Что называется характеристическим свойством заданного множества

Характеристическое свойство множества

Всякое свойство можно рассматривать как принадлежность его некоторым предметам.

Например, свойством «быть красным» обладают некоторые цве­ты, ягоды, автомашины и другие предметы. Свойством «быть круг­лым» обладают луна, мяч, колеса велосипедов и автомашин, детали различных машин и станков и др.

Таким образом, с каждым свойством связывается множество (предметов), обладающих этим свойством. Говорят также, что мно­жество характеризуется данным свойством, или множество задано указанием характеристического свойства.

Под характеристическим свойством множества понимают такое свойство, которым обладают все предметы, принадлежащие этому множеству (элементы этого множества), и не обладает ни один предмет, не принадлежащий ему (не являющийся его элементом).

Иногда свойство отождествляется с множеством предметов, характеризуемым этим свойством. Говоря «круглое», мы одноврег менно мыслим о множестве всех круглых предметов.

Если некоторое множество А задано указанием характеристиче­ского свойства Р, то это записывается следующим образом:

и читается так: «А — множество всех х таких, что х обладает свой­ством Р», или, короче, «Л — множество всех х, обладающих свой­ством Р». Когда говорят: «множество всех предметов, обладающих свойством Р», имеются в виду те и. только те предметы, которые обладают этим свойством.

Таким образом, если множество Л задано характеристическим свойством Р, то это означает, что оно состоит из всех предметов, обладающих этим свойством, и только из них. Если какой-нибудь предмет а обладает свойством Р, то он принадлежит множеству Л и, наоборот, если предмет а принадлежит множеству Л, то он

обладает свойством Р.

Предложение «предмет а принадлежит множеству Л», или «пред-_{мет а} — элемент множества Л», обозначается кратко «а^А». Предложение «предмет а обладает свойством Р» — «Р (а)». Эти два предложения р а в н о с и л ь н ы, т. е. выражают одну и ту же мысль в разной форме, первое — на языке множеств, второе — на языке свойств. Высказывания, выражаемые этими двумя предложениями, одновременно истинны или ложны: истинны, если предмет а дей­ствительно принадлежит множеству Л (обладает свойством Р), ложны в противном случае. Для обозначения равносильности двух предложений применяется знак о.

Таким образом, если А = <х\Р <х)\, то пишут: а^АоР (а). Например, если А — множество детей, живущих на Ленинском проспекте, то предложения «Саша живет на Ленинском проспекте» и «Саша принадлежит множеству детей, живущих на Ленинском проспекте» (хотя так обычно не говорят) равносильны. Они выра­жают истинные высказывания, если Саша, о котором идет речь в них, действительно живет на Ленинском проспекте, и ложные высказы­вания в противном случае.

Предложение Р (х), т. е. «* обладает свойством Р>, например

Например, предложения 2 + 2 = 4, 2 + 2 = 5, 3

Дата добавления: 2015-07-10 ; просмотров: 4808 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Источник

Характеристическое свойство множества

Элементы теории множеств

(Методическое пособие для учащихся

Х классов физико-математического профиля)

Москва

«Множество есть многое,
мыслимое нами как единое».

Множества и их элементы

В повседневной жизни постоянно различные совокупности предметов называют одним словом. Совокупность документов называют архивом, собрание музыкантов – оркестром, группу лошадей – табуном, собрание книг – библиотекой и т. д.

Математическим понятием, отражающим объединение некоторых объектов, предметов или понятий в единую совокупность, является понятие множества. Это понятие в математике является первичным, не определяемым, таким же, как понятие точки и прямой в геометрии, – к более простым понятиям оно не сводится.

Приведем примеры множеств:

· Множество всех людей, живущих в настоящее время на Земле.

· Множество всех рыб в Тихом океане.

· Множество звезд в Галактике.

· Множество всех натуральных чисел.

· Множество всех действительных чисел , удовлетворяющих условию .

· Множество учащихся данной школы.

Предметы, объекты, образующие данное множество, называются его элементами. Например, Александр I является элементом множества российских императоров, а число 9 – элементом множества натуральных чисел, а число не является элементом множества целых чисел.

Множества А и В называются равными, если они содержат одни и те же элементы. Например, равны множества и . Равенство множеств А и В записывают в виде А=В.

Характеристическое свойство множества

Различают множества конечные и бесконечные. Конечным называется множество, состоящее из конечного числа элементов. Среди конечных множеств выделяют пустое множество, не имеющего ни одного элемента. Его называют пустым множеством и обозначают символом . Примерами пустых множеств являются множество людей выше трех метров роста, множество нечетных чисел, делящихся на два, и т. д. Множество, не являющееся конечным, называется бесконечным множеством.

Имеется два существенно различных способа задания множества. Первый способ состоит в том, что множество задается указанием всех его элементов. В этом случае говорят, что множество задано перечислением всех своих элементов, или списком элементов.

Перечислением элементов можно задать лишь конечные множества. И даже для них это не всегда легко сделать: трудно перечислить все элементы конечного множества, состоящего из всех людей, живущих на Земле.

Второй способ задания множества применим как к конечным, так и к бесконечным множествам. Он состоит в том, указывается свойство, которым обладают все элементы рассматриваемого множества и не обладают никакие другие объекты. Такое свойство называется характеристическим свойством множества. Если множество А задано характеристическим свойством Р, то пишут:

.

Эту запись читают так: множество А состоит из тех и только тех элементов, которые обладают свойством Р.

означает, что множество В состоит из всех нечетных натуральных чисел.

Подмножества

Множество В является подмножеством множества А, если каждый элемент х из множества В является вместе с тем и элементом множества А. В этом случае пишут: . Здесь знак является знаком включения одного множества в другое.

1) В – множество всех четырехугольников,

2) С – множество всех параллелограммов,

3) D – множество всех прямоугольников,

4) Е – множество всех квадратов.

В смысле множества фигура каждого следующего типа является частным случаем фигуры предыдущего типа (параллелограмм – частный случай четырехугольника, прямоугольник – параллелограмма, квадрат – прямоугольника). Это означает, что каждое следующее множество является подмножеством предыдущего. Поэтому

.

Для иллюстрации соотношения между множествами пользуются схемами, называемыми диаграммами Эйлера – Венна, на которых множества изображаются овалами, в частности кругами.

На рисунке 1 с помощью кругов показано соотношение между множествами B, С, D, Е.

Операции над множествами

Пересечение множеств

Если даны два множества, то можно образовать новое множество, составленное из общих элементов этих множеств. Например, общей частью множеств будет множество , которое называют пересечением множеств А и В.

Определение. Пересечением множеств А и В называется новое множество, содержащее те и только те элементы, которые входят одновременно и в множество А, и в множество В.

Пересечение множеств А и В обозначают :

.

Например, если А – множество всех прямоугольников, В – множество всех ромбов, то – множество всех квадратов.

Геометрическую иллюстрацию операции пересечения множеств А и В дают диаграммы Эйлера – Венна (рис. 2).

На рисунке 2,а заштриховано множество , на рисунке 2,б множества А и В не пересекаются, т. е. .

Операция пересечения множеств применяется там, где требуется найти элементы, удовлетворяющие сразу двум условиям. Например, множество натуральных чисел, кратных 15, – это пересечение множества натуральных чисел, кратных 3, и множества натуральных чисел, кратных 5, т. е.

.

Объединение множеств

Из двух множеств А и В можно образовать новое множество, объединяя все элементы множества А и все элементы множества В. Например, объединяя элементы множества с элементами множества , получим новое множество , которое называют объединением множеств А и В. При этом общие элементы 3 и 5 входят в объединение один раз.

Определение. Объединением множеств А и В называется новое множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые входят хотя бы в одно из множеств А или в множество В.

Объединение множеств А и В обозначают :

.

Диаграммы Эйлера – Венна, соответствующие операции объединения множеств А и В, построены на рисунке 3. На них заштрихованы множества .

Разность множеств

Определение. Разностью двух множеств А и В называют такое множество, в которое входят элементы из множества А, не принадлежащие множеству В.

Разность множеств А и В обозначают А/В. Диаграммы Эйлера – Венна, соответствующие операции вычитания множеств А и В, построены на рисунке 4. На нем заштрихованы множества А/В. Если А=В, то А/В= .

А

В случае, когда В есть подмножество множества А, разность А/В называют дополнением множества В в множестве А и обозначают . Например, дополнением множества четных чисел в множестве всех целых чисел является множество нечетных чисел.

Источник

Характеристическая функция множества

Термин характеристическая функция уже занят в теории вероятностей. По этой причине, почти исключительно одни вероятностники используют термин индикаторная функция для определяемой здесь функции, в то время как математикам из других областей для описания принадлежности элементов множеству больше нравится использовать термин характеристическая функция.

Содержание

Определение

(Греческая буква χ происходит от начальной буквы греческого написания слова характеристика.)

Предупреждение. Обозначение может означать функцию идентичности.

Основные свойства

Отображение, которое связывает подмножество с его индикатором инъективно. Если A и B — два подмножества , то

— произведение нулей и единиц. Это произведение принимает значение 1 точно для тех , которые не принадлежат ни одному множеству A_k и 0 иначе. Поэтому

Разворачивая левую часть, получаем

Это тождество используется в простых доказательствах неравенства Маркова.

Библиография

См. также

Полезное

Смотреть что такое «Характеристическая функция множества» в других словарях:

Характеристическая функция — Характеристическая функция: Характеристическая функция в термодинамике функция, посредством которой определяются термодинамические свойства системы. Характеристическая функция множества функция, устанавливающая принадлежность элемента множеству;… … Википедия

Характеристическая функция (нечёткая логика) — Функция принадлежности нечёткого множества это обобщение индикаторной (или характеристической) функции классического множества. В нечёткой логике она представляет степень принадлежности каждого члена пространства рассуждения к данному нечёткому… … Википедия

Характеристическая функция — в математике, 1) то же, что собственная функция (См. Собственные функции). 2) Х. ф. множества А (в современной терминологии индикатор А) функция f (x), определённая на некотором множестве Е, содержащем множество А, и… … Большая советская энциклопедия

Непрерывная функция — Эта статья о непрерывной числовой функции. О непрерывных отображениях в различных разделах математики см. непрерывное отображение. Непрерывная функция функция без «скачков», то есть такая, у которой малые изменения… … Википедия

Нечеткие множества — Нечёткое (или размытое, расплывчатое, туманное, пушистое) множество понятие, введённое Лотфи Заде в 1965 г. в статье «Fuzzy Sets» (нечёткие множества) в журнале Information and Control [1]. Л. Заде расширил классическое канторовское понятие… … Википедия

Нечёткие множества — Нечёткое (или размытое, расплывчатое, туманное, пушистое) множество понятие, введённое Лотфи Заде в 1965 г. в статье «Fuzzy Sets» (нечёткие множества) в журнале Information and Control [1]. Л. Заде расширил классическое канторовское понятие… … Википедия

Пушистые множества — Нечёткое (или размытое, расплывчатое, туманное, пушистое) множество понятие, введённое Лотфи Заде в 1965 г. в статье «Fuzzy Sets» (нечёткие множества) в журнале Information and Control [1]. Л. Заде расширил классическое канторовское понятие… … Википедия

Индикаторная функция — Индикатор, или характеристическая функция, или индикаторная функция подмножества это функция, определенная на множестве X, которая указывает на принадлежность элемента подмножеству A. Термин характеристическая функция уже занят в теории… … Википедия

Область значений функции — Область значений функции множество значений, которые принимает функция в результате ее применения. Содержание 1 Определение 2 Примеры 2.1 Числовые функции … Википедия

Источник

§1. Множества и операции над ними

Объяснение и обоснование

В курсах алгебры и алгебры и начал математического анализа чаще всего рассматривают множества, элементами которых являются числа, и поэтому их называют числовыми множествами.

Как правило, множества обозначают прописными буквами латинского алфавита. Например, если множество М состоит из чисел 1; 2; 3, то его обозначают так: М = <1; 2; 3>. Тот факт, что число 2 входит в это множество (является элементом данного множества М), записывается с помощью специального значка ∈ следующим образом: 2 ∈ М; а то, что число 5 не входит в это множество (не является элементом данного множества), записывается так: 5 ∉ М.

Можно рассматривать также множество, не содержащее ни одного элемента, — пустое множество.

Например: множество простых делителей числа 1 — пустое множество.

Для некоторых множеств существуют специальные обозначения. Так, пустое множество обозначается символом ∅, множество всех натуральных чисел — буквой N, множество всех целых чисел — буквой Z, множество всех рациональных чисел — буквой Q, а множество всех действительных чисел — буквой R.

Множества бывают конечными и бесконечными в зависимости от того, какое количество элементов они содержат. Так, множества А = <7>и M = <1; 2; 3>— конечные, потому что содержат конечное число элементов, а множества N, Z, Q, R — бесконечные.

Множества задают или с помощью перечисления их элементов (это можно сделать только для конечных множеств), или с помощью описания, когда задается правило (характеристическое свойство), которое позволяет определить, принадлежит или нет данный объект рассматриваемому множеству. Например, А = <–1; 0; 1>(множество задано перечислением элементов), B — множество всех четных целых чисел (множество задано характеристическим свойством всех элементов множества). Последнее множество иногда записывают так: B = или так: B = ∈ Z> — здесь после вертикальной черточки записано характеристическое свойство*.

В общем виде запись множества с помощью характеристического свойства можно обозначить так: A = , где P (x) — характеристическое свойство. Например, = < –1, 1>, ∈ R и x2 + 1 = 0> = ∅.

Два множества называются равными, если каждый элемент первого множества является элементом второго множества и, наоборот, каждый элемент второго множества является элементом первого множества.

Из приведенного определения равенства множеств следует, что в множестве одинаковые элементы не различаются. Действительно, например, <1; 2; 2>= <1; 2>, поскольку каждый элемент первого множества (1 или 2) является элементом второго множества и, наоборот, каждый элемент второго множества (1 или 2) является элементом первого. Поэтому, записывая множество, чаще всего каждый его элемент записывают только один раз.

Если каждый элемент множества A является элементом множества B, то говорят, что множество A является подмножеством множества B.

Это записывают следующим образом: A ⊂ B.

Например, <1; 2>⊂ <0; 1; 2; 3>, N ⊂ Z (поскольку любое натуральное число — целое), Z ⊂ Q (поскольку любое целое число — рациональное), Q ⊂ R (поскольку любое рациональное число — действительное).

Полагают, что всегда ∅ ⊆ A, то есть пустое множество является подмножеством любого множества.

Иногда вместо записи A ⊂ B используется также запись A ⊆ B.

Сопоставим определение равенства множеств с определением подмножества. Если множества А и В равны, то: 1) каждый элемент множества А является элементом множества В, следовательно, А — подмножество В (A ⊆ B); 2) каждый элемент множества В является элементом множества А, следовательно, В — подмножество А (B ⊆ A). Таким образом,

два множества равны тогда и только тогда, когда каждое из них является подмножеством другого.

Иногда соотношения между множествами удобно иллюстрировать с помощью кругов (которые часто называют кругами Эйлера–Венна). Например, рисунок 1 иллюстрирует определение подмножества, а рисунок 2 — отношения между множествами N, Z, Q, R.

Источник