Что называется абсолютной продольной деформацией бруса

Растяжение-сжатие.

Внутренние усилия при растяжении-сжатии.

Чтобы выявить участки стержня или его сечения, где продольная сила имеет наибольшее значение, строят эпюру продольных сил, применяя метод сечений, подробно рассмотренный в статье:
Анализ внутренних силовых факторов в статистически определимых системах
Ещё настоятельно рекомендую взглянуть на статью:
Расчёт статистически определимого бруса
Если разберёте теорию в данной статье и задачи по ссылкам, то станете гуру в теме «Растяжение-сжатие» =)

Напряжения при растяжении-сжатии.

Определенная методом сечений продольная сила N, является равнодействующей внутренних усилий распределенных по поперечному сечению стержня (рис. 2, б). Исходя из определения напряжений, согласно выражению (1), можно записать для продольной силы:

где σ — нормальное напряжение в произвольной точке поперечного сечения стержня.
Чтобы определить нормальные напряжения в любой точке бруса необходимо знать закон их распределения по поперечному сечению бруса. Экспериментальные исследования показывают: если нанести на поверхность стержня ряд взаимно перпендикулярных линий, то после приложения внешней растягивающей нагрузки поперечные линии не искривляются и остаются параллельными друг другу (рис.6, а). Об этом явлении говорит гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли): сечения, плоские до деформации, остаются плоскими и после деформации.

Так как все продольные волокна стержня деформируются одинаково, то и напряжения в поперечном сечении одинаковы, а эпюра напряжений σ по высоте поперечного сечения стержня выглядит, как показано на рис.6, б. Видно, что напряжения равномерно распределены по поперечному сечению стержня, т.е. во всех точках сечения σ = const. Выражение для определения величины напряжения имеет вид:

Таким образом, нормальные напряжения, возникающие в поперечных сечениях растянутого или сжатого бруса, равны отношению продольной силы к площади его поперечного сечения. Нормальные напряжения принято считать положительными при растяжении и отрицательными при сжатии.

Деформации при растяжении-сжатии.

Рассмотрим деформации, возникающие при растяжении (сжатии) стержня (рис.6, а). Под действием силы F брус удлиняется на некоторую величину Δl называемую абсолютным удлинением, или абсолютной продольной деформацией, которая численно равна разности длины бруса после деформации l₁ и его длины до деформации l

Отношение абсолютной продольной деформации бруса Δl к его первоначальной длине l называют относительным удлинением, или относительной продольной деформацией:

При растяжении продольная деформация положительна, а при сжатии – отрицательна. Для большинства конструкционных материалов на стадии упругой деформации выполняется закон Гука (4), устанавливающий линейную зависимость между напряжениями и деформациями:

где модуль продольной упругости Е, называемый еще модулем упругости первого рода является коэффициентом пропорциональности, между напряжениями и деформациями. Он характеризует жесткость материала при растяжении или сжатии (табл. 1).

Модуль продольной упругости для различных материалов

Абсолютная поперечная деформация бруса равна разности размеров поперечного сечения после и до деформации:

Соответственно, относительную поперечную деформацию определяют по формуле:

При растяжении размеры поперечного сечения бруса уменьшаются, и ε ‘ имеет отрицательное значение. Опытом установлено, что в пределах действия закона Гука при растяжении бруса поперечная деформация прямо пропорциональна продольной. Отношение поперечной деформации ε ‘ к продольной деформации ε называется коэффициентом поперечной деформации, или коэффициентом Пуассона μ:

Экспериментально установлено, что на упругой стадии нагружения любого материала значение μ = const и для различных материалов значения коэффициента Пуассона находятся в пределах от 0 до 0,5 (табл. 2).

Абсолютное удлинение стержня Δl прямо пропорционально продольной силе N:

Произведение (Е·А) называют жесткостью сечения стержня при растяжении (сжатии).

Механические свойства материалов.

Пластичность – свойство материала выдерживать без разрушения большие остаточные деформации. Неисчезающие после снятия внешних нагрузок деформации называются пластическими.

Хрупкость – свойство материала разрушаться при очень малых остаточных деформациях (например, чугун, бетон, стекло).

Идеальная упругость – свойство материала (тела) полностью восстанавливать свою форму и размеры после устранения причин, вызвавших деформацию.

Твердость – свойство материала сопротивляться проникновению в него других тел.

Рассмотрим диаграмму растяжения стержня из малоуглеродистой стали. Пусть круглый стержень длинной l₀ и начальным постоянным поперечным сечением площади A₀ статически растягивается с обоих торцов силой F.

Диаграмма сжатия стержня имеет вид (рис. 10, а)

Расчеты на прочность и жесткость при растяжении и сжатии.

Опасным сечением при растяжении и сжатии называется поперечное сечение бруса, в котором возникает максимальное нормальное напряжение. Допускаемые напряжения вычисляются по формуле:

Расчеты на прочность при растяжении и сжатии.

Целью расчета любой конструкции является использование полученных результатов для оценки пригодности этой конструкции к эксплуатации при минимальном расходе материала, что находит отражение в методах расчета на прочность и жесткость.

Условие прочности стержня при его растяжении (сжатии):

При проектном расчете определяется площадь опасного сечения стержня:

При определении допускаемой нагрузки рассчитывается допускаемая нормальная сила:

Расчет на жесткость при растяжении и сжатии.

Работоспособность стержня определяется его предельной деформацией [ l ]. Абсолютное удлинение стержня должно удовлетворять условию:

Часто дополнительно делают расчет на жесткость отдельных участков стержня.

Следующая важная статья теории:
Изгиб балки

Источник

Тема 2.2. Растяжение и сжатие. Продольные и поперечные деформации. Закон Гука

Иметь представление о продольных и поперечных деформациях и их связи.

Знать закон Гука, зависимости и формулы для расчета напря­жений и перемещений.

Уметь проводить расчеты на прочность и жесткость стати­чески определимых брусьев при растяжении и сжатии.

Деформации при растяжении и сжатии

Рассмотрим деформацию бруса под действием продольной силы F (рис. 21.1).

В сопротивлении материалов принято рассчитывать деформа­ции в относительных единицах:

Между продольной и поперечной деформациями существует за­висимость

где μ— коэффициент поперечной деформации, или коэффициент Пуассона, —характеристика пластичности материала.

Закон Гука

В пределах упругих деформаций деформации прямо пропорци­ональны нагрузке:

где F — действующая нагрузка; к — коэффициент. В современной форме:

где Е — модуль упругости, ха­рактеризует жесткость материала.

В пределах упругости нормальные напряжения пропорциональ­ны относительному удлинению.

Значение Е для сталей в пределах (2 – 2,1) • 10 5 МПа. При прочих равных условиях, чем жестче материал, тем меньше он деформируется:

Формулы для расчета перемещений поперечных сечений бруса при растяжении и сжатии

Используем известные формулы.

В результате получим зависимость между нагрузкой, размерами бруса и возникающей деформацией:

Δl — абсолютное удлинение, мм;

σ — нормальное напряжение, МПа;

l — начальная длина, мм;

Е — модуль упругости материала, МПа;

N — продольная сила, Н;

А — площадь поперечного сечения, мм 2 ;

Произведение АЕ называют жесткостью сечения.

Выводы

1. Абсолютное удлинение бруса прямо пропорционально вели­чине продольной силы в сечении, длине бруса и обратно пропорцио­нально площади поперечного сечения и модулю упругости.

2. Связь между продольной и поперечной деформациями зави­сит от свойств материала, связь определяется коэффициентом Пуас­сона, называемом коэффициентом поперечной деформации.

Коэффициент Пуассона: у стали μ от 0,25 до 0,3; у пробки μ = 0; у резины μ = 0,5.

3. Поперечные деформации меньше продольных и редко влияют на работоспособность детали; при необходимости поперечная дефор­мация рассчитывается через продольную.

где Δа — поперечное сужение, мм;

а_о — начальный поперечный раз­мер, мм.

4. Закон Гука выполняется в зоне упругих деформаций, которая определяется при испытаниях на растяжение по диаграмме растяже­ния (рис. 21.2).

При работе пластические деформации не должны возни­кать, упругие деформации малы по сравнению с геометрическими размерами тела. Основные расче­ты в сопротивлении материалов проводятся в зоне упругих де­формаций, где действует закон Гука.

На диаграмме (рис. 21.2) закон Гука действует от точки 0 до точки 1.

5. Определение деформации бруса под нагрузкой и сравнение ее с допускаемой (не нарушающей работоспособности бруса) называют расчетом на жесткость.

Примеры решения задач

Пример 1. Дана схема нагружения и размеры бруса до деформации (рис. 21.3). Брус защемлен, определить перемещение свободного конца.

Решение

1. Брус ступенчатый, по­этому следует построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений.

Делим брус на участки нагружения, определяем продольные силы, строим эпюру продольных сил.

2. Определяем величины нор­мальных напряжений по сечениям с учетом изменений площади поперечного сечения.

Строим эпюру нормальных напряжений.

3. На каждом участке опре­деляем абсолютное удлинение. Результаты алгебраически сумми­руем.

Примечание. Балка за­щемлена, в заделке возникает неизвестная реакция в опоре, поэтому расчет начинаем со сво­бодного конца (справа).

1. Два участка нагружения:

2.

Три участка по напряжениям:

Решение

1. Заданный брус имеет пять участков /, //, III, IV, V (рис. 2.9, а). Эпюра продольных сил показана на рис. 2.9, б.

2. Вычислим напряжения в поперечных сечениях каж­дого участка:

Эпюра нормальных напряжений построена на рис. 2.9, в.

3. Перейдем к определению перемещений поперечных сечений. Перемещение свободного конца бруса опреде­ляется как алгебраическая сумма удлинений (укорочений) всех его участков:

Подставляя числовые значения, получаем

4. Перемещение сечения С, в котором приложена сила Р₂, определяется как алгебраическая сумма удлинений (уко­рочений) участков ///, IV, V:

Подставляя значения из предыдущего расчета, полу­чаем

Таким образом, свободный правый конец бруса пере­мещается вправо, а сечение, где приложена сила Р₂, — влево.

5. Вычисленные выше значения перемещений можно полу­чить и другим путем, пользуясь принципом независимости действия сил, т. е. определяя перемещения от действия каждой из сил Р₁; Р_2; Р₃ в отдельности и суммируя ре­зультаты. Рекомендуем учащемуся проделать это само­стоятельно.

Решение

Абсолютное удлинение стержня

Продольная деформация стержня

Согласно закону Гука

Решение

1. Для определения продольных усилий в стерж­нях АВ и ВС вырезаем узел В. Предполагая, что стерж­ни АВ и ВС растянуты, направляем возникающие в них усилия N₁ и N₂ от узла (рис. 2.10, 6). Составляем уравнения равновесия:

Усилие N₂ получилось со знаком минус. Это указы­вает на то, что первоначальное предположение о направ­лении усилия неверно — фактически этот стержень сжат.

2. Вычислим удлинение стальной тяги Δl₁ и укорочение подкоса Δl₂:

Тяга АВ удлиняется на Δl₁ = 2,2 мм; подкос ВС уко­рачивается на Δl₁ = 7,4 мм.

3. Для определения перемещения точки В мысленно разъединим стержни в этом шарнире и отметим их новые длины. Новое положение точки В определится, если де­формированные стержни АВ₁ и В₂С свести вместе путем их вращения вокруг точек А и С (рис. 2.10, в). Точки В₁ и В₂ при этом будут перемещаться по дугам, которые вследствие их малости могут быть заменены отрезками прямых В₁В’ и В₂В’, соответственно перпендикулярными к АВ₁ и СВ₂. Пересечение этих перпендикуляров (точка В’) дает новое положение точки (шарнира) В.

4. На рис. 2.10, г диаграмма перемещений точки В изо­бражена в более крупном масштабе.

5. Горизонтальное пере­мещение точки В

где составляющие отрезки определяются из рис. 2.10, г;

Подставляя числовые значения, окончательно получаем

При вычислении перемещений в формулы подстав­ляются абсолютные значения удлинений (укорочений) стержней.

Контрольные вопросы и задания

1. Стальной стержень длиной 1,5 м вытянулся под нагрузкой на 3 мм. Чему равно относительное удлинение? Чему равно относительное сужение? (μ = 0,25.)

2. Что характеризует коэффициент поперечной деформации?

3. Сформулируйте закон Гука в современной форме при растяжении и сжатии.

4. Что характеризует модуль упругости материала? Какова единица измерения модуля упругости?

5. Запишите формулы для определения удлинения бруса. Что характеризует произведение АЕ и как оно называется?

6. Как определяют абсолютное удлинение ступенчатого бруса, нагруженного несколькими силами?

7. Ответьте на вопросы тестового задания.

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам.

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все.

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:

Источник

Деформации

Рассмотрим прямой брус постоянного сечения длиной (рис. 1.5), заделанный одним концом и на­груженный на другом конце растягивающей силой Р. Под действием силы Р брус удлиняется на некото­рую величину , которая называется полным (или абсолютным) удлинением (абсолютной продольной деформацией).

Рис. 1.5. Деформация бруса

В любых точках рассматриваемого бруса имеется одинаковое напряжённое состояние и, следова­тельно, линейные деформации для всех его точек одинаковы. По­этому значение е можно определить как отношение абсолютного удлинения к первоначальной длине бруса , т.е.

Брусья из различных материалов удлиняются различно. Для случаев, когда напряжения в брусе не превышают предела пропорциональности, опытом установлена следующая зависимость:

где N- продольная сила в поперечных сечениях бруса; F- площадь поперечного сечения бруса; Е- ко­эффициент, зависящий от физических свойств материала.

Учитывая, что нормальное напряжение в поперечном сечении бруса σ = N/F, получаем ε = σ/Е. От­куда σ = εЕ.

Абсолютное удлинение бруса выражается формулой

Более общей является следующая формулировка закона Гука: относительная продольная деформа­ция прямо пропорциональна нормальному напряжению. В такой формулировке закон Гука использует­ся не только при изучении растяжения и сжатия брусьев, но и в других разделах курса.

Произведение EF называется жёсткостью поперечного сечения бруса при растяжении и сжатии.

Отношение является относительной поперечной деформацией.

Опыт показывает, что при напряжениях, не превышающих предела упругости, относительная попе­речная деформация прямо пропорциональна относительной продольной деформации, но имеет обрат­ный знак:

Коэффициент пропорциональности ц зависит от материала бруса. Он называется коэффициентом поперечной деформации (или коэффициентом Пуассона) и представляет собой отношение относитель­ной поперечной деформации к продольной, взятое по абсолютной величине, т.е. коэффициент Пуассона наряду с модулем упругости Е характеризует упругие свойства материала.

Коэффициент Пуассона определяется экспериментально. Для различных материалов он имеет зна­чения от нуля (для пробки) до величины, близкой к 0,50 (для резины и парафина). Для стали коэффици­ент Пуассона равен 0,25. 0,30; для ряда других металлов (чугуна, цинка, бронзы, меди) он

имеет значе­ния от 0,23 до 0,36.

Рис. 1.6. Брус переменного поперечного сечения

Определение величины поперечного сечения стержня выполняется на основании условия прочно­сти

Определим продольное перемещение δ_а точки а оси бруса, растянутого си­лой Р( рис. 1.6).

Оно равно абсолютной деформации части бруса ad, заключённой между заделкой и сечением, проведённым через точку d, т.е. продольная деформация бруса определяется по формуле

.

Эта формула применима лишь, когда в пределах всего участка длиной продольные силы N и жёсткости EF попе­речных сечений бруса постоянны. В рассматриваемом случае на участке ab продольная сила N равна нулю (собственный вес бруса не учитываем), а на участке bd она равна Р, кроме того, площадь поперечного сечения бруса на участке ас отличается от площади сечения на участке cd. Поэтому продольную деформацию участка ad следует определять как сумму продольных деформаций трёх участков ab, Ьс и cd, для каждого из которых значения N и EF постоянны по всей его длине:

Продольные силы на рассматриваемых участках бруса

Аналогично можно определить перемещения δ любых точек оси бруса, а по их значениям построить эпюру продольных перемещений (эпюруδ), т.е. график, изображающий изменение этих перемещений по длине оси бруса.

4.2.3. Условия прочности. Расчет на жёсткость.

При проверке напряжений площади поперечных сечений F и продольные силы известны и расчёт заключается в вычислении расчётных (фактических) напряжений σ в характерных сечениях элементов. Полученное при этом наибольшее напряжение сравнивают затем с допускаемым:

При подборе сечений определяют требуемые площади [F] поперечных сечений элемента (по из­вестным продольным силам N и допускаемому напряжению [σ]). Принимаемые площади сечений F должны удовлетворять условию прочности, выраженному в следующем виде:

При определении грузоподъёмности по известным значениям F и допускаемому напряжению [σ] вычисляют допускаемые величины [N] продольных сил:

.

По полученным значениям [N] за­тем определяются допускаемые величины внешних нагрузок [P].

Для этого случая условие прочности имеет вид

Под проверкой жёсткости элемента конструкции, находящегося в состоянии чистого растяжения — сжатия, понимается поиск ответа на вопрос: достаточны ли значения жёсткостных характеристик эле­мента (модуля упругости материала Е и площади поперечного сечения F), чтобы максимальное из всех значений перемещений точек элемента, вызванных внешними силами, u_max не превысило некоторого заданного предельного значения [u]. Считается, что при нарушении неравенства u_max

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Источник