Что можно сказать об угле между векторами если скалярное произведение отрицательно
Скалярное произведение векторов
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Основные определения
Система координат — способ определить положение и перемещение точки или тела с помощью чисел или других символов.
Координаты — это совокупность чисел, которые определяют положение какого-либо объекта на прямой, плоскости, поверхности или в пространстве. Как найти координаты точки мы рассказали в этой статье.
Скаляр — это величина, которая полностью определяется в любой координатной системе одним числом или функцией.
Вектор — направленный отрезок прямой, для которого указано, какая точка является началом, а какая — концом.
Вектор с началом в точке A и концом в точке B принято обозначать как →AB. Векторы также можно обозначать малыми латинскими буквами со стрелкой или черточкой над ними, вот так: →a.
Скалярное произведение — это операция над двумя векторами, результатом которой является скаляр, то есть число, которое не зависит от выбора системы координат.
Результат операции является число. То есть при умножении вектор на вектор получается число. Если длины векторов |→a|, |→b| — это числа, косинус угла — число, то их произведение |→a|*|→b|*cos∠(→a, →b) тоже будет числом.
Чтобы разобраться в теме этой статьи, нам еще нужно узнать особенности угла между векторами.
Угол между векторами
Угол между векторами ∠(→a, →b) может принимать значения от 0° до 180° градусов включительно. Аналитически это можно записать в виде двойного неравенства: 0°=
2. Если угол между векторами равен 90°, то такие векторы перпендикулярны друг другу.
3. Если векторы направлены в разные стороны, тогда угол между ними 180°.
Также векторы могут образовывать тупой угол. Это выглядит так:
Скалярное произведение векторов
Определение скалярного произведения можно сформулировать двумя способами:
Скалярное произведение двух векторов a и b дает в результате скалярную величину, которая равна сумме попарного произведения координат векторов a и b.
Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная произведению модулей этих векторов, умноженная на косинус угла между ними:
Что важно запомнить про геометрическую интерпретацию скалярного произведения:
Скалярное произведение в координатах
Вычисление скалярного произведения можно произвести через координаты векторов в заданной плоскости или в пространстве.
Скалярным произведением двух векторов на плоскости или в трехмерном пространстве в прямоугольной системе координат называется сумма произведений соответствующих координат векторов →a и →b.
То есть для векторов →a = (ax, ay), →b = (bx, by) на плоскости в прямоугольной декартовой системе координат формула для вычисления скалярного произведения имеет вид: (→a, →b) = ax*bx + ay*by
А для векторов →a = (ax, ay, az), →b = (bx, by, bz) в трехмерном пространстве скалярное произведение в координатах находится так: (→a, →b) = ax*bx + ay*by + az*bz
Докажем это определение:
для векторов →a = (ax, ay), →b = (bx, by) на плоскости, заданных в прямоугольной декартовой системе координат.
Отложим от начала координат (точка О) векторы →OB = →b = (bx, by) и →OA = →a = (ax, ay)
то последнее равенство можно переписать так:
а по первому определению скалярного произведения имеем
Записывайтесь на наши курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы!
Формулы скалярного произведения векторов заданных координатами
Формула скалярного произведения векторов для плоских задач
В плоской задаче скалярное произведение векторов a =
a * b = ax * bx + ay * by
Формула скалярного произведения векторов для пространственных задач
В пространственной задаче скалярное произведение векторов a =
a * b = ax * bx + ay * by + az * bz
Формула скалярного произведения n-мерных векторов
Свойства скалярного произведения
Свойства скалярного произведения векторов:
a ≠ 0, b ≠ 0, a * b = 0 a ┴ b
Эти свойства очень легко обосновать, если отталкиваться от определения скалярного произведения в координатной форме и от свойств операций сложения и умножения действительных чисел.
Для примера докажем свойство коммутативности скалярного произведения (→a, →b) = (→b, →a)
По определению (→a, →b) = ax*bx + ay*by и (→b, →a) = bx*ax + by*ay. В силу свойства коммутативности операции умножения действительных чисел, справедливо ax*bx = bx*ax b ay*by = by*ay, тогда ax*bx + ay*by = bx*ax + by*ay.
Следовательно, (→a, →b) = (→b, →a), что и требовалось доказать.
Аналогично доказываются остальные свойства скалярного произведения.
Следует отметить, что свойство дистрибутивности скалярного произведения справедливо для любого числа слагаемых, то есть,
Примеры вычислений скалярного произведения
Пример 1.
Вычислите скалярное произведение двух векторов →a и →b, если их длины равны 3 и 7 единиц соответственно, а угол между ними равен 60 градусам.
У нас есть все данные, чтобы вычислить скалярное произведение по определению:
(→a,→b) = →|a| * →|b| * cos(→a,→b) = 3 * 7 cos60° = 3 * 7 * 1/2 = 21/2 = 10,5.
Ответ: (→a,→b) = 21/2 = 10,5.
Пример 2.
Найти скалярное произведение векторов →a и →b, если →|a| = 2, →|b| = 5, ∠(→a,→b) = π/6.
Используем формулу →a * →b = →|a| * →|b| * cosα.
→a * →b = →|a| * →|b| * cosα = 2 * 5 * cosπ/6 = 10 * √3/2 = 5√3
Пример 3.
Как найти скалярное произведение векторов →a = 7*→m + 3*→n и →b = 5*→m + 8*→n, если векторы →m и →n перпендикулярны и их длины равны 3 и 2 единицы соответственно.
По свойству дистрибутивности скалярного произведения имеем
Сочетательное свойство позволяет нам вынести коэффициенты за знак скалярного произведения:
В силу свойства коммутативности последнее выражение примет вид
Итак, после применения свойств скалярного произведения имеем
Осталось применить формулу для вычисления скалярного произведения через длины векторов и косинус угла между ними:
Пример 4.
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, найти косинус угла между прямыми AB1 и BC1.
Если сделать выносной рисунок основания призмы, получим понятный плоскостной рисунок с помощью которого можно легко найти координаты всех интересующих точек.
Пример 5.
б) Выяснить, будут ли перпендикулярными отрезки KL и MN, если K(3;5), L(-2;0), M(8;-1), N(1;4).
а) Выясним, будут ли ортогональны пространственные векторы. Вычислим их скалярное произведение: →ab = 1*6 + 2*(-1) + (-4)*1 = 0, следовательно
Обратите внимание на два существенных момента:
Ответ: а) →a перпендикулярно →b, б) отрезки KL, MN не перпендикулярны.
Пример 6.
По условию чертеж выполнять не требуется, но для удобства можно сделать:
Требуемый угол ∠ABC помечен зеленой дугой. Сразу вспоминаем школьное обозначение угла: ∠ABC — особое внимание на среднюю букву B — это и есть нужная нам вершина угла. Для краткости можно также записать просто ∠B.
Из чертежа видно, что угол ∠ABC треугольника совпадает с углом между векторами →BA и →BC, иными словами: ∠ABC = ∠(→BA; →BC).
Вычислим скалярное произведение:
Вычислим длины векторов:
Найдем косинус угла:
Когда такие примеры не будут вызывать трудностей, можно начать записывать вычисления в одну строчку:
Полученное значение не является окончательным, поэтому нет особого смысла избавляться от иррациональности в знаменателе.
Если посмотреть на чертеж, то результат действительно похож на правду. Для проверки угол также можно измерить и транспортиром.
Ответ: ∠ABC = arccos(1/5√2) ≈1,43 рад. ≈ 82°
Важно не перепутать, что в задаче спрашивалось про угол треугольника, а не про угол между векторами. Поэтому указываем точный ответ: arccos(1/5√2) и приближенное значение угла: ≈1,43 рад. ≈ 82°, которое легко найти с помощью калькулятора.
А те, кому мало и хочется еще порешать, могут вычислить углы ∠A, ∠C, и убедиться в справедливости канонического равенства ∠A + ∠B + ∠C = 180°.
Угол между векторами. Скалярное произведение векторов.
Урок
Тема: Угол между векторами. Скалярное произведение векторов.
Цель урока: ввести понятие угла между векторами и скалярного произведения векторов, выучить формулу скалярного произведения в координатах.
Задачи урока: показать применение скалярного произведения векторов при решении задач.
Ход урока
1. Организационный момент
2. Активизация опорных знаний
Проверка домашней работы
Задание 2. Устные упражнения.
Решение задач с целью подготовить обучающихся к восприятию нового материала. Фронтальная работа с классом: отвечает один из обучающихся, остальные при необходимости дополняют.
Даны векторы в пространстве (рис. 2).
3. Изучение нового материала
Какие операции можно выполнять с числами? Числа можно складывать, вычитать, умножать, делить и сравнивать друг с другом. И так как скаляр не самое стандартное, но все таки число, с ним можно проделывать те же операции.
Давайте вспомним следующие определения:
Система координат — способ определить положение и перемещение точки или тела с помощью чисел или других символов.
Координаты — это совокупность чисел, которые определяют положение какого-либо объекта на прямой, плоскости, поверхности или в пространстве. Как найти координаты точки мы рассказали в этой статье.
Скаляр — это величина, которая полностью определяется в любой координатной системе одним числом или функцией.
Вектор — направленный отрезок прямой, для которого указано, какая точка является началом, а какая — концом.
Угол между векторами
Пусть нам даны два вектора 
. Чтобы найти угол между ними, выберем произвольную точку О и отложим от неё векторы 
и 
, равные данным. Полученный угол АОВ будет являться углом между векторами .
Угол между векторами не зависит от выбора точки, от которой откладываются данные векторы.
Самое главное то, что угол между векторами 
и 
может принимать значения от 0° до 180° градусов включительно.
Для обозначения угла между векторами используют специальное обозначение: 
.
Два вектора всегда образуют угол.
Угол между векторами может принимать значения от 0 о до 180 о включительно.
Если векторы не параллельны, то их можно расположить на пересекающихся прямых.
Векторы могут образовать:
Рис. 5
Прямой угол (векторы перпендикулярны).
, т.к. 
. 
Так как косинус прямого угла равен 0, то скалярное произведение перпендикулярных векторов равно 0.
Если векторы расположены на параллельных прямых, то они могут образовать:
Угол величиной 0 о (векторы сонаправлены);
Если векторы сонаправлены, в частности один из них или оба вектора – нулевые, то угол между ними равен 0 
:
если 
, то 
,
если 
= 
, то .
Вывод: Если один из векторов или оба вектора нулевые, то угол между ними будет равен 0° .
Так как косинус угла в 0° равен единице, то скалярное произведение сонаправленных векторов является произведением их длин. Если два вектора равны, то такое скалярное произведение называют скалярным квадратом.
Угол величиной 180 о (векторы противоположно направлены).
Рис. 6
На рисунке изображено несколько векторов. Назовите значение углов между векторами:
Скалярное произведение векторов
Мы с вами знаем, как выполнять сложение и вычитание векторов, умножение вектора на число. Введём ещё одно действие над векторами – скалярное произведение векторов.
Скалярное произведение — это операция над двумя векторами, результатом которой является скаляр, то есть число, которое не зависит от выбора системы координат.
Запомним! При умножении вектор на вектор получается число. Если длины векторов , — это числа, косинус угла — число, то их произведение тоже будет числом.
Определение скалярного произведения можно сформулировать двумя способами:
Скалярное произведение двух векторов a и b дает в результате скалярную величину, которая равна сумме попарного произведения координат векторов a и b.
Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная произведению модулей этих векторов, умноженная на косинус угла между ними:
Что важно запомнить про геометрическую интерпретацию скалярного произведения:
Если угол между векторами острый и векторы ненулевые, то скалярное произведение положительно, то есть cosα > 0.
Если угол между векторами тупой и векторы ненулевые, то скалярное произведение отрицательно, так как cosα
При умножении вектора на вектор получается число, так как длины векторов — это числа, косинус угла — число, соответственно, их произведение также будет являться числом.
4. Закрепление теоретических знаний учащихся
Правила для скалярного произведения векторов
Впишите в предложение пропущенный текст
1. Если угол между векторами острый, то скалярное произведение будет _______числом (так как косинус острого угла — _______ число).
Ответ: Если угол между векторами острый, то скалярное произведение будет положительным числом (так как косинус острого угла — положительное число).
3. Если угол между векторами тупой, то скалярное произведение будет ____(так как косинус тупого угла — ______ число).
Ответ: Если угол между векторами тупой, то скалярное произведение будет отрицательным (так как косинус тупого угла — отрицательное число).
Справедливы и обратные утверждения:
1. Если скалярное произведение векторов — положительное число, то угол между данными векторами острый.
2. Если скалярное произведение векторов — отрицательное число, то угол между данными векторами тупой.
Обратное суждение: если скалярное произведение векторов равно нулю, то эти векторы перпендикулярны.
Скалярное произведение в координатах
Вычисление скалярного произведения можно произвести через координаты векторов в заданной плоскости или в пространстве.
Скалярным произведением двух векторов на плоскости или в трехмерном пространстве в прямоугольной системе координат называется сумма произведений соответствующих координат векторов 
, 
.
Косинус угла α между ненулевыми векторами вычисляется по формуле:
В самом деле, так как
5. Закрепление материала. Формирование умений и навыков обучающихся.
Одним из универсальных приемов решения геометрических задач является метод координат. Кроме этого, часто (особенно при доказательстве различных неравенств) используется векторный метод.
Если требуется вычислить расстояние или угол, то надо применять скалярное умножение векторов.
При введении векторов можно идти двумя путями: а) выбрать точку, от которой откладываются известные векторы; б) векторы изображать направленными отрезками, связанными с рассматриваемыми в задаче фигурами, не откладывая их от одной точки.
Если задача планиметрическая, то целесообразно выделить два неколлинеарных вектора в качестве базисных и остальные векторы выразить через них; если же задача стереометрическая, то в качестве базиса следует выбрать три некомпланарных вектора. При этом введение начальной точки необязательно.
В ряде случаев, например, при решении задач на многогранные углы, вычисления упрощаются, если ввести единичные векторы, отложенные от вершины многогранного угла. Примеры задач, решаемых векторным методом.
Вычислите скалярное произведение двух векторов, если их длины равны 3 и 7 единиц соответственно, а угол между ними равен 60 градусам.
У нас есть все данные, чтобы вычислить скалярное произведение по определению:
= 3 * 7 cos60° = 3 * 7 * 1/2 = 21/2 = 10,5.
6. За рамками урока
7. Подведение итогов
Сегодня мы рассмотрели понятия угла между векторами, скалярного произведения векторов. Вывели формулу для вычисления скалярного произведения векторов в координатах, а также усвоили, что скалярное произведение перпендикулярных векторов равно «0», и если скалярное произведение векторов равно «0», то векторы перпендикулярны.
Скалярное произведение векторов встречается и в физике.
Работа постоянной силы 
при перемещении тела из точки К в точку М равна произведению длин векторов силы и перемещения на косинус угла между ними, то есть работа силы равна скалярному произведению векторов силы и перемещения.
A = 
A = 
8. Домашнее задание
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. организаций: базовый и углубл. уровни / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. 2016г.