допустимы такие, например, импликации: «Если вода в реке соленая, то 2∙2=4», где условие и заключение по смыслу никаким образом не связаны между собой, но по определению она, как мы выявили выше, истинна.

Операция импликации высказываний А и В может быть выражена через операции отрицания и дизъюнкции, т.е. имеет место следующий закон, называемый законом исключения импликации:

( A,B)(A B=Ā B).

Читаем: «Для любых высказываний А и В импликация высказываний А и В равносильна дизъюнкции отрицания высказывания А и высказывания В».

Равносильность составных высказываний AB и ĀB легко устанавливается при помощи следующей таблицы истинности.

А	В	AB	Ā	ĀB
и	и	и	л	и
и	л	л	л	л
л	и	и	и	и
л	л	и	и	и

Сравнивая в этой таблице по всем строкам значения истинности для составных высказываний AB и ĀB в столбцах, отмеченных знаком «*», убеждаемся, что все значения совпадают, следовательно высказывания AB и ĀB равносильны, а равенство AB=ĀB верно. Таким образом, сказать «Если А, то В» все равно, что сказать «Не А или В».

Важное значение в дальнейшем будет иметь ещё один закон, называемый законом контрапозиции:

( A,B) (A B=`B `А).

Читаем: «Для любых высказываний А и В импликация высказываний А и В равносильна импликации отрицания высказывания В и отрицания высказывания А».

Доказать этот закон также можно при помощи таблицы истинности.

А	В	AB	`В	`А	`B `А
и	и	и	л	л	и
и	л	л	и	л	л
л	и	и	л	и	и
л	л	и	и	и	и

Таким образом, составные высказывания AB и `B `А равносильны и равенство AB=`B `А верно.

Этот закон позволяет для любой импликации образовывать равносильную ей импликацию.

Например, для импликации «Если сумма цифр числа 111 делится на 3, то число 111 делится на 3» образуем импликацию «Если число 111 не делится на 3, то сумма цифр числа 111 не делится 3», причем обе импликации будут равносильными, т.к. обе они истинны. Первая импликация истинна, т.к. у нее условие и заключение истинны; вторая же импликация истинна, т.к. у нее условие и заключение ложны, а в этом случае по определению импликация тоже истинна.

Для импликации высказываний AB необходимо уметь образовывать отрицание. По закону исключения импликации мы имеем, что AB=ĀВ. Поэтому можно записать: = . Используя закон де Моргана для отрицания дизъюнкции, получим: = `В=A `B, т.к. =A по закону двойного отрицания. Значит, =А `B.

Таким образом, отрицание импликации высказываний А и В равносильно конъюнкции высказывания А и отрицания высказывания В.

Источник

Лекция 8

Теперь обсудим подробнее смысл и практику применения различных логических связок.

Обычно введение с помощью перечисленных таблиц истинности операций отрицания, конъюнкции и дизъюнкции не вызывает необходимости каких-то специальных пояснений или оговорок. Так, например, дизъюнкцию двух высказываний «сегодня идет снег» (высказывание ) или «сегодня идет дождь» (высказывание ) можно признать истинной и в том случае, когда на улице идет только снег (третья строка табл. 3), и тогда, когда на улице идет только дождь (вторая строка таблицы), и в том случае, когда на улице идет снег с дождем (последняя строка таблицы). Если же сегодня на улице нет дождя и нет снегопада, то указанную дизъюнкцию следует признать ложной (первая строка табл.3).

При обсуждении импликации сначала рассмотрим следующий пример.

Пример 1. Пусть множество есть подмножество некоторого множества (). Рассмотрим два высказывания и соответственно: «элемент » и «элемент ». Тогда импликации соответствует следующее высказывание: «если элемент , то элемент ».

При этом трем различным положениям точки, отвечающей элементу на рис. 1, можно сопоставить три строки таблицы 4, в каждой из которых импликация принимает значение «истина». Действительно, ситуация, когда и , возможна, этой ситуации соответствует строка таблицы 4. Точно так же возможны еще два расположения точки – когда и (строка ) и когда и (строка ). Наконец, в рамках нашего условия () абсолютно невозможно представить ситуацию, когда элемент и одновременно элемент (строка ). Таким образом, именно в том случае, когда посылка истинна, а заключение ложно, импликацию следует признать ложной.

Еще одно известное обоснование введения импликации с помощью таблицы 4 заключается в том, что импликация вводится таким образом, чтобы два составных высказывания: «из и следует » и «из и следует » всегда, т.е. при любых значениях истинности высказываний , , принимали только значение «истина».

Пример 2. Рассмотрим еще одну импликацию: «если студент сдал все экзамены на «отлично», то он получит стипендию». Очевидно, эту импликацию следует признать ложной лишь в том случае, когда студент сдал на «отлично» все экзамены, но стипендии не получил. В остальных случаях, когда не все экзамены сданы на «отлично» и стипендия получена (например, в силу того, что студент проживает в малообеспеченной семье) либо когда экзамены вообще не сданы и о стипендии не может быть и речи, импликацию можно признать истинной.

Вместе с тем необходимо отметить, что во множестве других случаев попытка отождествить импликацию с традиционным понятием логического следования может приводить к самым удивительным результатам. Так, например, в соответствии с таблицей 4 следует признать истинной следующую импликацию: «если , то Москва является столицей России». С точки зрения обыденной логики такая ситуация целиком абсурдна, но это мнение возникает в силу того, что человеческий разум пытается, в первую очередь, придать импликации смысл причинной логической связи, т.е. подразумевается, что заключение может быть выведено из посылки на основании каких-то логических рассуждений. Однако абсолютная чужеродность посылки и заключения оставляет лишь одну возможность – руководствоваться формальным определением импликации.

1. Если день, то свет (истинно).

2. Если Земля летает, то она имеет крылья (истинно).

Если Земля существует, то она летает (ложно).

4. Если Земля летает, то она существует (истинно).

Формулы логики высказываний. Общезначимые,

выполнимые и противоречивые формулы

Определение 6. Выражение называется логической формулой (пропозициональной формулой), если это выражение удовлетворяет следующим условиям:

1) любая логическая переменная есть формула;

2) если и — формулы, то (┐), ( ), ( ), ( ), ( ) тоже являются формулами;

3) других формул нет.

Пример 3. Выражение ┐ не является формулой, а запись ┐ )) представляет собой формулу. Действительно, в первом выражении между высказыванием и высказыванием ┐ вообще нет никакой логической связки, поэтому ┐ не является формулой.

Для каждой формулы можно построить соответствующую таблицу истинности.

Источник