Что называется границей относительной погрешности приближенного числа
Относительная погрешность. Верные цифры числа
Вычислительная математика. Погрешности. Решение задач
ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ И ЕЕ ГРАНИЦА.
а – приближенное число
Разность х – а между точным числом х и приближенным числом а называется погрешностью приближения.
| х – а | = ∆ – абсолютная погрешность
Отношение абсолютной погрешности к модулю приближенного числа, называется относительной погрешностью
– относительная погрешность является показателем качества данного приближения, и ее часто выражают в процентах %
Граница относительной погрешности больше или равна относительной погрешности:
Если дана граница относительной погрешности, то говорят, что приближение дано с относительной точностью до Ꜫ % и записывают:
х = а (± Ꜫ) или х = а (± Ꜫ %)
В ряде задач границу абсолютной погрешности находят по данной относительной погрешности и модулю приближенного значения величины:
Скорость звука в воздухе 331,63 ± 0,04 м/с
Какое измерение точнее?
– значит скорость света точнее
Дана граница относительной погрешности и необходимо найти границу абсолютной погрешности, используем
Значит границы значений грузоподъемности автомобиля 2,5 ± 0,4 или 2,1 ≤ 2,5 ≤ 2,9
Найдите относительную погрешность в % с точностью до десятых
Решение: границу абсолютной погрешности находим из условия ± 1, значит ∆а=1, далее по формуле
Найдите относительную погрешность в % с точностью до сотых
Радиус Земли (в км): R = 6380 ± 1
Решение: границу абсолютной погрешности находим из условия ± 1, значит ∆а=1, далее по формуле
Найдите относительную погрешность в % с точностью до сотых
Скорость света в вакууме (в км/с):
Решение: границу абсолютной погрешности находим из условия
Диаметр Луны (в км): d = 3476 ± 1
Решение: границу абсолютной погрешности находим из условия ± 1, значит ∆а=1, далее по формуле
Абсолютная погрешность и ее граница
Вычислительная математика. Абсолютная погрешность
АБСОЛЮТНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ И ЕЕ ГРАНИЦА.
ЗАПИСЬ ПРИБЛИЖЕННОГО ЧИСЛА.
ВЕРНЫЕ И ЗНАЧАЩИЕ ЦИФРЫ ЧИСЛА
а – приближенное число
Разность х – а между точным числом х и приближенным числом а называется погрешностью приближения.
Модуль погрешности называется абсолютной погрешностью и обозначается ∆:
Погрешность и абсолютная погрешность имеют ту же размерность, что и рассматриваемая величина
Граница абсолютной погрешности ∆а – положительное число, которое больше или равно абсолютной погрешности или:
Если задана граница абсолютной погрешности ∆а, то число а есть приближенное значение числа х с точностью до ∆а и записывают
х = а ± ∆а, например: 94,5 ± 0,3
В отличие от абсолютной погрешности, граница абсолютной погрешности не определяется однозначно, поэтому на практике выбирается такое значение границы абсолютной погрешности, которое удобно для вычислений и обеспечивает максимальную точность.
Цифра приближенного числа а, записанного в виде десятичной дроби, называется верной (точной), если граница абсолютной погрешности числа не превышает (меньше или равно) единицы того разряда, в котором стоит эта цифра. В противном случае она называется сомнительной, например:
цифру 5, разряд единицы, единица разряда 1 и 0,2
Цифра 6, разряд десятые, единица разряда 0,1 и 0,2 > 0,1 (граница погрешности превышает единицу разряда), значит цифра 6 – сомнительная. Значит и цифра 3 (сотые) будет также сомнительной
2 и 5 – верные цифры, 6 и 3 – сомнительные цифры числа
Запись чисел с сохранением только верных цифр широко используется во всех математических таблицах, в справочниках (физика, астрономия, техника). При этом, по записи приближенного числа можно оценить погрешность приближения, например:
табличные данные: температура кипения золота – 2700 ºС, значит граница абсолютной погрешности 1 ºС, температура кипения йода – 182,8 ºС, значит граница абсолютной погрешности 0,1 ºС.
Записи приближенных чисел 0,3; 0,30; 0,300 – неравносильны, т.к. приближенное число 0,3 имеет погрешность не более 0,1;
приближенное число 0,30 имеет погрешность не более 0,01;
приближенное число 0,300 имеет погрешность не более 0,001.
В записи приближенных чисел принято соблюдать следующие правила:
Записать правильно следующие приближенные числа:
а = 0,3500 (последние верные цифры нули)
В некоторых заданиях необходимо наоборот определить абсолютную погрешность по записи приближенного числа, например,
Указать абсолютную погрешность приближенных чисел:
Число в стандартном виде записывают так:
показатель m – называется порядком числа.
Если число, записанное в виде десятичной дроби содержит все верные цифры, то все его цифры, начиная с первой слева отличной от нуля, называют значащими, например:
7,03 – три значащие цифры
4400 – четыре значащие цифры
0,000270 – три значащие цифры (нули, расположенные левее первой, отличной от нуля цифры, не считаются значащими 0,000270).
Округление числа – это замена его числом с меньшим количеством значащих цифр. При округлении числа до m значащих цифр отбрасывают все цифры, стоящие правее m-ой значащей цифры, заменяя их на нули (при сохранении разряда). При этом, если первая из отбрасываемых цифр ≥ 5, то последнюю оставшуюся цифру увеличивают на единицу,
Округлить число с заданной точностью:
Значащие цифры – 1, 5, 7 и 8, цифра 3 – сомнительная, т.к. 0,001 > 0,0001 (единицы разряда)
1,5783 ≈ 1,578 (последняя из отбрасываемых цифр 3
Значащие цифры – 2, 3, 4, 9 и 9, цифра 7 – сомнительная
7>5, значит предыдущую увеличиваем на 1, получим
159734 ≈ 160000 = 160·10 3
28,34 ≈ 0 – ни одна из цифр не является значащей 1000 > 10, т.к. задана точность 1000, а заданное число меньше, чем погрешность.
Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л. Сборник задач по математике с решениями для техникумов (учебное пособие)
Изменения и оценка погрешностей измерений
ИЗМЕРЕНИЯ И ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТЕЙ ИЗМЕРЕНИЙ
1. ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ.
1.1 ЧТО ЗНАЧИТ – ИЗМЕРИТЬ ВЕЛИЧИНУ?
От других наук физика отличается тем, что при изучении свойств материи и её изменений вводятся физические величины, которые можно измерять и выражать числами. Для обозначения при письме каждой физической величины используется символ – буква алфавита. Благодаря этому ход явлений и связи явлений выражаются математическими соотношениями (формулами) между введенными величинами. Самые важные соотношения между величинами называются законами природы.
ИЗМЕРИТЬ ФИЗИЧЕСКУЮ ВЕЛИЧИНУ – это значит с использованием технических средств (средств измерения) найти опытным путем значение физической величины, а также степень её приближения к истинному значению, которое в принципе неизвестно.
Для измерения физической величины необходимо ввести единицу величины и определить способ, при помощи которого можно сравнивать численные значения данной физической величины у разных тел или в различных процессах.
1.2. ЕДИНИЦЫ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН.
Общепринятой в настоящее время является Международная система единиц (СИ). Она строится на семи основных единицах:
— единица длины – метр.
— единица массы – килограмм.
— единица времени – секунда.
— единица силы электрического тока – Ампер.
— единица температуры – Кельвин.
— единица силы света – кандела.
— единица количества вещества – моль.
Для обеспечения единства физических измерений созданы международные эталоны каждой из основных единиц СИ.
ЗНАЧЕНИЕ ФИЗИЧЕСКОЙ ВЕЛИЧИНЫ – это произведение отвлеченного числа на принятую для данной физической величины единицу измерения.
ПРИМЕР. Масса тела 5 кг.
Физический смысл данного выражения можно раскрыть двояко.
а) Это означает следующее:
— «5 кг» – это значение массы тела.
— «5» – отвлеченное число, показывающее, во сколько раз масса данного тела больше массы эталона, у которого масса тела 1 кг
2. ИЗМЕРЕНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН.
2.1. ТОЧНОСТЬ ИЗМЕРЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН.
Истинное значение измеряемой величины определить невозможно прежде всего потому, что ограничено воспроизведение эталона единицы физической величины, т.е. сам эталон не абсолютен. Например, точность изготовления эталона массы составляет 2 · 10 – 9 кг. Скорость света, являющаяся основой для создания эталонов метра и секунды, также измерена с некоторой погрешностью. По последним данным, истинное значение скорости находится с точностью: С = (299 792 458 ± 1, 2) м /с.
Истинное значение измеряемой величины неизвестно и не может быть найдено в конкретном сколь угодно точном эксперименте.
Нельзя определить и абсолютную погрешность измерения в виде алгебраической разности:
∆ абсолют. Х = Х изм. – Х где Х – истинное значение,
Х изм. – результат измерения.
Физическая величина измеряется в единицах физической величины, записывается с наименованием.
2.2. ГРАНИЦА АБСОЛЮТНОЙ И ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ПОГРЕШНОСТИ.
В каждом измерении, в принципе, возможно определить так называемую границу абсолютной погрешности. Если при выполнении опыта его результат получен Х изм., то можно представить его графически в виде интервала (рис.1).
Соответствующая запись такова:
Относительная погрешность, граница относительной погрешности являются безразмерными величинами.
Определение: Границей относительной погрешности приближения называется положительное число Е, которое больше или равно самой относительной погрешности.
; 
Пример:
1. Сравнить качество двух измерений:
Решение:
При первом измерении допущена погрешность D х1 = 0,005 м = 5 мм на 1,2 м =
Ответ: Качество второго измерения лучше.
а = 17° С Под относительной точностью понимается граница
h = 0,5° С относительной погрешности данного измерения.
Упражнения:
1. Сравнить качество двух измерений:
а) масса железнодорожного вагона т1 = 63 ± 0,5(т);
б) масса дозы лекарства т2 = 0,15 ± 0,005(г).
2. Определить границу относительной погрешности следующих чисел:
а) а = 142,5; D х = 0,05; г) а = 2,372; D х = 0,004;
б) а = 6,93; D х = 0,02; д) а = 12,79; D х = 2.
3. Найти границу абсолютной погрешности числа а = 1348, если Е = 0,04 %.
4. Известно, что х » а с точностью до Е %. Найти границу абсолютной погрешности приближения, если:
а) а = 2,75; Е = 20 %; в) а = 237; Е = 1 %;
б) а = 1,3; Е = 10 %; г) а = 1,49; Е = 0,1 %.
3. Верные и сомнительные цифры приближенного значения числа.
Значащие цифры приближенного значения числа
При вычислениях часто трудно указать наряду с приближенными значениями их погрешности. А в различных справочниках указывать погрешности приближенных данных неудобно, неэкономично. Поэтому при записи приближенных значений чисел требуют, чтобы по этой записи можно было определить границу абсолютной погрешности приближения. Для этого вводится понятие верной и сомнительной цифр приближенного значения числа.
Определение: Цифра называется верной, если граница абсолютной погрешности данного приближенного значения числа не превосходит (£) единицы того разряда, в котором записана эта цифра. В противном случае цифра называется сомнительной.
Пример: Определить верные и сомнительные цифры в приближенном значении числа:
1. х = 35,4 ± 0,08
Вывод: Если в записи приближенного значения числа какая-то цифра – верная, то и все предшествующие ей цифры так же являются верными.
2. х = 9,846 ± 0,04
Цифра 4 в 0,01; h = 0,04 £ 0,01; 4 – сомнительная цифра;
Цифра 8 в 0,1; h = 0,04 £ 0,1; 8 – верная цифра;
Следовательно, 9 – верная цифра.
3. х = 945,673 ± 0,03
Цифра 3 в 0,001; h = 0,03 £ 0,001; 3 – сомнительная цифра;
Цифра 7 в 0,01; h = 0,03 £ 0,01; 7 – сомнительная цифра;
Цифра 6 в 0,1; h = 0,03 £ 0,1; 6 – верная цифра;
Следовательно, 5, 4, 9 – верные цифры.
При записи приближенных чисел принято соблюдать следующие правила.
Правила записи приближенных чисел:
Пример: Записать правильно приближенное значение числа:
1. х = 950,031 ± 0,04
Относительная и абсолютная погрешность – формула определения, как рассчитать погрешность измерения
Абсолютную и относительную погрешность используют для оценки неточности в производимых расчетах с высокой сложностью. Также они используются в различных измерениях и для округления результатов вычислений. Рассмотрим, как определить абсолютную и относительную погрешность.
Абсолютная погрешность
Абсолютной погрешностью числа называют разницу между этим числом и его точным значением.
Рассмотрим пример: в школе учится 374 ученика. Если округлить это число до 400, то абсолютная погрешность измерения равна 400-374=26.
Для подсчета абсолютной погрешности необходимо из большего числа вычитать меньшее.
Существует формула абсолютной погрешности. Обозначим точное число буквой А, а буквой а – приближение к точному числу. Приближенное число – это число, которое незначительно отличается от точного и обычно заменяет его в вычислениях. Тогда формула будет выглядеть следующим образом:
Δа=А-а. Как найти абсолютную погрешность по формуле, мы рассмотрели выше.
На практике абсолютной погрешности недостаточно для точной оценки измерения. Редко когда можно точно знать значение измеряемой величины, чтобы рассчитать абсолютную погрешность. Измеряя книгу в 20 см длиной и допустив погрешность в 1 см, можно считать измерение с большой ошибкой. Но если погрешность в 1 см была допущена при измерении стены в 20 метров, это измерение можно считать максимально точным. Поэтому в практике более важное значение имеет определение относительной погрешности измерения.
Записывают абсолютную погрешность числа, используя знак ±. Например, длина рулона обоев составляет 30 м ± 3 см. Границу абсолютной погрешности называют предельной абсолютной погрешностью.
Относительная погрешность
Относительной погрешностью называют отношение абсолютной погрешности числа к самому этому числу. Чтобы рассчитать относительную погрешность в примере с учениками, разделим 26 на 374.
Получим число 0,0695, переведем в проценты и получим 6%. Относительную погрешность обозначают процентами, потому что это безразмерная величина. Относительная погрешность – это точная оценка ошибки измерений. Если взять абсолютную погрешность в 1 см при измерении длины отрезков 10 см и 10 м, то относительные погрешности будут соответственно равны 10% и 0,1%. Для отрезка длиной в 10 см погрешность в 1см очень велика, это ошибка в 10%. А для десятиметрового отрезка 1 см не имеет значения, всего 0,1%.
Различают систематические и случайные погрешности. Систематической называют ту погрешность, которая остается неизменной при повторных измерениях. Случайная погрешность возникает в результате воздействия на процесс измерения внешних факторов и может изменять свое значение.
Правила подсчета погрешностей
Для номинальной оценки погрешностей существует несколько правил:
Приближенные и точные числа записываются при помощи десятичных дробей. Берется только среднее значение, поскольку точное может быть бесконечно длинным. Чтобы понять, как записывать эти числа, необходимо узнать о верных и сомнительных цифрах.
Верными называются такие цифры, разряд которых превосходит абсолютную погрешность числа. Если же разряд цифры меньше абсолютной погрешности, она называется сомнительной. Например, для дроби 3,6714 с погрешностью 0,002 верными будут цифры 3,6,7, а сомнительными – 1 и 4. В записи приближенного числа оставляют только верные цифры. Дробь в этом случае будет выглядеть таким образом – 3,67.
Что мы узнали?
Абсолютные и относительные погрешности используются для оценки точности измерений. Абсолютной погрешностью называют разницу между точным и приближенным числом. Относительная погрешность – это отношение абсолютной погрешности числа к самому числу. На практике используют относительную погрешность, так как она является более точной.