Что на координатной плоскости пишется первым
Прямоугольная система координат. Ось абсцисс и ординат
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).
Прямоугольная декартова система координат
Французский математик Рене Декарт преддложил вместо геометрических построений использовать математические расчеты. Так появился метод координат, о котором мы сейчас расскажем.
Координаты — это совокупность чисел, которые определяют положение какого-либо объекта на прямой, плоскости, поверхности или в пространстве. Например, координаты школы тоже можно записать числами — они помогут понять, где именно находится наша школа. С точками на плоскости та же история.
Координатой можно назвать номер столика в кафе, широту и долготу на географической карте, положение точки на числовой оси и даже номер телефона друга. Проще говоря, когда мы обозначаем какой-то объект набором букв, чисел или других символов, тем самым мы задаем его координаты.
Прямоугольная система координат — это система координат, которую изобрел математик Рене Декарт, ее еще называют «декартова система координат». Она представляет собой два взаимно перпендикулярных луча с началом отсчета в точке их пересечения.
Чтобы найти координаты, нужны ориентиры, от которых будет идти отсчет. На плоскости в этой роли выступят две числовые оси.
Чертеж начинается с горизонтальной оси, которая называется осью абсцисс и обозначается латинской буквой x (икс). Записывают ось так: Ox. Положительное направление оси абсцисс обозначается стрелкой слева направо.
Затем проводят вертикальную ось, которая называется осью ординат и обозначается y (игрек). Записывают ось Oy. Положительное направление оси ординат показываем стрелкой снизу вверх.
Оси взаимно перпендикулярны, а значит угол между ними равен 90°. Точка пересечения является началом отсчета для каждой из осей и обозначается так: O. Начало координат делит оси на две части: положительную и отрицательную.
Единичные отрезки располагаются справа и слева от оси Oy, вверх и вниз от оси Oy. Числовые значения на оси Oy располагаются слева или справа, на оси Ox — внизу под ней. Чаще всего единичные отрезки двух осей соответствуют друг другу, но бывают задачи, где они не равны.
Оси координат делят плоскость на четыре угла — четыре координатные четверти.
У каждой из координатных четвертей есть свой номер и обозначение в виде римской цифры. Отсчет идет против часовой стрелки:
Чтобы узнать координаты точки в прямоугольной системе координат, нужно опустить от точки перпендикуляр на каждую ось и посчитать количество единичных отрезков от нулевой отметки до опущенного перпендикуляра. Координаты записывают в скобках, первая по оси Ох, вторая по оси Оу.
Прямоугольная система координат в трехмерном пространстве
Трехмерное евклидово пространство состоит из трех взаимно перпендикулярных прямых: Ох, Оу, Оz, где Оz — ось аппликат. По направлению координатных осей есть разделение на правую и левую прямоугольные системы координат трехмерного пространства.
Оси координат пересекаются в точке О, которую называют началом. У каждой оси есть положительное направление, которое отмечается стрелкой. Если при повороте Ох против часовой стрелки на 90° ее положительное направление совпадает с положительным Оу, тогда это применимо для положительного направления Оz. Такую систему считают правой. Объясняем на пальцах! Если сравнить направление Х с большим пальцем руки, то указательный отвечает за Y, а средний за Z.
Также образуется левая система координат. Совмещать обе системы нет смысла, так как соответствующие оси не совпадут.
Координаты точки в декартовой системе координат
Для начала отложим точку М на координатной оси Ох. Любое действительное число xM равно единственной точке М, которая располагается на данной прямой. При этом начало отсчета координатных прямых всегда ноль.
Каждая точка М, которая расположена на Ох, равна действительному числу xM. Этим действительным числом и является ноль, если точка М расположена в начале координат, то есть на пересечении Оx и Оу. Если точка удалена в положительном направлении, то число длины отрезка положительно и наоборот.
Число xM — это координата точки М на заданной координатной прямой.
Пусть точка будет проекцией точки Mx на Ох, а My на Оу. Значит, через точку М можно провести перпендикулярные осям Оx и Оу прямые, после чего получим соответственные точки пересечения Mx и My.Тогда у точки Mx на оси Оx есть соответствующее число xM, а My на Оу — yM. Как это выглядит на координатных осях:
Каждой точке М на заданной плоскости в прямоугольной декартовой системе координат соответствует пара чисел (xM, yM), которые называются ее координатами. Абсцисса М — это xM, ордината М — это yM.
Обратное утверждение тоже верно: каждая пара (xM, yM) имеет соответствующую точку на плоскости.
Координаты точки в трехмерном пространстве
Сформулируем определение точки М в трехмерном пространстве.
Пусть Mx, My, Mz — это проекции точки М на соответствующие оси Оx, Оy, Оz. Тогда значения этих точек на осях примут значения xM, yM, zM. Как это выглядит на координатных прямых:
Чтобы получить проекции точки М, нужно добавить перпендикулярные прямые Оx, Оy, Оz, продолжить их и изобразить в виде плоскостей, которые проходят через М. Так плоскости пересекутся в Mx, My, Mz.
У каждой точки трехмерного пространства есть свои данные (xM, yM, zM), которые являются координатами точки М.
xM, yM, zM — это числа, которые являются абсциссой, ординатой и аппликатой данной точки М. Верно и обратное утверждение: каждая упорядоченная тройка действительных чисел (xM, yM, zM) в заданной прямоугольной системе координат имеет одну соответствующую точку М трехмерного пространства.
Урок 46 Бесплатно Координатная плоскость
До этого занятия мы обсуждали с вами только прямую и все, что с ней связано.
Сегодня урок посвятим изучению плоскости.
Узнаем, что называют координатной плоскостью и как получить её из обычной плоскости.
Познакомимся с прямоугольной системой координат на плоскости и разберем ее основные характеристики и особенности.
Выясним области применения и использования систем координат в практических целях и в жизни человека.
Научимся пользоваться прямоугольной системой координат на плоскости: определять координаты заданных точек и по заданным координатам точки находить ее положение на координатной плоскости.
Координатная плоскость и ее основные особенности
Представим движение автомобиля по прямолинейному участку дороги.
Любой прямолинейный участок дороги легко представить с помощью координатной прямой.
Координатная прямая позволяет нам связать точки на этой прямой с числом.
Вам уже известно, как из любой прямой получить координатную прямую.
Необходимо на прямой выбрать начало отсчета, задать направление и единичный отрезок (масштаб).
В результате с помощью координатной прямой вы однозначно определите, что конкретной точке на прямой соответствует ее единственное верное значение с соответствующим знаком.
И наоборот, если известна координата точки, то можно определить положение этой точки на координатной прямой.
Таким образом, для указания местоположения точки (в нашем случае автомобиля) на прямой нужна только одна координата на координатной оси.
В жизни часто приходится устанавливать положение точки по нескольким параметрам. В таком случае для однозначного определения положения точки требуется больше информации.
Предположим, купили мы билет на концерт.
Чтобы определить расположение конкретного кресла в зале, в билете указывают адрес места: номер ряда и номер кресла в ряду.
Так как каждому месту ставится в соответствие два числа, то для однозначного определения положения точки нам не будет хватать одной координатной прямой.
Для обозначения числами точного положения точки на плоскости используют математическую модель, которую называют координатной плоскостью.
Чтобы из обычной плоскости получить координатную, необходимо на этой плоскости задать определенную систему координат.
Существует различные системы координат.
Мы рассмотрим прямоугольную систему координат на плоскости.
Прямоугольной системой координат на плоскости называют систему из двух взаимно перпендикулярных прямых с общим началом отсчета и общей масштабной единицей.
Рассмотрим основные составляющие прямоугольной системы координат.
Единичный отрезок выбирается чаще всего одинаковый для каждой координатной оси.
Направление осей указывается стрелкой, каждая ось подписывается буквой.
Для координатных осей обычно выбирают положительное направление, т.е. «по умолчанию» принято использовать правостороннюю систему координат, в которой за положительное направление осей принимают ось ординат, направленную вверх, и ось абсцисс, направленную вправо.
Если приходится по каким-либо причинам использовать левостороннюю прямоугольную систему координат, то данный факт оговаривают в задаче.
Положение точки на плоскости определяется двумя упорядоченными числами: координатами х и y.
Координату точки на плоскости записывают так:
Например, координата точки A:
A(2;-1), где
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
Чтобы запомнить порядок следования абсциссы и ординаты в записи координаты точки, часто используют такое сравнение:
Представьте, многоэтажный дом, а в нем вашу квартиру.
Чтобы попасть домой, первым делом вам необходимо зайти в нужный подъезд (координата по оси Ох), а затем подняться на нужный этаж (координата по оси Оу).
Координаты могут иметь различные числовые значения, в том числе быть равными нулю.
Если ордината точки равна нулю, то точка лежит на оси Ох.
Если абсцисса точки равна нулю, то точка лежит на оси Оу.
Нумерация координатных плоскостей ведется против часовой стрелки римскими цифрами I, II, III, IV.
Если точка имеет положительную координату х (х > 0) и положительную координату у (у > 0), то она лежит в I координатной четверти.
Если точка имеет отрицательную координату х (х 0), то она лежит во II координатной четверти.
Античные ученые, мыслители (астрономы, философы, географы) на протяжении нескольких столетий пытались создать теорию о происхождении окружающего мира и всего мироздания в целом, изобразить известные им моря, океаны, страны в чертежах, а звездное небо на карте.
Благодаря великим умам появилось огромное множество фундаментальных знаний, понятий, представлений.
Появилось представление о Земле как о шаре, о ее расположение на звездном небе; создавались все более совершенные карты и планы, методы определения географических координат; на карту наносились линии широты и долготы, сетка параллелей и меридиан.
Долгое время лишь география и астрономия пользовались данными знаниями.
В XIV веке французский философ, астроном, математик Никола Орем пытался применить метод координат к геометрии.
Одной из самых важных математических работ Орема стал «Трактат о конфигурации качеств».
Именно в этой работе он ввел графическое изображение зависимости одной величины от другой с помощью прямоугольной системы координат, называя широтой и долготой то, что сейчас называют абсциссой и ординатой.
Это нововведение стало отправной точкой создания современного метода координат.
Научному обоснованию прямоугольной системы координат мы обязаны французскому ученому, философу Рене Декарту.
Он обобщил известные на то время знания по этой теме и дал научное истолкование прямоугольной системе координат.
Предложенная им прямоугольная система координат получила его имя, ее стали называть декартовой системой координат.
Координатный метод описания геометрических объектов положил начало аналитической геометрии.
Создание аналитической геометрии позволило переводить геометрические свойства тел и кривых на алгебраический язык, вместо геометрических построений использовать расчеты; кроме того, стало возможным анализировать геометрические объекты с помощью уравнений.
Развитием координатного метода и аналитической геометрии занимался также современник Рене Декарта, знаменитый французский ученый Пьер Ферма.
Однако все научные труды Ферма были опубликованы только после его смерти
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Координатная плоскость — определение расположения точек и фигур
Чтобы указать расположение точки или фигуры в двумерном пространстве, используется координатная плоскость.
С помощью этой системы осуществляется решение задач в геометрии, а также в других научных дисциплинах.
Кроме того, принцип указания точного адреса объекта с помощью двух величин получил широкое распространение во многих отраслях человеческой деятельности.
Системы координат
Под понятием координат в повседневной жизни понимается упорядоченный набор слов, цифр и прочих знаков, позволяющий определить местоположение человека, здания или другого объекта. Эти знания необходимы для ориентирования в современном обществе и организации любой человеческой деятельности.
Трудно даже представить себе мир без системы адресов и нумерации.
Примеры использования:
Таким образом, система координат необходима не только в математике.
Она буквально пронзает всю человеческую жизнь.
Без применения этих научных знаний люди не смогли бы значительно отдалиться от животных и первобытных предков.
Некоторые области применения:
По определению любая координатная система представляет собой ряд идентификационных данных, которые позволяют узнать положение точки или фигуры в пространстве, а также дают возможность проследить её перемещение.
Наибольшее распространение получила прямоугольная система координат, которую ещё называют декартовой, по имени создателя Рене Декарта. Её популярность основана на простоте и универсальности.
Другие виды координат:
Видя такое множество, можно смело сказать, что задать координаты на плоскости, в двумерном или трёхмерном пространстве можно бесчисленным количеством способов. Для решения определённой задачи стоит выбирать наиболее подходящий метод из всех имеющихся.
Координатная плоскость
Прямоугольная или квадратная система координат была изобретена ещё в XVII веке. Благодаря своей невероятной гениальности, простоте и понятности для большинства людей, она получила широчайшее распространение и с успехом применяется до сих пор.
Чтобы построить фигуру на координатной плоскости, нужно изобразить две линии пересекающиеся под прямым углом:
Точка пересечения O является началом отсчёта, из неё откладываются все значения в координатной системе. Стоит помнить, что вправо и вверх идут положительные величины, а влево и вниз — отрицательные. Таким образом, две оси образуют квадранты координатной плоскости (четверти). В зависимости от того, в каком из четырёх образовавшихся сегментов находится точка или фигура, будет изменяться её значение.
Местоположение любой точки на координатной плоскости определяется при помощи двух числовых показателей. Первый — это абсцисса x, он откладывается по горизонтали и равен отрезку ОВ. Второй — ордината y, откладывающаяся по вертикали и совпадающая с отрезком ОС.
Выходит, что для задания и записи точного местоположения любой точки А необходимо измерить её расстояние до оси абсцисс и ординат. Схематическая запись координат будет выглядеть как А (x, y) или xА, xB, возможны и другие варианты.
Обычно на практике применяют правостороннюю координатную систему. В этом случае адрес точки принимает положительное значение лишь в правом верхнем квадранте I, образованном правой частью оси ординат (X) и верхней частью оси абсцисс (Y). Иногда бывают ситуации, в которых использование другой ориентации является более целесообразным.
Не стоит считать, что декартовая координатная система может применяться только на плоскости. Она вполне подходит для любого пространства, имеющего конечную размеренность. Всё становиться более сложным — для каждого дополнительного измерения создаётся новая ось.
Для нахождения местоположения точек в привычном трёхмерном пространстве, помимо абсциссы и ординаты, вводится третья координата, именуемая аппликатором (z). Для этого через точку O проводится дополнительная ось, изображающая третье измерение и являющаяся перпендикулярной к двум остальным. В этом случае создаётся своеобразная объёмная решётка, а пространство разделяется линиями на 8 частей — октантов.
При рисовании такой системы на листе применяется проекция на плоскость. Третья ось проводится под углом в 45 градусов к остальным, создавая иллюзию трёхмерного пространства.
Историческая справка
Сегодня каждый школьник, учащийся в шестом классе, не только слышал про координатную плоскость, но и знает правило построения простейших фигур в двумерном пространстве. Но так было не всегда.
Необходимость в определении точного местоположения объектов возникла очень давно. Скорее всего, ещё в древнейшие времена существовали примитивные методы записи координат. Более точные системы возникли в Древней Греции. Их появление было связано с потребностью в картографии.
Достоверно известно, что составитель первой карты Анаксимандр Милетский пользовался географической долготой и широтой, запись которых была основана на прямоугольной проекции. Незадолго до начала нашей эры древнегреческий учёный по имени Гиппарх выдвинул замечательную идею, заключающуюся в опоясывании земного шара параллелями и меридианами и записи информации о положении объектов в виде двух чисел. В Египте на стене одной из усыпальниц археологами был обнаружен рисунок, состоящий из клеточек и представляющий собой координатную сетку.
Автором прямоугольной системы координат на плоскости является математик Рене Декарт, живший во Франции XVII века. История этого гениального открытия весьма забавна. Дело в том, что в театре тех лет ещё не существовало привычной для современной публики нумерации мест. Из-за этого нередко возникала страшная путаница, ссоры, драки и даже дуэли. Будучи талантливым математиком, Декарт предложил новый способ обозначения, базирующийся на двух номерах — ряда и кресла. Это изобретение избавило зрителей от ненужных проблем и произвело настоящий фурор в обществе.
Позже учёный изложил принципы плоскости координат, а также прочие открытия в своём фундаментальном труде «Геометрия». Первые попытки применить метод Декарта к трёхмерному пространству были предприняты в XVIII веке Леонардом Эйлером.
Сегодня при помощи декартовой системы координат можно задать не только расположение простой фигуры, например, треугольника, на плоскости, но и описать любой сложный предмет и его перемещение в пространстве. Метод нашёл широкое применение во многих электронных устройствах и графических программах.
Особенности использования в географии
С развитием современных технологий определение географических координат очень упростилось.
Достаточно запустить одно из навигационных приложений или войти в специальный онлайн-сервис, и местоположение будет указано с максимальной точностью.
Поверхность земли имеет сферическую форму, из-за этого географическая система координат имеет свои особенности.
Обозначение любой точки на планете осуществляется при помощи набора цифробуквенных обозначений:
Все точки одной широты соединяются параллелями. На экваторе широта составляет 0 градусов, а на полюсе 90. Меридианы соединяют точки с одним и тем же показателем долготы и сходятся на полюсах.
С помощью этой системы осуществляется решение задач в геометрии, а также в других научных дисциплинах.
Кроме того, принцип указания точного адреса объекта с помощью двух величин получил широкое распространение во многих отраслях человеческой деятельности.
Системы координат
Под понятием координат в повседневной жизни понимается упорядоченный набор слов, цифр и прочих знаков, позволяющий определить местоположение человека, здания или другого объекта. Эти знания необходимы для ориентирования в современном обществе и организации любой человеческой деятельности.
Трудно даже представить себе мир без системы адресов и нумерации.
Примеры использования:
Таким образом, система координат необходима не только в математике.
Она буквально пронзает всю человеческую жизнь.
Без применения этих научных знаний люди не смогли бы значительно отдалиться от животных и первобытных предков.
Некоторые области применения:
По определению любая координатная система представляет собой ряд идентификационных данных, которые позволяют узнать положение точки или фигуры в пространстве, а также дают возможность проследить её перемещение.
Наибольшее распространение получила прямоугольная система координат, которую ещё называют декартовой, по имени создателя Рене Декарта. Её популярность основана на простоте и универсальности.
Другие виды координат:
Видя такое множество, можно смело сказать, что задать координаты на плоскости, в двумерном или трёхмерном пространстве можно бесчисленным количеством способов. Для решения определённой задачи стоит выбирать наиболее подходящий метод из всех имеющихся.
Координатная плоскость
Прямоугольная или квадратная система координат была изобретена ещё в XVII веке. Благодаря своей невероятной гениальности, простоте и понятности для большинства людей, она получила широчайшее распространение и с успехом применяется до сих пор.
Чтобы построить фигуру на координатной плоскости, нужно изобразить две линии пересекающиеся под прямым углом:
Точка пересечения O является началом отсчёта, из неё откладываются все значения в координатной системе. Стоит помнить, что вправо и вверх идут положительные величины, а влево и вниз — отрицательные. Таким образом, две оси образуют квадранты координатной плоскости (четверти). В зависимости от того, в каком из четырёх образовавшихся сегментов находится точка или фигура, будет изменяться её значение.
Местоположение любой точки на координатной плоскости определяется при помощи двух числовых показателей. Первый — это абсцисса x, он откладывается по горизонтали и равен отрезку ОВ. Второй — ордината y, откладывающаяся по вертикали и совпадающая с отрезком ОС.
Выходит, что для задания и записи точного местоположения любой точки А необходимо измерить её расстояние до оси абсцисс и ординат. Схематическая запись координат будет выглядеть как А (x, y) или xА, xB, возможны и другие варианты.
Обычно на практике применяют правостороннюю координатную систему. В этом случае адрес точки принимает положительное значение лишь в правом верхнем квадранте I, образованном правой частью оси ординат (X) и верхней частью оси абсцисс (Y). Иногда бывают ситуации, в которых использование другой ориентации является более целесообразным.
Не стоит считать, что декартовая координатная система может применяться только на плоскости. Она вполне подходит для любого пространства, имеющего конечную размеренность. Всё становиться более сложным — для каждого дополнительного измерения создаётся новая ось.
Для нахождения местоположения точек в привычном трёхмерном пространстве, помимо абсциссы и ординаты, вводится третья координата, именуемая аппликатором (z). Для этого через точку O проводится дополнительная ось, изображающая третье измерение и являющаяся перпендикулярной к двум остальным. В этом случае создаётся своеобразная объёмная решётка, а пространство разделяется линиями на 8 частей — октантов.
При рисовании такой системы на листе применяется проекция на плоскость. Третья ось проводится под углом в 45 градусов к остальным, создавая иллюзию трёхмерного пространства.
Историческая справка
Сегодня каждый школьник, учащийся в шестом классе, не только слышал про координатную плоскость, но и знает правило построения простейших фигур в двумерном пространстве. Но так было не всегда.
Необходимость в определении точного местоположения объектов возникла очень давно. Скорее всего, ещё в древнейшие времена существовали примитивные методы записи координат. Более точные системы возникли в Древней Греции. Их появление было связано с потребностью в картографии.
Достоверно известно, что составитель первой карты Анаксимандр Милетский пользовался географической долготой и широтой, запись которых была основана на прямоугольной проекции. Незадолго до начала нашей эры древнегреческий учёный по имени Гиппарх выдвинул замечательную идею, заключающуюся в опоясывании земного шара параллелями и меридианами и записи информации о положении объектов в виде двух чисел. В Египте на стене одной из усыпальниц археологами был обнаружен рисунок, состоящий из клеточек и представляющий собой координатную сетку.
Автором прямоугольной системы координат на плоскости является математик Рене Декарт, живший во Франции XVII века. История этого гениального открытия весьма забавна. Дело в том, что в театре тех лет ещё не существовало привычной для современной публики нумерации мест. Из-за этого нередко возникала страшная путаница, ссоры, драки и даже дуэли. Будучи талантливым математиком, Декарт предложил новый способ обозначения, базирующийся на двух номерах — ряда и кресла. Это изобретение избавило зрителей от ненужных проблем и произвело настоящий фурор в обществе.
Позже учёный изложил принципы плоскости координат, а также прочие открытия в своём фундаментальном труде «Геометрия». Первые попытки применить метод Декарта к трёхмерному пространству были предприняты в XVIII веке Леонардом Эйлером.
Сегодня при помощи декартовой системы координат можно задать не только расположение простой фигуры, например, треугольника, на плоскости, но и описать любой сложный предмет и его перемещение в пространстве. Метод нашёл широкое применение во многих электронных устройствах и графических программах.
Особенности использования в географии
С развитием современных технологий определение географических координат очень упростилось.
Достаточно запустить одно из навигационных приложений или войти в специальный онлайн-сервис, и местоположение будет указано с максимальной точностью.
Поверхность земли имеет сферическую форму, из-за этого географическая система координат имеет свои особенности.
Обозначение любой точки на планете осуществляется при помощи набора цифробуквенных обозначений:
Все точки одной широты соединяются параллелями. На экваторе широта составляет 0 градусов, а на полюсе 90. Меридианы соединяют точки с одним и тем же показателем долготы и сходятся на полюсах.