Понятие системы счисления, базиса и основания, виды систем счисления.
Система счисления — это совокупность правил записи чисел посредством конечного набора символов (цифр)
Базисом позиционной системы счисления называется последовательность чисел, каждое из которых задает количественное значение или «вес» каждого разряда.
Основанием позиционной системы счисления называется количество знаков или символов, используемых для изображения числа в данной системе счисления.
Непозиционная система счисления — система счисления, в ко- торой значение каждой цифры не зависит от ее положения в записи числа.
Позиционная система счисления — система счисления, в которой значение каждой цифры зависит от ее положения в записи числа.
Смешанная система счисления является обобщением <\displaystyle b>b-ичной системы счисления и также зачастую относится к позиционным системам счисления.
Основные недесятичные системы счисления.
1) Древнегреческая нумерация.
2) Римская нумерация.
3) Древнеармянская и Древнегрузинская нумерация.
4) Вавилонскаяпоместная нумерация.
5) Славянская нумерация
Правила перевода чисел из одной системы счисления в другую.
Преобразование в десятичную систему счисления.
Преобразование из десятичной системы счисления в другие.
1. Последовательно делим целую часть десятичного числа на основании системы, в которую переводим, пока десятичное число не станет равно нулю.
2. Полученные при делении остатки являются цифрами искомого числа. Число в новой системе записывают, начиная с последнего остатка.
1. Дробную часть десятичного числа умножаем на основание системы, в которую требуется перевести. Отделяем целую часть. Продолжаем умножать дробную часть на основание новой системы, пока она не станет равной 0.
2. Число в новой системе составляют целые части результатов умножения в порядке, соответствующем их получению.
3. Преобразование из двоичной в восьмеричную и шестнадцатеричную системы
Преобразование из восьмеричной и шестнадцатеричной систем в двоичную.
Перевод из восьмеричной в двоичную — преобразуем каждый разряд восьмеричного числа в двоичное 3-х разрядное число делением на 2 (более подробно о делении см. выше пункт “Преобразование из десятичной системы счисления в другие”), недостающие крайние разряды заполним ведущими нулями.
Преобразование дробной части двоичной системы в 8- и 16-ую.
Перевод дробной части осуществляется также, как и для целых частей числа, за тем лишь исключением, что разбивка на группы по 3 и 4 цифры идёт вправо от десятичной запятой, недостающие разряды дополняются нулями справа.
Преобразование дробной части десятичной системы в любую другую.
Для перевода дробной части числа в другие системы счисления нужно обратить целую часть в ноль и начать умножение получившегося числа на основание системы, в которую нужно перевести. Если в результате умножения будут снова появляться целые части, их нужно повторно обращать в ноль, предварительно запомнив (записав) значение получившейся целой части. Операция заканчивается, когда дробная часть полностью обратится в нуль.
Действия над числами в различных системах счисления.
Арифметические операции во всех позиционных системах счисления выполняются по одним и тем же хорошо известным правилам.
Таблицы сложения в любой позиционной системе счисления легко составить, используя правило счета:
Если сумма складываемых цифр больше или равна основанию системы счисления, то единица переносится в следующий слева разряд.
Понятие окна.
Окна – один из основных, самых важных элементов Windows. В их честь названа сама операционная система. В виде окон открываются папки, программы, файлы. В окне выводится содержимое папок, дисков, запущенные программы, создаваемые документы, а также запросы и сообщения Windows.
Назначение элементов окна.
Основные элементы окон Windows:
· Строка заголовка. Слева на ней находится системный значок (щелчок на нем вызывает системное меню окна, двойной щелчок окно закрывает), рядом со значком, в зависимости от типа окна — имя открытой папки (или путь к этой папке, зависит от настроек); имя документа и название программы, в которой он открыт; название диалогового окна, справа расположены:
· Кнопки управления окном: свернуть на панель задач, развернуть во весь экран (свернуть в окно), закрыть.
· Строка меню. У каждого окна диска, папки, программы есть собственная строка меню, зачастую не похожая на другие, а некоторые программы вообще этой строки не имеют. В строке меню расположены названия команд, такие как Файл, Правка, Вид, Справка и другие, при щелчке на которых открывается меню, позволяющее выбрать различные команды.
· Панель инструментов. В каждом окне есть своя панель инструментов, она содержит значки, как правило, дублирующие самые часто используемые команды, находящиеся в списке команд строки меню. Предназначена для ускорения работы в окне папки, программы и большего удобства для пользователя.
· Адресная строка. Довольно важный элемент окна, обеспечивает удобную навигацию, быстрый переход по структуре папок на компьютере. А также быстрый поиск папки или файла по адресу их местоположения. В адресную строку, к примеру, в браузере вводят данные веб-страницы (URL-адрес), благодаря чему мы и «гуляем» по Интернету.
· Панель типичных задач. Расположена в левой части окна и позволяет выполнять различные задачи, в зависимости от его содержимого.
· Рабочее поле. Основная часть окна, в ее пространстве расположены диски, файлы и папки (если это окно папки), для Word рабочим полем является лист.
· Полоса прокрутки. Этот элемент окна появляется в том случае, когда информация не помещается в окне по ширине или высоте. Таким образом, перемещая движок лифта, можно просмотреть все содержимое окна по вертикали или по горизонтали.
· Строка состояния. Располагается внизу окна (ее наличие обусловлено настройками окна или программы). Она показывает служебную информацию. Так, в программе MS Word строка состояния показывает количество страниц и разделов в документе, язык текста и другую информацию.
Дата добавления: 2018-05-12 ; просмотров: 2334 ; Мы поможем в написании вашей работы!
Всем привет, в этой статье пойдет речь пойдет про позиционные системы счисления. На этой странице вы найдете основные определения, краткую историю, свойства и преимущества использования позиционных нумераций в сравнении с непозиционными.
Краткий экскурс в прошлое
Историками принято считать, что первыми основоположниками, заложившими начало развития позиционных форм записи, являлись древние шумеры и вавилоняне. В пятом веке, на этом фундаменте индийцы создают систему счисления, алфавит которой состоял из цифр от 0 до 9.
Её популяризации послужил индийский математик Абу́ Абдулла́х (или Абу Джафар) Муха́ммад ибн Муса́ аль-Хорезми́, используя её в своей работе, которая называлась «Краткая книга о восполнении и противопоставлении».
В этом трактате впервые появились такие слова, как равно и алгоритм, а также он являлся основой для создания таких наук как алгебра и арифметика. С десятого века появляются упоминания о появлении позиционной десятичной формы записи в Европе.
В двенадцатом веке математик Леонардо Фибоначчи издал работу, где показывал достоинства позиционных счислений над непозиционными. К основным достоинствам ученый отнес компактную запись и удобство выполнения арифметических операций над числами с большими значениями.
В Российской Империи знаки арабского алфавита начинают использовать с восемнадцатого века, полностью вытеснив славянско-кириллическую форму записи.
Зная краткую историю, можно перейти к основным определениям, которые помогут в освоении данной темы.
Основные определения
Итак, первое, что вам нужно знать – что такое основание позиционной системы счисления.
Основанием (или базисом) называется количество знаков (цифр), которые будут использоваться вами для того, чтобы изобразить нужное числовое значение.
Понятие может показаться непонятным, однако ничего сложного в нем нет. Так в десятичной нумерации, которая включает себя цифры от нуля до девяти, базис будет равен 10, а для цифрового (двоичного) кода, который широко используется в информатике, основание будет равно 2, так как в качестве знаков используются только ноль и единица.
Также здесь нужно показать каким образом для удобства в математике записывается основание. А записывается оно с помощью нижнего индекса, например:
Это говорит о том, что здесь «одиннадцать» относится к двоичной нумерации. Ниже я приведу ещё несколько примеров, как могут выглядеть записи.
И еще одно важное понятие, которое нужно знать – что такое разряд.
Числовым разрядом – называется место (позиция) цифры, которое она занимает в числе.
Также вам нужно запомнить очень важное правило: отсчет позиции начинается с нуля. Не спрашивайте, почему так придумали математики – объяснить это трудно, да и не нужно. Примите его как данность.
Чтобы вам было понятно, как считаются позиции, приведем ниже изображение:
Разобравшись с этими положениями можно перейти к главному определению. Вначале я напишу его полностью, а потом попытаюсь подробно разобрать. Итак:
Позиционной называется система, которая определяется числом b>1. Где b – называется базисом системы счисления. Системы с основанием b, могут также называться b-ичными. Любое целое числовое значение x, записанное в системе с основанием b можно представить в виде линейной комбинации, которая выглядит следующим образом:
Где N-номер крайней позиции, отсчет вести справа налево.
Если вы разобрались с предыдущим материалом, и вы имеете по алгебре хотя бы «3», то вам должно быть всё понятно, а если нет, то ниже я попробую разжевать всё для чайников.
Разбор и пояснения
Все определение строится на коэффициенте b (базисе), который должен быть больше единицы, а это значит, что позиционных форм записи может быть бесконечное множество. Двоичная, троичная, четвертичная, пятеричная, десятеричная и даже тысячеричная. Для отображения тысячеричной нумерации вы можете использовать все цифры, а после того как они закончатся перейти на китайский алфавит– ограничений нет.
Что касается второй части, которая представлена в виде формулы, то она показывает правила, с помощью которых можно представлять числа в системах с различными основаниями. Например, возьмем «счастливое» тринадцать. По формуле выше оно будет представляться вот так:
То есть
Про представление всё, ниже приведем несколько свойств, которые могут вам понадобиться, и перечислим примеры популярных позиционных нумераций.
Свойства
Примеры
Заключение
На это наша статья по позиционным системам счисления и характеристикам сс завершается. В этом разделе вы сможете почитать, как выполнять арифметические операции, а также научиться переводу из одной нумерации в другую. Если у вас есть подробности, то задавайте их в комментариях в форме, представленной ниже.
Символы, при помощи которых записывается число, называются цифрами.
Системы счисления, в которых количественный эквивалент каждой цифры зависит от ее положения (позиции) в коде(записи) числа, называютсяпозиционными.
Основанием позиционной системы счисления называется количество знаков или символов, используемых для изображения числа в данной системе счисления.
Базисом позиционной системы счисления называется последовательность чисел, каждое из которых задает количественное значение или «вес» каждого разряда.
Например: Базисы некоторых позиционных систем счисления.
Совокупность различных цифр, используемых в позиционной системе счисления для записи чисел, называется алфавитом системы счисления. Количество цифр в алфавите равно основанию системы счисления.
Например: Алфавиты некоторых позиционных систем счисления.
Задания
Запишите базисы следующих систем счисления:
4. Двенадцатеричная с.с.
5. Двадцатеричная с.с.
6. Тридцатишестиричная с.с.
Базисы каких позиционных систем счисления записаны:
Запишите алфавиты следующих систем счисления:
Алфавиты каких позиционных систем счисления записаны:
В какой системе счисления с наименьшим основанием записаны данные числа
26.101, 358, 109, 24, 6D
27.2153, 7070, A19B, FF, 57241
2. Представление чисел в позиционных системах счисления.
Например, число 15936 в десятичной системе счисления можно записать так:
Задания
Запишите в развернутой форме записи числа:
Запишите в числа с свернутой форме записи:
3. Двоичная система счисления
В двоичной с.с. для записи чисел используются только две цифры: 0 и 1. Основание двоичной с.с. равно 2. Двоичное число представляет собой цепочку нулей и единиц.
Изучая кодировки, я понял, что недостаточно хорошо понимаю системы счислений. Тем не менее, часто использовал 2-, 8-, 10-, 16-ю системы, переводил одну в другую, но делалось все на “автомате”. Прочитав множество публикаций, я был удивлен отсутствием единой, написанной простым языком, статьи по столь базовому материалу. Именно поэтому решил написать свою, в которой постарался доступно и по порядку изложить основы систем счисления.
Введение
Система счисления — это способ записи (представления) чисел.
Что под этим подразумевается? Например, вы видите перед собой несколько деревьев. Ваша задача — их посчитать. Для этого можно — загибать пальцы, делать зарубки на камне (одно дерево — один палец\зарубка) или сопоставить 10 деревьям какой-нибудь предмет, например, камень, а единичному экземпляру — палочку и выкладывать их на землю по мере подсчета. В первом случае число представляется, как строка из загнутых пальцев или зарубок, во втором — композиция камней и палочек, где слева — камни, а справа — палочки
Системы счисления подразделяются на позиционные и непозиционные, а позиционные, в свою очередь, — на однородные и смешанные.
Непозиционная — самая древняя, в ней каждая цифра числа имеет величину, не зависящую от её позиции (разряда). То есть, если у вас 5 черточек — то число тоже равно 5, поскольку каждой черточке, независимо от её места в строке, соответствует всего 1 один предмет.
Позиционная система — значение каждой цифры зависит от её позиции (разряда) в числе. Например, привычная для нас 10-я система счисления — позиционная. Рассмотрим число 453. Цифра 4 обозначает количество сотен и соответствует числу 400, 5 — кол-во десяток и аналогично значению 50, а 3 — единиц и значению 3. Как видим — чем больше разряд — тем значение выше. Итоговое число можно представить, как сумму 400+50+3=453.
Однородная система — для всех разрядов (позиций) числа набор допустимых символов (цифр) одинаков. В качестве примера возьмем упоминавшуюся ранее 10-ю систему. При записи числа в однородной 10-й системе вы можете использовать в каждом разряде исключительно одну цифру от 0 до 9, таким образом, допускается число 450 (1-й разряд — 0, 2-й — 5, 3-й — 4), а 4F5 — нет, поскольку символ F не входит в набор цифр от 0 до 9.
Смешанная система — в каждом разряде (позиции) числа набор допустимых символов (цифр) может отличаться от наборов других разрядов. Яркий пример — система измерения времени. В разряде секунд и минут возможно 60 различных символов (от «00» до «59»), в разряде часов – 24 разных символа (от «00» до «23»), в разряде суток – 365 и т. д.
Непозиционные системы
Как только люди научились считать — возникла потребность записи чисел. В начале все было просто — зарубка или черточка на какой-нибудь поверхности соответствовала одному предмету, например, одному фрукту. Так появилась первая система счисления — единичная.
Единичная система счисления
Число в этой системе счисления представляет собой строку из черточек (палочек), количество которых равно значению данного числа. Таким образом, урожай из 100 фиников будет равен числу, состоящему из 100 черточек. Но эта система обладает явными неудобствами — чем больше число — тем длиннее строка из палочек. Помимо этого, можно легко ошибиться при записи числа, добавив случайно лишнюю палочку или, наоборот, не дописав.
Для удобства, люди стали группировать палочки по 3, 5, 10 штук. При этом, каждой группе соответствовал определенный знак или предмет. Изначально для подсчета использовались пальцы рук, поэтому первые знаки появились для групп из 5 и 10 штук (единиц). Все это позволило создать более удобные системы записи чисел.
Древнеегипетская десятичная система
Почему она называется десятичной? Как писалось выше — люди стали группировать символы. В Египте — выбрали группировку по 10, оставив без изменений цифру “1”. В данном случае, число 10 называется основанием десятичной системы счисления, а каждый символ — представление числа 10 в какой-то степени.
Числа в древнеегипетской системе счисления записывались, как комбинация этих символов, каждый из которых повторялся не более девяти раз. Итоговое значение равнялось сумме элементов числа. Стоит отметить, что такой способ получения значения свойственен каждой непозиционной системе счисления. Примером может служить число 345:
Вавилонская шестидесятеричная система
В отличии от египетской, в вавилонской системе использовалось всего 2 символа: “прямой” клин — для обозначения единиц и “лежачий” — для десятков. Чтобы определить значение числа необходимо изображение числа разбить на разряды справа налево. Новый разряд начинается с появления прямого клина после лежачего. В качестве примера возьмем число 32: Число 60 и все его степени так же обозначаются прямым клином, что и “1”. Поэтому вавилонская система счисления получила название шестидесятеричной. Все числа от 1 до 59 вавилоняне записывали в десятичной непозиционной системе, а большие значения — в позиционной с основанием 60. Число 92: Запись числа была неоднозначной, поскольку не существовало цифры обозначающей ноль. Представление числа 92 могло обозначать не только 92=60+32, но и, например, 3632=3600+32. Для определения абсолютного значения числа был введен специальный символ для обозначения пропущенного шестидесятеричного разряда, что соответствует появлению цифры 0 в записи десятичного числа: Теперь число 3632 следует записывать, как:
Шестидесятеричная вавилонская система — первая система счисления, частично основанная на позиционном принципе. Данная система счисления используется и сегодня, например, при определении времени — час состоит из 60 минут, а минута из 60 секунд.
Римская система
Римская система не сильно отличается от египетской. В ней для обозначения чисел 1, 5, 10, 50, 100, 500 и 1000 используются заглавные латинские буквы I, V, X, L, C, D и M соответственно. Число в римской системе счисления — это набор стоящих подряд цифр.
Позиционные системы счисления
Как упоминалось выше — первые предпосылки к появлению позиционной системы возникли в древнем Вавилоне. В Индии система приняла форму позиционной десятичной нумерации с применением нуля, а у индусов эту систему чисел заимствовали арабы, от которых её переняли европейцы. По каким-то причинам, в Европе за этой системой закрепилось название “арабская”.
Десятичная система счисления
Это одна из самых распространенных систем счисления. Именно её мы используем, когда называем цену товара и произносим номер автобуса. В каждом разряде (позиции) может использоваться только одна цифра из диапазона от 0 до 9. Основанием системы является число 10.
Для примера возьмем число 503. Если бы это число было записано в непозиционной системе, то его значение равнялось 5+0+3 = 8. Но у нас — позиционная система и значит каждую цифру числа необходимо умножить на основание системы, в данном случае число “10”, возведенное в степень, равную номеру разряда. Получается, значение равно 5*10 2 + 0*10 1 + 3*10 0 = 500+0+3 = 503. Чтобы избежать путаницы при одновременной работе с несколькими системами счисления основание указывается в качестве нижнего индекса. Таким образом, 503 = 50310.
Помимо десятичной системы, отдельного внимания заслуживают 2-, 8-, 16-ая системы.
Двоичная система счисления
Эта система, в основном, используется в вычислительной технике. Почему не стали использовать привычную нам 10-ю? Первую вычислительную машину создал Блез Паскаль, использовавший в ней десятичную систему, которая оказалась неудобной в современных электронных машинах, поскольку требовалось производство устройств, способных работать в 10 состояниях, что увеличивало их цену и итоговые размеры машины. Этих недостатков лишены элементы, работающие в 2-ой системе. Тем не менее, рассматриваемая система была создана за долго до изобретения вычислительных машин и уходит “корнями” в цивилизацию Инков, где использовались кипу — сложные верёвочные сплетения и узелки.
Двоичная позиционная система счисления имеет основание 2 и использует для записи числа 2 символа (цифры): 0 и 1. В каждом разряде допустима только одна цифра — либо 0, либо 1.
Примером может служить число 101. Оно аналогично числу 5 в десятичной системе счисления. Для того, чтобы перевести из 2-й в 10-ю необходимо умножить каждую цифру двоичного числа на основание “2”, возведенное в степень, равную разряду. Таким образом, число 1012 = 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 4+0+1 = 510.
Хорошо, для машин 2-я система счисления удобнее, но мы ведь часто видим, используем на компьютере числа в 10-й системе. Как же тогда машина определяет какую цифру вводит пользователь? Как переводит число из одной системы в другую, ведь в её распоряжении всего 2 символа — 0 и 1?
Чтобы компьютер мог работать с двоичными числами (кодами), необходимо чтобы они где-то хранились. Для хранения каждой отдельной цифры применяется триггер, представляющий собой электронную схему. Он может находится в 2-х состояниях, одно из которых соответствует нулю, другое — единице. Для запоминания отдельного числа используется регистр — группа триггеров, число которых соответствует количеству разрядов в двоичном числе. А совокупность регистров — это оперативная память. Число, содержащееся в регистре — машинное слово. Арифметические и логические операции со словами осуществляет арифметико-логическое устройство (АЛУ). Для упрощения доступа к регистрам их нумеруют. Номер называется адресом регистра. Например, если необходимо сложить 2 числа — достаточно указать номера ячеек (регистров), в которых они находятся, а не сами числа. Адреса записываются в 8- и 16-ричной системах (о них будет рассказано ниже), поскольку переход от них к двоичной системе и обратно осуществляется достаточно просто. Для перевода из 2-й в 8-ю число необходимо разбить на группы по 3 разряда справа налево, а для перехода к 16-ой — по 4. Если в крайней левой группе цифр не достает разрядов, то они заполняются слева нулями, которые называются ведущими. В качестве примера возьмем число 1011002. В восьмеричной — это 101 100 = 548, а в шестнадцатеричной — 0010 1100 = 2С16. Отлично, но почему на экране мы видим десятичные числа и буквы? При нажатии на клавишу в компьютер передаётся определённая последовательность электрических импульсов, причём каждому символу соответствует своя последовательность электрических импульсов (нулей и единиц). Программа драйвер клавиатуры и экрана обращается к кодовой таблице символов (например, Unicode, позволяющая закодировать 65536 символов), определяет какому символу соответствует полученный код и отображает его на экране. Таким образом, тексты и числа хранятся в памяти компьютера в двоичном коде, а программным способом преобразуются в изображения на экране.
Восьмеричная система счисления
8-я система счисления, как и двоичная, часто применяется в цифровой технике. Имеет основание 8 и использует для записи числа цифры от 0 до 7.
Шестнадцатеричная система счисления
Шестнадцатеричная система широко используется в современных компьютерах, например при помощи неё указывается цвет: #FFFFFF — белый цвет. Рассматриваемая система имеет основание 16 и использует для записи числа: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B. C, D, E, F, где буквы равны 10, 11, 12, 13, 14, 15 соответственно.
Помимо рассмотренных позиционных систем счисления, существуют и другие, например: 1) Троичная 2) Четверичная 3) Двенадцатеричная
Позиционные системы подразделяются на однородные и смешанные.
Однородные позиционные системы счисления
Определение, данное в начале статьи, достаточно полно описывает однородные системы, поэтому уточнение — излишне.
Смешанные системы счисления
К уже приведенному определению можно добавить теорему: “если P=Q n (P,Q,n – целые положительные числа, при этом P и Q — основания), то запись любого числа в смешанной (P-Q)-ой системе счисления тождественно совпадает с записью этого же числа в системе счисления с основанием Q.”
Смешанными системами счисления также являются, например: 1) Факториальная 2) Фибоначчиева
Перевод из одной системы счисления в другую
Иногда требуется преобразовать число из одной системы счисления в другую, поэтому рассмотрим способы перевода между различными системами.
Для перевода в шестнадцатеричную — разбиваем двоичное число на группы по 4 цифры справа налево, затем — аналогично преобразованию из 2-й в 8-ю.
Преобразование из восьмеричной и шестнадцатеричной систем в двоичную
Перевод из восьмеричной в двоичную — преобразуем каждый разряд восьмеричного числа в двоичное 3-х разрядное число делением на 2 (более подробно о делении см. выше пункт “Преобразование из десятичной системы счисления в другие”), недостающие крайние разряды заполним ведущими нулями.
Для примера рассмотрим число 458: 45 = (100) (101) = 1001012
Перевод из 16-ой в 2-ю — преобразуем каждый разряд шестнадцатеричного числа в двоичное 4-х разрядное число делением на 2, недостающие крайние разряды заполняем ведущими нулями.
Преобразование дробной части любой системы счисления в десятичную
Преобразование осуществляется также, как и для целых частей, за исключением того, что цифры числа умножаются на основание в степени “-n”, где n начинается от 1.
Преобразование дробной части двоичной системы в 8- и 16-ую
Перевод дробной части осуществляется также, как и для целых частей числа, за тем лишь исключением, что разбивка на группы по 3 и 4 цифры идёт вправо от десятичной запятой, недостающие разряды дополняются нулями справа.
Преобразование дробной части десятичной системы в любую другую
Для перевода дробной части числа в другие системы счисления нужно обратить целую часть в ноль и начать умножение получившегося числа на основание системы, в которую нужно перевести. Если в результате умножения будут снова появляться целые части, их нужно повторно обращать в ноль, предварительно запомнив (записав) значение получившейся целой части. Операция заканчивается, когда дробная часть полностью обратится в нуль.
Для примера переведем 10,62510 в двоичную систему: 0,625*2 = 1,25 0,250*2 = 0,5 0,5*2 = 1,0 Записав все остатки сверху вниз, получаем 10,62510 = (1010), (101) = 1010,1012
