Что называется экономико математической моделью
Экономико-математическая модель
Под экономико-математической моделью понимается математическая модель исследуемого экономического объекта или процесса, при котором экономические закономерности выражены в абстрактном виде с помощью математических соотношений. Естественно, что под экономико-математическим моделированием понимают процесс построения, изучения и применения моделей в экономике.
Экономико-математические модели подразделяются на статистические, балансовые и оптимизационные.
Статистические модели – это модели, в которых описываются корреляционно-регрессионные зависимости. Эти модели широко используются для построения производственных функций и прогнозирования экономических явлений.
Балансовые модели представляют собой систему балансов производства и распределения. Они опираются на аппарат матричной алгебры и применяются при планировании деятельности различных отраслей экономики.
Оптимизационные модели представляют собой систему математических уравнений, подчиненных определенной целевой функции и служащих для отыскания оптимальных решений конкретной экономической задачи. Эти модели применяются для описания условий функционирования экономических систем.
Этапы экономико-математического моделирования
Процесс математического моделирования можно условно разделить на три этапа:
1. Этап формализации, т.е. перевод рассматриваемой задачи с естественного языка на язык математических терминов и обозначений, при этом осуществляется переход от реальной ситуации к математической модели. Результатом этого этапа является построенная математическая модель.
2. Этап исследования построенной математической модели, т.е. выбор наиболее подходящего метода решения и решение поставленной математической задачи.
3. Этап интерпретации, т.е. анализ полученных математических результатов и объяснение их в терминах исходной экономической задачи.
Отметим, что выделяют и так называемый подготовительный этап. На этом этапе осуществляется сбор и анализ информации по моделируемому объекту, формируются цели и задачи, выбираются средства решения.
Экономико-математические методы и модели и их классификация
Экономико-математическое моделирование служит для того, чтобы описывать системные социально-экономические процессы в виде экономико-математических моделей. Опираясь на определения метода моделирования и модели, можно сделать вывод, что экономико-математические методы – это своеобразный инструмент, а экономико-математические модели – это специфический продукт процесса экономико-математического моделирования.
Классификация экономико-математических методов
Говоря об экономико-математических методах, стоит отметить, что для них характерна своя классификация. Эти методы являются комплексом экономико-математических дисциплин, которые представляют собой сплав экономики, математики и кибернетики. В силу этих обстоятельств классификация экономико-математических методов сводится к классификации научных дисциплин, из которых она состоит. Однако стоит отметить, что общая классификация этих дисциплин не выработана окончательно до настоящего момента. Максимально приближённо можно выделить следующие разделы:
Экономическая кибернетика
Экономическая кибернетика занимается системным анализом экономики, теории экономической информации и теорией управляющих систем.
Математическая статистика
Математическая статистика изучает экономические приложения данной дисциплины, которые представлены в виде выборочного метода, дисперсионного анализа, корреляционного анализа, регрессионного анализа, многомерного статистического анализа, факторного анализа, теории индексов и др.
Математическая экономика занимается исследованием вопросов, касающихся количественной стороны эконометрики. Здесь теория экономического роста, а также теория производственных функций и межотраслевые балансы. Кроме этого национальные счета, анализ спроса и предложения, региональный и пространственный анализ и др.
Методы принятия оптимальных решений
Методы принятия оптимальных решений в первую очередь касаются исследований и операций в экономике. Это самый объёмный раздел, который состоит из дисциплин и методов. Сюда входит оптимальное математическое программирование, сетевые методы планирования и управления, программно-целевые методы планирования и управления и многое другое. Одновременно с тем, оптимальное математическое программирование включает в себя линейное программирование, дискретно программирование, дробно-линейное программирование, стохастическое программирование, геометрическое программирование и др.
Методы и дисциплины
Методы и дисциплины здесь подразумеваются как для отдельной, так и для планируемой экономики с единым центром, а также для рыночной или, конкурентной. Первые – это теория наилучшей работы экономики, лучшее планирование, теория оптимального ценообразования, модели материально-технического снабжения и др. Вторые – методы, которые дают возможность разрабатывать модели незамещенной конкуренции, модели капиталистического цикла, модели монополии, модели индикаторного планированы, модели теории фирмы и др. Большинство из методов, которые были разработаны для централизованно планируемой экономики, могут эффективно применяться и при экономико-математическом моделировании в условиях рыночной экономики.
Методы экспериментального изучения экономических явлений
К данным методам можно отнести математические методы анализа и планирования экономических экспериментов, в том числе методы машинной имитации, а также деловые игры. Кроме того, к ним относятся методы экспертных оценок, которые могут быть применены для оценки явлений с непосредственным измерением.
Классификация экономико-математических моделей
Сразу стоит сказать, что единой системы классификации математических моделей социально-экономических систем и процессов не существует, но чаще всего говорят о десяти признаках их классификации. Вот некоторые из них.
Согласно общего целевого назначения всякие экономико-математические модели можно поделить на теоретико-аналитические, которые применяются для исследования общих свойств и закономерностей экономических процессов, и прикладные, применение которых происходит в условиях решения конкретных экономических задач анализа, прогнозирования и управления.
В соответствии со степенью агрегирования объектов моделирования модели делятся на макроэкономические и микроэкономические. Но важно понимать, что чёткого разграничения данные модели не имеют.
Также модели делятся по конкретному предназначению, иными словами, по своей цели создания и использования. Так выделяют балансовые модели, которые отражают все требования соответствия наличия ресурсов и их применения; трендовые модели, в которых развитие моделируемой экономической системы иллюстрируется посредством тренда её основных показателей; оптимизационные модели, которые предназначены для выбора наилучшего варианта их определённого числа вариантов производства, распределения или потребления; имитационные модели, которые призваны использоваться для машинной имитации изучаемых систем или процессов.
Также модели делятся по типу информации, которая используется в ней на аналитические, построенные на априорной информации и идентифицируемые, которые строятся на апостериорной информации.
Кроме этого все модели делятся на статистические, которые не зависят от момента времени, и динамические, описывающие экономические системы в развитии.
Ещё одним критерием является учётный фактор неопределённости модели, и они разделяются на детерминированные, если для них характерен на выходе однозначный результат управляющих воздействий, и стохастические, если на конечный результат могут оказывать влияние различные случайные факторы.
Кроме этого экономико-математические модели классифицируются по характеру математических объектов, входящих в состав или, что по сути одно и то же, по типу математического аппарата, который применён в данной модели. Этот признак помогает выделить следующие модели: матричные, модели линейного и нелинейного программирования, корреляционно-регрессионные модели, модели теории массового обслуживания, модели сетевого планирования и управления, и др.
И, наконец, различают модели по тому, к какому типу в изучении социально-экономических связей они относятся. Здесь можно говорить о дескриптивных и нормативных моделях. Дескриптивные модели образуют модели, которые предназначены для описания и объяснения фактически наблюдаемых явлений или для прогноза таких явлений. В качестве примера дескриптивной модели можно выбрать балансовую или трендовую модель.
Нормативные модели изучают совершенно иное. Их интерес заключается не в исследовании того, как устроена и развивается экономическая система, а в том, как она должна быть устроена и работать в соответствии с некоторыми критериями.
Все оптимизационные модели относятся к типу нормативных, в качестве примера можно использовать нормативные модели уровня жизни.
В качестве примера можно привести модель отраслевого баланса в разрезе экономико-математической модели. Если опираться на все классификации, которые были приведены выше, то можно сделать вывод, данная классификация является прикладной и макроэкономической. Ещё одна характеристика – аналитическая модель с дескриптивной функцией, которая является детерминированной, балансовой и матричной моделью. Важно отметить, что несмотря ни на что существуют статические, и динамические модели ЭММ МОБ.
Основные понятия и определения в экономико-математическом моделировании
Цель —желаемый результат, который должен быть достигнут.
Мероприятие — совокупность действий, объединенных общей целью. В исследовании операций (ответвлении кибернетики) вместо термина «мероприятие» используется понятие «операция».
Альтернативы — возможны варианты мероприятий, на основании которых принимается решение. Таких вариантов может быть несколько. Альтернативы могут быть дискретными или непрерывными. Количество дискретных альтернатив конечно: например, заменить определенный вид оборудования или нет (в данном случае альтернативы две). Альтернативы могут выбираться на непрерывном множестве: например, заменить оборудование данного вида (через день, два, неделю, месяц, год и т.д.); тогда количество альтернатив бесконечно, и под решением понимают выбор одной альтернативы из множества возможных.
Система (в переводе с греческого — целое, сопоставленное из частей) — это относительно обособленная и упорядоченная совокупность обладающих особой связностью, целенаправленно и целесообразно взаимодействующих элементов, способных реализовать заданные целевые функции.
Элемент системы — часть системы, которая, исходя из цели и функций данной системы, является неделимой.
Сложная система — это множество разных структур и элементов этих структур.
Подсистема — часть системы, которая выделена с определенной целью; может рассматриваться как самостоятельная система.
Системный подход — главный научный принцип исследования систем в кибернетике, согласно которому необходимо учитывать взаимосвязи между элементами системы, между системой и внешней средой, между состоянием системы в данное время и в будущем. Основное понятие в кибернетике.
Модель – это образ реального объекта (процесса) в материальной или идеальной форме, отражающий существенные свойства моделируемого объекта (процесса) и замещающий его в ходе исследования и управления. Модель может полностью или частично воспроизводить структуру, которая моделируется, систему и ее функции.
Метод моделирования основывается на принципе аналогии, т. е. возможности изучения реального объекта не непосредственно, а через рассмотрение подобного ему и более доступного объекта, его модели.
Моделирование — процесс построения, реализации и исследования модели, который способен заменить реальную систему и дать информацию о ней.
Математическая модель — система математических и логических соотношений, которые описывают структуру и функции реальной системы. Математическая модель отличается по своей природе от оригинала. Исследование свойств оригинала с помощью математической модели удобнее, является более дешевым, занимает меньше времени по сравнению с физическим моделированием, которое используется в технике (т.е. имеет ту же природу, что и оригинал). Более того, целый ряд экономических систем невозможно изобразить с помощью физических моделей.
Экономико-математическая модель включает в себя систему уравнений и неравенств математического описания экономических процессов и явлений, которые состоят из набора переменных и параметров. Переменные величины характеризуют, например, объем выработанной продукции, капитальных вложений, перевозок и т.п. Переменные разделяются на две группы: объясняющие (независимые), которые являются заранее заданными и независимыми; объясняемые (зависимые), которые являются результативными показателями. Переменные величины могут быть двух групп: внешние переменные (экзогенные), когда они определяются вне данной модели и считаются для модели заданными; внутренние переменные (эндогенные), которые определяются в результате исследования данной модели. Параметры — это численные признаки показателей, такие, как нормы расходов сырья, материалов, времени на производство и т.п. Во всех случаях необходимо, чтобы модель имела достаточно детальное описание объекта, которое позволяло бы осуществлять измерение экономических величин и определять их взаимосвязь, чтобы были выделены факторы, влияющие на исследуемые показатели.
Эконометрическая модель — разновидность экономико-математической модели, параметры которой оцениваются с помощью методов математической статистики. Одним из основных подходов в измерении связи между исследуемыми показателями в эконометрической модели является корреляционно-регрессионный анализ. Он представляет собой комплекс методов, с помощью которых определяется вид уравнения для описания исследуемых показателей и производится расчет их параметров (регрессионный анализ), а также устанавливается теснота и значимость связи между переменными в уравнении или уравнениях (корреляционный анализ).
Экономико-математические методы — обобщенное название комплекса экономико-математических подходов, объединенных для изучения экономики и управления и предназначенных для построения, реализации и исследования экономических моделей.
Классификации экономико-математических моделей, что имеет немаловажное методологическое значение. Существует несколько классификаций экономико-математических моделей. С нашей точки зрения экономико-математические модели можно классифицировать по таким признакам:
2) степени вероятности;
3) способу описания;
4) способу учета измены процесса по времени;
5) точности математического отображения рассматриваемых явлений.
По назначению модели целесообразно разбить на четыре класса: имитационные; балансовые; сетевые; оптимизационные.
По степени вероятности модели разделяются на два типа: вероятностные (стохастические), параметры которых и внешние изменения носят случайный характер; детерминированные, в которых игнорируется случайный характер изменения параметров.
По способу описания модели делятся на три класса: аналитические, в которых показатели описываются математическими формулами или системой формул; эконометрические (статистические), которые предназначены для анализа и прогнозирования рассматриваемых экономических явлений в условиях неопределенности исходных данных и реализуются методами математической статистики; смешанные, в которых наиболее простые блоки описываются аналитическими зависимостями, а в других блоках, где описание аналитическими формулами может привести к значительным искажениям, используется эконометрическое моделирование.
По способу учета изменения процесса по времени модели разделяются на три класса: статические, в которых предусматривается, что входные параметры не изменяются по времени; многошаговые, в которых время протекания процесса делится на «шаги» (интервалы) и в рамках одного шага процесс рассматривается статическим; динамические, где учитывается непрерывное изменение времени.
По точности математического отображения рассматриваемых явлений модели делятся на две группы: линейные, зависимости в которых имеют переменные первой степени и не включают их обратных величин и произведение переменных; нелинейные, зависимости, отображаемые в модели, не являются линейными.
Процесс построения экономико-математических моделей общего типа состоит из следующих взаимосвязанных этапов.
Первый этап — постановка задачи, где формируется цель запланированного мероприятия, ставятся задачи исследования, проводится качественное описание объекта.
Второй этап — разработка описательной модели, где формулируются и обосновываются показатели и система основных предположений.
Третий этап — разработка математической модели изучаемого объекта с выбором методов исследования, программного обеспечения ПК или составление алгоритма и программы для ПК по новым задачам.
Четвертый этап — решение задачи на базе разработанной модели, состоящее в реализации пакета прикладных или разработанных программ для ПК.
Пятый этап — проверка и настройка модели, т.е. установление соответствия модели описываемому экономическому процессу.
Шестой этап — представление результатов решения в форме, удобной для изучения, анализ материалов модели на основе обработки результатов.
Вопросы для самоконтроля
1. Что изучает экономико-математическое моделирование?
2. Дать определение понятия «экономико-математическая модель».
3. Кто из ученых впервые ввел понятие «эконометрия»?
4. Кому из ученых принадлежит приоритет в разработке самого популярного подхода в решении оптимизационных задач — линейного программирования?
5. Как называется метод решения задач линейного программирования и кто его предложил?
6. Что изучает наука кибернетика и какова ее связь с экономико-математическим моделированием?
7. По каким признакам осуществляется классификация экономико-математических моделей?
8. Назовите основные этапы экономико-математического моделирования.
Назначение экономико-математических моделей (ЭММ).
Назначение экономико-математических моделей (ЭММ).
Эконометрика – наука, дающая количественное выражение взаимосвязей экономических явлений и процессов. Базируется на экономической теории, экономической статистике, экономических измерениях, математико-статистическом инструментарии и предназначена для построения эконометрических моделей, которые используются для оценивания и прогнозирования значений экономических переменных, недоступных для измерения.
Основная цель: модельное описание конкретных количественных взаимосвязей, обусловленных общими качественными закономерностями, изученными в экономической теории.
Экономико-математическая модель объекта – это математически выраженная связь между его экономическими переменными (набор графиков или таблиц), система математических уравнений (или неравенств), связывающая воедино экономические переменные объекта. Говорят, что модель предназначена для объяснения эндогенных (те, которые создаются в модели – «y» короче :)) переменных при помощи экзогенных (наоборот, которые были известны – «х» то бишь) переменных.
Задачи: Обнаружение и анализ закономерностей в экономике; построение на базе выявленных закономерностей эконометрических моделей.
Два принципа спецификации эконометрических
моделей и их формы
Первый принцип спецификации эконометрической модели заключается в том, что спецификация модели возникает в результате перевода на математический язык экономических утверждений, причем привлекаются, по возможности, линейные алгебраические функции (Или коротко после преобразования модели к математическому языку).
Второй принцип требует, чтобы количество уравнений, составляющих спецификацию модели, в точности совпадало с количеством эндогенных переменных, включённых в модель.
Типы уравнений в ЭММ: поведенческие уравнения и тождества (на примере макромодели).
Экономическим объектом служит закрытая экономика. Ее состояние в текущем периоде t описывается переменными (Yt, Ct, It). Требуется составить спецификацию макромодели, позволяющей объяснять отмеченные выше переменные
2. Типы переменных в экономических моделях. Структурная и приведённая форма модели (на примере макромодели). Компактная запись.
Лаговые и предопределённые переменные динамической модели.
· Предопределенные – текущие и лаговые экзогенные переменные, выступают в роли-факторов-аргументов или объясняющих переменных.
· Лаговыми называются экзогенные и эндогенные переменные экономических моделей, датированные предыдущими моментами времени и находящиеся в уравнении с текущими переменными. Модели, имеющие лаговые переменные, называются дискретными.
Модель Линтнера корректировки размера дивидендов.
Пусть pt – текущая прибыль фирмы на акцию после уплаты налогов (в литературе по управлению финансами эта величина традиционно обозначается аббревиатурой EPSt), Dt – дивиденды на акцию, которые фирма выплачивает своим акционерам в текущем периоде (традиционное обозначение DPSt). Известный американский экономист Дж. Линтнер, анализируя дивидендную политику фирм, сформулировал в 1956 г. следующие утверждения:
«У фирмы имеется долгосрочная целевая доля γ текущей прибыли и соответствующий этой доле уровень дивидендов 
(желаемый уровень), которые фирма хотела бы выплачивать своим акционерам. Текущий уровень реальных дивидендов, Dt является средневзвешенным значением желаемого объема текущих дивидендов, и их реального уровня в предшествующем периоде, Dt-1».
— время, 
— коэффициент корректировки
Компактная запись.
Запишем модель в компактном виде. Для этого введем векторы
соответственно текущих эндогенных переменных и предопределенных переменных модели. Тогда модель предстанет в компактной записи с матрицами:
4. Спецификация и преобразование к приведённой форме эконометрических моделей. Эконометрическая модель Самуэльсона–Хикса делового цикла экономики. Компактная запись.
Спецификация и преобразование к приведённой форме эконометрических моделей.
Существует 2 принципа спецификации (подробного описания) эконометрических моделей.
Первый принцип спецификации эконометрической модели заключается в том, что спецификация модели возникает в результате перевода на математический язык экономических утверждений, причем привлекаются, по возможности, линейные алгебраические функции.
Второй принцип требует, чтобы количество уравнений, составляющих спецификацию модели, в точности совпадало с количеством эндогенных переменных, включённых в модель.
Модель, возникающая на этапе спецификации, как правило, имеет структурную форму, отражающую заложенные в модель экономические утверждения. В такой форме эндогенные переменные модели не выражены явно через ее экзогенные переменные. При помощи алгебраических преобразований модель от структурной формы может быть трансформирована к приведённой форме, где каждая эндогенная переменная представляется в виде явной функции только экзогенных переменных модели. Приведённая форма модели непосредственно предназначена для прогноза (объяснения) эндогенных переменных при помощи экзогенных переменных. В частном случае структурная форма модели совпадает с приведённой.
Свойства
1. Операции ковариации и корреляции симметричны относительно своих аргументов;
2. Ковариация и корреляция между независимыми переменными равны 0;
3. 
4. 
;
5. 
;
6. 
7. 
12. Случайная переменная и закон её распределения. Закон распределения Фишера. Квантиль, F крит уровня 
и её расчёт в Excel.
Опр1. Случайная величина Функция 
называется случайной величиной на вероятностном пространстве 
, 
.
Опр2. Случайной называют переменную которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед не известное и зависящее от случайных причин, которые невозможно заранее учесть.
Опр3. Переменная x с областью изменения X называется случайной, если свои возможные значения q из множества X переменная x принимает в результате некоторого опыта со случайными элементарными исходами вида 
.
Закон распределения – функция 
скалярного аргумента q, определенная на всей числовой прямой, характеризующую объективную возможность появления в опыте значений q случайной переменной x.
Полной характеристикой СП служит её дифференциальный закон распределения (ЗР). Так называется функция 
скалярного аргумента q, определённая на всей числовой прямой, характеризующая объективную возможность появления в опыте 
значений СП x. Если x – ДСП, то
Для дискретной величины 
Для непрерывной величины 
Закон распределения Фишера
F распределение 
, где 
, – независимые случайные величины, распределённые по закону 
со степенями свободы 
и 
.
Плотность 
,где 
(с неотрицательной областью изменения 
, Г(n+1)=n!, а и 
соответственно натуральные числа (параметры закона Фишера).
Случайная переменная (СП) x именуется дискретной (ДСП), если множество X состоит из конечного или счётного количества констант qi, то есть
Если же X есть некоторый интервал числовой прямой, конечный или бесконечный, то есть
X = (a, b), то СП x называется непрерывной (НСП).
Пусть 
— две независимые случайные переменные, имеющие 
распределение с числом степеней свободы n и m.
Случайная переменная 
называется дробью Фишера, эта величина распределена по закону Стьюдента. Это позволяет при любом альфа вычислить 
, удовлетворяющее уравнению
также называется t крит уровня 
Это двухсторонний квантиль распределения Стьюдента с числом степеней свободы n.
Эту величины также можно вычислить с помощь Excel, используя функцию FРАСПОБР по аргументам 
.
13. Случайный вектор и его основные количественные характеристики (на примере вектора 
левых частей схемы Гаусса – Маркова при гомоскедастичном неавтокоррелированном остатке).
Рассмотрим набор случайных переменных 
. Этот упорядоченный набор называется случайным вектором и обозначается 
:
(1)
Его основными характеристиками служат:
1) Вектор ожидаемых значений компонент:
так называют вектор констант, компоненты которого – мат. ожидания компонент вектора 
.
2) Ковариационная матрица:
(2)
По главной диагонали располагаются дисперсии компонент случайного вектора. Недиагональные элементы это ковариации компонентов. Например, 
— это дисперсия компоненты 
вектора (1). Элемент 
— это ковариация компонент 
и 
вектора (1) Матрица является симметричной.
ЛММР
Объясняющие переменные 
в общем случае не зависят от случайного остатка 
. Данная модель является базовой моделью эконометрики, потому что к такому виду может быть трансформирована практически любая эконометрическая модель в виде изолированного уравнения.
19. Схема Гаусса-Маркова (на примере модели Оукена).
Пусть в рамках исследуемой модели величины связаны следующим образом:
, причём 
Она называется системой уравнений наблюдения объекта в рамках исследуемой линейной модели, или иначе – схемой Гаусса-Маркова ( 
). Вот компактная запись этой схемы 
где 
— вектор известных значений эндогенной переменной yt модели;
— вектор неизвестных значений случайных возмущений ut;
— матрица известных значений предопределенной переменной wt модели, расширенная столбцом единиц; наконец,
– вектор неизвестных коэффициентов уравнения модели.
Оценку вектора обозначим 
. Тот факт, что эта оценка вычисляется по выборочным данным при помощи некоторой статистической процедуры, отразим: 
Данная процедура именуется линейной относительно вектора 
значений эндогенной переменной yt, если: 
.
, где матрица коэффициентов, зависящих только от выборочных значений W предопределенной переменной wt
Понятие статистической процедуры оценивания параметров эконометрической модели. Линейные стат. процедуры. Требования к наилучшей стат. процедуре.
Пусть имеется выборка
значений переменных x и y модели
Данная выборка получена на этапе наблюдения и предназначена для оценивания параметров модели
В рамках данной модели величины (*) связаны следующей СЛАУ:
Она называется системой уравнений наблюдения объекта в рамках исследуемой линейной модели, или иначе – схемой Гаусса-Маркова. Вот компактная запись этой схемы 
.
где 
— вектор известных значений эндогенной переменной yt модели;
— вектор неизвестных значений случайных возмущений ut;
— матрица известных значений предопределенной переменной x исходной модели, расширенная столбцом единиц (при наличии a0);
Наконец, 
– вектор неизвестных коэффициентов уравнения модели.
Оценку вектора обозначим 
. Тот факт, что эта оценка вычисляется по выборочным данным при помощи некоторой статистической процедуры, отразим: 
Данная процедура именуется линейной относительно вектора 
значений эндогенной переменной yt, если: 
.
, где матрица коэффициентов, зависящих только от выборочных значений X предопределенной переменной хt.
Класс таких всевозможных линейных процедур оценивания по исходной выборке вектора 
обозначим символом F.
, i=0,1 (эффективности).
21. Теорема Гаусса-Маркова – Эйткена. Вывод выражения 
.
Теорема (Гаусс, Марков, Эйткен). Пусть матрица X уравнений наблюдений размера n 
(k+1), где n>(k+1), обладает линейно-независимыми столбцами, а случайные возмущения удовлетворяют 4-м условиям:
Cov(xmi,uj) = 0 при всех значениях m=1,…k; i и j. (4)
a) наилучшая линейная процедура (9.12) имеет вид
(5)
б) линейная несмещённая эффективная оценка (9.21) обладает свойством наименьших квадратов
(6)
в) ковариационная матрица оценки (9.21) вычисляется по правилу
; (7)
г) несмещённая оценка параметра s2модели находится по формуле:
(8)
где (k+1) – количество неизвестных коэффициентов функции регрессии.
Нам необходимо отыскать процедуру M(X), трансформирующей вектор 
в вектор наилучших оценок коэффициентов. Тогда наша задача построить 
, удовлетворяющим двум условиям оптимальности. 
Из предпосылок (1), (4), а также свойств ковариации следует, что
Cov( 
Также (11) можно представить в виде 
Или 
. (12)
Теперь рассмотрим требование о минимальной дисперсии.
(из свойства Var(ax+by)= 
)
Тогда получим следующую задачу 
Решив задачу получим 
Подставим в(9) и получим 
(13)
Теперь сопоставляя (10) и (13) получим
22. Теорема Гаусса-Маркова – Эйткена. Вывод выражения Cov 
.
Теорема (Гаусс, Марков, Эйткен). Пусть матрица X уравнений наблюдений размера n (k+1), где n>(k+1), обладает линейно-независимыми столбцами, а случайные возмущения удовлетворяют 4-м условиям:
Cov(xmi,uj) = 0 при всех значениях m=1,…k; i и j. (4)
a) наилучшая линейная процедура (9.12) имеет вид
(5)
б) линейная несмещённая эффективная оценка (9.21) обладает свойством наименьших квадратов
(6)
в) ковариационная матрица оценки (9.21) вычисляется по правилу
; (7)
г) несмещённая оценка параметра s2модели находится по формуле:
(8)
где (k+1) – количество неизвестных коэффициентов функции регрессии.
Рассмотрим процедуру Эйткена 
С учетом 
и 
(теорема Фишера),
Где M = 
, получим 
(9)
23. Теорема Гаусса-Маркова – Эйткена. Вывод свойства обобщенного метода наименьших квадратов (ОМНК), 
Теорема (Гаусс, Марков, Эйткен). Пусть матрица X уравнений наблюдений размера n (k+1), где n>(k+1), обладает линейно-независимыми столбцами, а случайные возмущения удовлетворяют 4-м условиям:
Cov(ui,uj)=0, i≠j (3) Cov(xmi,uj) = 0 при всех значениях m=1,…k; i и j. (4)
Тогда: a) наилучшая линейная процедура (9.12) имеет вид
(5)
б) линейная несмещённая эффективная оценка (9.21) обладает свойством наименьших квадратов
(6)
в) ковариационная матрица оценки (9.21) вычисляется по правилу
; (7)
г) несмещённая оценка параметра s2модели находится по формуле:
(8) где (k+1) – количество неизвестных коэффициентов функции регрессии.
. (1) 
(2)
M = , (3) 
. (4)
Обратимся к схеме Гаусса-Маркова и перепишем её по-другому:
На время будем здесь рассматривать вектор 
как переменный, тогда вектор 
оказывается функцией (аффинным преобразованием) вектора . Далее, по правилу
(5)
образуем квадратичную (сложную) функцию вектора .
Нас интересует ответ на вопрос: при каком же значении переменного вектора функция (5) достигает своего безусловного минимума? Ответ находится, очевидно, в итоге решения следующей задачи на безусловный экстремум
.
Можно проверить, что единственным решением служит именно вектор 
. Это обстоятельство и проясняет причину упомянутого выше названия данной процедуры – обобщённый метод наименьших квадратов.
Подставим значение 
= вектора в ,
результат подстановки обозначим
, где 
(9.37)
В частном случае, когда 
, величина 
имеет особенно простой вид:
= 
= ESS,
так что свойство наименьших квадратов обосновано.
24. Теорема Гаусса-Маркова – Эйткена. Вывод оценки дисперсии единицы веса, 
.
Теорема (Гаусс, Марков, Эйткен). Пусть матрица X уравнений наблюдений размера n (k+1), где n>(k+1), обладает линейно-независимыми столбцами, а случайные возмущения удовлетворяют 4-м условиям:
Cov(xmi,uj) = 0 при всех значениях m=1,…k; i и j. (4)
a) наилучшая линейная процедура (9.12) имеет вид
(5)
б) линейная несмещённая эффективная оценка (9.21) обладает свойством наименьших квадратов
(6)
в) ковариационная матрица оценки (9.21) вычисляется по правилу
; (7)
г) несмещённая оценка параметра s2модели находится по формуле:
(8)
где (k+1) – количество неизвестных коэффициентов функции регрессии.
Перепишем схему Гаусса-Маркова в следующем виде: 
Рассмотрим величину (квадратичная сложная форма вектора а); она зависит, очевидно, от выборки, а значит является случайной переменной. Какие количественные характеристики имеет эта переменная? Можно доказать (делать этого здесь не будем), что
Получается, что величина
(*)
служит несмещённой оценкой константы 
. Заметим, что при 
формула (*) превращается в выражение
При условии, что
(для парной регрессии)
Так 
; 
; 
и с использованием ковариационных правил, можно доказать, что
(для множественной регрессии аналогично)
Правило ранга.
Чтобы сформулировать критерий идентифицируемости i-ro уравнения (1.1), потребуется понятие ограничений на его коэффициенты.
Определение 17.1. Ограничениями на коэффициенты i-ro уравнения модели (1.1) называется система из однородных линейных алгебраических уравнений
(17.30)
которым априорно удовлетворяет вектор 
(17.31)
коэффициентов i-го уравнения модели (1.1).
Итак, полагаем, что для i-го поведенческого уравнения модели (1.1) построена матрица Ri ограничений (17.30), состоящая из Li строк и G + К столбцов. Подчеркнем, что Li