Что измерено с большей точностью как узнать
Содержание:
При измерении разных физических величин мы получаем их числовые значения с определенной точностью. Например, при определении размеров листа бумаги (длины, ширины) мы можем указать их с точностью до миллиметра; размеры стола – с точностью до сантиметра, размеры дома, стадиона – с точностью до метра.
Нет необходимости указывать размеры стола с точностью до миллиметра, а размеры стадиона с точностью до сантиметра или миллиметра. Мы сами в каждой ситуации, опыте и эксперименте определяем, с какой точностью нам нужны данные физические величины. Однако очень важно оценивать, насколько точно мы определяем физическую величину, какую ошибку (погрешность) в ее измерении допускаем.
При измерении мы не можем определить истинное значение измеряемой величины, а только пределы, в которых она находится.
Пример:
Измерим ширину стола рулеткой с сантиметровыми и миллиметровыми делениями на ней (рис. 5.1). Значение наименьшего деления шкалы называют ценой деления и обозначают буквой С. Видно, что цена деления рулетки С = 1 мм (или 0,1 см).
Совместим нулевое деление рулетки с краем стола и посмотрим, с каким значением
шкалы линейки совпадает второй край стола (рис. 5.1). Видно, что ширина стола составляет чуть больше 70 см и 6 мм, или 706 мм. Но результат наших измерений мы запишем с точностью до 1 мм, то есть L = 706 мм.
Абсолютная погрешность измерения ∆ (ДЕЛЬТА)
Из рис. 5.1 видно, что мы допускаем определенную погрешность и определить ее «на глаз» достаточно трудно. Эта погрешность составляет не более половины цены деления шкалы рулетки. Эту погрешность называют погрешностью измерения и помечают ∆L («дельта эль»). В данном эксперименте ее можно записать 
Сам результат измерения принято записывать таким образом: ширина стола L = (706,0 ± 0,5) мм, читают: 706 плюс-минус 0,5 мм. Эти 0,5 мм в нашем примере называют абсолютной погрешностью. Значения измеряемой величины (706,0 мм) и абсолютной погрешности (0,5 мм) должны иметь одинаковое количество цифр после запятой, то есть нельзя записывать 706 мм ± 0,5 мм.
Такая запись результата измерения означает, что истинное значение измеряемой величины находится между 705,5 мм и 706,5 мм, то есть 705,5 мм ≤ L ≤ 706,5 мм.
Относительная погрешность измерения ε (ЭПСИЛОН)
Иногда важно знать, какую часть составляет наша погрешность от значения
измеряемой величины. Для этого разделим 0,5 мм на 706 мм. В результате получим: 
. То есть наша ошибка составляет 0,0007 долю ширины стола, или 0,0007 · 100% = 0,07%. Это свидетельствует о достаточно высокой точности измерения. Эту погрешность называют относительной и обозначают греческой буквой (эпсилон):
(5.1)
Относительная погрешность измерения свидетельствует о качестве измерения. Если длина какогото предмета равна 5 мм, а точность измерения – плюс-минус 0,5 мм, то относительная погрешность будет составлять уже 10%.
Стандартная запись результата измерений и выводы
На точность измерения влияет много факторов, в частности:
Все это необходимо учитывать при проведении измерений.
Измерительные приборы
Устройства, с помощью которых измеряют физические величины, называют измерительными приборами.
Простейший и хорошо известный вам измерительный прибор — линейка с делениями. На ее примере вы видите, что у измерительного прибора есть шкала, на которой нанесены деления, причем возле некоторых делений написано соответствующее значение физической величины. Так, значения длины в сантиметрах нанесены на линейке возле каждого десятого деления (рис. 3.11). Значения же, соответствующие «промежуточным» делениям шкалы, можно найти с помощью простого подсчета.
Разность значений физической величины, которые соответствуютближайшим делениям шкалы, называют ценой деления прибора. Ёе находят так: берут ближайшие деления, возле которых написаны значения величины, и делят разность этих значений на количество промежутков между делениями, расположенными между ними.
Например, ближайшие сантиметровые деления на линейке разделены на десять промежутков. Значит, цена деления линейки равна 0,1 см = 1 мм.
Как определяют единицы длины и времени
В старину мерами длины служили большей частью размеры человеческого тела и его частей. Дело в том, что собственное тело очень удобно как «измерительный прибор», так как оно всегда «рядом». И вдобавок «человек есть мера всех вещей»: мы считаем предмет большим или малым, сравнивая его с собой.
Так, длину куска ткани измеряли «локтями», а мелкие предметы — «дюймами» (это слово происходит от голландского слова, которое означает «большой палец»).
Однако человеческое тело в качестве измерительного прибора имеет существенный недостаток: размеры тела и его частей у разных людей заметно отличаются. Поэтому ученые решили определить единицу длины однозначно и точно. Международным соглашением было принято, что один метр равен пути, который проходит свет в вакууме за 1/299792458 с. А секунду определяют с помощью атомных часов, которые сегодня являются самыми точными.
Можно ли расстояние измерять годами
Именно так и измеряют очень большие расстояния — например, расстояния между звездами! Но при этом речь идет не о годах как промежутках времени, а о «световых годах». А один световой год — это расстояние, которое проходит свет за один земной год. По нашим земным меркам это очень большое расстояние — чтобы убедиться в этом, попробуйте выразить его в километрах! А теперь вообразите себе, что расстояние от Солнца до ближайшей к нему звезды составляет больше четырех световых лет! И по астрономическим масштабам это совсем небольшое расстояние: ведь с помощью современных телескопов астрономы тщательно изучают звезды, расстояние до которых составляет много тысяч световых лет!
Что надо знать об измерительных приборах
Приступая к измерениям, необходимо, прежде всего, подобрать приборы. Что надо знать об измерительных приборах?
На рисунке 34 изображены три линейки с одинаковыми верхними пределами (25 см). По эти линейки измеряют длину с различной точностью. Наиболее точные результаты измерений дает линейка 7, наименее точные — линейка 3. Что же такое точность измерений и от чего она зависит? Для ответа на эти вопросы рассмотрим сначала понятие цена деления шкалы прибора.
Цена деления — это значение наименьшего деления шкалы прибора.
Как определить цену деления шкалы? Для этого необходимо:
Полученное значение и будет ценой деления шкалы прибора. Обозначим ее буквой С.
Точно так же можно определить и цену деления шкалы мензурок 1 и 2 (рис. 35). Цена деления шкалы мензурки 1:
Цена деления шкалы мензурки 2:
А какими линейкой и мензуркой можно измерить точнее?
Измерим один и тот же объем мензуркой 1 и мензуркой 2. Но показаниям шкал в мензурке 1 объем воды V = 35 мл; в мензурке 2 — V = 37 мл.
Итак, любым прибором, имеющим шкалу, измерить физическую величину можно с точностью, не превышающей цены деления шкалы.
Линейкой 1 (см. рис. 34) можно измерить длину с точностью до 1 мм. Точность измерения длины линейками 2 и 3 определите самостоятельно.
Главные выводы:
Для любознательных:
В истории науки есть немало случаев, когда повышение точности измерений давало толчок к новым открытиям. Более точные измерения плотности азота, выделенного из воздуха, позволили в 1894 г. открыть новый инертный газ — аргон. Повышение точности измерений плотности воды привело к открытию в 1932 г. одной из разновидностей тяжелых атомов водорода — дейтерия. Позже дейтерий вошел в состав ядерного горючего. Оценить расстояния до звезд и создать их точные каталоги ученые смогли благодаря повышению точности при измерении положения ярких звезд на небе.
Пример решения задачи
Для измерения величины угла используют транспортир. Определите: 1) цену деления каждой шкалы транспортира, изображенного на рисунке 38; 2) значение угла BАС, используя каждую шкалу; укажите точность измерения угла ВАС в каждом случае.
Решение:
1) Цена деления нижней шкалы:
Цена деления средней шкалы:
Цена деления верхней шкалы:
2) Определенный но нижней шкале с точностью до 10° 
определенный по средней шкале с точностью до 5° 
определенный по верхней шкале с точностью до 1° 
При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org
Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи
Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей
Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.
Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.
Физические величины. Измерение физических величин. Точность и погрешность измерений
Цели урока:
1) Обучающая: обеспечить формирование у учащихся представлений о физической величине, обеспечит усвоение учащимися теоретических знаний об основных характеристиках физической величины, познакомить учащихся с простейшими измерительными приборами, научить определять цену деления и точность отсчета при использовании различных шкал.
2) Развивающая: способствовать расширению кругозора учащихся о физике; умение находить некоторые закономерности; развитие памяти, самостоятельного суждения.
3) Воспитывающая: интерес, любознательность, наблюдательность, аккуратность в записях.
Ход урока:
1. Организационный этап.
Здравствуйте. Прежде чем мы приступим к уроку, хотелось бы, чтобы каждый из вас настроился на рабочий лад.
2. Актуализация знаний
Прежде чем начинать наш с вами уже второй урок в курсе Физики, хотелось бы вспомнить то, о чем мы говорили на предыдущем занятии.
Мы ввели понятие «Физическое тело». Что же это? Это любой предмет, окружающего нас мира.
Физическое явление — все изменения, которые происходят с физическими полями и телами.
Для описания физических тел и физических явлений используют физические величины.
Например, для описания деревянного бруска нам необходимо использовать такие физические величины как масса, длина, ширина, высота, объем.
Откройте тетради и запишите число и тему нашего урока.
3. Этап получения новых знаний.
Для описания физических тел и физических явлений используют физические величины.
Например, для описания деревянного бруска нам необходимо использовать такие физические величины как масса, длина, ширина, высота, объем.
То есть физическая величина это то, что мы можем измерить. Измеряемое свойство тела или явления.
Каждая физическая величина имеет название, например масса; Буквенное обозначение (массу обозначают латинской буквой эм), способ измерения (с помощью весов), числовое значение (например, масса человека равна 45), и единицы измерения (кг). Получаем, масса тела равна 45 кг.
Для каждой физической величины приняты свои единицы измерения. Для удобства все страны мира стремятся пользоваться одинаковыми единицами измерения физических величин. С 1963 года во многих странах мира используется Международная система единиц — СИ (система интернациональная). В этой системе основной единицей длины является метр, времени — секунда, массы — килограмм.
Существует единицы, которые в 10, 100, 1000 раз больше принятых. Такие единицы называет кратными, и именуются с соответствующими греческими приставками. Например, десяти соответствует приставка «дека», стам — «гекто», тысячи — «кило».
Если используют единицы, которые в 10, 100, 1000 раз меньше принятых единиц (это дольные единицы), то используют приставки, взятые из латинского языка. «Деци» — ноль целых одна десятая, «санти» — ноль целых одна сотая, «милли» — ноль целых одна тысячная.
Измерения очень важны в нашей жизни, для их проведения необходимы измерительные приборы. Самые простые приборы для измерения длины линейка, рулетка, мерная лента.
Для измерения объема жидкости мензурка, мерный цилиндр, мерная колба.
Для измерения температуры используют комнатный, водный, медицинский термометры. Медицинский, в свою очередь, бывает электронный и ртутный.
Существуют и другие измерительные приборы. Например, времени секундомер, часы. Силы — динамометр. Давления, атмосферного — барометр, газов в сосуде — манометр.
Приборы делят на шкальные и цифровые. Каждый шкальный прибор имеет шкалу и цену деления.
Шкала измерительного прибора называют совокупность отметок и цифр на отсчетном устройстве прибора, соответствующая ряду последовательных значений измеряемой величины
Цена деления — значение наименьшего деления шкалы прибора.
Для определения цены деления шкалы нужно от большего числа, соответствующего какому — либо делению шкалы, вычесть меньшее и полученную разность поделить на число делений между цифрами. Получаем 0,1 сантиметра на деление.
Какой же прибор точнее, цена деления которого меньше или больше?
Рассмотрим мерную ленту А) и линейку б). У обоих приборов единицы измерения совпадают!
Для нахождения цены деления мерной ленты возьмем два рядом стоящих значения на шкале, от большего вычтем меньшее и разделим на количество делений между данными цифрами. Получим, 1 сантиметр на деление.
Также определим цену деления для линейки. Количество делений в данном случае 10. Получим, ноль целых одна десятая сантиметра на деление.
Точнее тот прибор у которого цена деления меньше. Значит данная линейка точнее мерной ленты.
То есть, имея меньшую цену деления, мы меньше ошиблись.
Чему же равна погрешность измерительных приборов?
Погрешность равна половине цены деления.
Например, погрешность при измерении температуры равна половине цены деления данного термометра.
Найдем ее: для этого определим цену деления термометра.
Берем два любых значения, например 20 и 10, от большего вычтем меньшее значение и разделим на количество делений между ними, их пять. Получили, что она равна 2 градуса на деление.
Значит погрешность равна 1 градус.
Как же это записать?
T = 20±1 C, где 20 — показания термометра, 1 — погрешность, знак полюс минус использует потому, что ошибиться можно как в большую так и в меньшую сторону.
При записи величин с учетом погрешности следует пользоваться формулой, где
А — измеряемая величина,
а — результат измерений,
Так что же значит измерить физическую величину?
Измерить физическую величину — значит сравнить ее с однородной величиной, принятой за единицу.
Например, чтобы измерить длину отрезка прямой между точками, А и В, надо приложить линейку и по шкале определить сколько сантиметров укладывается между данными точками.
Если физическая величина измеряется непосредственно путем снятия данных со шкалы прибора, то такое измерение называют прямыми. Например, измерение длины бруска, ширины или высоты бруска.
А как же определить объем этого самого бруска. Конечно же, используя формулу. Объем есть произведение длины, ширины и высоты.
В этом случае, когда физическую величину (объем), определили по формуле, говорят, что измерения провели косвенно.
3. Этап обобщения и закрепления нового материала.
Итак, сделаем основные выводы:
— Физическая величина — измеряемое свойство тела или явления
— Каждый шкальный прибор имеет шкалу и цену деления
— Шкала измерительного прибора — это совокупность отметок и цифр на отсчетном устройстве прибора, соответствующая ряду последовательных значений измеряемой величины
— Цена деления (С) — значение наименьшего деления шкалы прибора
— Для определения цены деления шкалы нужно от большего числа, соответствующего какому- либо делению шкалы, вычесть меньшее и, разность поделить на число делений между цифрами
— Погрешность измерительных приборов равна половине цены деления
Для закрепления, изученного материала, ответим на ряд вопросов.
Что такое физическая величина? Какие основные физические величины входят в систему СИ? Какие шкальные измерительные приборы вам известны? Какие цифровые измерительные приборы вам известны? Перечислите приборы для измерения длины, времени, температуры. Что такое цена деления? Как определить цену деления прибора? От чего зависит точность измерения? Что необходимо учитывать при выборе измерительного прибора? Чем отличаются кратные и дольные единицы? Что значит измерить косвенно или прямым способом?
4. Рефлексия.
Хотелось бы услышать ваши отзывы о сегодняшнем уроке: что вам понравилось, что не понравилось, чем бы хотелось узнать еще.
5. Домашнее задание: § 4- 5.
1. Из перечисленных приборов выбрать а) шкальные, б) цифровые.
Линейка, весы электронные, напольные (не электронные весы), секундомер, часы наручные механические, часы электронные настенные, динамометр, мензурка, мерный стаканчик, барометр, манометр.
2. Определить цену деления данного прибора.
3. Определить цену деления данного термометра.
4. Определить цену деления и погрешность данной линейки.
5. Какая из данных мерных лент более точная? Почему? Чем точнее можно измерить длину стола линейкой или мерной лентой? Почему?
§ 5. Точность и погрешность измерений
Всякое измерение может быть выполнено с большей или меньшей точностью.
В качестве примера рассмотрим измерение длины ручки демонстрационным метром с сантиметровыми делениями (рис. 14).
Вначале определим цену деления линейки. Она будет равна 1 см.
Если верхний конец ручки совместить с нулевым штрихом, то нижний будет находиться между 11 и 12 штрихами, но ближе к 11.
Какое же из этих двух значений следует принять за длину ручки? Очевидно, то, которое ближе к истинному значению, т. е. 11 см.
Считая, что длина ручки 11 см, мы допустили неточность, так как ручка чуть длиннее 11 см.
В физике допускаемую при измерении неточность называют погрешностью измерений.
Погрешность измерения не может быть больше цены деления шкалы измерительного прибора.
В нашем случае погрешность измерения ручки не превышает 1 см. Если такая точность измерений нас не удовлетворяет, то можно произвести измерения с большей точностью. Но тогда придётся взять масштабную линейку с миллиметровыми делениями, т. е. с ценой деления 1 мм.
В этом случае длина ручки окажется равной 11,2 см.
Из этого примера видно, что точность измерений зависит от цены деления шкалы прибора.
Чем меньше цена деления, тем больше точность измерения.
Точность измерения зависит также от правильного применения измерительного прибора, расположения глаза при отсчёте по прибору.
Вследствие несовершенства измерительных приборов и наших органов чувств при любом измерении получаются лишь приближённые значения, несколько большие или меньшие истинного значения измеряемой величины.
Во время выполнения лабораторных работ или просто измерений следует считать, что погрешность измерений равна половине цены деления шкалы измерительного прибора.
Измерим длину карандаша. Нулевую отметку линейки совместим с одним концом карандаша, а другой её конец окажется вблизи 14 см. Цена деления линейки 1 мм, тогда погрешность измерения будет равна 0,5 мм или 0,05 см.
Следовательно, длину карандаша можно записать в виде
где I — длина карандаша.
Истинное значение длины карандаша находится в интервале от 13,95 см до 14,05 см.
При записи величин, с учётом погрешности, следует пользоваться формулой
где А — измеряемая величина, а — результат измерений, Δа — погрешность измерений (Δ — греч. буква «дельта»).
Вопросы
1. Как понимать выражение «измерить длину с точностью до 1 мм»?
2. Можно ли линейкой, имеющей сантиметровые деления, измерить длину с точностью до 1 мм?
3. Какова связь точности измерений с ценой деления шкалы прибора?
4. Какой формулой необходимо пользоваться при записи физических величин с учётом погрешности?
Задание
1. Измерьте линейкой с миллиметровыми делениями длину и ширину вашего учебника. Запишите результаты с учётом погрешности измерения.
2. Пользуясь рисунком 11, б, определите погрешность измерения термометра.
3. Измерьте линейкой с миллиметровыми делениями длину и высоту картины Л. да Винчи (рис. 15). Запишите результаты измерений с учётом погрешности. Используя Интернет, найдите название картины, её истинный размер и определите масштаб, в котором картина представлена в учебнике.
Уроки математики и физики для школьников и родителей
понедельник, 28 октября 2019 г.
Урок 16. Абсолютная и относительная погрешность
Для подсчёта абсолютной погрешности необходимо из большего числа вычесть меньшее число.
В школе учится 374 ученика. Если округлить это число до 400 , то абсолютная погрешность измерения равна :
На предприятии 1284 рабочих и служащих. При округлении этого числа до 1300 абсолютная погрешность составляет
При округлении до 1280 абсолютная погрешность составляет
Редко когда можно точно знать значение измеряемой величины, чтобы рассчитать абсолютную погрешность. Но при выполнении различных измерений мы обычно представляем себе границы абсолютной погрешности и всегда можем сказать, какого определённого числа она не превосходит.
Торговые весы могут дать абсолютную погрешность, не превышающую 5 г, а аптекарские – не превышающую одной сотой грамма.
Длина рулона обоев составляет.
Границу абсолютной погрешности называют предельной абсолютной погрешностью .
Но абсолютная погрешность не даёт нам представление о качестве измерения, то есть о том, насколько тщательно это измерение выполнено. Чтобы понять эту мысль, достаточно разобраться в таком примере.
Допустим, что при измерении коридора длиной в 20 м мы допустили абсолютную погрешность всего только в 1 см. Теперь представим себе, что, измеряя корешок книги, имеющий 18 см длины, мы тоже допустили абсолютную погрешность в 1 см. Тогда понятно, что первое измерение нужно признать превосходным, но зато второе – совершенно неудовлетворительным. Это значит, что на 20 м ошибка в 1 см вполне допустима и неизбежна, но на 18 см такая ошибка является очень грубой.
Отсюда ясно, что для оценки качества измерения существенна не сама абсолютная погрешность, а та доля, какую она составляет от измеряемой величины. При измерении коридора длиной в 20 м погрешность в 1 см составляет
Делаем вывод, что измеряя корешок книги, имеющий 18 см длины и допустив погрешность в 1 см, можно считать измерение с большой ошибкой. Но если погрешность в 1 см была допущена при измерении коридора длиной в 20 м, то это измерение можно считать максимально точным.
Если ошибка, возникающая при измерении линейкой или каким либо другим измерительным инструментом, значительно меньше, чем деления шкалы этой линейки, то в качестве абсолютной погрешности измерения обычно берут половину деления. Если деления на линейке нанесены достаточно точно, то ошибка при измерении близка к нулю.
Для измерения длины болта использованы метровая линейка с делениями 0,5 см и линейка с делениями 1 мм. В обоих случаях получен результат 3,5 см. Ясно, что в первом случае отклонение найденной длины 3,5 см от истинной, не должно по модулю превышать 0,5 см, во втором случае 0,1 см.
Если этот же результат получится при измерении штангенциркулем, то
Данный пример показывает зависимость абсолютной погрешности и границ, в которых находится точный результат, от точности измерительных приборов. В одном случае ∆ l = 0,5 и, следовательно,
Длина листа бумаги формата А4 равна (29,7 ± 0,1) см. А расстояние от Санкт-Петербурга до Москвы равно (650 ± 1) км. Абсолютная погрешность в первом случае не превосходит одного миллиметра, а во втором – одного километра. Необходимо сравнить точность этих измерений.
Если вы думаете, что длина листа измерена точнее потому, что величина абсолютной погрешности не превышает 1 мм, то вы ошибаетесь. Напрямую сравнить эти величины нельзя. Проведём некоторые рассуждения.
При измерении длины листа абсолютная погрешность не превышает 0,1 см на 29,7 см, то есть в процентном отношении это составляет
Когда мы измеряем расстояние от Санкт-Петербурга до Москвы, то абсолютная погрешность не превышает 1 км на 650 км, что в процентном соотношении составляет
Видим, что расстояние между городами измерено точнее, чем длинна листа формата А4.
Истинное значение измеряемой величины известно бывает лишь в очень редких случаях, а поэтому и действительная величина абсолютной погрешности почти никогда не может быть вычислена. На практике абсолютной погрешности недостаточно для точной оценки измерения. Поэтому на практике более важное значение имеет определение относительной погрешности измерения.
Абсолютная погрешность, как мы убедились, не даёт возможности судить о качестве измерения. Поэтому для оценки качества приближения вводится новое понятие – относительная погрешность. Относительная погрешность позволяет судить о качестве измерения.
Относительная погрешность – это частное от деления абсолютной погрешности на модуль приближённого значения измеряемой величины, выраженная в долях или процентах.
Округлим дробь 14,7 до целых и найдём относительную погрешность приближённого значения :
При измерении в (сантиметрах) толщины b стекла и длины l книжной полки получили следующие результаты :
l ≈ 100 с точностью до 0,1.
Абсолютная погрешность каждого из этих измерений не превосходит 0,1 . Однако 0,1 составляет существенную часть числа 0,4 и ничтожную часть числа 100 . Это показывает, что качество второго измерения намного выше, чем первого.
Если взять абсолютную погрешность в 1 см, при измерении длины отрезков 10 см и 10 м, то относительные погрешности будут соответственно равны 10% и 0,1%. Для отрезка длиной в 10 см погрешность в 1 см очень велика, это ошибка в 10% . А для десятиметрового отрезка 1 см не имеет значения, эта ошибка всего в 0,1%.
Чем меньше относительная погрешность измерения, тем оно точнее.
Различают систематические и случайные погрешности.
Систематической погрешностью называют ту погрешность, которая остаётся неизменной при повторных измерениях.
Случайной погрешностью называют ту погрешность, которая возникает в результате воздействия на процесс измерения внешних факторов и может изменять своё значение.
В большинстве случаев невозможно узнать точное значение приближённого числа, а значит, и точную величину погрешности. Однако почти всегда можно установить, что погрешность (абсолютная или относительная) не превосходит некоторого числа.
Продавец взвешивает арбуз на чашечных весах. В наборе наименьшая гиря – 50 г. Взвешивание показало 3600 г. Это число – приближённое. Точный вес арбуза неизвестен. Но абсолютная погрешность не превышает 50 г. Относительная погрешность не превосходит
Число, заведомо превышающее абсолютную погрешность (или в худшем случае равное ей), называется предельной абсолютной погрешностью.
Число, заведомо превышающее относительную погрешность (или в худшем случае равное ей), называется предельной относительной погрешностью.
На практике относительную погрешность округляют до двух значащих цифр, выполняя округление с избытком, то есть, всегда увеличивая последнюю значащую цифру на единицу.
Для х = 1,7 ± 0,2 относительная погрешность измерений равна :
Здесь а = 17,9 см. Можно принять ∆ = 0,1 см, так как с точностью до 1 мм измерить карандаш нетрудно, а значительно уменьшить предельную погрешность не удастся (при навыке можно прочесть на хорошей линейке и 0,02 и даже 0,01 см, но у самого карандаша рёбра могут отличаться на большую величину ). Относительная погрешность равна
По условию, предельная относительная погрешность должна составлять 0,05% от 35 мм. Следовательно, предельная абсолютная погрешность равна
Можно воспользоваться формулой
Подставляя в формулу
Действия над приближёнными числами.
Сложение и вычитание приближённых чисел.
Абсолютная погрешность суммы двух величин равна сумме абсолютных погрешностей отдельных слагаемых.
Складываются приближённые числа
Пусть предельная погрешность первого есть 5 , а второго 1. Тогда предельная погрешность суммы равна
Так, если истинное значение первого есть 270 , а второго 33 , то приближённая сумма
Найти сумму приближённых чисел :
0,0909 + 0,0833 + 0,0769 + 0,0714 + 0,0667
+ 0,0625 + 0,0588 + 0,0556 + 0,0526.
Предельная погрешность каждого слагаемого
Предельная погрешность суммы :
При значительном числе слагаемых обычно происходит взаимная компенсация погрешностей, поэтому истинная погрешность суммы лишь в исключительных случаях совпадает с предельной погрешностью или близка к ней. Насколько редки эти случаи, видно из предыдущего примера, где 9 слагаемых. Истинная величина каждого из них может отличаться в пятом знаке от взятого приближённого значения на 1, 2, 3, 4 или даже на 5 единиц в ту и в другую сторону.
Например, первое слагаемое может быть больше своего истинного значения на 4 единицы пятого знака, второе – на две, третье – меньше истинного на одну единицу и так далее.
– когда истинная величина каждого слагаемого больше приближённой величины на 0,00005 ;
– когда истинная величина каждого слагаемого меньше приближённой величины на 0,00005 .
Значит, случаи, когда погрешность суммы совпадает с предельной, составляют только 0,0000002% всех возможных случаев.
Найти сумму точных чисел :
0,0909 + 0,0833 + 0,0769 + 0,0714 + 0,0667
+ 0,0625 + 0,0588 + 0,0556 + 0,0526.
Сложение даёт следующий результат – 0,6187.
Округлим их до тысячных и сложим :
0,091 + 0,083 + 0,077 + 0,071 + 0,067
+ 0,062 + 0,059 + 0,056 + 0,053 = 0,619.
Предельная погрешность суммы :
Приближённая сумма отличается от истинной на 0,0003 , то есть на треть единицы последнего знака приближённых чисел. Все три знака приближённой суммы верны, хотя теоретически последняя цифра могла быть грубо неверной.
Произведём в наших слагаемых округление до сотых. Теперь предельная погрешность суммы будет :
0,09 + 0,08 + 0,08 + 0,07 + 0,07
+ 0,06 + 0,06 + 0,06 + 0,05 = 0,62.
Истинная погрешность составляет только 0,0013 .
Предельная абсолютная погрешность разности двух величин равна сумме предельных абсолютных погрешностей уменьшаемого и вычитаемого.
Пусть предельная погрешность приближённого уменьшаемого 85 равна 2 , а предельная погрешность вычитаемого 32 равна 3 . Предельная погрешность разности
В самом деле, истинное значение уменьшаемого и вычитаемого могут равняться
Тогда истинная разность есть
Она на 5 отличается от приближённой разности 53 .
Относительная погрешность суммы и разности.
Предельную относительную погрешность суммы и разности легко найти, вычислив сначала предельную абсолютную погрешность.
Предельная относительная погрешность суммы (но не разности!) лежит между наименьшей и наибольшей из относительных погрешностей слагаемых. Если все слагаемые имеют одну и ту же (или примерно одну и ту же) предельную относительную погрешность, то и сумма имеет ту же (или примерно ту же) предельную относительную погрешность. Другими словами, в этом случае точность суммы (в процентном выражении) не уступает точности слагаемых. При значительном же числе слагаемых сумма, как правило, гораздо точнее слагаемых.
Найти предельную абсолютную и предельную относительную погрешность суммы чисел :
В каждом слагаемом суммы
24,4 + 25,2 + 24,7 = 74,3
предельная относительная погрешность примерно одна и та же, а именно :
Такова же она и для суммы.
Здесь предельная абсолютная погрешность равна 0,15 , а относительная
0,15 : 74,3 ≈ 0,15 : 75 = 0,2%.
В противоположность сумме разность приближённых чисел может быть менее точной, чем уменьшаемое и вычитаемое. > особенно велика в том случае, когда уменьшаемое и вычитаемое мало отличаются друг от друга.
Относительные погрешности при сложении и вычитании складывать нельзя.
Умножение и деление приближённых чисел.
При делении и умножении чисел требуется сложить относительные погрешности.
Пусть перемножаются приближённые числа 50 и 20 , и пусть предельная относительная погрешность первого сомножителя есть 0,4%, а второго 0,5%.
Тогда предельная относительная погрешность произведения
приближённо равна 0,9% . В самом деле предельная абсолютная погрешность первого сомножителя есть
Поэтому истинная величина произведения не больше чем
(50 + 0,2)(20 + 0,1) = 1009,02,
Если истинная величина произведения есть 1009,2 , то погрешность произведения равна
а если 991,02 , то погрешность произведения равна
Рассмотренные два случая – самые неблагоприятные. Значит, предельная абсолютная погрешность произведения есть 9,02 . Предельная относительная погрешность равна