Что называется частным дифференциалом функции

Что называется частным дифференциалом функции

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Частным дифференциалом по х функции Z=f(x, y) называется главная часть частного приращения Δ_xZ=f(x+Δx,y)-f(x,y), пропорциональная приращению Δx независимой переменной х. Аналогично определяется частный дифференциал по у, т.е. Δ_yZ=f(y+Δy,x)-f(x,y).

Таким образом, частный дифференциал функции двух независимых переменных равен произведению соответствующей частной производной на дифференциал этой переменной.

Таким же образом, как для функции двух переменных, определяются частные приращения и частные дифференциалы функций любого числа независимых переменных.

Приращение, которое получает функция Z=f(x,y) при произвольных совместных изменениях ее обоих аргументов называется полным приращением:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Полным дифференциалом функции двух переменных называется главная часть полного приращения функции, линейная относительно приращений независимых переменных.

Теорема. Полный дифференциал функции двух независимых переменных равен сумме произведений частных производных функции на дифференциалы соответствующих независимых переменных.

dZ=f’_x(x,y)dx+f’_y(x,y)dy или

Так как dx=d_xZ и dy=d_yZ, то dZ=d_xZ+d_yZ, т.е. дифференциал функции двух независимых переменных равен сумме ее частных дифференциалов.

Определение дифференциала переносится на функции любого числа независимых переменных.

Пример 7. Найти dz

Найдем частные производные

Следовательно,

Источник

Частные производные. Частные дифференциалы

Содержание:

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Пусть функция z — /(х, у) определена в некоторой области D на плоскости хОу. Возьмем внутреннюю точку (х, у) из области D и дадим х приращение Ах такое, чтобы точка (х + Ах, у) 6 D (рис.9). Величину назовем частным приращением функции z по х. Составим отношение Для данной точки (х, у) это отношение является функцией от Определение.

Необходимые условия дифференцируемости функции

Достаточные условия дифференцируемсти функций нескольких переменных Полный дифференциал. Частные дифференциалы Производные сложной функции частной производной по х функции z = /(х, у) называется обычная производная этой функции по х, вычисленная в предположении, что у — постоянная; частной производной по у функции z — /(х, у) называется ее производная по у, вычисленная в предположении, что х — постоянная.

Отсюда следует, что правила вычисления частных производных совпадают с правилами, доказанными для функции одной переменной. Пример. Найти частные производные функции 4 Имеем Заменами*. Из существования у функции г = /(х, у) в данной точке частных производных по всем аргументам не вытемает непрерывности функции в этой точке. Так, функция не является непрерывной в точке 0(0,0). Однако в этой точке указанная функция имеет частные производные по х и по у.

Это следует из того, что /(х, 0) = 0 и /(0, у) = 0 и поэтому Геометрический смысл частных производных функции двух переменных Пусть в трехмерном пространстве поверхность S задана уравнением где f(x, у) — функция, непрерывная в некоторой области D и имеющая там частные производные по х и по у. Выясним геометрический смысл этих производных в точке Мо(хо,уо) 6 D, которой на поверхности z = fy) соответствует точка f(x0>yo)).

Возможно вам будут полезны данные страницы:

При нахождении частной производной вточке М0 мы полагаем, что z является только функцией аргумента х, тогда как аргумент у сохраняет постоянное значение у = уо, т. е. Функция fi(x) геометрически изображается кривой L, по которой поверхность S пересекается плоскостью у = у о. В силу геометрического смысла производной функции одной переменной f\(xo) = tg а, где а — угол, образованный касательной к линии L в точке JV0 с осью Ох (рис. 10).

Формулу (1) можно записать более компактно, если ввести выражение (расстояние между точками ( Пользуясь им, можем написать Обозначив выражение, стоящее в скобнах, через е, будем иметь где с зависит от Дж, Ду и стремится к нулю, если Дж 0 и Ду 0, или, короче, если р 0. Формулу (1), выражающую условие дифференцируемости функции z = f

Если функция г = /(ж, у) дифференцируема в некоторой точке, то она в этой точке непрерывна.

Достаточные условия дифференцируемое™ функций нескольких переменных Как известно, необходимым и достаточным условием дифференцируемости функции у = /(х) одной переменной в точке хо являетсясу шествование конечной производной /'(х) в точке х0. В случае, когда функция зависит от нескольких переменных, дело обстоит значительно сложнее: необходимых и достаточных условий дифференцируемости нет уже для функ ии z = /(х, у) двух независимых переменных х, у; есть лишь отдельно необходимые условия (см. выше) и отдельно — достаточные.

Эти достаточные условия дифференцируемости функций нескольких переменных выражаются следующей теоремой. Теорема в. Если функция имеет частные производные /£ и f’v в некоторой окрестности тонки (хо, Уо) и если эти производные непрерывны в самой точке (хо,Уо), то функция z = f(x, у) дифференцируема в точке (х- Пример. Рассмотрим функцию Частные производные Геометрический смысл частных производных функции двух переменных Дифференцируемость функции нескольких переменных Необходимые условия дифференцируемости функции Достаточные условия дифференцируемсти функций нескольких переменных Полный дифференциал.

Она определена всюду. Исходя из определения частных производных, имеем Для наощдрлм* дифференцируемое™ данной функции в точке 0(0,0) найдем и приращение этой точит Для дифференцируем ости функции /(х,у) = в точив 0(0,0) необходимо, чтобы функция е(Дх, Ду) быле 6всконеио малой при Дх 0 и Ду 0. Положим Д0. Тогда из формулы (1) будем иметь Поэтому функции /(х,у) = не дифференцируема в точке 0(0,0), хотя и имеет в этой точке производим fa и f’r

Производные сложной функции

Тогда x и у получат некоторые приращения Ах и Ду. В результате этого при (Дж)2 + (Ду)2 Ф 0 функция z также получит некоторое приращение Дг, которое в силу дифференцируемости функции z = /(ж, у) в точке (х, у) может быть представлено в виде где а) стремятся к нулю при стремлении к нулю Ах и Ду. Доопределим а и /3 при Ах = Ау = 0, положив а Тогда а( будут непрерывны при Дж = Ду = 0. Рассмотрим отношение Имеем В каждом слагаемом^ в

Пусть где в свою очередь так что Предположим, что в точке (() существуют непрерывные частные производные щ, 3?» а в соответствующей точке (ж,у), где Функция /(ж, у) дифференцируема. Покажем, что при этих условиях сложная фуншия z = z(<> у) в точке t7) имеет производные и щ, и найдем выражения для этих производных.

Заметим, что этот случай от уже изученного существенно не отличается. Действительно, при дифференцировании z по £ вторая независимая переменная rj принимается за постоянную, вследствие чего ж и у при этой операции становятся функциями одной переменной ж» = с), у = с) и вопрос о производной Ц решается совершенно так же, как вопрос о производной при выводе формулы (3). Используя формулу (3) и формально заменяя в ней производные § и ^ на производные щ и соответственно, получим Аналогично находим Пример.

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Источник

Частные и полный дифференциалы функции нескольких переменных

Понятие функции двух переменных

Такая функциональная зависимость аналитически обозначается

Значения аргументов x и y, которым соответствуют действительные значения функции z, считаются допустимыми, а множество всех допустимых пар значений x и y называют областью определения функции двух переменных.

Для функции нескольких переменных, в отличие от функции одной переменной, вводят понятия ее частных приращений по каждому из аргументов и понятие полного приращения.

Частным приращением Δ_xz функции z=f (x,y) по аргументу x называется приращение, которое получает эта функция, если ее аргумент x получает приращение Δx при неизменном y:

Частным приращением Δ_yz функции z= f (x, y) по аргументу y называется приращение, которое получает эта функция, если ее аргумент y получает приращение Δy при неизменном x:

Полным приращением Δz функции z= f (x, y) по аргументам x и y называется приращение, которое получает функция, если оба ее аргумента получают приращения:

При достаточно малых приращениях Δx и Δy аргументов функции

имеет место приближенное равенство:

Частные производные функции двух переменных

, (6)

Аналогично определяют производную функции z=f (x, y) по аргументу y:

Кроме указанного обозначения, частные производные функции обозначают также , z΄_x, f΄_x(x, y); , z΄_y, f΄_y(x, y).

Основной смысл частной производной состоит в следующем: частная производная функции нескольких переменных по какому-либо из ее аргументов характеризует скорость изменения данной функции при изменении этого аргумента.

При вычислении частной производной функции нескольких переменных по какому-либо аргументу все остальные аргументы этой функции считаются постоянными.

Пример1. Найти частные производные функции

Решение. При нахождении частной производной этой функции по аргументу x аргумент y считаем постоянной величиной:

;

При нахождении частной производной по аргументу y аргумент x считаем постоянной величиной:

.

Частные и полный дифференциалы функции нескольких переменных

Частным дифференциалом функции нескольких переменных по какому—либо из ее аргументов называется произведение частной производной этой функции по данному аргументу на дифференциал этого аргумента:

d_xz= , (7)

d_yz= (8)

Полным дифференциалом функции нескольких переменных называется сумма ее частных дифференциалов:

Так как частные производные этой функции найдены в примере 1, то получаем

Частный дифференциал функции нескольких переменных по каждому из ее аргументов является главной частью соответствующего частного приращения функции.

Вследствие этого можно записать:

Δ_xz d_xz, Δ_yz d_yz, (11)

Аналитический смысл полного дифференциала заключается в том, что полный дифференциал функции нескольких переменных представляет собой главную часть полного приращения этой функции.

Таким образом, имеет место приближенное равенство

Δz dz, (12)

На использовании формулы (12) основано применение полного дифференциала в приближенных вычислениях.

Представим приращение Δz в виде

f (x + Δx; y + Δy) – f (x, y)

а полный дифференциал в виде

f (x + Δx, y + Δy) – f (x, y) ,

, (13)

3.Цель деятельности студентов на занятии:

Студент должен знать:

1. Определение функции двух переменных.

2. Понятие частного и полного приращения функции двух переменных.

3. Определение частной производной функции нескольких переменных.

4. Физический смысл частной производной функции нескольких переменных по какому- либо из ее аргументов.

5. Определение частного дифференциала функции нескольких переменных.

6. Определение полного дифференциала функции нескольких переменных.

7. Аналитический смысл полного дифференциала.

Студент должен уметь:

1. Находить частные и полное приращение функции двух переменных.

2. Вычислять частные производные функции нескольких переменных.

3. Находить частные и полные дифференциалы функции нескольких переменных.

4. Применять полный дифференциал функции нескольких переменных в приближенных вычислениях.

1. Понятие функции нескольких переменных.

2. Функция двух переменных. Частное и полное приращение функции двух переменных.

3. Частная производная функции нескольких переменных.

4. Частные дифференциалы функции нескольких переменных.

5. Полный дифференциал функции нескольких переменных.

6. Применение полного дифференциала функции нескольких переменных в приближенных вычислениях.

1.Найдите частные производные функций:

1) ; 4) ;

2) z= e ху+2 x ; 5) z= 2tg хе у ;

3) z= х 2 sin 2 y; 6) .

2. Найдите частные и полные дифференциалы функций:

1) ; 4) ;

2) ; 5) ;

3) ; 6) .

3.С использованием полного дифференциала найдите приближенно значение функций:

1) z= (х+у) 2 при следующих значениях ее аргументов: х =1,02 ; у =1,01.

2) z= tg (ху) при следующих значениях ее аргументов: х =п/4+0,01; у =1,01.

5.Перечень вопросов для проверки исходного уровня знаний:

1. Приведите примеры, когда одна из изучаемых величин зависит от нескольких независимых между собой величин.

2. Дайте определение функции двух переменных.

3. Что называется частным и полным приращением?

4. Дайте определение частной производной функции по данному аргументу.

5. Что называется частным и полным дифференциалом функции двух переменных? Как они связаны между собой?

6. Перечень вопросов для проверки конечного уровня знаний:

1. Равно ли в общем случае произвольной функции нескольких переменных ее полное приращение сумме всех частных приращений?

2. В чем состоит основной смысл частной производной функции нескольких переменных по какому-либо из ее аргументов?

3. В чем состоит аналитический смысл полного дифференциала?

7.Хронокарта учебного занятия:

1. Организационный момент – 5 мин.

2. Разбор темы – 20 мин.

5. Подведение итогов занятия – 5 мин.

8. Перечень учебной литературы к занятию:

1. Морозов Ю.В. Основы высшей математики и статистики. М., «Медицина», 2004, §§ 4.1–4.5.

2. Павлушков И.В. и др. Основы высшей математики и математической статистики. М., «ГЭОТАР-Медиа», 2006, § 3.3.

Источник

При выполнении некоторых расчётов в исследованиях, проектировании, анализе полученных опытных путём данных часто возникает необходимость предварительной прикидки результата, которую удобно выполнять, используя дифференциал функции. Приближённые вычисления, выполненные с его помощью, могут дать новые направления дальнейшего изучения объектов и их разработок.

Понятие и геометрический смысл дифференциала

Пусть y = f (x) имеет производную

Применяя свойства предела функции, получают равенство

После умножения обеих частей на приращение аргумента Δx, образуется тождество:

в котором в правой части записано слагаемое, являющееся бесконечно малой одного порядка с Δx, далее идет слагаемое более высокого порядка.

Определение 1

Дифференциалом функции y = f (x) первого порядка называется главная часть её приращения f′(x)Δx, которую обозначают dy (или d(f(x)).

Для наглядного представления и понимания определения рассматривается касательная к графику функции y = f(x) в точке x. Когда значение переменной сдвигается по построенной прямой (получает приращение) на некоторую малую величину Δx, значение второй координаты точки тоже меняется.

Значит, дифференциал функции y = f(x) в точке x равен приращению ординаты касательной, когда её абсцисса меняется на величину Δx.

Определение 2

Дифференциал от дифференциала называется дифференциалом второго порядка. Таким же рекуррентным образом вводятся понятия дифференциалов более высоких порядков.

Формы записи дифференциала

Для нахождения дифференциала независимой переменной рассматривают функцию y = x, учитывая, что x’ = 1, а, следовательно:

Отсюда получается формула:

Для второго порядка вводится обозначение d 2 y.

Свойства дифференциала

Существующая таблица производных помогает выделить некоторые свойства дифференциалов, например, для суммы, произведения, частного получаются следующие правила:

Одним из важных свойств является инвариантность (неизменность) формы записи, независимо от того, является ли функция элементарной или композицией элементарных (сложной). Фактически,

Примеры решения задач

Задача №1

Найти дифференциал функции

Задача №2

Вычислить значение дифференциала функции

В помощь студентам создан онлайн калькулятор, который позволяет ввести функцию, нажать кнопку и получить форму или значение дифференциала.

Если dx есть константа, то для высших порядков имеет место следующая формула:

Этот результат вытекает непосредственно из определения:

Задача №3

Найти d 2 y, если y = cos2x и x – независимая переменная.

Если x – функция от некоторой другой независимой переменной, то свойство инвариантности перестаёт работать, следовательно,

Задача №4

Найти d 2 y, если y = x 2 и x = t 3 + 1, t – независимый аргумент.

Нетрудно заметить, что если выразить y напрямую через t, то получится тот же результат.

с высокой степенью точности можно вычислить приращение любой дифференцируемой зависимости.

Раскрыв Δy, сделав соответствующие преобразования, приходят к формуле приближённых вычислений:

Задача №5

Вычислить приближённо arctg1,05.

Пусть f(x) = arctg x. Тогда

Полный дифференциал функции

Математика не ограничивается множеством функций одного независимого аргумента. Рассматриваются зависимости от двух и более переменных.

Определения похожи, отличается вид главной части. Рассматриваются несколько слагаемых.

Например, если z = f(x;y) то

Последнее равенство есть формула полного дифференциала. Для функции нескольких переменных сохраняется принцип построения.

Если рассматривают приращения только по одной переменной, то приходят к понятию частных дифференциалов.

Заключение

Высшая математика позволяет находить приближённо общий корень системы уравнений, пользуясь дифференциальным исчислением, делать прикидку результатов, прогнозировать получаемое.

Источник