Что называется графиком уравнения с двумя переменными

График линейного уравнения с двумя переменными

Урок 40. Алгебра 7 класс

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока «График линейного уравнения с двумя переменными»

· ввести понятие «график линейного уравнения с двумя переменными»;

· рассмотреть поведение графика в зависимости от значений коэффициентов перед переменными.

На прошлом уроке мы с вами познакомились с линейным уравнением с двумя переменным. Давайте, вспомним определение.

И сегодня на уроке мы будем вести речь о графике такого уравнения.

Графиком уравнения с двумя переменными называется множество всех точек координатной плоскости, координаты которых являются решениями этого уравнения.

Обратите внимание, что полученная формула имеет вид линейной функции, графиком которой является прямая.

Так как прямая определяется двумя точками, то для построения графика нам достаточно указать две точки. Так:

Таким образом, получили две точки с координатами:

Теперь на координатной плоскости отметим эти точки и проведём через них линию.

Эта прямая является графиком исходного уравнения.

Все точки, принадлежащие графику, – это пары чисел, которые являются решениями нашего уравнения.

Теперь рассмотрим уравнение, в котором коэффициент при одной из переменных равен нулю.

А это постоянная функция. С предыдущих уроков нам известно, что график такой функции – это прямая, которая проходит через точку с координатами (0; 2) и параллельна оси Ox.

Все точки, принадлежащие этой прямой, – это пары чисел, которые являются решениями данного уравнения. И таких решений бесконечно много.

Графиком линейного уравнения с двумя переменными, в котором хотя бы один из коэффициентов при переменных не равен нулю, является прямая.

А теперь давайте рассмотрим случай, когда в линейном уравнении оба коэффициента при переменных равны нулю.

Давайте, рассмотрим примеры построения графиков линейных уравнений.

Итак, сегодня на уроке мы выяснили, что же представляет собой график линейного уравнения с двумя переменными и научились строить такие графики.

Источник

Уравнение с двумя переменными и его график

Урок 15. Алгебра 9 класс ФГОС

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока «Уравнение с двумя переменными и его график»

· уравнения с двумя переменными;

· решения уравнения с двумя переменными;

· степень уравнения с двумя переменными;

· график уравнения с двумя переменными.

Перед вами записаны уравнения:

Все они являются уравнениями с двумя переменными, так как в каждом из них есть две переменные. Возьмём, например, первое уравнение и подставим в него x=3 и y=5:

Получили неверное равенство. А если подставим x=3 и y=3, то получим верное числовое равенство.

Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное числовое равенство.

Пара чисел (3; 3) является решением данного уравнения. Но это не единственное решение.

Для определения степени уравнения с двумя переменными, нужно преобразовать его так, чтобы в левой части стоял многочлен стандартного вида, а справа ноль. Тогда степень уравнения считают равной степени данного многочлена.

Чтобы определить степень многочлена с двумя переменными, нужно определить степень каждого одночлена, входящего в состав многочлена, и выбрать из них наибольшую. Степень данного уравнения равна 1.

Определить степени уравнений и найти любых два решения.

1. Рассмотрим уравнение:

Степень данного уравнения равна 2.

Найдём два любых решения:

2. Решить уравнение:

Степень уравнения равна 2.

Найдём два решения уравнения:

3. Решить уравнение:

Степень данного уравнения равна 3.

Найдём любые два решения:

В ходе выполнения заданий стало понятно, что уравнения с двумя переменными имеют много решений. И указать все решения достаточно сложно. Если решением является пара значений, то его можно изобразить на координатной плоскости в виде точки. Так все решения и образуют график уравнения с двумя переменными.

Графиком уравнения с двумя переменными является множество точек координатной плоскости, координаты которых обращают уравнение в верное равенство.

1. Построить график уравнения:

Так как произведение равно нулю, то каждый из множителей также равен нулю. Решим каждое из полученных уравнений:

Изобразим график данного уравнения:

Решением являются две прямые: х=7 и у=-3.

2. Построить график уравнения:

Так как произведение равно нулю, то каждый из множителей также равен нулю. Решим каждое из полученных уравнений:

Изобразим график данного уравнения:

Решением являются две прямые: х=-5 и х=2.

Составить уравнения, графиками которых являются пары прямых, изображённых на рисунках.

Посмотрим на первый рисунок:

Получили, что прямые являются графиком уравнения.

Обратимся ко второму случаю:

Получили, что эти прямые являются графиком уравнения.

Графиком уравнения является окружность с центром в точке начала координат и радиусом r.

Например, графиком уравнения:

является окружность с r=4.

Записать уравнение окружности с центром в точке начала координат и r=6.

Получим уравнение окружности:

Если центром окружности не является точка начала координат, то уравнение окружности будет выглядеть так:

Центр окружности имеет координаты (a; b).

Выполним обратное действие. Но для записи уравнения окружности уже не достаточно только координат центра, необходимо знать и радиус. Например:

Источник

Алгебра. 9 класс

Рассмотрим уравнение 3x 2 + y = 13.

Это уравнение является уравнением с двумя переменными x и y.

При подстановке вместо переменной x числа 2, а вместо переменной y числа 1 мы получим верное равенство.

Значит, пара чисел 2 и 1 является решением данного уравнения. Эту пару чисел записывают в круглых скобках, причём на первом месте записывают значение переменной x, а на втором – значение переменной y: (2; 1).

Итак, сформулируем определение решения уравнения с двумя переменными.

Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая уравнение в верное равенство.

Если все эти пары чисел представить как координаты точек и изобразить на координатной плоскости, то получится график данного уравнения.

Графиком уравнения с двумя переменными называется множество точек координатной плоскости, координаты которых обращают уравнение в верное равенство.

Вспомним, что является графиком линейного уравнения с двумя переменными.

Графиком этого уравнения является окружность с центром в точке с координатами (а; b) и радиусом r.

Все пары чисел, которые будут являться решением данного уравнения, при изображении их на координатной плоскости будут принадлежать окружности с центром в точке с координатами (1; 2) и радиусом, равным 3.

Источник

Что называется графиком уравнения с двумя переменными

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 7 класс>>Математика:Линейное уравнение с двумя переменными и его график

Уравнение ах + b = 0, где а , называют линейным уравнением с одной переменной х (или линейным уравнением с одним неизвестным х). Решить его, т. е. выразить х через а и b, мы с вами умеем:

Ранее мы отмечали, что довольно часто математической моделью реальной ситуации служит линейное уравнение с одной переменной или уравнение, которое после преобразований сводится к линейному. А теперь рассмотрим такую реальную ситуацию.

Из городов A и В, расстояние между которыми 500 км, навстречу друг другу вышли два поезда, каждый со своей постоянной скоростью. Известно, что первый поезд вышел на 2 ч раньше второго. Через 3 ч после выхода второго поезда они встретились. Чему равны скорости поездов?

Составим математическую модель задачи. Пусть х км/ч — скорость первого поезда, у км/ч — скорость второго поезда. Первый был в пути 5 ч и, значит, прошел путь bх км. Второй поезд был в пути 3 ч, т.е. прошел путь Зу км.

Их встреча произошла в пункте С. На рисунке 31 представлена геометрическая модель ситуации. На алгебраическом языке ее можно описать так:

Эту математическую модель называют линейным уравнением с двумя переменными х, у.
Вообще,

где а, b, с — числа, причем , — линейное уравнение с двумя переменными х и у (или с двумя неизвестными х и у).

Вернемся к уравнению 5х + Зу = 500. Замечаем, что если х = 40, у = 100, то 5 • 40 + 3 • 100 = 500 — верное равенство. Значит, ответ на вопрос задачи может быть таким: скорость первого поезда 40 км/ч, скорость второго поезда 100 км/ч. Пару чисел х = 40, у = 100 называют решением уравнения 5х + Зу = 500. Говорят также, что эта пара значений (х; у) удовлетворяет уравнению 5х + Зу = 500.

К сожалению, это решение не единственно (мы ведь все любим определенность, однозначность). В самом деле, возможен и такой вариант: х = 64, у = 60; действительно, 5 • 64 + 3 • 60 = 500 — верное равенство. И такой: х = 70, у = 50 (поскольку 5 • 70 + 3 • 50 = 500 — верное равенство).

А вот, скажем, пара чисел х = 80, у = 60 решением уравнения не является, поскольку при этих значениях верного равенства не получается:

Вообще, решением уравнения ах + by + с = 0 называют всякую пару чисел (х; у), которая удовлетворяет этому уравнению, т. е. обращает равенство с переменными ах + by + с = 0 в верное числовое равенство. Таких решений бесконечно много.

Решение. Подберем несколько решений заданного уравнения, т. е. несколько пар чисел, которые удовлетворяют уравнению: (3; 0), (2; 1), (1; 2) (0; 3), (- 2; 5).

Построим в координатной плоскости хОу точки А (3; 0), B(2; 1), С (1; 2), D (0; 3), Е (- 2; 5) (рис. 32). Обратите внимание: все эти пять точек лежат на одной прямой I, проведем ее.

Доказать теорему нам с вами пока не под силу — это будет сделано позднее, в курсе геометрии. Но пользоваться теоремой мы, конечно, имеем право уже сейчас.

Кстати, догадываетесь ли вы, откуда появился термин «линейное уравнение»? Это фактически напоминание о геометрической модели — прямой линии, которая служит график уравнения.

Пример 2. Построить график уравнения Зх-2у+6=0.

Решение. Подберем несколько решений заданного уравнения:

3) (2; 6); если х = 2, у = 6, то 3 • 2-2 • 6 + 6 = 0 — верное равенство;

4) (4; 9); если х = 4, у = 9, то 3 • 4-2 • 9 + 6 = 0 — верное равенство.

Пример решен, хотя и верно, но очень нерационально. Почему? Давайте рассуждать.

Вот теперь мы в состоянии сформулировать алгоритм построения графика линейного уравнения ах + by + с = 0 (где, напомним, а,b,с — любые числа,

Алгоритм построения графика уравнения
ах + by + с = 0

Замечание. Чаще всего на первом шаге алгоритма берут значение х = 0. Второй шаг иногда немного изменяют: полагают у = 0 и находят соответствующее значение х.

Пример 3. Построить график уравнения

Решение. Будем действовать по алгоритму (с учетом замечания).

3) Построим на координатной плоскости хОу две точки: (0; 4) — она найдена на первом шаге алгоритма и (3; 0) — она найдена на втором шаге.

4) Проведем через точки (0; 4) и (3; 0) прямую. Это и есть искомый график (рис. 34).

Пример 4. Иванов и Петров посадили на своих садовых участках яблони, причем Петров посадил яблонь в 2,5 раза больше, чем Иванов. На следующий год они увеличили число яблонь (подсадили новые саженцы), причем у Иванова стало яблонь в 3 раза больше, чем было, а у Петрова в 2 раза больше, чем было. В итоге у них вместе стало 16 яблонь. Сколько яблонь посадили Иванов и Петров в первый год?

Первый этап. Составление математической модели. Пусть х — число яблонь, посаженных в первый год Ивановым, а у — число яблонь, посаженных в первый год Петровым. По условию задачи у = 2,5х. Здесь целесообразно умножить обе части уравнения на 2, получим: 2у = 5х. Это уравнение перепишем в виде:

Далее, на второй год Иванов увеличил число саженцев на своем участке в 3 раза и, значит, у него стало Зx яблонь. Петров увеличил число саженцев на своем участке в 2 раза, т. е. у него стало 2у яблонь. По условию у обоих в сумме стало 16 яблонь, т. е. Зх + 2у= 16. Перепишем это уравнение в виде

Математическая модель задачи готова, она состоит из двух линейных уравнений с двумя переменными хну — из уравнений (1) и (2). Обычно в таких случаях уравнения записывают одно под другим и используют специальный символ — фигурную скобку:

Второй этап. Работа с составленной моделью. Интересующая нас пара чисел (х; у) должна удовлетворять и уравнению (1), и уравнению (2), т. е. интересующая нас точка (х; у) должна лежать как на прямой (1), так и на прямой (2). Что делать?

Ответ очевиден: надо построить прямую (1), затем прямую (2) и, наконец, найти точку пересечения этих прямых.

3) прямые I₁ и I₂ пересекаются в точке (2; 5), т. е. х = 2, у = 5.

Третий этап. Ответ на вопрос задачи.

Спрашивается, сколько яблонь посадили в первый год Иванов и Петров, т. е. чему равны хну? Ответ на этот вопрос уже получен: х — 2, у = 5.

О т в е т: в первый год Иванов посадил 2 яблони, а Петров — 5 яблонь.

Как видите, не зря мы с вами учились строить графики линейных уравнений с двумя переменными. Это позволило нам от одной математической модели (алгебраической модели (3)) перейти к другой математической модели — геометрической (две прямые на координатной плоскости на рисунке 35), что и дало возможность довести решение до конца.

А можно ли работать непосредственно смоделью (3), не переходя к геометрической модели?

Можно, но об этом речь впереди, в главе 8. Там, используя новые знания, мы снова вернемся к модели (3).

_{Календарно-тематическое планирование по математике, видео по математике онлайн, Математика в школе скачать}

А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Источник

Уравнения с двумя переменными

Содержание:

Уравнения с двумя переменными — это решение системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными с парой чисел (x,y), если подставить эти числа в уравнения системы, то каждое из уравнений системы обращается в верное равенство.

Решение уравнения с двумя переменными. График уравнения с двумя переменными

Рассмотрим уравнение с двумя переменными f(x; у) = 0. Пару значений переменных, обращающую уравнение с двумя переменными в верное равенство, называют решением уравнения. Если дано уравнение с двумя переменными х и у, то принято в записи его решения на первое место ставить значение переменной х, а на второе — значение у.

Уравнения с двумя переменными называют равносильными, если они имеют одни и те же решения (или оба не имеют решений).

Для уравнений с двумя переменными справедливы теоремы 1 и 2 (см. п. 135) о равносильных преобразованиях уравнения.

Пусть дано уравнение с двумя переменными f(х; у) = 0. Если все его решения изобразить точками на координатной плоскости, то получится некоторое множество точек плоскости. Это множество называют графиком уравнения f(х; у) = 0.

Линейное уравнение с двумя переменными и его график

Уравнение вида , где х, у — переменные, а — числа, называют линейным; числа называют коэффициентами при переменных, с — свободным членом.

Графиком любого линейного уравнения , у которого хотя бы один из коэффициентов при переменных отличен от нуля, является прямая; если , то эта прямая параллельна оси у, если , то эта прямая параллельна оси х.

Пример:

Решение:

Если линейное уравнение имеет вид 0 * х + 0 * у = с, то могут представиться два случая:

1) с = 0; в этом случае уравнению удовлетворяет любая пара ( х; у), а потому графиком уравнения является вся координатная плоскость;

2) в этом случае уравнение не имеет решения; значит, его график не содержит ни одной точки.

Эта лекция взята со страницы полного курса лекций по изучению предмета «Математика»:

Смотрите также дополнительные лекции по предмету «Математика»:

Источник