Что называется главным вектором системы

Главный вектор и главный момент плоской системы сил

Рассмотрим плоскую систему сил ( ), действующих на твердое тело в координатной плоскости 0XY (рис.1.29).

Главным вектором системы сил называется вектор , равный векторной сумме этих сил:

Для плоской системы сил её главный вектор лежит в плоскости действия этих сил.

Модуль R главного вектора плоской системы сил вычисляется по следующим формулам:

,

(1.28)

Главным алгебраическим моментом М₀ плоской системы сил, называют сумму алгебраических моментов этих сил относительно некого центра (точки 0).

Величина M₀ может быть вычислена по формуле:

К вершинам квадрата со стороной a = 0.5(м) приложены силы: F₁ = 4(Н); F₂ = F₃ = 8(Н); F₄ = 12(Н). Определить главный вектор этой системы сил и её главный алгебраический момент относительно центра квадрата 0.

Решение. Введем координатную систему 0XY, оси которой параллельны сторонам квадрата.

Вычисление главного алгебраического момента M₀ проведем с использованием плеч сил F₁ и F₄, равных половине длины стороны квадрата (a/2):

Таким образом, для заданной системы сил её главный вектор равен по модулю R = 8(Н) и направлен вдоль оси 0X, а её главный алгебраический момент M₀ = 0.

Замечание. В случае, когда главный алгебраический момент M₀ = 0, главный вектор R является равнодействующей силой заданной системы сил.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

1. Что такое главный вектор системы сил?

2. Сформулируйте определение для главного момента системы сил.

3. Зависят ли значения главного вектора и главного момента системы сил от выбора центра?

Источник

Главный вектор и главный момент сил.

Связи и реакции связей.

Связь осуществляется при помощи гибкого тела, нити, каната или троса. Реакция такой связи приложена к телу в точке прикрепленной к нему нити. Перечислим некоторые типы связей, предполагая, что они изготовлены из абсолютно твердых материалов и трение в местах их соприкосновения с рассматриваемыми телами отсутствует.

2)Шарнирное соединение тел (сферический шарнир, шарнирная опора неподвижная).

Система сходящихся сил.

Системой сходящихся сил наз-ют такую систему сил, линии действия которых пересекаются в одной точке. Сходящиеся системы сил могут быть пространственными или плоскими, расположенные в одной плоскости.

Сходящиеся системы сил могут быть пространственными и плоскими, т.е. расположенными в одной плоскости.

Момент силы относительно точки и оси.

Моментом силы относительно точки называется алгебраическая величина, равная произведению модуля силы на кратчайшее расстояние от точки до линии действия силы.Численное значение момента силы F относительно точки О будем обозначать mo(F). Тогдаmo(F) = ±Fh.Моментом силы относительно оси называется алгебраическая величина момента проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную к данной оси, относительно точки пересечения этой плоскости с осью. Момент силы F относительно оси считается положительным, если наблюдатель, смотрящий с положительного направления оси, видит поворот, совершаемый составляющей Fxy силы F, происходящим против хода часовой стрелки.Из определения момента силы относительно оси следует

9Приведение к равнодействующей силе сходящихся сил.

Сложить 2 силы или неск. сил – это значит найти их равнодействующую. Задача о сложении 2х сил, приложенных к тв. телу в одной точке решается на основании правила параллелограмма.

Системой сходящихся сил называют такую систему сил, линии действия которых пересекаются в одной точке

Сходящиеся системы сил могут быть пространственными и плоскими, т.е. расположенными в одной плоскости.

.величина равнодействующей определится следующей формулой:

Для определения направления равнодействующей к воспользуемся обычными выражениями для направляющих косинусов:

Пара сил и ее момент.

Парой сил называется система двух равных по модулю, параллельных и направленных в противоположные стороны сил, действующих на тело. Действие пары сил на тело сводится к вращательному эффекту. Для характеристики этого эффекта вводится понятие момента пары.:Моментом пары называется величина, равная взятому с соответствующим знаком произведению модуля одной из сил пары на ее плечо. Для равновесия пар сил, действующих на твердое тело, необходимо и достаточно, чтобы модуль векторного момента эквивалентной пары сил был равен нулю или чтобы векторный многоугольник, построенный на векторных моментах заданных пар сил, был замкнут.Момент пары считается положительным, если пара стремится повернуть тело против хода часовой стрелки, и отрицательным – если по ходу часовой стрелки.

Главный вектор и главный момент сил.

Главным вектором системы сил называют вектор, равный векторной сумме этих сил.

Главным моментом системы сил относительно точки O тела называют сумму векторных моментов всех сил системы относительно этой точки. Таким образом, основную теорему статики (теорему Пуансо) в краткой форме можно выразить так: Каждую систему сил можно привести к главному вектору и главному моменту относительно произвольного центра.

Источник

Главный вектор и главный момент

Главным вектором системы сил называется вектор R, равный векторной сумме этих сил:

Для плоской системы сил ее главный вектор лежит в плоскости действия этих сил.

Главным моментом системы сил относительно центра O называется вектор LO, равный сумме векторных моментов этих сил относительно точки О:

Вектор R не зависит от выбора центра О, а вектор LO при изменении положения центра О может в общем случае изменяться.

Для плоской системы сил вместо векторного главного момента используют понятие алгебраического главного момента. Алгебраическим главным моментом LO плоской системы сил относительно центра О, лежащего в плоскости действия сил, называют сумму алгебраических моментов этих сил относительно центра О.

Главный вектор и главный момент плоской системы сил обычно вычисляется аналитическими методами.

Условия равновесия произвольной пространственной системы сил

Для равновесия твердого тела, находящегося под действием произвольной пространственной системы сил,необходимо и достаточно, чтобы главный вектор этой системы сил и ее главный момент относительно произвольного центра О были равны нулю:

Вытекающие отсюда аналитические условия равновесия (уравнения равновесия) пространственной системы сил можно сформулировать следующим образом:

Для равновесия произвольной пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на каждую из трех координатных осей и сумма их моментов относительно этих осей были равны нулю:

Fix = 0; Fiy = 0; Fiz = 0;

MOx(Fi) = 0; MOy(Fi) = 0; MOz(Fi) = 0.

Если на тело кроме сил действуют пары сил, заданные их векторными моментами Mk, то при этом вид первых трех уравнений равновесия не изменится (сумма проекций сил пары на любую ось равна нулю), а в последние три уравнения добавляются суммы проекций векторов Mk на координатные оси:

MOx(Fi) + Mkx = 0; MOy(Fi) + Mky = 0; MOz(Fi) + Mkz = 0.

Уравнения равновесия твердого тела под действием произвольной плоской системы сил

Вытекающие отсюда аналитические условия равновесия (уравнения равновесия) плоской системы сил можно сформулировать в следующих трех формах:

Основная форма уравнений равновесия:

для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на каждую из координатных осей и сумма их алгебраических моментов относительно любого центра, лежащего в плоскости действия сил, были равны нулю:

Fix = 0; Fiy = 0; MO(Fi) = 0. (I)

Вторая форма уравнений равновесия:

для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы алгебраических моментов всех сил относительно двух центров А и В и сумма их проекций на ось Ox, не перпендикулярную оси Ox, были равны нулю:

Fix = 0; MА(Fi) = 0; MВ(Fi) = 0. (II)

Третья форма уравнений равновесия (уравнения трех моментов):

для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы алгебраических моментов всех сил относительно любых трех центров А,В и С, не лежащих на одной прямой, были равны нулю:

MА(Fi) = 0; MВ(Fi) = 0; MС(Fi) = 0. (III)

Уравнения равновесия в форме (I) считаются основными, так как при их использовании нет никаких ограничений на выбор координатных осей и центра моментов.

Уравнения равновесия твердого тела под действием плоской системы параллельных сил

В частном случае, если все силы плоской системы параллельны, то условия равновесия таких сил выражаются не тремя, а двумя уравнениями:

Источник

Тема 1.4. Система произвольно расположенных сил

§1. Приведение пространственной системы сил к данному центру

Произвольной плоской системой сил называется совокупность сил, линии действия которых находятся в одной плоскости.

Теорема о параллельном переносе силы. Для переноса действующей на абсолютно твердое тело силы

из точки А (рис. 1, а) в точку О прикладываем в точке О силы и

Рис.1. Произвольной плоской системой сил

Рассмотрим теперь твердое тело, на которое действует какая угодно система сил

Чтобы сложить все полученные пары, надо геометрически сло­жить векторы моментов этих пар. В результате система пар заме­нится одной парой, момент которой или

называется главным моментом системы отно­сительно этого центра.

Рис.2. Система сил

Таким образом мы доказали следующую теорему, любая система сил, действующих на абсолютно твердое тело, при приведении к произвольно взятому центру О заменяется одной силой

Векторы и обычно определяют аналитически, т.е. по их проекциям на оси координат.

Выражения для R_x, R_y, R_z нам известны. Проекции век­тора на оси координат будем обозначать M_x, M_y, M_z. По тео­реме о проекциях суммы векторов на ось будет

Окончательно для определения проекций главного вектора и главного момента получаем формулы:

При этом главный вектор пространственной системы сил: R₀ = ΣP_i отличается от главного вектора плоской системы сил только наличием третьей компоненты, поэтому его модуль будет равен:

В зависимости от значений главного вектора и главного момента, а также от их взаимного расположения возможны следующие варианты приведения пространственной системы сил:

5) R₀ ≠ 0, M₀ ≠0 и главный вектор R₀ неперпендикулярен главному моменту M₀ — система эквивалентна скрещивающимся силам или динаме.

При этом скрещивающимися называются силы, которые непараллельны и не лежат в одной плоскости, а динамой называется система, состоящая из силы и пары сил, плоскость которой перпендикулярна этой силе.

Динама, приложенная к твердому телу, стремится вызвать его винтовое движение, которое представляет совокупность вращательного и поступательного движений.

Примечание: Для пространственной системы сил, как и для плоской, справедлива следующая Теорема Вариньона: Момент равнодействующей пространственной системы сил относительно произвольного центра (оси) равен геометрической (алгебраической) сумме моментов всех сил этой системы относительно данного центра (оси).

§2.Условия равновесия произвольной пространственной системы сил

Источник

Сравнение понятий «главный вектор» и «равнодействующая».

В чем состоит разница понятий «главный вектор системы сил» и «равнодействующая системы сил»?

Главным вектором системы сил называют силу, равную векторной сумме сил, образующих систему (в связи, с чем главный вектор может быть определен для любой системы сил):

.

Главный вектор системы сил может заменить любую систему сил только вместе с главным моментом.

Частные случаи приведения системы сил к центру.Возможные случаи приведения системы сил определены комбинациями или и или .

Практический интерес для определения условий равновесия представляет частный случай, когда главный вектор и главный момент равны нулю. В этом случае система сил уравновешена:

Другие частные случаи приведения систем сил сведены в таблицу.

Условия равновесия плоской произвольной системы сил.Совместим одну из координатных плоскостей (например, xOy) с плоскостью действия сил. Тогда условия равновесия запишутся в виде трёх уравнений:

Условия равновесия произвольной плоской системы сил в таком виде называют основной формой условий.

1.5. Распределенные силы

Силы, приложенные в точке, называют сосредоточенными. В действительности взаимодействие тел может происходить по некоторой линии или поверхности либо объёму. Примером поверхностных сил является давление воды на подводную часть корабля, примером объёмных служат силы тяжести, распределенные по объёму тела (часто, для удобства распределённые силы заменяют равнодействующей, приложенной в центре тяжести).

Распределённые силы характеризуются интенсивностью и направлением действия. Интенсивностью распределённой нагрузки называется величина силы, приходящаяся на единицу объёма, площади или длины линии.

Силы принимаются распределёнными по линии в том случае, когда размерами тела в поперечном сечении можно пренебречь по сравнению с его длиной. Такие тела называются стержнями или балками. Распределёнными, обычно, бывают параллельные или сходящиеся силы, однако распределёнными могут быть и пары сил.

Рассмотрим вопросы замены распределённых сил сосредоточенными. Пусть силы распределены по отрезку АВ длиной L (рис. 1.15). Разобьём отрезок AB на элементарные участки . На каждый из них действует сила, равная , так как из-за малости участка интенсивность в его пределах можно считать постоянной. Суммируя элементарные силы, найдём равнодействующую. Величина её равна главному вектору:

.

При устремлении к нулю элементарной длины Dx_k сумма сил перейдёт в интеграл

Рис. 1.15. Распределенная нагрузка

Точка приложения равнодействующей силы определяется с помощью теоремы Вариньона:

или при предельном переходе

,

Частные случаи распределенных нагрузок.Случай распределения с постоянной интенсивностью (равномерно распределенные нагрузки) приведен на рис. 1.16:

Рис. 1.16. Распределение с постоянной интенсивностью

Распределение с линейно изменяющейся интенсивностью (рис. 1. 17 а), если AB = L:

а)	б)

Рис. 1.17. Распределение с линейно изменяющейся интенсивностью (а)
и с интенсивностью, изменяющейся по закону треугольника (б)

Если (рис. 1.17 б), получим треугольное распределение:

Рис. 1.18. Распределенная нагрузка, заданная под углом

При распределённой нагрузке, заданной под углом α, имеем распределение с постоянной интенсивностью (рис.1. 18):

Статически определимые и статически неопределимые задачи.Число независимых уравнений равновесия определяется видом системы внешних сил, приложенных к объекту равновесия. Например, для произвольной плоской системы сил таких уравнений три, а для произвольной пространственной — шесть.

Неизвестные в уравнения равновесия представлены реакциями внешних связей, в некоторых случаях неизвестными активными силами и (или) моментами. В том случае, когда число неизвестных не превышает количество уравнений равновесия задачу называют статически определимой. Если число неизвестных больше количества уравнений равновесия – статически неопределимой задачей.

Методы статики применимы только к статически определенным системам. Решение статически неопределимых задач возможно при учете деформаций тел методами сопротивления материалов.

2. Методика решения задач

на равновесие произвольной системы сил

Любая задача статики изучаемого курса может быть решена в указанной последовательности.

1. Выделить объект равновесия (тело (элемент) или систему тел, равновесие которых будем рассматривать) и изобразить его как свободное тело (применение аксиомы освобождения от связей).

2. Приложить к объекту равновесия активную нагрузку (силы, пары сил) в соответствии с условием задачи.

3. Вместо отброшенных связей приложить к объекту равновесия реакции этих связей.

4. Выполнить анализ полученной системы сил (активных и реакций внешних связей), ответив на вопросы:

— Получена система сил, лежащих в одной плоскости или пространственная?

— Каково взаимное расположение линий действия сил? (Получена система произвольно расположенных сил или система параллельных сил или сил, сходящихся в точке?)

Следовательно, сколько независимых уравнений равновесия может быть составлено?

5. Сравнить число неизвестных (реакций связей) и количество независимых уравнений равновесия. Выяснить, является задача статически определённой или нет.

6. В случае статически определенной системы составить уравнения равновесия и решить их.

Источник