Что значит утроенное произведение
Формулы сокращённого умножения
При расчёте алгебраических многочленов для упрощения вычислений используются формулы сокращенного умножения. Всего таких формул семь. Их все необходимо знать наизусть.
Следует также помнить, что вместо « a » и « b » в формулах могут стоять как числа, так и любые другие алгебраические многочлены.
Разность квадратов
Разность квадратов двух чисел равна произведению разности этих чисел и их суммы.
a 2 − b 2 = (a − b)(a + b)
Квадрат суммы
Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа.
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
Обратите внимание, что с помощью этой формулы сокращённого умножения легко находить квадраты больших чисел, не используя калькулятор или умножение в столбик. Поясним на примере:
Помните, что формула квадрат суммы также справедлива для любых алгебраических многочленов.
Предостережение!
Квадрат разности
Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго числа.
(a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2
Также стоит запомнить весьма полезное преобразование:
Формула выше доказывается простым раскрытием скобок:
(a − b) 2 = a 2 −2ab + b 2 = b 2 − 2ab + a 2 = (b − a) 2
Куб суммы
Куб суммы двух чисел равен кубу первого числа плюс утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго плюс куб второго.
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
Как запомнить куб суммы
Запомнить эту «страшную» на вид формулу довольно просто.
Предостережение!
Куб разности
Куб разности двух чисел равен кубу первого числа минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго минус куб второго.
(a − b) 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3
Запоминается эта формула как и предыдущая, но только с учётом чередования знаков « + » и « − ». Перед первым членом « a 3 » стоит « + » (по правилам математики мы его не пишем). Значит, перед следующим членом будет стоять « − », затем опять « + » и т.д.
(a − b) 3 = + a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3
Сумма кубов
Не путать с кубом суммы!
Сумма кубов равна произведению суммы двух чисел на неполный квадрат разности.
a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 − ab + b 2 )
Сумма кубов — это произведение двух скобок.
Разность кубов
Не путать с кубом разности!
Разность кубов равна произведению разности двух чисел на неполный квадрат суммы.
a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2 )
Будьте внимательны при записи знаков.
Применение формул сокращенного умножения
Следует помнить, что все формулы, приведённые выше, используется также и справа налево.
Многие примеры в учебниках рассчитаны на то, что вы с помощью формул соберёте многочлен обратно.
Таблицу со всеми формулами сокращённого умножения вы можете скачать в разделе «Шпаргалки».
Формулы сокращенного умножения. Разложение на множители.
теория по математике 📈 алгебраические выражения
Очень часто нам встречаются выражения, которые требуют различных преобразований. Для того, чтобы это короче выполнять в некоторых случаях, существуют специальные формулы сокращенного умножения.
Квадрат суммы и квадрат разности
Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого и второго выражений плюс квадрат второго выражения:
(a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2
Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого и второго выражений плюс квадрат второго выражения:
(a–b) 2 =a 2 –2ab+b 2
Если сравнить два этих правила и формулы, то видно, что при возведении в квадрат есть отличие в знаках только перед удвоенным произведением. Рассмотрим применение данных формул на примерах.
Куб суммы и разности
Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения и второго плюс утроенное произведение первого выражения и квадрата второго плюс куб второго выражения:
(a+b) 3 =a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3
Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения и второго плюс утроенное произведение первого выражения и квадрата второго минус куб второго выражения:
(a–b) 3 =a 3 –3a 2 b+3ab 2 –b 3
Используя данные формулы, можно возводить в куб сумму и разность двух выражений. В данном случае не нужно выполнять промежуточные действия устно, чтобы избежать ошибок.
Пример №5. Возведем в куб сумму с+5а. Всё выполним и распишем строго по формуле:
Пример №6. Возведем в куб разность:
(х–10) 3 =х 3 –3х 2 10+3х10 2 –10 3 =х 3 –30х 2 +300х–1000.
Произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений:
a 2 –b 2 =(a–b)(a+b)
Пример №7. Выполним умножение: (4–с)(4+с)=4 2 –с 2 =16–с 2 в данном выражении выполнили всё в соответствии с формулой: возвели в квадрат 4 и число с. Промежуточные записи (выделены жирным шрифтом) можно не делать, а выполнять их устно.
Пример №8. Упростим выражение: (5с+а)(5с–а)=25с 2 –а 2 в данном выражении мы видим, что первый множитель сумма, а второй – разность. Для выполнения задания по данной формуле это не имеет значения, так как мы знаем, что от перестановки множителей произведение не изменяется.
Применение формул сокращенного умножения для разложения многочленов на множители
Рассмотрим тождество, которое называют разностью квадратов двух выражений:
a 2 –b 2 =(a–b)(a+b)
Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений и их суммы. Эту формулу применяют для разложения на множители многочлена, содержащего разность квадратов. Рассмотрим на примерах.
Пример №10. Разложить на множители: х 2 у 2 –81=(ху–9)(ху+9). В данном выражении выполнено всё в соответствии с формулой, промежуточные записи не использованы.
Пример №11. Представим в виде произведения: х 4 –36=(х 2 –6)(х 2 +6). В данном выражении мы видим, что степень переменной может быть не только вторая, но и любая четная, чтобы ее можно было представить в виде квадрата переменной.
Пример №12. Представим в виде произведения х 10 с 6 –25=(х 5 с 3 –5)(х 5 с 3 +5). Здесь показаны разные четные степени переменных.
Для разложения на множители суммы и разности кубов существуют определенные правила и формулы.
Сумма и разность кубов
Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений и неполного квадрата их разности:
a 3 +b 3 =(a+b)(a 2 –ab+b 2 )
Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений и неполного квадрата их суммы:
a 3 –b 3 =(a–b)(a 2 +ab+b 2 )
Разложение многочлена формулой квадрата суммы и разности
Формулы квадрата суммы и квадрата разности также используют для разложения многочлена на множители. Для этого формулы записываются в обратном порядке, то есть меняются левая и правая части местами:
a 2 +2ab+b 2 =(a+b) 2
a 2 –2ab+b 2 =(a–b) 2
P.S. Все формулы на одной картинке: 
В данном случае необходимо сначала упростить выражение, для этого раскроем скобки:
(x + 5) 2 — x (x — 10) = x 2 + 2 • 5 • x + 25 — x 2 + 10x
Затем приведем подобные слагаемые:
x 2 + 2 • 5 • x + 25 — x 2 + 10x = 20 x + 25
Далее подставим x из условия:
20 x + 25 = 20 • (-1/20) + 25 = — 1 + 25 = 24
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить
Сокращенное умножение: правила, формулы
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Формулы сокращенного умножения
Вместо букв a, b могут быть любые числа, переменные или даже целые выражения. Для быстрого решения задач лучше выучить основные 7 формул сокращенного умножения (ФСУ) наизусть. Да, алгебра такая, нужно быть готовым много запоминать.
Ниже удобная табличка, которую можно распечатать и использовать, как закладку для быстрого запоминания формул.
Как читать формулы сокращенного умножения
Учимся проговаривать формулы сокращенного выражения:
Обучение на курсах по математике — дорога к хорошим оценкам в школе и высокому баллу на экзамене.
Доказательство формул сокращенного умножения
Остальные ФСУ можно доказать аналогичным методом.
Дополнительные формулы сокращенного умножения
К таблице основных ФСУ следует добавить еще несколько важных тождеств, которые пригодятся для решения задач.
Бином Ньютона
Формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных. Записывается вот так:
Пример вычисления биномиальных коэффициентов, которые стоят в строке под номером n в треугольнике Паскаля:
ФСУ для квадрата и куба суммы и разности — являются частными случаями формулы бинома Ньютона при n = 2 и n = 3.
Формула возведения в квадрат суммы трех, четырех и более слагаемых
Пригодится, если слагаемых в сумме, которую нужно возвести в степень, больше, чем два.
Читается так: квадрат суммы n слагаемых равен сумме квадратов всех этих слагаемых и удвоенных произведений всех возможных пар этих слагаемых.
Формула разности n-ых степеней двух слагаемых
a n − b n = (a − b) * (a n-1 + a n-2 * b + a n-3 * b 2 + … + a * b n-2 + b n-1 ).
Для четных показателей можно записать так:
a 2*m − b 2*m = (a 2 − b 2 ) *(a 2*m−2 + a 2*m−4 * b 2 + a 2*m−6 * b 4 + … + b 2*m−2 ).
Для нечетных показателей:
a 2*m+1 − b 2*·m+1 = (a − b) * (a 2*m + a 2*m−1 * b + a 2*m−2 * b 2 + … + b 2*m ).
Частными случаями являются формулы разности квадратов и кубов при n = 2 и n = 3. Для разности кубов b можно также заменить на −b.
Решение задач
Давайте потренируемся и рассмотрим примеры с дробями.
Задание 1
Как решаем: воспользуемся формулой квадрата суммы: (55 + 10) 2 = 55 2 + 2 * 55 * 10 + 10 2 = 3025 + 1100 + 100 = 4225.
Задание 2
Что сделать: упростить выражение 64 * с 3 – 8.
Как решаем: применим разность кубов: 64 * с 3 – 8 = (4 * с) 3 – 2 3 = (4 * с – 2)((4 * с) 2 + 4 * с * 2 + 2 2 ) = (4 * с – 2)(16 * с 2 + 8 * с + 4).
Задание 3
Как решаем:
Многочленов бояться не стоит, просто совершайте последовательно каждое действие. С формулами решать задачки быстрее и удобнее — сохраняйте шпаргалку, запоминайте и радуйте своих учителей 🙂
Значение слова «утроение»
Источник (печатная версия): Словарь русского языка: В 4-х т. / РАН, Ин-т лингвистич. исследований; Под ред. А. П. Евгеньевой. — 4-е изд., стер. — М.: Рус. яз.; Полиграфресурсы, 1999; (электронная версия): Фундаментальная электронная библиотека
Источник: «Толковый словарь русского языка» под редакцией Д. Н. Ушакова (1935-1940); (электронная версия): Фундаментальная электронная библиотека
утрое́ние
1. действие по значению гл. утроить
Делаем Карту слов лучше вместе
Привет! Меня зовут Лампобот, я компьютерная программа, которая помогает делать Карту слов. Я отлично умею считать, но пока плохо понимаю, как устроен ваш мир. Помоги мне разобраться!
Спасибо! Я обязательно научусь отличать широко распространённые слова от узкоспециальных.
Насколько понятно значение слова закол (существительное):
Синонимы к слову «утроение»
Предложения со словом «утроение»
Понятия, связанные со словом «утроение»
В теории игр, игра в нормальной или стратегической форме (англ. normal form) состоит из трех элементов: множества игроков, множества чистых стратегий каждого игрока, множества платежных функций каждого игрока. Таким образом, игру в нормальной форме можно представить в виде n-мерной матрицы (таблицы), элементы которой это n-мерные платежные вектора. Эта таблица называется платёжной матрицей (англ. payoff matrix).
Отправить комментарий
Дополнительно
Предложения со словом «утроение»
Считаются попадания только в очередной сектор. При попадании в зону удвоения или утроения сектора очки, соответственно, удваиваются или утраиваются.
Он допускает удвоение и даже утроение структуры права, которые как целостные образования наслаиваются над главной.
Он шёл к раздевалкам, искренно желая поторопиться, но ускорение не давалось ему так же фатально, как удвоения и утроения коварной милонги.
Составьте буквенное выражение : а) произведение числа 3 и разности a и b ; б) частное числа 25 и суммы чисел x и y ; в) Сумма утроенного числа a и числа b ; г) разность числа 72 и удвоенного числа c?
Составьте буквенное выражение : а) произведение числа 3 и разности a и b ; б) частное числа 25 и суммы чисел x и y ; в) Сумма утроенного числа a и числа b ; г) разность числа 72 и удвоенного числа c.
Составь буквенные выражение а)произведение числа 3 и разности чисел a и b б)Частное числа 25 и суммы чисел x и y в)сумма утроенного числа a и числа b г)разность числа 72 и удвоенного числа с?
Составь буквенные выражение а)произведение числа 3 и разности чисел a и b б)Частное числа 25 и суммы чисел x и y в)сумма утроенного числа a и числа b г)разность числа 72 и удвоенного числа с.
Люди помогите?
Произведение числа 100 и суммы чисел 8 и 7 ;
произведение разности чисел 57 и 42 и числа 1000 ;
частное суммы чисел 32 и 24 и числа 7 ;
частное числа 81 и разности чисел 77 и 68 ;
произведения числа 3 и разности чисел а и b ;
частного числа 25 и суммы чисел х и у ;
сумма утроенного числа а и числа b ;
разность числа 72 и удвоенного числа с.
Помогите срочно надо :
Составьте буквенное выражение :
а)частное числа 25 и суммы чисел x и y ;
б)сумма утроенного числа a и числа b ;
г)разность числа 72 и удвоенного числа c ;
Запиши буквенное выражение : сумма числа а и разность чисел b и 7 произведение числа 2 на сумму чисел а и b частное от деления суммы чисел а и 153 на разность чисел b и 13?
Запиши буквенное выражение : сумма числа а и разность чисел b и 7 произведение числа 2 на сумму чисел а и b частное от деления суммы чисел а и 153 на разность чисел b и 13.
Сумма утроенного числа a и b разность числа 72 и удвоенного числа c?
Сумма утроенного числа a и b разность числа 72 и удвоенного числа c.
№ 37 Составте числовое выражение и найдите его значение :
а)сумма произведения чисел 15 и 2 и часного чисел 42 и 6
б)разность часного чисел 270 и 3 и произведения чисел 25 и 3
в)сумма произведения чисел 17 и 3 и произведения чисел 4 и 13
г)разность частного чисел 45 и 3 часного чисел 64 и 32 №38 Составте буквенное выражение
а)произведение числа з и разности чисел a и y
б)часное числа 25 и суммы чисел х и у
в)сумма утроеного числа а и числа b
г)разность числа 72 и удвоенного числа с.
Составьте буквенное выражение : а) произведение числа 3 и разности чисел a и b ; б) частное числа 25 и суммы чисел x и y ; в) сумма утроенного числа а и числа б ; г) разность числа 72 и удвоенного чис?
Составьте буквенное выражение : а) произведение числа 3 и разности чисел a и b ; б) частное числа 25 и суммы чисел x и y ; в) сумма утроенного числа а и числа б ; г) разность числа 72 и удвоенного числа с.
Помогите?
Разность числа 18 и произведение чисел 2 и 9.
Сумма числа 11 и частного чисел 18 и 2.
Сумма частного чисел 18 и 9 и числа 200.
Разность числа 918 и произведение числа 9 и 2.
Сумма частного чисел 600 и 10 и числа 350.
Разность числа 550 и произведение чисел 5 и 100.
Сумму чисел x и произведение чисел a и b Разность числа у и частного от деления числа а на число b Произведение числа а и суммы чисел b и с Частное от деления числа z на разность чисел x и y?
Сумму чисел x и произведение чисел a и b Разность числа у и частного от деления числа а на число b Произведение числа а и суммы чисел b и с Частное от деления числа z на разность чисел x и y.