Что можно сказать об отрезках имеющих равные длины 7 класс геометрия
Отрезок
Отрезок — это часть прямой, ограниченная двумя точками, лежащими на этой прямой. Точки, определяющие границы отрезка, называются концами отрезка.
Отрезок обозначается двумя большими латинскими буквами, поставленными при его концах: отрезок AB или BA.
Длина отрезка
Длина отрезка — это расстояние между концами отрезка. Любой отрезок имеет длину, бо́льшую нуля:
Измерение длины отрезка осуществляется путём сравнения данного отрезка с длиной единичного отрезка. Единичный отрезок — это отрезок, длина которого принимается за единицу. Следовательно:
длина отрезка – это положительное число, показывающее, сколько раз единичный отрезок и его части укладываются в данном отрезке.
Чаще всего используются единичные отрезки равные 1 мм, 1 см, 1 дм, 1 м или 1 км. Измерить длину отрезка можно линейкой или любым другим прибором для измерения длины:
Свойства длин отрезков:
Равные отрезки
Равные отрезки — это отрезки, имеющие одинаковую длину. Если наложить равные отрезки друг на друга, то их концы совпадут.
Пример. Возьмём два отрезка CD и LM:
Если расположить отрезки параллельно друг над другом так, чтобы точка C была над точкой L, то станет видно, что точка D располагается над точкой М:
Значит длины отрезков равны, следовательно CD = LM.
Сравнение отрезков
Сравнить два отрезка — это значит определить, равны они, или один больше другого.
Сравнить два отрезка можно, отложив на прямой оба отрезка из одной точки в одну и туже сторону. Для этого можно воспользоваться циркулем.
Чтобы отложить на прямой отрезок равный данному, сначала помещают ножки циркуля так, чтобы острия их концов упирались в концы отрезка, а затем, не изменяя раствора циркуля, переносят его так, чтобы оба его конца находились на прямой.
При сравнении двух отрезков возможно получение одного из представленных результатов: отрезки будут равны, первый отрезок будет больше второго или первый отрезок будет меньше второго.
Пример. Если отложить на прямой от любой точки, например C, в одну сторону два отрезка CA и CB и точка A окажется между точками C и B, то отрезок CA меньше отрезка CB (или CB больше отрезка CA):
Если точка B окажется между точками C и A, то отрезок CA больше отрезка CB (или CB меньше отрезка CA):
CA > CB или CB Пример. Сравнить длину отрезков AB и AC.
Так как отрезок AB имеет большую длину, чем отрезок AC, то
Так как отрезки AB и AC имеют одинаковую длину, то
Если при измерении отрезков их длины равны, то и отрезки равны.
Середина отрезка
Середина отрезка — это точка, делящая отрезок на две равные части.
Геометрия. 7 класс
Конспект урока
Перечень рассматриваемых вопросов:
Середина отрезка – это точка, делящая его пополам, т.е. на два равных отрезка.
Две фигуры, имеющие одинаковую форму и одинаковые размеры, называют равными.
Две геометрические фигуры называются равными, если их можно совместить наложением.
Длина отрезка – это расстояние между концами этого отрезка.
1. Атанасян Л. С. Геометрия: 7–9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения.
«Измерь самого себя – и ты станешь настоящим геометром!» – однажды сказал средневековый философ Марсилио Фичино.
И в этом есть доля правды, ведь измерения – это одно из важных действий в геометрии.
Поэтому сегодня мы будем измерять данный отрезок с помощью линейки и выражать результат в выбранной единице измерения.
В жизни часто приходится измерять длины, будь то длина дороги или ширина комнаты. В геометрии мы будем измерять отрезки. На чём же основано измерение отрезков?
Основа любого измерения – это сравнение величин с другими, принятыми за единицу измерения этой величины.
То же самое и с измерением длины отрезка. Т.е. измерение отрезка – это сравнение длины отрезка с некоторым другим отрезком (масштабным), выбранным за единицу измерения.
Если взять за единицу измерения сантиметр, то, определяя длину отрезка, мы узнаём, сколько раз в заданном отрезке укладывается сантиметр.
Например, один сантиметр укладывается в отрезке АВ семь раз, следовательно, длина отрезкасемь сантиметров.
Если масштабный отрезок не укладывается целое число раз в измеряемом отрезке, то единицу измерения делят ещё на части, обычно на десять. Далее, определяют, сколько такая часть укладывается в остатке.
Например, в отрезке АВ один сантиметр укладываетсятри раза, в остатке ровно 7 раз укладывается десятая часть сантиметра, а десятая часть сантиметра это миллиметр, т.е. длина отрезка АВ три сантиметра семь миллиметров или три целых семь десятых сантиметра.
Но бывает, что и при меньшем масштабном отрезке есть остаток, тогда говорят, что длина отрезка приближенно равна определенному значению.
Для более точного измерения этого отрезка указанную часть единицы измерения (в данном случае миллиметр) можно разделить на 10 равных частей и продолжить процесс измерения, но обычно так не делают, оставляют приближенное значение длины отрезка.
Стоит отметить, что за единицу измерения можно принимать не только сантиметр, но и любой другой отрезок. Например, метр, милю. А выбрав единицу измерения, можно измерить любой отрезок, т.е. выразить его длину некоторым положительным числом.
Два отрезка считаются равными, если единица измерения и её части укладываются в этих отрезках одинаковое число раз, т.е. равные отрезки имеют равные длины.
Если один отрезок меньше другого, то единица измерения (или её часть) укладываются в этом отрезке меньшее число раз, чем в другом, т.е. меньший отрезок имеет меньшую длину.
AD= 4 см + 1,2 см + 1,3 см = 6 см.
Таким образом, длина отрезка – это расстояние между концами этого отрезка.
Для измерения длины отрезкаиспользуют различные приборы: линейка, штангенциркуль, рулетка.
Итак, сегодня вы получили представлениео том, как измерять данный отрезок с помощью линейки и выражать результат в выбранной единице измерения.
Возьмём несколько отрезков и соединим их между собой друг за другом под углом, не равным 180 градусам, полученная фигура называется ломаной. Она может выглядеть так.
Если начало и конец ломанной совпадут, то она считается замкнутой ломаной.
При этом у ломаной можно определить длину, т.к. она состоит из отрезков, длину которых можно измерить. Поэтому длина ломанойравна сумме длин отрезков, из которых она состоит.
При этом,длина незамкнутой ломаной не меньше длины отрезка, соединяющего ее концы.
1. Какова длина отрезка АВ, если точка О делит отрезок АВ на две части, при этом АО = 5см, ОВ = 2,3 см?
По условию задачи, точка О делит отрезок АВ на две части, следовательно, длина отрезка АВ = АО + ОВ = 5см + 2,3 см =7,3 см.
2. На прямой а отмечены точки А, С, E, причём АС = 5 см, СE = 7 см. Чему может быть равна длина отрезка АE?
Для решения задачи нужно нарисовать рисунок в соответствии с условием. Тогда:
АЕ = АС + СЕ = 5см + 7см = 12 см.
А если точки поменять местами, АЕ = СЕ – СА = 7см – 5см = 2см. Других вариантов быть не может, поэтому получается два ответа.
Что можно сказать о длинах равных отрезков?
В повседневной жизни нам часто приходится сталкиваться с измерением высот зданий, сооружений, а также с измерением расстояний, которые мы прошли или проехали. С точки зрения геометрии мы имеем в таких случаях дело с измерением отрезков.
Измерение отрезков основано на сравнении их с некоторым отрезком, принятым за единицу измерения. Такой отрезок также называют масштабным отрезком.
Давайте определим длину некоторого отрезка АВ, приняв за единицу измерения сантиметр (рисунок 1). Видим, что в данном отрезке АВ сантиметр укладывается ровно четыре раза, а это означает, что его длина равна четыре сантиметра. Обычно говорят кратко: «Отрезок А В равен четыре сантиметра». А записывают так: АВ = 4 см.
Рисунок 1.
Но может оказаться так, что отрезок, принятый за единицу измерения не укладывается целое число раз в измеряемом отрезке.
Возьмём отрезок CD (рисунок 2). Сантиметр укладывается в отрезок пять раз, но при этом получается остаток. В таком случае единицу измерения необходимо разделить на равные части, обычно делят на десять равных частей, и определить, сколько таких частей укладывается в остатке. В нашем случае в остатке шесть раз укладывается десятая часть отрезка, поэтому длина отрезка CD равна пять целых шесть десятых сантиметра. Отметим, что одну десятую часть сантиметра называют миллиметром (мм).
Рисунок 2.
Однако может возникнуть ситуация, когда и миллиметр не будет укладываться в остатке целое число раз, и получится новый остаток. Тогда и миллиметр можно разделить на 10 частей и продолжить процесс измерения.
Единицей измерения отрезка может быть не только сантиметр, но и другой отрезок.
Выбрав единицу измерения, можно измерить любой отрезок, т. е. выразить его длину некоторым положительным числом.
Исходя из проделанного выше, можно сказать, что это число показывает, сколько раз единица измерения и её части укладываются в измеряемом отрезке.
Возьмём два равных отрезка АВ и СD (рисунок 3). Единицы измерения в этих отрезках укладываются одинаковое число раз, т. е. равные отрезки имеют равные длины.
Рисунок 3.
Если же мы возьмём два неравных отрезка KL и MN (рисунок 4), то увидим, что в меньшем отрезке MN единица измерения укладывается меньшее число раз, чем в отрезке KL, т. е. меньший отрезок имеет меньшую длину.
Рисунок 4.
Теперь рассмотрим отрезок АВ (рисунок 5). Точка С делит его на два отрезка: АС и СВ. Измерим эти отрезки. Видим, что отрезок АС равен четыре сантиметра, отрезок СВ равен три целых пять десятых сантиметра и отрезок АВ равен семь целых пять десятых сантиметра. Получили:
Таким образом, сформулируем следующее.
Когда точка делит отрезок на два отрезка, длина всего отрезка равна сумме длин этих двух отрезков.
Рисунок 5.
Следует сказать, что если длина некоторого отрезка АВ в k раз больше отрезка CD, то записывают это следующим образом: АВ=kCD.
Отметим также, что длина отрезка называется расстоянием между концами этого отрезка.
Поговорим о единицах измерения. Для измерения отрезков и нахождения расстояний используются различные единицы измерения. Стандартной международной единицей измерения отрезков является метр — отрезок, который приблизительно равен земного меридиана. Эталон метра хранится в Международном бюро мер и весов во Франции.
В одном метре сто сантиметров (1 м =100 см), а один сантиметр содержит десять миллиметров (1 см = 10 мм).
При измерении небольших расстояний, например, расстояния между точками на листе бумаги или нахождении длины карандаша за единицу измерения принимают сантиметр или миллиметр. Высоту дерева можно измерить в метрах. А вот расстояние, которое мы пройдём на лыжах, можно измерить в километрах.
Можно также использовать и такие единицы измерения, как дециметр (1 дм = 10 см), морская миля, равная одной целой восьмистам пятидесяти двум тысячным километра (1 миля = 1,852 км). А вот для измерения очень больших расстояний в астрономии используется такая единица измерения, как световой год (это путь, который проходит свет в течение одного года).
Для измерения расстояний могут использоваться различные инструменты. Например, в техническом черчении используется масштабная миллиметровая линейка. Для измерения расстояний на местности пользуются рулеткой. А вот для измерения диаметра трубки можно воспользоваться штангенциркулем.
Конспект урока по геометрии: Измерение отрезков» (7 класс)
Выберите документ из архива для просмотра:
Выбранный для просмотра документ Измерение отрезков.doc
Разработка урока геометрии в 7 классе.
Тема урока: Измерение отрезков
Оборудование: компьютер, проектор, экран; линейки, циркуль, рулетка.
Урок сопровождается презентацией
1. Организационный момент. Слайд 1
2. Актуализация знаний. Фронтальный опрос. Слайд 2
1. Сколько прямых можно провести через две точки?
2. Сколько общих точек могут иметь две прямые?
3. Объясни, что такое отрезок.
4. Объясни, что такое луч. Как обозначаются лучи?
5. Какая фигура называется углом? Объясни, что такое вершина и стороны угла.
6. Какой угол называется развернутым?
7. Какие фигуры называются равными?
8. Объясните, как сравнить два отрезка?
9. Какая точка называется серединой отрезка?
10. Объясните, как сравнить два угла?
11. Какой луч называется биссектрисой угла?
3. Мотивация к деятельности. Определение темы и цели урока.
Один средневековый философ Марсилио Сичино сказал: «Измерь самого себя – и ты станешь настоящим геометром!» Как вы понимаете это высказывание? (Обсуждение)
Каждому человеку неоднократно приходилось что-то измерять: высоту дерева, собственный вес, длину прыжка, скорость и многое другое. С точки зрения геометрии мы имеем в таких случаях дело с измерением отрезков.
Запись темы урока: Измерение отрезков
Постановка цели: п ознакомиться с процедурой измерения отрезков, рассмотреть свойства длин отрезка, познакомиться с различными единицами измерения длины и инструментами для измерения отрезков, узнать, как можно измерять без инструментов.
Измерения производят в определённых единицах: длину – измеряют в единицах длины, вес – в единицах веса и т.д.
– Ч то значит измерить какую-то величину?
Это значит – сравнить ее с неким эталоном.
Как известно, герои одного мультфильма измеряли длину удава в попугаях. Для обитателей тропического леса, в котором живет попугай, эта единица ничуть не хуже других. Но длина в попугаях ничего не скажет жителям тайги.
Эта история из мультфильма не такая уж нелепая. Правители разных стран любили устанавливать свои меры, часто связанные с собственной персоной.
Например, английский король Генрих I ввел в качестве единиц длины ЯРД – расстояние от кончика своего носа до большого пальца вытянутой руки.
Более демократична по происхождению другая английская единица длины ФУТ, что по-английски означает «ступня». 16 англичан выстраивались в цепочку таким образом, что каждый следующий касался концами пальцев своих ног пяток предыдущего. 1/16 такой цепочки и составляла 1 фут.
На Руси в старину мерой длины был ШАГ, ПЯДЬ: Малая пядь равнялась расстоянию между концами растянутых пальцев, большего и указательного (
19 см), большая пядь – расстояние между раздвинутым большим пальцем и мизинцем (
ЛАДОНЬ – ширина кисти руки, ЛОКОТЬ – расстояние от локтя до конца среднего пальца.
Большие расстояния измерялись ПОЛЕТОМ СТРЕЛЫ.
Несколько позже появился АРШИН, с персидского – локоть (
71 см), существовал персидский аршин, турецкий аршин и др., отсюда и появилась поговорка «Мерить на свой аршин».
Аршин делился на 16 вершков,
3 аршина составляли САЖЕНЬ – расстояние от ступни до конца среднего пальца вытянутой вверх руки, 500 саженей – составляли ВЕРСТУ (или поприще), 7 верст – МИЛЮ.
С развитием производства и торговли люди убедились в том, что не всегда удобно измерять расстояния шагами или прикладыванием локтя, так как длина локтя или шага у разных людей различная, а мера длины должна быть постоянной. Так появился метр.
Метр, принятий за эталон, сейчас хранится в одном из французских музеев.
Так что же значит «измерить»?
Коротко можно ответить так: «Измерить – значит сравнить с эталоном».
А чем мы обычно измеряем? Сравниваем?
К древнейшим геометрическим инструментам относятся циркуль и линейка. Сначала изобрели линейку, а циркуль был изобретен значительно позже. Фигуры папируса Ахмеса, например, свидетельствует о применении линейки, но не циркуля. Циркуль был изобретен в Древней Греции.
В техническом черчении употребляют масштабную миллиметровую линейку. Для измерения диаметра трубки используют штангенциркуль.
Для измерения расстояний на местности пользуются рулеткой.
5. Свойства длины отрезка.
Попробуем выяснить некоторые свойства длины.
Длина отрезка выражается положительным числом.
2. Что можно сказать о длине двух равных отрезков?
Равные отрезки имеют равные длины.
3. Если начертить отрезок АВ, поставить на нём точку С, то получатся отрезки АС и СВ. Что можно узнать, сложив длины отрезков АС и СВ?
Длина всего отрезка равна сумме длин отрезков, из которых он состоит.
Решим несколько задач на измерение отрезков.
1) (устно) На отрезке КМ поставлена точка О, КО = 7,9дм, ОМ=4,5дм. Найдите длину КМ.
2) (письменно) На отрезке АВ лежит точка С, АС = 3,6см, АВ = 9,8см. Найдите длину СВ.
4. (устно) Отрезок ВС = 7м и РК = 0,8ВС, Найдите длину отрезка РК.
1) Точка М лежит на прямой ЕF между Е и F. Чему равна длина отрезка МF, если EF = 8,3cм, EM = 3,3cм? (Решение оформляется по образцу предыдущего) Ответ: MF =5см.
3) На отрезке LS лежат точки K и R так, что К лежит между L и R,
LK = 5,2см, LS = 18см и LK = KR. Найти RS. (Учитель проверяет решение и оформление каждого) Ответ: RS =7,6см.
6. Точки А, В и С лежат на одной прямой. Известно, что АВ=9см, ВС=11,5см.
Какой может быть длина отрезка АС?
Ответ: АС=20,5см или АС=2,5см
7. АС = 10мм, В D =14мм, А D =16мм. Найдите ВС
8. АВ=4,6м, ВС=9,26м, DA =24,76м. Найдите CD
8. Практическая работа «Живой метр».
Учтите: для обмеривания мелких расстояний следует помнить длину между концами расставленных большого пальца и мизинца. Должно быть известно вам наибольшее расстояние между концами указательного и среднего пальцев. Надо, наконец, знать и ширину своих пальцев, длину стопы, размах рук.
Измерьте следующие расстояния и запишите в тетрадь.
1) пядь – расстояние между концами растянутых пальцев, большего и указательного (
2) локоть – расстояние от локтя до конца среднего пальца (
3) косая сажень (248см) – расстояние от пальцев левой ноги до конца пальцев поднятой правой руки,
4) маховая сажень (176см) – расстояние между концами пальцев расставленных в стороны рук
5) фут (ступня), рост, длина пояса и т.п.
Теперь давайте измерим окружающие нас предметы (по желанию: длину, ширину и высоту парты, тетрадь, доску, классную комнату и др.) тремя способами:
1. Сначала определим длину «на глаз» без измерительных приборов;
2. Затем измерим, зная «собственные» длины частей тела;
3. Проверим с помощью измерительных инструментов, насколько ошиблись.
Ребята, полезно уметь не только измерять расстояния без мерной линейки, шагами, но и оценивать их прямо на глаз. Этот навык можно выработать только путём упражнений.
Попробуйте, выйдя с товарищами на дорогу, наметить какой-нибудь придорожный предмет и прикинуть – сколько до него шагов. Затем посчитайте шаги, чтобы определить, чья оценка ближе к истинной, тот и выиграл.
9. Итог урока. Рефлексия
– Что нового вы сегодня узнали?
– Нам удалось реализовать цель урока?
А теперь мини-тест «Дополни предложения».
– Какие знания, полученные на уроке, вы сможете в дальнейшем применять в жизни?
10. Домашняя работа. Выставление оценок.
пп. 7-8 (стр. 13-16), №24, №25, №32, №33.
Выбранный для просмотра документ Измерение отрезков.ppt
Геометрия. 7 класс
Конспект урока
Сравнение отрезков и углов
Перечень рассматриваемых вопросов:
Луч – часть прямой, состоящий из всех точек, лежащих по одну сторону от заданной точки и той точки, которая является началом луча.
Угол – часть плоскости, ограниченная двумя лучами с общим началом.
Стороны угла – лучи, из которых состоит угол
Середина отрезка – это точка, делящая его пополам, т.е. на два равных отрезка.
Две геометрические фигуры на плоскости называются равными, если их можно совместить наложением.
Биссектриса – это луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла.
Теоретический материал для самостоятельного изучения.
В окружающем нас мире очень много предметов, которые имеют одинаковую форму и размеры.
Например, два одинаковых мяча или две одинаковые тетради. Сегодня мы узнаем, как называются одинаковые геометрические фигуры, например, такие как отрезки и углы.
Для начала, рассмотрим, какие фигуры в геометрии называются равными.
Как установить, что плоские фигуры одинаковые?
Для этого существует способ наложения, опишем его.
Суть данного метода заключается в том, что если при наложении двух фигур друг на друга, они совместятся, то говорят, что первая фигура равна второй фигуре.
Т.е. две плоские геометрические фигуры называются равными, если их можно совместить наложением.
Так сравнивают отрезки и углы.
Для начала сравним отрезки.
Возьмём три отрезка АВ, CD и FE и сравним их между собой.
Чтобы установить, равны отрезки или нет, наложим один отрезок на другой так, чтобы один из концов отрезков совместился. Если при этом совместятся и другие концы, то отрезки будут считаться равными. Если два других конца не совместятся, то отрезки, соответственно, не будут между собой равны. При этом меньшим считается тот отрезок, который составляет часть другого.
В нашем случае отрезок АВ совместился с отрезком CD, следовательно, эти отрезки равны. А отрезок FE не совместился с отрезком АВ, следовательно, эти отрезки не равные, т.к. отрезок АВ составляет часть отрезка FE, то отрезок АВ будет меньше отрезка FE.
Аналогично можно сравнить отрезок CD с отрезком FE, отрезок FE не совместился с отрезком CD, следовательно, эти отрезки не равные, т.к. отрезок CD составляет часть отрезка FE, то отрезок CD будет меньше отрезка FE.