Что значит усилить неравенство

Алгебра

А Вы уже инвестируете?
Слышали про акцию в подарок?

Зарегистрируйся по этой ссылке
и получи акцию до 100.000 руб

План урока:

Степень с рациональным показателем

Напомним, что в 7 классе мы впервые познакомились с понятием степени, причем тогда рассматривались случаи, когда показателем степени является натуральное число. В 8 классе понятие степени было расширено, теперь в него включались случаи, когда показатель являлся целым числом. Настоятельно рекомендуем перечитать соответствующие уроки. Сегодня же мы можем сделать ещё один шаг вперед и рассмотреть степени с рациональными показателями.

При расширении понятия степени важно обеспечить то, чтобы уже известные правила работы с целыми степенями работали и для дробных показателей. Одно из свойств степеней выглядит так:

Подставим в эту формулу следующие значения переменных:

Мы специально выбрали эти числа такими, чтобы произведение mn равнялось единице:

Подставляем эти значения:

(3 1/6 ) 6 = 3 1/6 • 6 = 3 1 = 3

Однако по определению корня n-ой степени число, дающее при возведении в шестую степень тройку, является корнем шестой степени из трех. То есть можно записать:

С помощью подобных преобразований нам удалось указать, чему равно число, возведенное в дробную степень. Аналогично можно показать, что для любого а > 0 справедлива формула:

Действительно, если возвести левую часть в n-ую степень, то получим:

(а 1/ n ) n = a 1/ n • n = a

Значит, по определению корня n-ой степени

Ограничение а > 0 необходимо для того, чтобы не рассматривать случаи, когда подкоренное выражение является отрицательным.

C учетом этого выполним преобразование:

В результате несложных преобразований нам удалось получить формулу, позволяющую возводить число в степень, у которой рациональный показатель!

Приведем несколько примеров вычисления дробных степеней:

Часто при вычислениях удобнее сначала извлечь корень из числа, а потом полученный результат возвести в степень:

Напомним, что одну и ту же дробь можно представить разными способами, например:

1/2 = 2/4 = 3/6 = 4/8 = 5/10 = 0,5

Возникает вопрос – изменится ли значение дробной степени, если мы приведем дробь к новому знаменателю? Очевидно, что нет, но всё же убедимся в этом на примере. Сначала возведем в степень 1/2 число 25:

Теперь заменим дробь 1/2 на идентичную ей дробь 2/4:

Согласитесь, возводить число 81 в 25-ую степень не очень легко! Поэтому поступим иначе. Сократим дробь 25/100:

0,25 = 25/100 = 25/(25•4) = 1/4

Теперь вычисления будет более простыми:

Вообще легко запомнить, что 0,25 = 1/4, а 0,5 = 1/2. Замена десятичных дробей обыкновенными дробями сильно упрощает вычисления. Приведем примеры:

Свойства дробных степеней и операции с ними

Когда мы изучали степени с целыми показателями, мы выяснили, что правила работы с ними ничем не отличаются от правил работы со степенями с натуральным показателем. Оказывается, эти же правила работают и для степеней с рациональным показателем. Сформулируем основные свойства дробных степеней.

Например, справедливы следующие действия:

5 0,5 •5 2,5 = 5 0,5 + 2,5 = 5 3 = 125

19 5/3 •19 1/3 = 19 5/3 + 1/3 = 19 2 = 361

29,36 –0,37 •29,36 1,37 = 29,36 –0,37 + 1,37 = 29,36 1 = 29,36

Вот несколько примеров подобных вычислений:

17 4,5 :17 3,5 = 17 4,5–3,5 = 17 1 = 1

4 9,36 :4 6,36 = 4 9,36–6,36 = 4 3 = 64

20 12 :20 14 = 20 12–14 = 20 –2

Проиллюстрируем это правило примерами:

(6 0,25 ) 8 = 6 0,25•8 = 6 2 = 36

(9 3/2 ) 2 = 9 (3/2)•2 = 9 3 = 729

(25 4 ) 0,125 = 25 4•0,125 = 25 0,5 = 5

Покажем, как можно применять данное правило:

4 1/6 •16 1/6 = (4•64) 1/6 = 64 1/6 = 2

0,5 1,5 •50 1,5 = (0,5•50) 1,5 = 25 1,5 = 25 1+0,5 = 25 1 •25 0,5 = 25•5 = 125

4,9 0,5 •10 0,5 = (4,9•10) 0,5 = 49 0,5 =7

Это правило можно применять следующим образом:

360 0,5 :10 0,5 = (360:10) 0,5 = 36 0,5 = 6

500 3 :50 3 = (500:50) 3 = 10 3 = 1000

6,25 1/4 :0,01 1/4 = (6,25:0,01) 1/4 = 625 1/4 = 5

Заметим, что степени очень удобны тем, что с их помощью легко упростить работу с корнями, ведь если

то верное и обратное:

То есть любое выражение с корнями в виде степени с рациональным показателем.

Пример. Вычислите значение выражения

Решение. Корней много, поэтому для удобства заменим их степенями

Получили тоже самое выражение, но в более компактном виде. Посчитаем его значение:

(9 1/4 ) 1/5 •3 9/10 = (9 0,25 ) 0,2 •3 0,9 = 9 0,25•0,2 •3 0,9 = 9 0,05 •3 0,9 = (3 2 ) 0,05 •3 0,9 =

=3 2•0,05 •3 0,9 = 3 0,1 •3 0,9 = 3 0,1•0,9 = 3 1 = 3

Пример. Упростите выражение

(81 n+1 – 65•81 n ) 0,25

Решение. Степень 81 n+1 можно представить как произведение:

81 n+1 = 81 n •81 1 = 81•81 n

С учетом этого можно записать:

(81 n+1 – 65•81 n ) 0,25 = (81•81 n – 65•81 n ) 0,25 = (81 n (81 – 65)) 0,25 =

= (81 n •16) 0,25 = 81 0,25 n •16 0,25 = 81 0,25 n •16 1/4 = 2•81 0,25 n

Сравнение степеней

Напомним, что из двух корней n-ой степени больше тот, у которого больше подкоренное выражение:

Отсюда следует вывод, что если a 1/ n 1/ n

теперь возведем каждую часть этого неравенства в степень m. Тогда получим неравенство:

Получили, что из двух степеней с одинаковыми показателями меньше та, у которой меньше основание (правила сравнения будем нумеровать, чтобы на них удобнее было ссылаться):

В частности, справедливы следующие неравенства:

Здесь мы рассматривали случаи, когда показатель степени является положительным числом. А что делать, если он отрицательный? Тогда степень следует «перевернуть», воспользовавшись уже известной вам формулой:

Пример. Сравните выражения с рациональным показателем степени:

20 –3,14 и 50 –3,14

Решение. Избавимся от знака минус в показателе:

20 –3,14 = (1/20) 3,14 = 0,05 3,14

50 –3,14 = (1/50) 3,14 = 0,02 3,14

Получили две степени с одинаковым и, что принципиально важно, положительным показателем. Из них больше та, у которой больше основание. То есть из неравенства 0,02 3,14 3,14

Особенным является случай, когда показатель степени равен нулю. Напомним, что любое число в нулевой степени (кроме самого нуля) равно единице, а выражение 0 0 не имеет смысл. Это значит, что числа в нулевой степени равны друг другу, даже если у них разные основания:

18,3546 0 = 12,3647 0 = 1

Несколько сложнее сравнивать числа, у которых одинаковые основания, но различные показатели. Здесь возможны три случая – основание либо равно единице, либо больше неё, либо меньше неё.

На основании этого правила можно записать, что:

Единица в любой степени равна самой себе. Поэтому, если у двух чисел в основании записана именно она, то они должны быть равны друг другу:

1 –7,56 = 1 –0,15 = 1 0,236 = 1 521,36 = 1

0,5 = 1/2 = 1/(2 1 ) = 2 –1

0,5 7,6 = (2 –1 ) 7,6 = 2 –7,6

0,5 8,9 = (2 –1 ) 8,9 = 2 –8,9

Такие числа мы уже умеем сравнивать. Так как

Например, справедливы неравенства:

0,57 15,36 > 0,57 16,47

Рассмотрим чуть более сложное задание на сравнение степеней, где надо использовать одновременно несколько правил.

Пример. Докажите, что

0,9 0,9 + 0,8 0,8 + 0,7 0,7 1/3

Решение. Напрямую вычислить значение выражений в правой и левой части затруднительно. Однако мы можем усиливать неравенство, чтобы получить более простые выражения.

Усилить неравенство – это значит увеличить его меньшую или уменьшить большую часть. Например, неравенство 10 1/3 :

Также ясно, что 27 1/3 1/3 (правило 1). Усилим исходное неравенство:

0,9 0,9 + 0,8 0,8 + 0,7 0,7 1/3 (1)

Действительно, если (1) справедливо, то мы можем записать двойное неравенство

0,9 0,9 + 0,8 0,8 + 0,7 0,7 1/3 1/3

Опустив здесь среднюю часть, получим исходное неравенство. Так как 27 1/3 = 3, мы можем переписать (1) так:

0,9 0,9 + 0,8 0,8 + 0,7 0,7 0,8 0,8 (снова используем правило 1). С другой стороны, 0,9 0,8 0,7 (правило 3). Значит, можно записать двойное неравенство:

Их левые части стоят в (2). Следовательно, можно усилить (2):

0,9 0,7 + 0,9 0,7 + 0,9 0,7 0,7 0,7 0,7 :

Из правила 1 следует, что (4) справедливо. Но мы получили его, усиливая исходное неравенство. Из справедливости более сильного неравенства следует и справедливость более слабого. Следовательно, из справедливости (4) вытекает верность исходного неравенства, которое и надо было доказать.

Источник

Различные средние положительных. Неравенство Коши

Главная > Документ

Суть метода состоит в том, что данное неравенство путём равносильных преобразований приводится к очевидному тождеству.

Рассмотрим решение задачи этим методом.

Задача № 3. Докажите, что для любых действительных чисел a и b справедливо неравенство .

Решение. Выделим в левой части неравенства полный квадрат

.

При любых действительных a и b это выражение неотрицательно, значит и данное неравенство выполнимо, то есть .

Метод оценивания (метод усиления или ослабления).

Метод усиления заключается в последовательном переходе от меньшей функции к большей (как говорят, оценивающей «сверху» эту меньшую функцию). Такие «переходы» приводят к получению так называемого более сильного неравенства, то есть неравенства с большей правой частью, нежели у его предшественников – неравенств. Иначе говоря, если требуется доказать неравенство вида A B и удалось установить, что A > C и C > B, где А, В, С – функции от соответствующих переменных, принимающих произвольные значения из оговорённой области определения, то тем самым оказывается установленным и неравенство A > B.

Аналогичный подход можно применять для доказательства нестрогих неравенств.

Вернёмся к задаче № 1 и решим её третьим способом – методом усиления.

Решение. Применим свойство модуля к левой части неравенства .

Представим слагаемые в правой части в виде корня:

К этим выражениям применим зависимость между средним арифметическим и средним геометрическим

.

Таким образом, .

Метод введения новых переменных, или метод подстановки.

Суть метода состоит в том, что в данном неравенстве какое – либо выражение обозначается новой переменной, а затем полученное неравенство относительно новой переменной доказывают, используя уже известные методы.

Рассмотрим задачу на применение данного метода.

.

Решение. Пусть ; ; .

Найдём сумму новых переменных x + y + z и применим зависимость между средним арифметическим и средним геометрическим

; ;

Так как a >0, b >0, c >0 по условию, то

.

Метод введения вспомогательных функций с целью использования их свойств.

Решим задачу на применение этого метода.

Задача № 3. Докажите, что для любых действительных чисел a и b справедливо неравенство .

, поэтому квадратичная функция принимает только неотрицательные значения, , значит , то есть .

Метод уменьшения числа переменных в неравенстве и понижение степени неравенства.

Суть метода заключается в том, что уменьшается число переменных в неравенстве с помощью метода подстановки и выполнения арифметических действий и применения очевидных тождеств.

Рассмотрим доказательство неравенства этим методом.

В результате получим новое неравенство

; ,

доказательство которого равносильно доказательству исходного неравенства. Перепишем его левую часть в следующем виде:

и введём новые переменные:

, где ,

чьё обоснование позволяет сделать вывод и о справедливости исходного неравенства. Существенными достижениями в результате сделанных преобразований явились следующие: уменьшилось число переменных, а степень относительно переменного у оказалась равна единице. Преобразовав полученное неравенство к виду

и введя в рассмотрение следующую вспомогательную функцию (считая х произвольным положительным фиксированным числом) с областью определения R можем заключить, что при любом фиксированном значении х графиком этой функции будет прямая. Следовательно, её наименьшее на отрезке достигается на одном из его концов. Найдем значение функции в этих точках:

Применение неравенства Коши при доказательстве неравенств

Задача № 1. Доказать неравенство

при b ≥ 0.

Решение. Умножим обе части неравенства на 4:

Применим неравенство Коши к числам :

Задача № 2. Доказать неравенство:

, при a ≥ 0; b ≥ 0; c ≥ 0.

Решение. Применим неравенство Коши для каждых двух чисел:

Обе части неравенств неотрицательны, поэтому сложим их почленно:

Задача №3. Доказать неравенство

, при a ≥ 0; b ≥ 0; c ≥ 0.

Решение. Применим неравенство Коши для каждой суммы:

Обе части неравенств неотрицательны, поэтому перемножим их левые и правые части:

.

Задача № 4. Доказать неравенство

, при n ≥ 2.

Решение.

Применим неравенство Коши к числам 1, 2, 3,…, (n-1), n:

.

В числителе правой части сумма n членов арифметической прогрессии. Она равна .

.

Задача Дидоны и другие задачи на оптимизацию.

Ещё в глубокой древности люди задумывались, как, имея в своём распоряжении тот или иной ресурс (например, деньги), так им распорядиться (вложить деньги в «дело», дать в долг под проценты, раздать нищим, закопать в собственном огороде и т. д.), чтобы получить наибольшую пользу и наименьший ущерб для себя.

То, что подобные задачи на оптимизацию встречались ещё в античные времена, донесли до нас мифы Древней Греции и Рима. Причём интуиция и опыт человеческий уже тогда позволяли «нащупать» решения подобных задач, дающие оптимальный или близкий к оптимальному результат.

Но вернёмся к математике. Задача, которую решила Дидона, может быть сформулирована так: найти замкнутую кривую, ограничивающую часть плоскости с максимальной площадью. В таком общем виде эта задача слишком сложна. Однако, если упростить задачу Дидоны и договориться о более конкретных формах участка земли, то возникают задачи, чьи решения могут быть получены без обращения к высшей математике, при помощи замечательных неравенств. Задачи типа задачи Дидоны называют в математике изопериметрическими задачами (от греческих слов isos – равный и perimetrio – измеряю вокруг).

Задача № 1. Найдите из множества всех прямоугольников с заданным периметром тот, чья площадь наибольшая.

Задача № 2. Найдите среди всех треугольников с заданным периметром тот, чья площадь наибольшая.

, и ,

где фиксированное число . Требуется определить наибольшее значение выражения

.

Применим неравенство Коши для n = 3

,

то есть , причём равенство достигается тогда и только тогда, когда , то есть для равностороннего треугольника.

.

Поэтому и .

Применим неравенство Коши для двух слагаемых

,

, ,

Равенство достигается при , то есть .

, то есть

и это значение достигается при

Ответ. Р = 280 м; АК = 70; AL = 70; HM = 40.

Неравенства для средних и сами средние широко применяются не только в алгебре, геометрии, математическом анализе, но и в статистике, в теории вероятностей (оттуда пришло среднее квадратичное), при обработке результатов измерений. Средняя урожайность, средняя плотность населения, средняя температура, средняя рождаемость, средняя глубина реки, – это примеры средних величин, постоянно окружающих нас.

Неравенства играют фундаментальную роль в большинстве разделов современной математики, без них не может обойтись ни физика, ни математическая статистика, ни экономика. По словам Э. Беккенбаха, «…основные результаты математики чаще выражаются неравенствами, а не равенствами». Однако до сих пор нет хорошо разработанной, достаточно общей «теории неравенств», хотя для обоснования отдельных классов неравенств такую теорию удалось создать – это и некоторые разделы выпуклого анализе, и теория мажоризации, и ряд других. Так или иначе, но неравенства встречаются как в классических разделах математики (в геометрии, в дифференциальном и интегральном исчислении, в теории чисел), так и в достаточно современных её разделах (теория автоматов, теория кодирования). Количество новинок среди даже не неравенств, а классов неравенств увеличивается необычайно быстро, стремительно и неудержимо.

Можно было бы указать имена тех учёных, кто получил первым тот или иной результат, касающийся неравенств. Однако многие из результатов были получены и применены как некоторые вспомогательные средства в какой – либо работе по геометрии, астрономии, или физике, а затем переоткрыты много лет спустя. Это послужило причиной тому, что даже названия многих замечательных неравенств не устоялись, а также терминология вообще. В разных странах и в разных математических школах одно и то же неравенство называют по – разному и приписывают его открытие разным математикам. Зачастую давно полученное неравенство вдруг оказывается частным случаем и более общего, да и более молодого по срокам появления неравенства. Например, невозможно найти первооткрывателя того фундаментального факта, что квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, а значит для любых действительных чисел a и b справедливо соотношение , а значит , откуда получается знаменитое соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим, то есть , где .

Алексеев Р. Б., Курляндчич Л. Д. Неравенства // Математика в школе, 1990, № 3.

Антонова Н., Солодовиков С. Неравенство Коши о среднем арифметическом и геометрическом // Математика, 1999, № 20.

Берколайко С. Т. Использование неравенства Коши при решении задач // Квант, 1975, № 4.

Волошинов А. В. Математики и искусство – М.: Просвещение, 1992.

Глейзер Г. И. История математики в средней школе. – М.: Просвещение, 1970.

Глейзер Г. И. История математики в школе. – М.: Просвещение, 1982.

Гольдман А., Звавич Л. Числовые средние и геометрия // Квант, 1990, № 9.

Гомонов С. А. Замечательные неравенства: способы получения и примеры применения. 10 – 11 классы: учебное пособие. – М.: Дрофа, 2006.

Готман Э. Геометрические задачи на максимум и минимум // Квант, 2005, № 2.

Дубровский В. Н. Задача об общей внешней касательной к окружностям, касающимся внешним образом // Квант, 1986, № 2.

Егоров А. Треугольники и неравенства // Квант, 2005, № 2.

Искандеров А. Геометрические доказательства теорем о средних // Квант, 1981, № 2.

Крейн М., Кудельман А. Замечательные пределы, порождаемые классическими средними // Квант, 1981, № 9.

Крейн М., Нудельман А. Замечательные пределы, порождаемые классическими средними // Квант, 1981, № 9.

Кушнир И. А. Урок одной задачи // Квант, 1986, № 9.

Мугаллимова С. Среднее. В среднем. О среднем… // Математика, 2000, № 8.

Савин А., Сендеров В. Описанная трапеция и средние //Квант, 1972, № 8.

Седракян Н. О применении одного неравенства // Квант, 1997, № 2.

Сивашинский И. Х. Неравенства в задачах. – М.: Наука, 1967.

Скопец З. А. Сравнение различных средних двух положительных чисел // Квант, 1979, № 2.

Соловьёв Ю. Неравенства // Математика, 2006, № 5.

Сороки Г. Классические неравенства в задачах // Математика, 2005, № 15.

Фалин Г., Фалин А. Сложные задачи вступительных экзаменов в МГУ: неравенства о средних // Математика, 2006, № 10.

Чистяков И. Неравенства Коши о средних арифметическом и геометрическом // Математика, 2000, № 7, № 8.

Чистяков И. Неравенства Коши о среднем арифметическом и геометрическом // Математика, 2000, № 7.

Шлейфер Ф. Г. Круговые неравенства // Математика в школе, 1994, № 3.

Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А. П. Савин. – М.: Педагогика, 1989.

Ярский А. Как доказать неравенство // Квант, 1997, № 2.

В ходе исследования я узнал много нового для себя, научился решать задачи по данной теме. Наиболее трудным в работе показалась работа с литературой и систематизация знаний. Хотелось бы поблагодарить всех, кто помогал мне в ходе работы.

В дальнейшем мне хотелось бы провести более глубокое исследование по этой теме.

Я считаю, что неплохо поработал, цели достиг, с задачами справился. Конечно, в работе есть недочеты, но, наверное, это связано с отсутствием опыта участия в подобных конференциях.

Источник