Что значит уравнение вырождено
ВЫРОЖДЕННОЕ УРАВНЕНИЕ
— вырожденное эллиптич. уравнение в полупространстве х ≥ 0;
— вырожденное гиперболич. уравнение во всей плоскости;
— вырожденное параболич. уравнение в области t ≥ 0;
— вырожденная эллиптич. система при у ≥ 0.
В. у. встречаются в теории пограничного слоя, в безмоментной теории оболочек, в теории диффузионных процессов, в частности в теории броуновского движения, и во многих других задачах механики и физики.
Исследования В. у. ведутся по двум тесно связанным между собой направлениям: 1) доказывается разрешимость краевых задач с учетом тех изменений в постановке, к-рые происходят в силу вырождения типа; 2) устанавливаются свойства решений, аналогичные свойствам невырожденных уравнений (гладкость, неравенства Гарнака для эллиптич. и параболич. уравнений и т. п.).
Наиболее полно изучены В. у. 2-го порядка эллиптич. и параболич. типов (строго говоря, параболич. уравнение тоже можно считать вырожденным эллиптич. уравнением, удовлетворяющим дополнительным условиям). В случае, когда вырождение типа имеется не только на границе, но и во внутренних точках (напр., во всех точках рассматриваемой области), такие уравнения называют еще уравнениями с неотрицательной характеристической формой, эллиптикопараболическими уравнениями, ультрапараболическими уравнениями.
Особенностью В. у. является специфич. постановка краевых задач. Граничные условия иногда приходится задавать не на всей границе, а на ее части. М. В. Келдыш впервые обратил внимание на зависимость постановки краевой задачи от характера вырождения эллиптич. уравнения на границе. Для общего эллиптикопараболич. уравнения 2-го порядка
Так как частным случаем В. у. являются уравнения 1-го порядка, то ясно, что решения вырожденных эллиптич. уравнений, вообще говоря, не будут гладкими внутри области, если граничные условия недостаточно гладкие. Однако примеры показывают, что и при бесконечно дифференцируемых граничных условиях и коэффициентах В. у. его решения могут не быть бесконечно дифференцируемыми. Найдено условие гипоэллиптичности для общего вырожденного эллиптич. уравнения 2-го порядка.
Свойства решений вырожденных эллиптич. и параболич. уравнений 2-го порядка изучаются как с помощью геометрич. методов, так и с помощью методов теории вероятностей.
вырождающегося как на начальной плоскости t = 0, так и внутри области, доказана корректность задачи Коши при выполнении нек-рых условий. Наиболее существенным из этих условий является выполнение неравенства
Ряд результатов для линейных В. у. переносится и на квазилинейные уравнения.
Лит.: [1] Олейник О. А., Радкевич Е. В., Итоги науки. Математический анализ. 1969, М., 1971, с. 7-252; [2] Смирнов М. М., Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения, М., 1966.
Математическая энциклопедия
ВЫРОЖДЕННОЕ УРАВНЕНИЕ
— вырожденное эллиптич. уравнение в полупространстве 
— вырожденное гиперболич. уравнение во всей плоскости;
— 
вырожденное параболич. уравнение в области
— вырожденная эллиптич. система при 
В. у. встречаются в теории пограничного слоя, в безмоментной теории оболочек, в теории диффузионных процессов, в частности в теории броуновского движения, и во многих других задачах механики и физики.
Исследования В. у. ведутся по двум тесно связанным между собой направлениям: 1) доказывается разрешимость краевых задач с учетом тех изменений в постановке, к-рые происходят в силу вырождения типа; 2) устанавливаются свойства решений, аналогичные свойствам невырожденных уравнений (гладкость, неравенства Гарнака для эллиптич. и параболич. уравнений и т. п.).
Наиболее полно изучены В. у. 2-го порядка эллиптич. и параболич. типов (строго говоря, параболич. уравнение тоже можно считать вырожденным эллиптич. уравнением, удовлетворяющим дополнительным условиям). В случае, когда вырождение типа имеется не только на границе, но и во внутренних точках (напр., во всех точках рассматриваемой области), такие уравнения называют еще уравнениями с неотрицательной характеристической формой, эллиптикопараболическими уравнениями, ультрапараболическими уравнениями.
Особенностью В. у. является специфич. постановка краевых задач. Граничные условия иногда приходится задавать не на всей границе, а на ее части. М. В. Келдыш впервые обратил внимание на зависимость постановки краевой задачи от характера вырождения эллиптич. уравнения на границе. Для общего эллипти-копараболич. уравнения 2-го порядка
Так как частным случаем В. у. являются уравнения 1-го порядка, то ясно, что решения вырожденных эллиптич. уравнений, вообще говоря, не будут гладкими внутри области, если граничные условия недостаточно гладкие. Однако примеры показывают, что и при бесконечно дифференцируемых граничных условиях и коэффициентах В. у. его решения могут не быть бесконечно дифференцируемыми. Найдено условие гипо-эллиптичности для общего вырожденного эллиптич. уравнения 2-го порядка.
Свойства решений вырожденных эллиптич. п параболич. уравнений 2-го порядка изучаются как с помощью геометрич. методов, так и с помощью методов теории вероятностей.
Для гиперболич. уравнения с большим числом пространственных переменных
вырождающегося как на начальной плоскости t=0, так и внутри области, доказана корректность задачи Коши при выполнении нек-рых условий. Наиболее существенным из этих условий является выполнение неравенства
Ряд результатов для линейных В. у. переносится и на квазилинейные уравнения.
Лит.:[1] Олейник О. А., Радкевич Е. В., Итоги науки. Математический анализ. 1969, М., 1971, с. 7-252; [2] Смирнов М. М., Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения, М., 1966. А. М. Ильин.
ВЫРОЖДЕННОЕ УРАВНЕНИЕ
— вырожденное эллиптич. уравнение в полупространстве
— вырожденное гиперболич. уравнение во всей плоскости;
— вырожденное параболич. уравнение в области
— вырожденная эллиптич. система при
В. у. встречаются в теории пограничного слоя, в безмоментной теории оболочек, в теории диффузионных процессов, в частности в теории броуновского движения, и во многих других задачах механики и физики.
Исследования В. у. ведутся по двум тесно связанным между собой направлениям: 1) доказывается разрешимость краевых задач с учетом тех изменений в постановке, к-рые происходят в силу вырождения типа; 2) устанавливаются свойства решений, аналогичные свойствам невырожденных уравнений (гладкость, неравенства Гарнака для эллиптич.и параболич. уравнений и т. п.).
Наиболее полно изучены В. у. 2-го порядка эллиптич. и параболич. типов (строго говоря, параболич. уравнение тоже можно считать вырожденным эллиптич. уравнением, удовлетворяющим дополнительным условиям). В случае, когда вырождение типа имеется не только на границе, но и во внутренних точках (напр., во всех точках рассматриваемой области), такие уравнения называют еще уравнениями с неотрицательной характеристической формой, эллиптикопараболическими уравнениями, ультрапараболическими уравнениями.
Особенностью В. у. является специфич. постановка краевых задач. Граничные условия иногда приходится задавать не на всей границе, а на ее части. М. В. Келдыш впервые обратил внимание на зависимость постановки краевой задачи от характера вырождения эллиптич. уравнения на границе. Для общего эллипти-копараболич. уравнения 2-го порядка
Так как частным случаем В. у. являются уравнения 1-го порядка, то ясно, что решения вырожденных эллиптич. уравнений, вообще говоря, не будут гладкими внутри области, если граничные условия недостаточно гладкие. Однако примеры показывают, что и при бесконечно дифференцируемых граничных условиях и коэффициентах В. у. его решения могут не быть бесконечно дифференцируемыми. Найдено условие гипо-эллиптичности для общего вырожденного эллиптич. уравнения 2-го порядка.
Свойства решений вырожденных эллиптич. п параболич. уравнений 2-го порядка изучаются как с помощью геометрич. методов, так и с помощью методов теории вероятностей.
Для гиперболич. уравнения с большим числом пространственных переменных
вырождающегося как на начальной плоскости t=0, так и внутри области, доказана корректность задачи Коши при выполнении нек-рых условий. Наиболее существенным из этих условий является выполнение неравенства
Ряд результатов для линейных В. у. переносится и на квазилинейные уравнения.
Лит.:[1] Олейник О. А., Радкевич Е. В., Итоги науки. Математический анализ. 1969, М., 1971, с. 7-252; [2] Смирнов М. М., Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения, М., 1966. А. М. Ильин.
ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Это уравнение относится к линейным интегральным уравнениям. Встречаются также и нелинейные интегральные уравнения, например,
Линейные интегральные уравнения классифицируются следующим образом:
а) если искомая функция содержится только под знаком интеграла, то уравнение называется интегральным уравнением первого рода. Такими уравнениями являются
б) если пределы интегрирования фиксированы, то интегральное уравнение называется уравнением Фредгольма. Если же пределы интегрирования переменны, то интегральное уравнение называется уравнением Вольтерра.
Интегральные уравнения с вырожденным ядром
функции и будем считать непрерывными в основном квадрате и линейно независимыми между собой. Интегральное уравнение с вырожденным ядром
Замена ядра интегрального уравнения вырожденным ядром
Пусть имеем интегральное уравнение
и что резольвента уравнения с ядром удовлетворяет неравенству
имеет единственное решение и разность между этим решением и решением уравнения
Замена интеграла конечной суммой
Пусть имеем интегральное уравнение Фредгольма второго рода
Возьмем какую-либо квадратурную формулу
Интеграл в левой части заменим суммой с помощью квадратурной формулы:
Значения коэффициентов и абсцисс квадратурной формулы будут:
1) для формулы прямоугольников:
2) для формулы трапеций:
3) для формулы Симпсона :
Пример. Решить интегральное уравнение
Решение. Запишем уравнение в следующем виде:
Подставляя выражение в равенство, получим
Вычисляя входящие в эти уравнения интегралы, мы получим систему алгебраических уравнений для нахождения неизвестных :
Определитель этой системы
Система имеет единственное решение
Вырожденная коническая
В реальной плоскости вырожденная коника может быть двумя линиями, которые могут быть или не быть параллельными, одной линией (либо двумя совпадающими линиями, либо объединением прямой и прямой на бесконечности ), одной точкой (фактически, двумя комплексными линиями ). сопряженные линии ) или нулевой набор (дважды бесконечно удаленная линия или две параллельные комплексные сопряженные линии).
СОДЕРЖАНИЕ
Примеры [ править ]
Классификация [ править ]
На реальной аффинной плоскости ситуация сложнее. Вырожденная реальная коника может быть:
Для любых двух вырожденных коник одного и того же класса существуют аффинные преобразования, отображающие первую конику во вторую.
Дискриминант [ править ]
A x 2 + 2 B x y + C y 2 + 2 D x z + 2 E y z + F z 2 ; <\displaystyle Ax^<2>+2Bxy+Cy^<2>+2Dxz+2Eyz+Fz^<2>;> 
дискриминант этой формы является определителем матрицы
Коника вырождена тогда и только тогда, когда определитель этой матрицы равен нулю. В этом случае у нас есть следующие возможности:
Связь с пересечением плоскости и конуса [ править ]
Приложения [ править ]
| Внешнее видео | |
|---|---|
 Линейная система типа I ( Коффмана ). |
Вырождение [ править ]
В комплексной проективной плоскости все коники эквивалентны и могут вырождаться либо в две разные прямые, либо в одну двойную прямую.
В реальной аффинной плоскости:
Вырожденные коники могут далее вырождаться в более специальные вырожденные коники, на что указывают размерности пространств и точек на бесконечности.
Пункты для определения [ править ]
Даны четыре точки в общем линейном положении (нет трех коллинеарных; в частности, нет двух совпадающих), через них проходят ровно три пары прямых (вырожденные коники), которые, как правило, пересекаются, если только точки не образуют трапецию (одну пара параллельна) или параллелограмм (две пары параллельны).
Учитывая две различные точки, через них проходит уникальная двойная линия.