Что значит упростить выражение 6 класс математика

Упрощения алгебраических выражений

Что значит упростить алгебраическое выражение

Алгебраическое выражение — одна или несколько алгебраических величин (чисел и переменных), которые объединены с помощью знаков арифметических действий в виде сложения, вычитания, умножения, деления, извлечения корня, возведения в степень (при целых значениях показателей корня и степени), знаков последовательности, определяющих порядок применения данных операций (скобки разного вида).

Обязательным условием для алгебраического выражения является конечное число величин, которые его составляют. Данный принцип пригодиться математикам для решения задач в средних классах школы.

Упростить выражение — это значит уменьшить число арифметических действий, необходимых для вычисления значения данного выражения с учетом определенных значений переменных.

Правила упрощения алгебраических выражений

Существуют основные методы в алгебре для того, чтобы упростить алгебраическое выражение:

В процессе приведения выражения в более простую форму следует использовать полезные советы:

Приведение подобных

Приведение подобных слагаемых в теории заключается в сложении их коэффициентов и приписывании буквенной части.

Подобными являются слагаемые (одночлены), которые обладают буквенной частью.

В выражении 2ab+3ab+b одночлены 2ab и 3ab являются подобными слагаемыми.

Привести подобные — значит, выполнить сложение нескольких подобных слагаемых для получения в результате одного слагаемого.

К примеру, приведем слагаемые:

Заметим, что числа в таких слагаемых умножают на буквы. Данные числа носят названия коэффициентов.

Рассмотрим выражение с квадратной степенью:

Здесь число 3 является коэффициентом.

Разложение на множители

Разложить выражение на множители можно, если вынести общий множитель за скобки, применить формулы сокращенного умножения и другие.

a b 2 + a 2 c = a b 2 + a c

В распространенных случаях разложение на множители следует за приведением подобных при упрощении выражений. В итоге получаются произведения. Чтобы это понять, отдельно нужно упомянуть правила действия с дробями, а именно, при сокращении дроби числитель и знаменатель требуется записать, как произведения.

Сокращение дроби

В процессе сокращения дроби допустимо выполнять умножение или деление числителя и знаменателя дроби на одинаковое число, отличное от нуля, в результате чего величина дроби остается прежней.

Объяснение алгоритм действий при сокращении дробей:

a a + b a 2 = a a + b a · a = a + b a

Важно заметить, что сокращению подлежат исключительно множители.

Озвученное правило является следствием ключевого свойства дроби. Оно состоит в допустимости умножения или деления числителя и знаменателя дроби на одно и то же число, которое не равно нулю. В результате значение дроби останется без изменений.

Существует простой способ, руководствуясь которым можно определить, разложено ли выражение на множители. Арифметическое действие, выполняемое в последнюю очередь при вычислении значения выражения, считается «главным».

Данное правило состоит в том, что, когда при подстановке каких-либо чисел на замену буквам и вычислении значения выражения последнее действие представляет собой умножение, можно заключить, что перед нами произведение, то есть выражение разложено на множители. В том случае, когда на последнем шаге в процессе расчетов выполняется сложение или вычитание, разложение выражения на множители не выполнено, то есть сокращение не допускается.

Сложение и вычитание дробей

При сложении и вычитании обыкновенных дробей требуется найти общий знаменатель, умножить каждую из дробей на недостающий множитель и сложить или вычесть числители:

a b + c d = a · d + c · b b · d ;

Разберем правило на конкретных примерах. Вычислим:

Заметим, что знаменатели являются взаимно простыми, то есть не имеют общих множителей. Таким образом, наименьший общий множитель данных чисел соответствует их произведению. В результате:

В данном случае общим множителем является число 24. Выполним преобразования и упростим выражение:

В данном примере следует смешанные дроби записать в виде неправильных. Далее можно упростить выражение по стандартному алгоритму:

Разберем самостоятельный случай, когда знаменатели не содержат буквы. При этом алгоритм действий такой же, как и при действиях с обыкновенными дробями:

Здесь общий множитель равен 12. Тогда:

a 2 b · 3 4 + a · 2 6 = 3 a 2 b + 2 a 12

Далее можно привести подобные в числители, и разложить на множители при их наличии:

a 2 b 4 + a 6 = 3 a 2 b + 2 a 12 = a 3 a b + 2 12

Когда знаменатели содержат буквы, схема действий существенно не меняется:

Рассмотрим пример, когда требуется упростить выражение:

Разложим знаменатели на множители:

a b 2 = a · b · b a 2 b = a · a · b

Вычислим единые множители:

a b 2 = a ¯ · b ¯ ¯ · b a 2 b = a ¯ · a · b ¯ ¯

Затем можно записать общие множители и выполнить умножение:

a ¯ · b ¯ ¯ · a · b = a 2 b 2

1 a b 2 · a + 1 a 2 b · b = a + b a 2 b 2

Умножение и деление дробей

Умножение и деление дробей выполняют таким образом:

a b · c d = a · c b · d ;

a b : c d = a · d b · c

Арифметические действия выполняют в следующем порядке:

Важно заметить, что при наличии скобок, операции, которые в них заключены, необходимо выполнить в первую очередь. Далее можно приступать к раскрытию скобок. Когда имеется несколько скобок с арифметическими действиями, которые нужно умножить или разделить, в начале проводят вычисления в каждой из скобок, а затем умножение или деление полученных результатов. При наличии внутренних скобок, заключенных в скобки, действия в них выполняют в первую очередь.

Используя правило умножения и деления дробей, получим:

Во многих примерах имеются не только цифры, но и буквы. В этом случае выполняются алгебраические действия, в том числе, приведение подобных, сложение, сокращение дробей и другие операции. Отличия можно заметить при разложении многочленов на множители. Для этого следует пользоваться формулами сокращенного умножения или вынесением единого множителя за скобки.

Ключевой задачей при работе с такими выражениями является запись выражений в виде произведения или частного.

Попробуем упростить выражение:

Так как имеются скобки, следует начать преобразования именно с них. Упростим разность дробей, которая в них записана, чтобы получить вместо нее произведение или частное. Приведем дроби к единому знаменателю и определим сумму:

Заметим, что дальнейшие преобразования не приведут к упрощению данного выражения. Причина этого заключается в том, что каждый из множителей является элементарным. В результате:

Пояснения на примерах

Требуется упростить выражения:

Приведем подобные и упростим выражения:

Заметим, что ab и 2ba являются подобными по той причине, что:

В результате можно сделать вывод, что данные слагаемые обладают одинаковой буквенной частью.

Требуется упростить выражения:

Путем разложения на множители упростим данные выражения:

a b 2 + a 2 c = a b 2 + a c

72 30 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 2 · 3 · 5 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 2 · 3 · 5 = 2 · 2 · 3 5 = 12 5

a a + b a 2 = a a + b a · a = a + b a

В первую очередь выполним разложение на множители:

Дано выражение, которое требуется упростить:

В данном случае требуется разложить знаменатели на множители. Первый знаменатель записан так, что можно вынести за скобки х. Второй знаменатель содержит разность квадратов. Выполним преобразования:

Рассмотрим выражение на наличие общих множителей:

Заметим, что при переносе слагаемых, заключенных в скобках, изменился знак перед дробью. Приведем выражения к единому знаменателю:

Воспользуемся формулой сокращенного умножения, а именно, разностью кубов:

Заметим, что в знаменателе дроби расположено выражение, которое называют неполным квадратом суммы:

x 2 + 2 x + 4 = x 2 + 2 · x + 2 2

Второе по счету слагаемое в неполном квадрате суммы является произведением первого и последнего. Неполный квадрат суммы представляет собой множитель, который входит в состав разложения разности кубов:

Требуется упростить выражения:

Дано выражение, которое требуется упростить:

При наличии в знаменателях одного и того же множителя, возведенного в разные степени, то в общем знаменателе данный множитель будет обладать самой большой из имеющихся степеней. Применительно к этой задаче, общий знаменатель будет состоять из следующих выражений:

a во второй степени;

x в третьей степени;

b в третьей степени;

y в четвертой степени.

В результате получим:

Нужно упростить выражение:

Исключить ошибки можно, если расписать заранее порядок операций. В первую очередь целесообразно суммировать дроби, расположенные в скобках. В результате будет получена только одна дробь. Далее можно приступить к делению дробей. Полученный итог следует прибавить к последней дроби.

Выглядит этот алгоритм таким образом:

Источник

Урок в 6-м классе «Упрощение выражений»

Разделы: Математика

Ход урока

1. Сообщение темы урока, чем будем заниматься на уроке. Проверка заданий из домашней работы (баллы выставляются в лист контроля). Решение заданий, вызвавших затруднение.

2. Актуализация знаний учащихся.

4. Упражнения для глаз (служат для профилактики нарушения зрения, благоприятны при неврозах, гипертонии, повышенном внутричерепном давлении).

* Закрыв глаза, мысленно представить по очереди как можно отчётливее все цвета радуги.

* «Нарисовать» глазами спираль в одном направлении, затем в другом направлении.

На этом наша математическая разминка закончена, поставьте баллы в лист контроля.

Баллы за работу выставляют в листок контроля работы на уроке.

6. Основная часть урока: использование правил раскрытия скобок, приведения подобных слагаемых при решении уравнений.

Для решенья уравненья
Безо всякого сомненья
Не будем робки,
Раскроем скобки.

Перед первыми скобками подразумевается плюс.
Смелее, дружок, вперёд и не трусь.
Проблема проста, её разреши:
Члены с их знаками перепиши!

Как видите, мы скобки с вами раскрыли,
Предельно внимательны при этом были.
Теперь спокойно дальше пойдём,
Сначала подобные приведём!

Теперь мы с вами запишем ответ.
Проблему решили, её больше нет!

9. Решение заданий у доски. По [6]

Решение задачи по [7] № 1293 (25 км/ч; 7 км/ч)

10. Выставление баллов в листок контроля.

11. Программируемый контроль [3]

На доске задания программированного контроля (приложение №5).

12. Проверка ответов и выставление баллов в листок контроля.

13. Подсчитайте, сколько баллов каждый из вас получил сегодня за работу на уроке. Исходя из количества баллов, поставьте себе оценку за урок.

А теперь давайте обсудим, что мы сегодня усвоили нового. Что понравилось на уроке? Задания какого типа вы хотели бы выполнить снова? Покажите на своём лице, какое у вас сейчас настроение? Молодцы! Урок закончен.

Источник

Упрощение выражений

Одно из самых распространенных заданий в алгебре звучит так: «Упростите выражение». Сделать это можно используя один из ниже перечисленных приемов, но чаще всего тебе потребуется их комбинация.

Приведение подобных слагаемых.

Для примера упростим такое выражение:

Подобные слагаемые я выделю разными цветами и посчитаю. Кстати, знак перед слагаемым относится к этому слагаемому.

Как видишь, больше одинаковых буквенных частей нет. Выражение упрощено.

Умножение одночленов и многочленов.

При умножении одночленов используют правила умножения степеней.

Перемножим три одночлена:

Разными цветами выделю то, что буду последовательно перемножать.

Чтобы умножить одночлен на многочлен выражение за скобками умножить на каждое слагаемое в скобках. Подробности в следующем примере.

Осталось вспомнить умножение многочлена на многочлен. При таком вот умножении надо каждое слагаемое в первых скобках умножить на каждое слагаемое во вторых скобках, результаты сложить или вычесть в зависимости от знаков слагаемых.

Вынесение общего множителя за скобки.

Разбираться будем на примере.

Дано такое выражение:

Что общего у этих двух слагаемых? Правильно, в них обоих присутствует множитель x. Он и будет являться общим множителем, который надо вынести за скобку.

Возьмем другой пример.

Ну и давайте третий пример, только уже без комментариев.

Проверить правильность вынесения общего множителя за скобки можно путем раскрытия скобок (умножением).

Разложение многочлена на множители способом группировки.

Если надо разложить многочлен на множители, то способ группировки тебе пригодится.

Сгруппировать выражения можно лишь путем вынесения общих множителей за скобку. Но сделать это нужно так, чтобы скобки в итоге получились одинаковые. Зачем? Да затем, чтобы потом эти скобки вынести за другие скобки.

На примере будет яснее)

Беру пример самый простой, чисто для понимания того, что надо делать.

В первых двух слагаемых общим множителем является переменная а: выносим ее за скобку. Во вторых двух слагаемых общим множителем является число 6. Его тоже выносим за скобки.

Видишь получились две одинаковые скобки? Теперь они являются общим множителем. Выносим их за скобку и получаем милое произведение двух скобок:

Разложение квадратного трехчлена на множители.

Пусть дан квадратный трехчлен:

Чтобы разложить его на множители надо решить квадратное уравнение

Далее корни уравнения х₁ и х₂ подставить в следующую формулу:

Возьмем вот такой трехчлен:

Найдем корни квадратного уравнения.

Подставим их в формулу для разложения квадратного трехчлена на множители:

Что-то слишком много минусов во второй скобке. Чуть-чуть преобразуем ее:

Еще могут тебе пригодится:

— умение сокращать дроби;

А вот такие задания могут тебе встретится на экзамене.

2) Найти значение выражения при заданных значениях переменных:

3) Найти значение выражения при заданных значениях переменных:

Источник

Упрощение выражений

Свойства сложения, вычитания, умножения и деления полезны тем, что позволяют преобразовывать суммы и произведения в удобные выражения для вычислений. Научимся, как можно с помощью этих свойств упрощать выражения.

В этом выражении есть числа, при сложении которых получаются «круглые» числа. Заметив это, легко провести вычисления устно. Воспользуемся переместительным законом сложения.

Также для упрощения вычисления произведений можно использовать переместительный закон умножения.

Сочетательные и переместительные свойства используются и при упрощении буквенных выражений.

Распределительный закон умножения часто применяется для упрощения вычислений.

Применяя распределительное свойство умножения относительно сложения или вычитания к выражению « (a + b) · с и (a − b) · c », мы получаем выражение, не содержащее скобки.

В этом случае говорят, что мы раскрыли (опустили) скобки. Для применения свойств не имеет значения, где записан множитель « c » — перед скобками или после.

Раскроем скобки в выражениях.

Вынесение общего множителя за скобки

Поменяем местами правую и левую часть равенства:

В таких случаях говорят, что из « ac + bc » вынесен общий множитель « с » за скобки.

Примеры вынесения общего множителя за скобки.

Источник

Что значит упростить выражение 6 класс математика

Письмо с инструкцией по восстановлению пароля
будет отправлено на вашу почту

В этом занятии познакомимся с понятием «подобные слагаемые» и на примерах научимся выполнять приведение подобных слагаемых, упрощая, таким образом, буквенные выражения.

Выясним смысл понятия «упрощение». Слово «упрощение» образовано от слова «упрости́ть». Упрости́ть – значит сделать простым, проще. Следовательно, упростить буквенное выражение – это сделать его более коротким, с минимальным количеством действий.

Рассмотрим выражение 9х + 4х. Это буквенное выражение, которое является суммой. Слагаемые здесь представлены в виде произведений числа и буквы. Числовой множитель таких слагаемых называется коэффициентом. В этом выражении коэффициентами будут числа 9 и 4. Обратите внимание, множитель, представленный буквой – одинаковый в обоих слагаемых данной суммы.

Вспомним распределительный закон умножения:

Чтобы умножить сумму на число, можно умножить на это число каждое слагаемое и полученные произведения сложить.

В общем виде записывается так: (а + b) ∙ с = ac + bc.

Этот закон выполняется в обе стороны ac + bc = (а + b) ∙ с

Применим его к нашему буквенному выражению: сумма произведений 9х и 4х равна произведению, первый множитель которого равен сумме 9 и 4, второй множитель – х.

9 + 4 = 13, получается 13х.

9х + 4 х = (9 + 4)х = 13х.

Вместо трех действий в выражении осталось одно действие – умножение. Значит, мы сделали наше буквенное выражение проще, т.е. упрости́ли его.

Слагаемые 9х и 4х отличаются только своими коэффициентами – такие слагаемые называют подобными. Буквенная часть у подобных слагаемых одинаковая. К подобным слагаемым относятся также числа и равные слагаемые.

Важно отметить, что слагаемые, у которых равны коэффициенты, а буквенные множители различны, подобными не являются, хотя к ним полезно иногда применить распределительный закон умножения, например, сумма произведений 5х и 5у равна произведению числа 5 и суммы х и у

Упрощая выражение, мы находили суммы подобных слагаемых, в математике это называют приведением подобных слагаемых.

Если приведение подобных слагаемых вызывает затруднение, можно придумать к ним слова и складывать предметы.

Например, рассмотрим выражение:

На каждую букву берем свой предмет: b-яблоко, с-груша, тогда получится: 2 яблока минус 5 груш плюс 8 груш.

Можем из яблок вычесть груши? Конечно, нет. А вот к минус 5 грушам прибавить 8 груш можем.

Приведем подобные слагаемые –5 груш + 8 груш. У подобных слагаемых буквенная часть одинаковая, поэтому при приведении подобных слагаемых достаточно выполнить сложение коэффициентов и к результату дописать буквенную часть:

Возвращаясь к нашему буквенному выражению, имеем –5 с + 8с = 3с. Таким образом, после приведения подобных слагаемых получим выражение 2b + 3с.

Итак, на этом занятии Вы познакомились с понятием «подобные слагаемые» и научились упрощать буквенные выражения путем приведения подобных слагаемых.

Источник