Что значит увеличивается линейно

Линейное увеличение

Увеличе́ние, опти́ческое увеличе́ние — отношение линейных или угловых размеров изображения и предмета.

Масшта́б изображе́ния, масштаб макросъёмки — абсолютная величина поперечного увеличения.

Также применяется отдельно к окуляру как части наблюдательной оптической системы.

Также применяется к произвольным оптическим системам.

Содержание

Увеличение простой линзы

Увеличение съёмочного объектива

Увеличение телескопической оптической системы

В телескопических системах видимое увеличение равно отношению фокусных расстояний объектива и окуляра, а при наличии оборачивающей системы это отношение следует дополнительно умножить на линейное увеличение оборачивающей системы.

Увеличение лупы, окуляра

Видимое увеличение лупы равно отношению расстояния наилучшего зрения (250 мм) к её фокусному расстоянию.

Увеличение оптического микроскопа

Увеличение микроскопа общее является произведением увеличений объектива и окуляра. Если между объективом и окуляром есть дополнительная увеличивающая система, то общее увеличение микроскопа равно произведению значений увеличений всех оптических систем, включая промежуточные: объектива, окуляра, бинокулярной насадки, оптовара или проекционных систем.

где Гм — общее увеличение микроскопа, βоб — увеличение объектива, Гок — увеличение окуляра, q1, q2… — увеличение дополнительных систем.

Максимальное полезное увеличение

Для любого микроскопа и телескопа существует максимальное увеличение, за пределом которого изображение выглядит более крупным, но никаких новых деталей не выявляется. Это случается когда мельчайшие детали которые позволяет обнаружить разрешающая сила прибора совпадают по размерам с разрешающей способностью глаза. Дальнейшее увеличение иногда называется пустым увеличением.

Источник

Линейная зависимость и независимость, свойства, исследование системы векторов на линейную зависимость, примеры и решения.

Понятия линейной зависимости и независимости системы векторов является очень важными при изучении алгебры векторов, так как на них базируются понятия размерности и базиса пространства. В этой статье мы дадим определения, рассмотрим свойства линейной зависимости и независимости, получим алгоритм исследования системы векторов на линейную зависимость и подробно разберем решения примеров.

Навигация по странице.

Определение линейной зависимости и линейной независимости системы векторов.

Так мы подошли к определению линейной зависимости системы векторов .

Если линейная комбинация может представлять собой нулевой вектор тогда, когда среди чисел есть хотя бы одно, отличное от нуля, то система векторов называется линейно зависимой.

Если линейная комбинация представляет собой нулевой вектор только тогда, когда все числа равны нулю, то система векторов называется линейно независимой.

Свойства линейной зависимости и независимости.

На основании данных определений, сформулируем и докажем свойства линейной зависимости и линейной независимости системы векторов.

Если к линейно зависимой системе векторов добавить несколько векторов, то полученная система будет линейно зависимой.

Так как система векторов линейно зависима, то равенство возможно при наличии хотя бы одного ненулевого числа из чисел . Пусть .

Добавим к исходной системе векторов еще s векторов , при этом получим систему . Так как и , то линейная комбинация векторов этой системы вида

представляет собой нулевой вектор, а . Следовательно, полученная система векторов является линейно зависимой.

Если из линейно независимой системы векторов исключить несколько векторов, то полученная система будет линейно независимой.

Предположим, что полученная система линейно зависима. Добавив к этой системе векторов все отброшенные векторы, мы получим исходную систему векторов. По условию – она линейно независима, а в силу предыдущего свойства линейной зависимости она должна быть линейно зависимой. Мы пришли к противоречию, следовательно, наше предположение неверно.

Если в системе векторов есть хотя бы один нулевой вектор, то такая система линейно зависимая.

Пусть вектор в этой системе векторов является нулевым. Предположим, что исходная система векторов линейно независима. Тогда векторное равенство возможно только тогда, когда . Однако, если взять любое , отличное от нуля, то равенство все равно будет справедливо, так как . Следовательно, наше предположение неверно, и исходная система векторов линейно зависима.

Если система векторов линейно зависима, то хотя бы один из ее векторов линейно выражается через остальные. Если система векторов линейно независима, то ни один из векторов не выражается через остальные.

Сначала докажем первое утверждение.

Пусть система векторов линейно зависима, тогда существует хотя бы одно отличное от нуля число и при этом верно равенство . Это равенство можно разрешить относительно , так как , при этом имеем

Следовательно, вектор линейно выражается через остальные векторы системы , что и требовалось доказать.

Теперь докажем второе утверждение.

Так как система векторов линейно независима, то равенство возможно лишь при .

Предположим, что какой-нибудь вектор системы выражается линейно через остальные. Пусть этим вектором является , тогда . Это равенство можно переписать как , в его левой части находится линейная комбинация векторов системы, причем коэффициент перед вектором отличен от нуля, что указывает на линейную зависимость исходной системы векторов. Так мы пришли к противоречию, значит, свойство доказано.

Из двух последних свойств следует важное утверждение:
если система векторов содержит векторы и , где – произвольное число, то она линейно зависима.

Исследование системы векторов на линейную зависимость.

Поставим задачу: нам требуется установить линейную зависимость или линейную независимость системы векторов .

Логичный вопрос: «как ее решать?»

Кое-что полезное с практической точки зрения можно вынести из рассмотренных выше определений и свойств линейной зависимости и независимости системы векторов. Эти определения и свойства позволяют нам установить линейную зависимость системы векторов в следующих случаях:

Как же быть в остальных случаях, которых большинство?

Напомним формулировку теоремы о ранге матрицы, которую мы приводили в статье ранг матрицы: определение, методы нахождения.

А теперь поясним связь теоремы о ранге матрицы с исследованием системы векторов на линейную зависимость.

Что будет означать линейная независимость системы векторов ?

Что же будет означать линейная зависимость системы векторов ?

Все очень просто: хотя бы одна строка матрицы A будет линейно выражаться через остальные, следовательно, линейная зависимость системы векторов будет равносильна условию Rank(A)

Итак, задача исследования системы векторов на линейную зависимость сводится к задаче нахождения ранга матрицы, составленной из векторов этой системы.

Следует заметить, что при p>n система векторов будет линейно зависимой.

Замечание: при составлении матрицы А векторы системы можно брать не в качестве строк, а в качестве столбцов.

Алгоритм исследования системы векторов на линейную зависимость.

Разберем алгоритм на примерах.

Примеры исследования системы векторов на линейную зависимость.

Дана система векторов . Исследуйте ее на линейную зависимость.

Так как вектор c нулевой, то исходная система векторов линейно зависима в силу третьего свойства.

система векторов линейно зависима.

Исследуйте систему векторов на линейную зависимость.

система векторов линейно зависима.

Является ли система векторов линейно зависимой?

Является ли система векторов линейно независимой?

Докажите, что система векторов

линейно независима.

Составим матрицу, строками которой будут векторы данной системы:

Покажем, что ранг этой матрицы равен количеству векторов исходной системы, то есть, четырем.

Переходим к поиску окаймляющего минора третьего порядка:

Осталось найти минор четвертого порядка, отличный от нуля. Вычислим определитель

Прибавим к первому столбцу третий, далее разложим определитель по элементам первого столбца:

Таким образом, ранг матрицы А равен четырем что доказывает линейную независимость исходной системы векторов.

Мы ознакомились с понятиями и свойствами линейной зависимости и линейной независимости системы векторов, получили метод исследования системы векторов на линейную зависимость, преобразовали его в алгоритм, и подробно разобрали решения характерных примеров.

Источник

Линейно-

Смотреть что такое «Линейно-» в других словарях:

линейно — линейно … Орфографический словарь-справочник

Линейно. — линейно. Начальная часть сложных слов, вносящая значение: состоящий из линий (линейнолистный и т.п.). Толковый словарь Ефремовой. Т. Ф. Ефремова. 2000 … Современный толковый словарь русского языка Ефремовой

линейно — нареч, кол во синонимов: 2 • прямо (104) • ровно (75) Словарь синонимов ASIS. В.Н. Тришин. 2013 … Словарь синонимов

линейно — — [[http://www.rfcmd.ru/glossword/1.8/index.php?a=index d=23]] Тематики защита информации EN linearly … Справочник технического переводчика

Линейно — нареч. качеств. обстоят. Ровно, прямо. Толковый словарь Ефремовой. Т. Ф. Ефремова. 2000 … Современный толковый словарь русского языка Ефремовой

линейно-интерактивный источник бесперебойного питания — источник бесперебойного питания с линейно интерактивным режимом работы EN line interactive UPS A system, which energizes the load from the utility mains providing conditioned power by filtering and stabilizing mains voltage (VI class per IEC… … Справочник технического переводчика

Линейно-квадратичный регулятор — (англ. Linear quadratic regulator, LQR) в теории управления один из видов оптимальных регуляторов, использующий квадратичный функционал качества. Задача, в которой динамическая система описывается линейными дифференциальными… … Википедия

Линейно-квадратичное гауссовское управление — (англ. Linear quadratic Gaussian control, LQG control) набор методов и математического аппарата теории управления для синтеза систем управления с отрицательной обратной связью для линейных систем с аддитивным гауссовским шумом. Синтез… … Википедия

Линейно-квадратичный гауссовский регулятор — Линейно квадратичное гауссовское управление (англ. Linear quadratic Gaussian control, LQG control) набор методов и математического аппарата теории управления для синтеза систем управления с отрицательной обратной связью для линейных систем с… … Википедия

линейно-поляризованная радиоволна — линейно поляризованная волна Радиоволна, вектор напряженности электрического поля которой параллелен одной фиксированной линии. [ГОСТ 24375 80] Тематики радиосвязь Обобщающие термины распространение радиоволн Синонимы линейно поляризованная волна … Справочник технического переводчика

Источник

Линейная функция (ЕГЭ 2022)

Зависимость одной величины от другой математики называют функций одной величины от другой.

Количество денег — это функция вашей зарплаты (иногда говорят «от зарплаты»).

Вес — это функция от съеденных круассанов. Чем меньше съел, тем меньше весишь.

Расстояние — это функция времени. Чем дольше ты будешь идти, тем больше пройдешь.

Ну а теперь перейдем к одному из видов функций – линейной функции.

Линейная функция — коротко о главном

Линейная функция –это функция вида \( y=kx+b\), где \( k\) и \( b\) ­– любые числа (коэффициенты).

Рассмотрим, как коэффициенты влияют на месторасположение графика:

Общие варианты представлены на рисунке:

Линейная функция

Но сначала официальное определение «Функции» – теперь ты его поймешь. Держи в уме: деньги – зарплата, вес – круассаны, расстояние – время.

Функция – это правило, по которому каждому элементу одного множества (аргументу) ставится в соответствие некоторый (единственный!) элемент другого множества (множества значений функции).

То есть, если у тебя есть функция \( y=f\left( x \right)\), это значит что каждому допустимому значению переменной \( x\) (которую называют «аргументом») соответствует одно значение переменной \( y\) (называемой «функцией»).

Что значит «допустимому»?

Все дело в понятии «область определения»: для некоторых функций не все аргументы «одинаково полезны» — не все можно подставить в зависимость.

Например, для функции \( y=\sqrt\) отрицательные значения аргумента \( x\) – недопустимы.

Ну и вернемся, наконец, к теме данной статьи.

Линейной называется функция вида \( y=kx+b\), где \( k\) и \( b\) ­– любые числа (они называются коэффициентами).

Другими словами, линейная функция – это такая зависимость, что функция прямо пропорциональна аргументу.

Как думаешь, почему она называется линейной?

Все просто: потому что графиком этой функции является прямая линия. Но об этом чуть позже.

Как уже говорилось в теме «Функции», важнейшими понятиями, связанными с любой функцией, являются ее область определения \( D\left( y \right)\) и область значений \( E\left( y \right)\).

Область определения линейной функции

Какими могут быть значения аргумента линейной функции \( y=kx+b\)? Правильно, любыми. Это значит, что область определения – все действительные числа:

\( D\left( y \right)=\mathbb\)

А множество значений?

Область значений линейной функции

Тут тоже все просто: поскольку функция прямо пропорциональна аргументу, то чем больше аргумент \( x\), тем больше значение функции \( y\).

Значит, \( y\) так же как и \( x\) может принимать все возможные значения, то есть \( E\left( y \right)=\mathbb\), верно?

Верно, да не всегда. Есть такие линейные функции, которые не могут принимать любые значения. Как думаешь, в каком случае возникают ограничения?

Вспомним формулу: \( y=kx+b\). Какие нужно выбрать коэффициенты \( k\) и \( b\), чтобы значение функции y не зависело от аргумента \( x\)?

А вот какие: \( b\) – любое, но \( k=0\). И правда, каким бы ни был аргумент \( x\), при умножении на \( k=0\) получится \( 0\)!

Тогда функция станет равна \( y=0\cdot x+b=b\), то есть она принимает одно и то же значение при всех \( x\):

\( y = kx + b:<\rm< >>\left[ \beginE\left( y \right) = \mathbb<\rm< при >>k \ne 0\\E\left( y \right) = \left\< b \right\><\rm< при >>k = 0.\end \right.\)

Теперь рассмотрим несколько задач на линейную функцию.

Три задачи на линейную функцию

Решение задачи №1

Пусть начальное значение аргумента равно некому числу \( <_<1>>\). После увеличения на \( 2\) аргумент стал равен: \( <_<2>>=<_<1>>+2\).

Чему была равна функция до увеличения? Подставляем аргумент в формулу:

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

Решение задачи №2

Аналогично предыдущей задаче:

Начальное значение аргумента равно \( <_<1>>\), конечное – \( <_<2>>=<_<1>>+1\).

Начальное значение функции: \( <_<1>>=k<_<1>>+b\);

В этот раз функция не увеличилась, а уменьшилась. Это значит, что конечное значение будет меньше начального, а значит, изменение (разность конечного и начального) будет отрицательным:

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

Определение прямой пропорциональной зависимости

Если проанализировать решения этих двух задач, можно прийти к важному выводу.

При изменении аргумента линейной функции на \( \Delta x\) функция изменяется на \( k\cdot \Delta x\). То есть изменение функции всегда ровно в \( \mathbf\) раз больше изменения аргумента.

По сути это является определением прямой пропорциональной зависимости.

Решение задачи №3

Подставим известные значения аргумента и функции в формулу \( y=kx+b\):

Получили два уравнения относительно \( k\) и \( b\). Теперь достаточно решить систему этих двух уравнений:

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

График линейной функции

Как я уже упоминал ранее, график такой функции – прямая линия.

Как известно из геометрии, прямую можно провести через две точки (то есть, если известны две точки, принадлежащие прямой, этого достаточно, чтобы ее начертить).

Предположим, у нас есть функция линейная функция \( y=2x+1\). Чтобы построить ее график, нужно вычислить координаты любых двух точек.

То есть нужно взять любые два значения аргумента \( x\) и вычислить соответствующие два значения функции.

Затем для каждой пары \( \left( x;y \right)\) найдем точку в системе координат, и проведем прямую через эти две точки.

Проще всего найти функцию, если аргумент \( x=0:y\left( 0 \right)=2\cdot 0+1=1\).

Итак, первая точка имеет координаты \( \left( 0;1 \right)\).

Теперь возьмем любое другое число в качестве \( x\), например, \( x=1:y\left( 1 \right)=2\cdot 1+1=3\).

Вторая точка имеет координаты \( \left( 1;3 \right)\).

Ставим эти две точки на координатной плоскости:

Теперь прикладываем линейку, и проводим прямую через эти две точки:

Вот и все, график построен!

Давай теперь на этом же рисунке построим еще два графика: \( y= -1\) и \( y=-x+2\).

Построй их самостоятельно так же: посчитай значение y для любых двух значений \( x\), отметь эти точки на рисунке и проведи через них прямую.

Должно получиться так:

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

Видно, что все три прямые по-разному наклонены и в разных точках пересекают координатные оси. Все дело тут в коэффициентах \( \displaystyle k\) и \( \displaystyle b\).

Давай разберемся, на что они влияют.

Коэффициенты линейной функции

Для начала выясним, что делает коэффициент \( \displaystyle b\). Рассмотрим функцию \( \displaystyle y=x+b\), то есть \( \displaystyle k=1\).

Меняя \( \displaystyle b\) будем следить, что происходит с графиком.

Что ты можешь сказать о них? Чем отличаются графики?

Это сразу видно: чем больше \( \displaystyle b\), тем выше располагается прямая.

Более того, заметь такую вещь: график пересекает ось \( \displaystyle \mathbf\) в точке с координатой, равной \( \displaystyle \mathbf\)!

И правда. Как найти точку пересечения графика с осью \( \displaystyle y\)? Чему равен \( \displaystyle x\) в такой точке?

В любой точке оси ординат (это название оси \( \displaystyle y\), если ты забыл) \( \displaystyle x=0\).

Значит достаточно подставить \( \displaystyle x=0\) в функцию, и получим ординату пересечения графика с осью \( \displaystyle y\):

\( \displaystyle y=k\cdot 0+b=b\)

Теперь по поводу \( \displaystyle k\). Рассмотрим функцию \( \displaystyle \left( b=0 \right).\) Будем менять \( \displaystyle k\) и смотреть, что происходит с графиком.

Так, теперь ясно: \( \displaystyle k\) влияет на наклон графика.

Чем больше \( \displaystyle k\) по модулю (то есть несмотря на знак), тем «круче» (под большим углом к оси абсцисс – \( \displaystyle Ox\)) расположена прямая.

Если \( \displaystyle k>0\), график наклонен «вправо», при \( \displaystyle k

Выберем на графике две точки \( \displaystyle A\) и \( \displaystyle B\). Для простоты выберем точку \( \displaystyle A\) на пересечении графика с осью ординат. Точка \( \displaystyle B\) – в произвольном месте прямой, пусть ее координаты равны \( \displaystyle \left( x;y \right)\).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \displaystyle ABC\), построенный на отрезке \( \displaystyle AB\) как на гипотенузе.

Из рисунка видно, что \( \displaystyle AC=x\), \( \displaystyle BC=y-b\).

Подставим \( \displaystyle y=kx+b\) в \( \displaystyle BC:BC=y-b=kx+b-b=kx\).

Получается, что \( BC = k \cdot AC<\rm< >> \Rightarrow <\rm< >>k = \frac<><> = <\mathop<\rm tg>\nolimits> \alpha \).

Итак, коэффициент \( \displaystyle k\) равен тангенсу угла наклона графика, то есть угла между графиком и осью абсциссс.

Именно поэтому его (коэффициент \( \displaystyle k\)) обычно называют угловым коэффициентом.

В случае, когда \( k

Если же \( \displaystyle k=0\), тогда и \( <\mathop<\rm tg>\nolimits> \alpha = 0,\) следовательно \( \displaystyle \alpha =0\), то есть прямая параллельна оси абсцисс.

Понимать геометрическое значение коэффициентов очень важно, оно часто используется в различных задачах на линейную функцию.

Разбор еще трех задач на линейную функцию

1. Найдите коэффициенты \( \displaystyle k\) и \( \displaystyle b\) линейной функции, график которой приведен на рисунке. Запишите уравнение этой функции.

2. Найдите коэффициенты \( \displaystyle k\) и \( \displaystyle b\) линейной функции, график которой приведен на рисунке. Запишите уравнение этой функции.

3. График какой из функций изображен на рисунке?

Решение задачи №1

Коэффициент \( b\) найти проще простого – это ведь точка пересечения графика с осью \( \displaystyle Oy\):

Угловой коэффициент \( \displaystyle k\) – это тангенс угла наклона прямой.

Для его нахождения выберем две точки \( \displaystyle A\) и \( \displaystyle B\) на графике и построим прямоугольный треугольник с гипотенузой \( \displaystyle AB\):

Источник