Что называется эквивалентностью двух высказываний р и q

Эквиваленция высказываний

Рассмотрим составное высказывание, которое образуется из двух элементарных при помощи логической связки «… тогда и только тогда, когда …».

Например, пусть даны высказывания А: «Число 129 делится на 3» и В: «Сумма цифр числа 129 делится на 3». Тогда составное высказывание «Число 129 делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма цифр числа 129 делится на 3» имеет структуру «А тогда и только тогда, когда В» и называется эквиваленцией.

Пусть даны высказывания А и В.

Эквиваленцией высказываний А и В называется высказывание, которое истинно, когда оба высказывания А и В истинны или оба ложны одновременно.

Эквиваленция высказываний А и В обозначается: А В. Читаем: «Эквиваленция высказываний А и В» или «А тогда и только тогда, когда В» («А в том и только в том случае, если В»).

Определение эквиваленции высказываний А и В представим в таблице.

А	В	АВ
и	и	и
и	л	л
л	и	л
л	л	и

1. Составное высказывание «Число 18 чётно тогда и только тогда, когда 18M2» истинно, т.к. оба элементарные высказывания «Число 18 чётно» и «18M2» истинны.

2. Составное высказывание «Число 195 делится на 3 тогда и только тогда, когда 195 делится на 9» будет ложным, т.к. оно представляет собой эквиваленцию истинного высказывания «Число 195 делится на 3» и ложного высказывания «Число 195 делится на 9».

3. Составное высказывание «Число 12 простое в том случае, если 12 двузначное число» ложно, т.к. представляет собой эквиваленцию ложного высказывания «Число 12 простое» и истинного высказывания «12 двузначное число».

4. Составное высказывание «12>15 тогда и только тогда, когда 15 15» и ложного высказывания «15

а) АB C; б) A BCD; в) AB C; г) ABC.

а) Для высказывания АB C порядок такой: 1) B C; 2) АB C.

б) Для высказывания A BCD порядок будет следующий: 1)BC; 2)A BC; 3) A BCD.

в) В высказывании АB C выполняем: 1) B C; 2) АB C.

г) В высказывании ABC выполняем: 1) BC; 2) ABC.

Источник

Логическая эквивалентность

Отношение логической эквивалентности между предложениями тесно связано с соединителем эквивалентности, часто обозначаемым ⇔ или ↔, который может быть определен (в очень общем смысле, как в классической логике, так и, например, в интуиционистской логике ) как соединение импликации l ‘ P ⇒ Q (« Q, если P ») и обратное ему Q ⇒ P ( Q, только если P ), то есть (P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ P).

Утверждение, что P ⇔ Q, равносильно утверждению, что P и Q эквивалентны. Иначе говоря (в классической логике), предложение P ⇔ Q принимает значение «истинно», когда P и Q логически эквивалентны, и только в этом случае. В логике отношение эквивалентности иногда обозначается как ≡ (обозначение ⇔ или reserved зарезервировано для соединителя).

В электронике подобная функция называется включающим И ; последний символизируется знаком «⊙».

Резюме

Эквивалентность на языке математики

В математических текстах мы выражаем, что два предложения P и Q эквивалентны:

Исчисление высказываний

В классической логике, которая имеет только два значения истинности, таблица истинности соединителя эквивалентности имеет вид:

Предложение P ⇔ Q эквивалентно:

Характеристики

Это отношение эквивалентности совместимо с логическими соединителями. Вдобавок в классической логике:

Эквивалентность нескольких предложений

Примеры распространенных составов

Источник

Эквиваленция

Эквивале́нция (или эквивале́нтность [1] ) — двуместная логическая операция. Обычно обозначается символом ≡ или ↔.

Эквиваленция — это сокращённая запись для выражения

Задаётся следующей таблицей истинности:

Таким образом, высказывание A ≡ B означает «A то же самое, что B», «A эквивалентно B», «A тогда и только тогда, когда B».

Не надо путать эквиваленцию — логическую операцию с эквивалентностью — бинарным отношением. Связь между ними следующая:

Логические выражения X и Y эквивалентны в том и только в том случае, когда эквиваленция истинна при всех значениях логических переменных.

Примечания

См. также

Полезное

Смотреть что такое «Эквиваленция» в других словарях:

ЭКВИВАЛЕНЦИЯ — логическое действие, состоящее в употреблении связок «если, и только если» в содержательных логических выводах и разговорном языке; выражается через импликацию и конъюнкцию (см. Конъюнктивные суждения). Философский энциклопедический словарь. 2010 … Философская энциклопедия

АЛГЕБРА ЛОГИКИ — система алгебраич. методов решения логич. задач, а также совокупность задач, решаемых такими методами. А. л. в узком смысле слова алгебраич. (табличное, матричное) построение классич. логики высказываний, в котором рассматриваются… … Философская энциклопедия

ПРЕДИКАТОВ ИСЧИСЛЕНИЕ — общее название исчислений математической логики, являющихся формализацией тех разделов совр. логики, к рые изучают субъектно предикатную структуру предложений (высказываний), понимаемую в более широком, чем в традиц. логике, смысле: помимо теории … Философская энциклопедия

Логические операции — логические связки, логические операторы, функции, преобразующие высказывания или пропозициональные формы (т. е. выражения логики предикатов (См. Логика предикатов), содержащие переменные (См. Переменная) и обращающиеся в высказывания при… … Большая советская энциклопедия

НАТУРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ — (исчисление естественного в ы в о д а) – общее название логич. исчислений [введенных и впервые описанных нем. логиком и математиком Г. Генценом (1934) и польским логиком С. Яськовским (1934) с целью формализации процесса логич. вывода ], более… … Философская энциклопедия

пропозициональная связка — операция, позволяющая из данных суждений (высказываний) строить новые суждения (высказывания). В логике высказываний высказывания (формулы) рассматриваются лишь с точки зрения их истинности или ложности. Если A и В к. л. формулы (простые,… … Словарь терминов логики

ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ — раздел логики, в котором изучаются истинностные взаимосвязи между высказываниями. В рамках данного раздела высказывания (пропозиции, предложения) рассматриваются только с т.зр. их истинности или ложности, безотносительно к их внутренней субъектно … Философская энциклопедия

СИЛЛОГИСТИКА — (от греч. syllogisticos рассчитываю, считаю) логическая теория дедуктивных рассуждений, в которой исследуются логические связи между категорическими атрибутивными высказываниями. С. была построена Аристотелем. К числу указанных высказываний… … Философская энциклопедия

ФОРМАЛЬНАЯ ЛОГИКА — наука, занимающаяся анализом структуры высказываний и доказательств, обращающая основное внимание на форму в отвлечении от содержания. Определение «формальная» было введено И. Кантом с намерением подчеркнуть ведущую особенность Ф.л. в подходе к… … Философская энциклопедия

КОММУТАТИВНОСТЬ — (позднелат. commutativus – подвергающийся перемещению, от лат. commuto – меняю, обмениваю) – свойство нек рых бинарных (т.е. двучленных, двуместных) логич. и математич. операций или функций, состоящее в том, что результат применения данной… … Философская энциклопедия

Источник

Операции над высказываниями и предикатами. Таблицы истинности

п.1. Отрицание

Расшифровка первого правила: высказывание «неверно, что для любого x выполняется A(x)» совпадает с высказыванием «найдётся x, для которого A(x) не выполняется».
Расшифровка второго правила: высказывание «неверно, что найдётся x, для которого выполняется A(x)» совпадает с высказыванием «для любого x A(x) не выполняется».

п.2. Конъюнкция

Обозначение конъюнкции A ∧ B, читается «А и В». Таблица истинности:

С точки зрения операций над множествами, конъюнкция аналогична пересечению двух множеств (см. §10 справочника для 8 класса).

С точки зрения записи условий, конъюнкция аналогична системе с фигурной скобкой.

п.3. Дизъюнкция

Обозначение дизъюнкции A ∨ B, читается «А или В». Таблица истинности:

С точки зрения операций над множествами, дизъюнкция аналогична объединению двух множеств (см. §10 справочника для 8 класса).

п.4. Импликация

Обозначение импликации A → B, читается «если A, то B».
Высказывание A называют «посылкой», а высказывание B – «заключением».
Значение импликации зависит от порядка высказываний.
Таблица истинности:

п.5. Эквиваленция

Обозначение эквиваленции A ↔ B, читается «A то же самое, что B» или «A эквивалентно B».
Таблица истинности:

п.6. Законы де Моргана

Докажем эквивалентность с помощью таблиц истинности:

Мы видим, что итоговые столбцы слева и справа полностью совпадают.
Значит, высказывания эквивалентны.

Докажем эквивалентность с помощью таблиц истинности:

Высказывания слева и справа эквивалентны.

Не путайте эквиваленцию и эквивалентность.
Эквиваленция – это логическая операция с 0 или 1 на выходе, в зависимости от исходных А и В.
Эквивалентность(равносильность) – это отношение, при котором эквиваленция A ↔ B истинна при всех значениях логических переменных на области определения. Тогда A ⇔ B (пишут также A=B, A≡B, A

B).
Если A ⇔ B, то каждое из предложений является и необходимым и достаточным условием для другого предложения; используются словосочетания «необходимо и достаточно», «равносильно».

п.7. Алгоритм доказательства эквивалентности высказываний с помощью таблиц истинности

Например:
Докажем следующее свойство:

Источник

Импликация. Эквивалентность высказываний.

Попробуем на примерах разобраться с этой логической операцией. Рассмотрим два высказывания а:(Сейчас хорошая погода) и b:(Я пойду гулять). Импликация а→b в этом случае означает: «Если сейчас хорошая погода, то я пойду гулять». Когда высказывания а и b истинны, то истинно и высказывание а→b. Но также ясно, что если сейчас плохая погода и я пойду гулять, либо откажусь от прогулки, то меня никак нельзя назвать лжецом (никакого противоречия не возникает). Поэтому импликация а→b и в этих случаях истинна. Единственным вариантом, когда импликация а→b ложна, является истинность высказываний а и ложность высказывания b.

— а влечет за собой b,

— а достаточное условие b,

Разберем один пример из книги Х.Фрейденталя. Рассмотрим готовую импликацию а→b:(Если некоторый поезд прибывает на данную станцию, то подается сигнал «путь закрыт»). Кстати, эту же импликацию можно сформулировать и так: (Как только некоторый поезд прибывает на данную станцию, то подается сигнал «путь закрыт»). Здесь а:(Некоторый поезд прибывает на данную станцию) и b:(Подается сигнал «путь закрыт»). Для наглядности используем такую таблицу.

Мы видим, что импликация истинна, если:

а) поезд прибывает, сигнал «путь закрыт»;

б) поезд не прибывает, сигнал «путь открыт»;

в) поезд не прибывает, сигнал «путь закрыт».

Ведь в тексте ничего не говорится о том, какой сигнал надо подавать, если поезд не прибывает (путь можно закрыть и по другой причине, аварии не будет).

Импликация ложна лишь тогда, когда’

г) поезд прибывает, сигнал «путь открыт».

Дата добавления: 2016-02-27 ; просмотров: 4969 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Источник