Что можно считать алгоритмом правила организации
Что такое алгоритм?! Часть первая
Терзаем вместе основной кирпичик программиста — Алгоритм.
Проблема
Текущее состояние в области программирования — это обучение ремеслу по большей части личной практикой или разборами примеров стороннего кода, с которым по каким-то причинам приходится сталкиваться.
В результате программированию учишься по наитию. Лишь немного в этом труде помогают сборники алгоритмов, прикладных техник и шаблонов проектирования. Общая совокупность предлагаемых ими рецептов выстраивается длинным списком, и его длина грозит каждому из прочитанных приемов быть позабытым (как была забыта 53-яя личная группа в «телеге» до введения разбиения по каталогам). Но даже тот прием, который остался в памяти, чаще всего просто является описанием прикладной задачи, в которой было успешно его использование.
Почему конкретный прием был успешен в задаче-образце? Будет ли он успешен в твоём проекте? Какие признаки проекта дают понять, что использование приёма уместно?
В личном опыте существования в профессии не раз отмечено, что каждый Junior борется с одинаковыми ветряными мельницами и постигает методы создания программ основываясь только на своих ошибках. Но ведь такие ошибки совершили уже очень многие. Почему до сих пор не создана система правил программирования, которая поможет обойти новоиспеченному кораблю-программисту подводные прибрежные камни? Ну, например, объяснение вреда использования метода «Copy-Paste» для развития кода. Если такие правила получится объяснить малым набором причин, их сформировавшим, то это объяснение обеспечит их запоминание и последующее использование в практике, тем самым поможет уклониться от бесчисленных грабель, разложенных тут и там.
Для компактного и полезного набора объяснений нужно:
Если обобщить, то нужны алгоритмы для написания и развития алгоритмов.
Задуманная серия статей не претендует на полное решение указанной проблемы. Предпринимается небесспорная попытка сделать первый шаг на пути к этому решению. Этот шаг состоит в выделении структуры и свойств главного кирпичика программиста — Алгоритма.
Задача
Сформулируем основную задачу, которую хочется решить. Для этого сначала запишем операции над алгоритмами, которые программист выполняет в ходе написания своего проекта:
Рассмотрим существующие на текущий момент варианты значения слова «алгоритм» в поисках подсказок, о том как можно работать с алгоритмами.
Так, например, формулировка «конечная совокупность точно заданных правил решения произвольного класса задач» говорит что есть возможность как-то «точно задать правила» из них собрать «совокупность» и этой совокупностью «решить» некоторый «класс задач».
Сразу возникает масса вопросов к этому определению:
Другая формулировка «набор инструкций, описывающих порядок действий исполнителя для решения некоторой задачи» говорит что есть «исполнитель», который может выполнять некоторые «действия», и при некотором «порядке» выполнения этих «действий» «решается задача». Вопросов не стало меньше:
Перечислено много вопросов, но они мало помогают в поиске методов работы с алгоритмом. Поэтому поставим себе меньшую задачу, но тоже очень нам важную. Давайте попробуем сформулировать, что делает алгоритм способом решения наших задач, и какие процессы являются для него «действиями». Даже решение этой «маленькой» задачи оказывается очень объемным для одной статьи, поэтому будем его разбивать на части. И поэтому первую статью серии целиком посвятим только «Действию» и его признакам, которые опущены в указанных выше определениях алгоритма, но являются очень важными для ответов на все заданные вопросы.
Определение алгоритма
Рассмотрим определение алгоритма, говорящее, что он — приводящая к решению задачи последовательность действий. Как программисту мне приходится писать много кода. Этот код состоит из частей. Такими частями являются и функции, и классы, и модули. Когда я пишу текст функции — я занимаюсь написанием алгоритма.
Раньше алгоритм создавали в виде блок схем и полуавтоматически компилировали в машинные коды. Сейчас я избавлен от необходимости быть художником и компилятором для написания программы. Текст моей функции — это запись алгоритма в текстовом виде — его текстовая блок-схема. Здесь можно вспомнить Scratch, где используется визуальное создание блок-схемы алгоритма без написания текста. Способ записи алгоритма сейчас не так важен.
Важно, что в написании алгоритма функции я могу использовать вызовы других функции, которые я или другой программист уже написал до этого момента. Вспоминая фразу «последовательность действий, приводящая к решению задачи», можно отметить, что функции, написанные ранее, являются моими «действиями». То есть «действия» могут быть функциями. Если обобщать, то «действия» могут быть алгоритмами.
Если «действие = алгоритм», то определение можно попробовать переписать рекурсивно «алгоритм — это приводящая к решению задачи последовательность использования существующих алгоритмов». Рекурсивные определение не самое простое, что можно записать в словаре обычного человека. Но для программиста и математика эта форма знакома. Мы умеем с ней работать, и это даёт нам преимущество в рассмотрении разных задач, разбиваемых на подобные себе подзадачи. Так давайте воспользуемся этим преимуществом.
Чтобы разрешить рекурсию нам необходимо найти:
Действие
Для начала рассмотрим «действие» и попробуем найти причину, обеспечивающую возможность использования существующего «действия» для создания нового алгоритма.
Этой причиной является возможность повторного использования «действия» с получением тождественного результата. Только тогда разработанный с использованием этого «действия» алгоритм решения некоторой задачи будет одинаково решать эту задачу снова и снова. Мы нащупали важные законы нашего мира, в котором:
Какие признаки «действия» кроме повторимости делают возможным его использование в создании алгоритма? Что является терминальным неделимым «действием»? Чтобы ответить на этот вопрос стоит рассмотреть разные примеры «действий» из нашего опыта. Программисты встречали их много раз. Это и сложение, и умножение, и установка цвета пикселя на экране. Но мы знакомы с ними и вне программирования. Вся наука основывается на повторяемых явлениях.
Закон гравитации, описывающий повторяющееся явление падения яблока, тоже может стать действием. Ведь любое яблоко будет падать на землю? Значит этот процесс можно использовать в качестве «действия»! Например решая задачу прогнать Ньютона от яблони, на которую Вы случайно забрались ранее.
Рассмотрим, что происходит при выполнении «действия». Например, во время падения яблока с ветки яблони на землю. В этом процессе происходит несколько изменений. Если вспомнить школьную физику и рассмотреть ситуацию в системе отсчета, привязанной к Земле, то сила гравитации вызывает изменение скорости яблока, разгоняя его. При этом в процессе отмечается еще одно важное изменение — уменьшается расстояние между яблоком и Землей.
В рамках примера процесса «Земля-Яблоко» можно отметить у «действия» следующие признаки:
Рассмотрим с этими признаками разные области и процессы, выделяя в них примеры «действий» и контролируя особенности указанных признаков в описании структуры «действия».
Физические процессы
Для физических систем, процессы которых мы наблюдаем в нашем мире, характерные объекты и изменения опираются на фундаментальные взаимодействия и потому их достаточно просто выделить по аналогии с гравитационным взаимодействием Земли и яблока. Например, для системы из протона и электрона или системы двух протонов.
Отдельно от этих простых взаимодействий двух объектов стоят многокомпонентные процессы, например, ядерные реакции (по структуре «действия» близки к химическим процессам, рассматриваемым далее). Сложны и процессы описываемые суммарным взаимодействием большого числа элементов, например, «идеальный газ». Пока отложим их рассмотрение и сосредоточимся на самых простых примерах.
Химические процессы
Перейдем к следующей большой области — химическим процессам. Химические реакции (например, 
) по признаку своей повторимости так же являются «действиями». Объектами в них являются атомы и молекулы. Для описания происходящих изменений необходимо немного преобразовать «физические» изменения. Так изменения параметров движения в совокупности дают нам изменение температуры в ходе химической реакции. А среди изменений расстояний между молекулами мы, игнорируя броуновское движение, можем выделить фиксацию расстояния в виде повторимого формирования и разрушения связей между частями взаимодействующих молекул. Локальность для химической реакции тоже существует — это отсутствие реакции при нахождении гидроксида натрия и соляной кислоты в разных пробирках и наличие реакции при соприкосновении веществ. Конечно, в «химической» области «действий» есть особенности не сводящиеся к молекулам, например, фотохимические реакции, где к объектам необходимо добавить фотоны. Самые простые процессы выбраны для рассмотрения намеренно.
Математические процессы
Следующей областью выберем «действия» из известных нам абстрактных алгоритмов. Самые яркие их представители — математические процессы. В этой области есть действительно «сложные случаи», но для этой статьи достаточно хорошо знакомых примеров. Рассмотрим в качестве «действия» достаточно элементарную операцию — сложение. А примером этого «действия» выберем сложение математиком двух целых чисел.
В ситуации с математиком можно выделить много объектов, но с точки зрения «действия» («сложение математиком двух целых чисел»), объекта всего три: это объект «математик», объект «первое число» и объект «второе число». В отличие от всех рассмотренных ранее объектов числа являются обозначениями, то есть виртуальными объектами. И их преобразование в алгоритме более сложно устроено нежели изменение расстояния и параметров движения объектов, как это было для «химических» действий. Подробности такого преобразования — это тема отдельной увлекательной статьи. А в рамках текущей рассмотрим древнего математика, который складывает числа, используя кучки камешков (рим. ‘calculi’), и более «современного» математика, использующего абак. Абстракции таких способов вычисления суммы не так далеко отошли от физических и химических процессов, поэтому структура процессов их «действий» полностью описывается изменениями расстояний и связей.
Интересно, что на примере древнего математика становится понятен смысл слова «сложить», которое отсылает нас к действию «класть» и к фразе «положить вместе».
Сложение и древний математик
Для математика, оперирующего камешками, сумма это «действие» со следующими характеристиками.
Сложение и математик-абакист
У математика с абаком ситуация сложнее. Кучки разделены по значению на разрядные борозды.
Можно рассмотреть самый простой абак с двумя разрядами-бороздами. Пусть он будет десятичный. Тогда один камешек на борозде десятков соответствует десяти камешкам на борозде единиц. И 10 — это максимальное количество камешков на борозде единиц. По сравнению с действием первого математика меняется представление слагаемых. И в арсенале математика уже необходимы нескольких готовых «действий».
Локальность в этих математических «действиях» описывается отсутствием взаимодействия двух слагаемых, находящихся далеко от математика, и запуском процессов сложения когда все три объекта сложения «близко». Повторяемое изменение в математическом «действии» выражается в изменении связей между камнями и удерживающими их локациями (кучками, бороздами).
Сложение и машина Тьюринга
Можно пойти чуть дальше и заменить математика в таких «действиях» на «управляющее устройство» машины Тьюринга. Тогда «ячейки ленты» машины Тьюринга будут содержать слагаемые.
При этом остаётся и признак локальности как возможность взаимодействия управляющего устройства только с текущей ячейкой ленты, и признак изменения параметров объектов, который можно описать как изменение состояния ячеек.
Подробное описание исходных и результирующих состояний объектов, а так же «действий» производящих эти изменения для сложения, исполняемого машиной Тьюринга, оставим за рамками этой статьи. Но упомянем, что перейдя к машине мы снижаем требования к исполнителю «действия», что является главным способом для создания формальных методов работы с алгоритмом. Можно поставить себе целью упрощение каждой составляющей алгоритма до состояния, когда её выполнение можно будет поручить компьютеру. Тогда в определении алгоритма не останется тёмных мест, и многочисленные вопросы, перечисленные в начале, найдут свои ответы. Пока формализован только исполнитель. Скажем спасибо за это Тьюрингу и вспомним про «действие», формализация которого уже на пороге.
Выводы
Соберём всё, что мы отметили рассматривая разные примеры «действия»:
Признак Повторимости помогает нам в создании наших алгоритмов. С его использованием мы из всех процессов выделяем те, что являются «действием» и на их основе создаём новые алгоритмы. Более того этот признак достаточно прост и на основе его формализации можно снизить требования к системе обнаруживающей и создающей «действия» и поручить это нашему компьютеру.
Следующая статья серии (Часть 2) будет посвящена рассмотрению способов, с использованием которых «действия» могут быть сгруппированы в алгоритм. Этих способов достаточно много и есть предпосылки, что их описание не получится уместить в одну статью. Напишем — увидим.
Спасибо Вам за внимание.
Отзывы
Буду очень благодарен за отзывы и предложения, так как они помогают мне скорректировать направление развития работы в области.
Отдельное волнение у меня есть по стилю и форматированию, используемым в статье (кавычки, абзацы, курсив). Напишите, пожалуйста, если у Вас есть замечания к ним. Можно личным сообщением.
Тест по теме «Алгоритмы и исполнители» 6 класс
Тест по информатике Алгоритмы и исполнители 6 класс
1. Закончите предложение: «Алгоритмом называется…»
1) нумерованный список
2) маркированный список
3) система команд исполнителя
4) описание конечной последовательности шагов в решении задачи, приводящей от исходных данных к требуемому результату
2. Что можно считать алгоритмом?
1) Правила техники безопасности
2) Список класса
3) Кулинарный рецепт
4) Перечень обязанностей дежурного по классу
3. Закончите предложение: «Блок-схема — форма записи алгоритма, при которой для обозначения различных шагов алгоритма используются…»
1) рисунки
2) списки
3) геометрические фигуры
4) формулы
4. Закончите предложение: «Геометрическая фигура 
используется в блок-схемах для обозначения…»
1) начала или конца алгоритма
2) ввода или вывода
3) принятия решения
4) выполнения действия
5. Закончите предложение: «Геометрическая фигура 
используется в блок-схемах для обозначения…»
1) начала или конца алгоритма
2) ввода или вывода
3) принятия решения
4) выполнения действия
6. Выберите истинные высказывания.
1) Человек разрабатывает алгоритмы.
2) Компьютер разрабатывает алгоритмы.
3) Исполнитель разрабатывает алгоритмы.
4) Человек управляет работой других исполнителей по выполнению алгоритмов.
5) Компьютер управляет работой связанных с ним технических устройств по выполнению алгоритмов.
6) Исполнитель управляет работой связанных с ним технических устройств по выполнению алгоритмов.
7) Человек исполняет алгоритмы.
8) Компьютер сам выполняет алгоритмы (программы).
9) Исполнитель четко и безошибочно выполняет алгоритмы, составленные из команд, входящих в его СКИ.
7. Закончите предложение: «Алгоритм, в котором команды выполняются в порядке их записи, т. е. последовательно друг за другом, называется…»
1) линейным
2) ветвлением
3) циклическим
8. Расставьте действия в нужном порядке Алгоритм «Посадка дерева»
а) Поставить лопату и лейку на место б) Взять лопату и саженец
в) Посадить саженец в ямку г) Выкопать ямку
д) Взять лейку с водой и полить саженец е) Засыпать ямку
9. Составить блок-схемы к следующим фразам: если хочешь быть здоров, то закаляйся, иначе валяйся весь день на диване
10. Каков результат выполнения алгоритма при Х=8;
Тест по информатике Алгоритмы и исполнители 6 класс
1. Закончите предложение: «Алгоритмом называется…»
1) нумерованный список
2) описание конечной последовательности шагов в решении задачи, приводящей от исходных данных к требуемому результату
3) блок-схема
4) система команд исполнителя
2. Что можно считать алгоритмом?
1) Правила организации рабочего места
2) Телефонный справочник
3) Схема метро
4) Инструкция по пользованию телефонным аппаратом
3. Закончите предложение: «Графическое представление алгоритма для исполнителя называется…»
1) рисунком
2) планом
3) геометрической фигурой
4) блок-схемой
4. Закончите предложение: «Геометрическая фигура 
используется в блок-схемах для обозначения…»
1) начала или конца алгоритма
2) ввода или вывода
3) принятия решения
4) выполнения действия
5. Закончите предложение: «Геометрическая фигура 
используется в блок-схемах для обозначения…»
1) начала или конца алгоритма
2) ввода или вывода
3) принятия решения
4) выполнения действия
6. Выберите истинные высказывания.
1) Человек исполняет алгоритмы.
2) Компьютер сам выполняет алгоритмы (программы).
3) Исполнитель четко и безошибочно выполняет алгоритмы, составленные из команд, входящих в его СКИ.
4) Человек управляет работой других исполнителей по выполнению алгоритмов.
5) Компьютер управляет работой связанных с ним технических устройств по выполнению алгоритмов.
6) Исполнитель управляет работой связанных с ним технических устройств по выполнению алгоритмов.
7) Человек разрабатывает алгоритмы.
8) Компьютер разрабатывает алгоритмы.
9) Исполнитель разрабатывает алгоритмы.
7. Закончите предложение: «Алгоритм, в котором некоторая группа команд выполняются многократно, пока соблюдается некоторое заранее установленное условие, называется…»
1) линейным
2) ветвлением
3) циклическим
8. Расставьте действия в нужном порядке Алгоритм «Пришивание пуговицы»
1) Положить иголку и ножницы на место 2) Отрезать нитку подходящего цвета
3) Взять рубашку 4) Вдеть нитку в иголку
5) Пришить пуговицу 6) Взять иголку и ножницы
7) Подобрать подходящую пуговицу
Кто же ты такой, алгоритм?
Сегодня довольно легко столкнуться с недобросовестными школьными учебниками, в частности с учебниками по информатике. В главах, посвященных алгоритмам, вы можете найти непосредственно определение алгоритма. Не пояснение, о чем идет речь, не рассказ о предмете, а именно определение. Причем выделенное жирным шрифтом, старательно обведенное в рамку и помеченное какой-нибудь заметной пиктограммой в виде восклицательного знака. Обычно приправлено всё это соусом из кучи обязательных и необязательных свойств, образуя в итоге феерический кавардак. Давайте попытаемся понять, что же такое алгоритм, почему мы не может дать ему конкретного определения и выясним, какие свойства являются обязательными, а какие нет.
Составителей учебников легко понять, ведь на самом деле строгого определения алгоритма не существует, и более того, такого определения быть не может. Но вместо попыток объяснить, что к чему, авторы подсовывают бедным ученикам еще одно задание по зубрежке бесполезных и неправильных терминов. Чтобы не быть голословным, приведу выдержку из одного весьма распространенного учебника:
В университетах дела обстоят получше, однако автору этих строк на курсе по математической логике и теории алгоритмов пришлось столкнуться все с тем же винегретом из определения алгоритма и его свойств. Разберемся, что тут не так.
Бесконечность не предел
Такой же трюк с нумерацией не пройдет для бесконечных непериодических дробей (иррациональных чисел). Допустим такое множество счетное, то есть элементы этого множества можно пронумеровать натуральными числами. Тогда рассмотрим бесконечную десятичную дробь с нулевой целой частью, у которой первая цифра после запятой не равняется цифре на той же позиции у дроби с номером 1, вторая цифра не равняется цифре на второй позиции у дроби с номером 2 и т.д. Тогда полученная дробь будет заведомо отличаться от всех дробей хотя бы одной цифрой. Получается для нее не нашлось номера в нашей бесконечной нумерации! Примененная схема доказательства называется канторовским диагональным методом в честь придумавшего ее математика Георга Кантора.
Про бесконечные дроби
Не стоит делать ошибку, записывая в иррациональные числа все бесконечные дроби. Иррациональными являются только те числа, которые нельзя представить в виде несократимой дроби вида m/n. В десятичной системе счисления дроби 1/3 и 2/7 тоже окажутся бесконечными, однако их «бесконечность« обусловлена выбранной системой счисления. В системе счисления по основанию 21 эти дроби будут иметь конечное представление, а вот, например, дробь 1/2 окажется бесконечной (периодической).
Говорят, что множество бесконечных десятичных дробей имеет мощность континуум, которая обозначается символом ℵ1 (алеф-один). В дальнейшем нам понадобится следующее множество. Рассмотрим некоторый алфавит (конечное множество символов). Теперь представим множество всех конечных цепочек символов алфавита A*. Коль скоро алфавит конечен, и каждая цепочка конечна, то множество таких цепочек счетно (их можно пронумеровать натуральными числами).
На сколько велика бесконечность?
Допустим в наш алфавит вошли все придуманные на земле символы: русский алфавит, японские иероглифы, шумерская клинопись и т.д. Тогда в наше множество войдут все написанные когда-либо книги, все книги, которые будут написаны и все книги, которые никто не стал бы писать (например, хаотичные последовательности символов). Кроме того, представим книгу, толщиной в Солнечную систему и диагональю листа равной диаметру Млечного Пути, набранную 12-м шрифтом. В наше придуманное множество войдут все такие книги, отличающиеся хотя бы одним символов, и не только они, ведь вселенная бесконечна! Кто мешает представить себе книгу, размером в миллиарды световых лет? А все такие книги? Уже на этом этапе воображение может давать сбои, а ведь наше множество всего лишь счетное. Чтобы дополнить множество до континуума, нужно рассмотреть бесконечную книгу, по сравнению с которой, предыдущие книги — детские игрушки. Но и одной бесконечной книги нам не хватит, нужно рассмотреть все бесконечные книги.
Конструктивно оперировать континуальными бесконечностями невозможно. Даже работая со счетными множествами, мы не рассматриваем сами множества, а только говорим, что какой бы не был элемент N, всегда найдется элемент N+1. Если мы ставим себе прикладную задачу, появление в наших рассуждениях континуальной бесконечности должно служить нам «тревожной лампочкой»: осторожно, выход за пределы конструктивного.
Алгоритмы и вычислимость
Компьютер проводит свои вычисления, подчиняясь некоторой программе, которая воплощает собой конструктивную процедуру, или алгоритм. Не сложно догадаться, что алгоритм как раз и есть то правило, по которому вычисляется функция. Можно сказать, функция считается вычислимой, если для нее существует некоторый алгоритм.
Понятия алгоритм и вычислимая функция оказываются настолько заковыристыми, что некоторые составители учебной литературы не утруждают себя попытками разъяснить их суть. Дело в том, что определения алгоритма не существует, и кроме того, существовать не может, иначе пришлось бы выбросить на свалку целый раздел математики — теорию вычислимости. Попробуем разобраться более подробнее.
Частично-рекурсивные функции и тезис Черча
Все началось с того, что математик Давид Гильберт в 1900 году предложил список нерешенных на тот момент математических проблем. Позже выяснилось, что десятая проблема (проблема решения произвольного диофантового уравнения) оказалось неразрешимой, но для доказательства этого факта пришлось составить целую новую математическую теорию. Вопросами того, какие задачи можно конструктивно решить, и что такое конструктивное решение, занялись математики Курт Гедель, Стивен Клини, Алонсо Черч и Алан Тьюринг.
Курт Гедель наиболее известен тем, что сформулировал и доказал 2 теоремы о неполноте. Между прочим, сделал он это в возрасте всего лишь 24 лет.
Как выяснилось выше, континуальные бесконечности не всегда подходят под конструктивные рассуждения, поэтому Гедель и Клини предложили рассматривать только функции натурального аргумента (при необходимости любые функции над счетными множествами можно привести к «натуральным функция» путем замены элементов множеств их номерами). Изучая вычислимость таких функций, Гедель, Клини, Аккерман и другие математики пришли к так называемому классу частично-рекурсивных функций. В качестве определения этого класса рассматривается набор базовых, очень простых функций (константа, увеличение на единицу и проекция, которая сопоставляет функции многих аргументов один из ее аргументов) и операторов, позволяющих из функций строить новые функции (операторы композиции, примитивной рекурсии и минимизации). Слово «частичные» показывает, что эти функции определены лишь на некоторых числах. На остальных они не могут быть вычислены. Попытки расширить класс частично-рекурсивных функций ни к чему не привели, так как введение новых операций приводило к тому, что получалось множество функций, совпадающее с классом частично-рекурсивных. В дальнейшем Алонсо Черч отказался от попыток расширения этого класса, заявив, что, видимо:
Частично-рекурсивные функции соответствуют вычислимым функциям в любом разумном понимании вычислимости.
Это утверждение называют тезисом Черча. Стоит отметить, что тезис Черча не является теоремой или доказанным утверждением. Во-первых, не понятно, что такое «разумное понимание», во-вторых, превратив тезис Черча в доказанный факт, мы лишаем себя перспектив дальнейшего исследования вычислимости и механизмов вычислений. Никто, впрочем, не мешает попробовать определить такой набор операций, который был бы мощнее базиса для частично-рекурсивных функций. Только вот, до сих пор это никому не удавалось сделать.
Ученые долго не могли привести пример частично-рекурсивной функции, не являющейся примитивно-рекурсивной (без оператора минимизации). Наконец это удалось Вильгельму Аккерману. Предложенная функция Аккермана растет так быстро, что количество цифр в десятичной записи числа A(4,4) превосходит количество атомов во Вселенной.
Формальная теория алгоритмов во многом построена аналогично теории вычислимости. Считается, что алгоритм есть некое конструктивное преобразование входного слова (цепочки символов некоторого алфавита) в некоторое выходное слово. Опять же, здесь мы имеем с функциями вида A*->A*. Конечно, предложенное описание не подходит под определение алгоритма, так как неясно, что же такое «конструктивное преобразование». Хоть понятия алгоритма и вычислимой функции близки, не стоит их смешивать. Для одного и того же алгоритма может быть предъявлено сколько угодно его записей на каком-нибудь формальном языке, но соответствующая вычислимая функция всегда одна. Один из основателей формальной теории алгоритмов, Алан Тьюринг, предложил формальную модель автомата, известного как машина Тьюринга. Тезис Тьюринга гласит:
Каково бы не было разумное понимание алгоритма, любой алгоритм, соответствующий такому пониманию, может быть реализован на машине Тьюринга.
Любые попытки построить более мощные автомат заканчивались неудачей: для каждого такого автомата (машина Поста, нормальные алгоритмы Маркова, автоматы с регистрами и несколькими лентами) удавалось построить аналогичную машину Тьюринга. Некоторые ученые объединяют тезис Черча и тезис Тьюринга в тезис Черча-Тьюринга, так как они весьма близки по духу.
С помощью такого незамысловатого автомата можно формализовать любой алгоритм.
Таким образом, определив понятие алгоритма, мы будем вынуждены забыть о тезисе Черча-Тьюринга, и отказаться от целой математической теории, богатой содержанием и подарившую нам множество практических результатов.
Свойства алгоритмов
Мы выяснили, почему у алгоритма не может быть конкретного определения. Однако можно определить свойства, которыми должен обладать каждый алгоритм. К сожалению, в литературе часто смешивают обязательные и необязательный свойств. Разберемся подробнее.
Обязательные свойства
Начнем с обязательных свойств. Алгоритм можно записать в виде конечного текста из символов конечного алфавита. Действительно, бесконечный текст мы не можем записать чисто технически, а раз алгоритмы имеют отношение к конструктивной деятельности, бесконечными они быть не могут. Возможность представить алгоритм в виде конечного текста можно назвать свойством объективности и конечности.
Еще одно достаточно очевидное свойство любого алгоритма — его дискретность. Независимо от исполнителя, исполнение алгоритма представляет собой дискретный процесс, при рассмотрение распадающийся на элементарные действия. Понимать дискретность можно и в том смысле, что любая информация, над которой работает алгоритм может быть представлена в виде текста.
Третье фундаментальное свойство алгоритмов называется детерминированностью. Оно заключается в том, что следовать предписанной процедуре можно только одним способом. Единственное, что может повлиять на ход выполнения — это исходные данные, однако при одних и тех же исходных данных, алгоритм всегда выдает один и тот же результат.
Эти три свойства присущи всем алгоритмам. Если нарушено хотя бы одно из них, перед нами уже не алгоритм. С натяжкой к обязательным свойствам можно добавить понятность для исполнителя, хотя это уже на грани фола. По большей части. это относится не к самому алгоритму, а к его записи.
«Винегрет» из свойств из того же учебника по информатике.
Необязательные свойства
Наряду с обязательными свойствами, алгоритм может обладать некоторыми частными свойствами, которые вовсе не обязательны. Начнем с массовости. Конечно, хочется, чтобы алгоритмы решали классы задач в зависимости от входных данных. Однако существуют алгоритмы, которые вообще не зависят от входных данных, например всем известный вывод на экран «Hello world». Как среди вычислимых функций существуют константные, так и среди алгоритмов существуют генераторы единственного результата.
Теперь рассмотрим широко распространенное убеждение, что алгоритмы должны обладать свойством правильности и завершаемости. Начнем с правильности. Такое свойство попросту невозможно формализовать, так как отсутствуют критерии этой правильности. Наверняка, многие из вас сталкивались с ситуацией, когда программист считает программу правильной, а заказчик нет. С завершаемостью дела обстоят интереснее. Рассмотрим термин «применимость« — алгоритм называется применимым к слову, если, получив на вход это слово, он завершается за конечное число шагов. Самое интересное то, что проблема применимости является алгоритмически неразрешимой, то есть невозможно составить алгоритм, которые определял бы по записи алгоритма и входному слову, завершится ли он за конечное число шагов. Никто не мешает вам составить программу, состоящую только из одного бесконечного цикла. И эта программа все еще будет алгоритмом.
Про зависающие программы
Программы, которые не могут зациклиться, на самом деле входят в класс примитивно-рекурсивных — подмножество частично-рекурсивного класса. Отличает их отсутствия оператора минимизации. Он то и вносит пикантности. Если вы используете «неарифметический цикл» while или рекурсию, для которых нельзя заранее определить, сколько раз они выполняться, то ваша программа сразу переходит из класса примитивно-рекурсивных в класс частично-рекурсивных.
Теперь перейдем к пресловутой последовательности шагов. Дело в том, что алгоритм может быть представлен в любой из имеющихся формальных систем (частично-рекурсивные функции, машина Тьюринга, лямбда-исчисление и т.д.). Воплощение алгоритма в виде компьютерной программы далеко не всегда будет описанием последовательности шагов. Здесь все зависит от парадигмы программирования. В императивной парадигме программисты действительно оперируют последовательностью действий. Однако существуют и другие парадигмы, такие как функциональная (привет Haskell программистам), где нету никаких действий, а лишь функции в сугубо математическом смысле, или чистая объектно-ориентированная, которая основана не на «последовательности действий», а на обмене сообщениями между абстрактными объектами.
Заключение
Иногда мир устроен несколько сложнее, чем хотелось бы. Существующие формализмы в теории алгоритмов не более чем абстрактные математические системы, наподобие геометрии Евклида или теории вероятности, тогда как понятие вычислимости, возможно, находится вне математики и является свойством нашей Вселенной наряду со скоростью света и законом всемирного тяготения. И хотя, скорее всего, нам так и не удастся ответить на вопрос, что такое алгоритмы и вычислимость, попытки найти ответ на этот вопрос оказались более ценными, чем возможный однозначный ответ.
Материал данной статьи во многом опирается на 1-ый том «Программирование: введение в профессию» А. В. Столярова. Тем, кто хочет подробнее изучить вопросы, связанные с алгоритмами и теорией вычислимости, кроме этой книги, советую Босс В «От Диофанта до Тьюринга» и трехтомник А. Шеня по математической логике и теории алгоритмов.
Дата-центр ITSOFT — размещение и аренда серверов и стоек в двух дата-центрах в Москве. За последние годы UPTIME 100%. Размещение GPU-ферм и ASIC-майнеров, аренда GPU-серверов, лицензии связи, SSL-сертификаты, администрирование серверов и поддержка сайтов.