Итак, для тока будем иметь:

Подставив значение корня из 2, получим формулу для нахождения эффективного (действующего, среднеквадратичного) значения тока, напряжения, ЭДС — по отношению к амплитудному значению. Эту формулу можно встретить очень часто, ее используют всюду в расчетах, связанных с цепями переменного синусоидального тока:

С практической точки зрения, если сравнить тепловое действие тока переменного синусоидального с тепловым действием тока постоянного непрерывного, на протяжении одного и того же периода времени, на одной и той же активной нагрузке, то выяснится, что выделенная за период синусоидального переменного тока теплота окажется равна выделенной за это же время теплоте от тока постоянного, при условии, что величина постоянного тока будет меньше амплитуды тока переменного в корень из 2 раз:

Это значит, что действующее (эффективное, среднеквадратичное) значение синусоидального переменного тока численно равно такому значению постоянного тока, при котором тепловое действие (выделяемое количество теплоты) этого постоянного тока на активном сопротивлении за один период синусоиды равно тепловому действию данного синусоидального тока за тот же период.

Аналогичным образом находится действующее (эффективное, среднеквадратичное) значение синусоидального напряжения или синусоидальной ЭДС.

Подавляющее большинство современных портативных измерительных приборов, измеряя переменный ток или переменное напряжение, показывают именно действующее значение измеряемой величины, то есть среднеквадратичную величину, а не ее амплитуду и не среднее значение за полпериода.

Если других уточняющих настроек на приборе нет, а стоит значок

Источник

Среднеквадратичное (действующее, эффективное) значение

Лампочка и постоянное напряжение

Для опытов нам также понадобится простая автомобильная лампа накаливания на напряжение 12 Вольт

Вот ее характеристики: рабочее напряжение U=12 Вольт, мощность Р = 21 Ватт.

Следовательно, зная мощность и напряжение лампы, можно узнать, какую силу тока будет потреблять лампочка. Из формулы P=IU, где I — сила тока, можно найти I. Значит I=P/U=21/12=1,75 Ампер.

Ладно, с лампочкой разобрались. Давайте ее зажжем. Для этого на нашем блоке питания выставляем рабочее напряжение для нашей лампы

Подаем напряжение с блока питания на лампу и вуаля!

К этим же клеммах цепляем и наш осциллограф

Видите прямую линию? Это и есть осциллограмма постоянного напряжения. В течение времени у нас напряжение остается таким, каким и было и не меняется. Если посчитать, то можно вычислить, чему равняется напряжение. Так как одна клеточка у нас 5 Вольт (на фото внизу слева), то значит, наше напряжение 12 Вольт. Я также вывел это значение на дисплей осциллографа в самом нижнем левом углу: 12,03 Вольт. Все верно.

Замеряем силу тока. Как правильно замерить силу тока в цепи, можно узнать, прочитав статью как измерить ток и напряжение мультиметром?.

Получили 1,72 Ампер. А как вы помните, наше расчетное значение было 1,75 Ампер. Думаю, вину можно переложить на погрешность прибора или на лампочку 😉

Лампочка и переменное напряжение

Теперь начинается самое интересное. Берем наш ЛАТР

Ставим прибор на измерение переменного напряжения и выставляем с помощью крутилки ЛАТРа напряжение в 12 Вольт. Обратите внимание, что крутилка на мультиметре находится в диапазоне измерения переменного напряжения. Забегая вперед, скажу, что мультиметр измеряет среднеквадратичное напряжение.

Цепляем осциллограф к клеммах ЛАТРа, не забывая на осциллографе выставить замеры переменного напряжения и смотрим получившуюся осциллограмму:

Смотрим, сколько силы тока кушает наша лампочка. Все как положено, 1,71 Ампер.

Среднеквадратичное значение напряжения

Итак, что же у нас получилось? Как и постоянное напряжение, так и переменное напряжение зажигали одну и ту же лампочку, которая кушала одну и ту же мощность. Значит эта осциллограмма

и вот эта осциллограмма

Чем то похожи? Но чем.

Среднеквадратичное значение напряжения — это такое значение переменного напряжения, при котором нагрузка потребляет столько же силы тока, как и при постоянном напряжении. То есть лампочка у нас потребляла 1,71 Ампер и при постоянном токе и при переменном. То есть, в двух этих случаях, мощность, которую потребляла лампочка, была одинакова.

Также среднеквадратичное напряжение еще называют действующим или эффективным значением напряжения. С помощью несложных умозаключений, инженеры-электрики пришли к выводу действующее (оно же среднеквадратичное) напряжение синусоидального сигнала любой частоты равняется максимальной его амплитуде, поделенной на корень из двух

Стоп! Мы ведь не разобрали, что такое максимальная амплитуда! На осциллограмме максимальная амплитуда выглядит примерно вот так:

Если даже посчитать по клеточкам и посмотреть, чему равняется одна клеточка по вертикали (смотрим внизу слева, она равняется 5 Вольт), то U_max = 17 Вольт. Делим это значение на корень из двух. Я беру это значение как 1,41. Получаем, что среднеквадратичное значение равняется 17/1,41=12,06 Вольт. Ну что, все верно 😉

Значит, когда нам говорят, что напряжение в розетке равняется 220 Вольт, то мы то знаем, что на самом деле это среднеквадратичное напряжение. Максимальная амплитуда этих 220 Вольт равняется 220х1,41=310 Вольт.

Где же среднеквадратичное напряжение и максимальная амплитуда сигнала прячутся на табличке измерений? Да вот же они!

Vk — это и есть среднеквадратичное напряжение этого сигнала.

Ma — это и есть Umax.

Конечно, 16,6/1,41=11,8 Вольт, а он пишет 12,08 Вольт.

Источник

В математике и ее приложениях корень средний квадрат ( RMS или RMS или среднеквадратичное ) определяется как квадратный корень из среднего квадрата ( среднее арифметическое из квадратов одного набора чисел). Среднеквадратичное значение также известно как среднее квадратичное и является частным случаем обобщенного среднего с показателем 2. Среднеквадратичное значение также может быть определено для непрерывно изменяющейся функции в терминах интеграла квадратов мгновенных значений в течение цикла.

СОДЕРЖАНИЕ

Определение

Среднеквадратичное значение набора значений (или непрерывного сигнала ) представляет собой квадратный корень из среднего арифметического квадратов значений или квадрата функции, определяющей непрерывный сигнал. В физике среднеквадратичное значение тока также можно определить как «значение постоянного тока, который рассеивает ту же мощность в резисторе».

а среднеквадратичное значение функции за все время равно

В распространенных формах волны

Для других сигналов отношения не такие же, как для синусоидальных волн. Например, для треугольной или пилообразной волны

В комбинациях сигналов

Формы сигналов, полученные путем суммирования известных простых сигналов, имеют среднеквадратичное значение, которое является корнем из суммы квадратов значений компонентных среднеквадратичных значений, если формы сигналов компонентов ортогональны (то есть, если среднее произведение одного простого сигнала на другой равно нулю. для всех пар, кроме самого времени сигнала).

RMS Общий знак равно RMS 1 2 + RMS 2 2 + ⋯ + RMS п 2 <\ displaystyle <\ text > _ <\ text > = <\ sqrt <<\ text > _ <1>^ <2>+ <\ text > _ <2>^ <2>+ \ cdots + <\ text > _ ^ <2>>>>

В качестве альтернативы, для сигналов, которые полностью положительно коррелированы или «синфазны» друг с другом, их среднеквадратичные значения суммируются напрямую.

Использует

В электротехнике

Напряжение

Частным случаем среднеквадратичного значения комбинаций сигналов является:

RMS AC + DC знак равно RMS ОКРУГ КОЛУМБИЯ 2 + RMS AC 2 <\ displaystyle <\ text > _ <\ text > = <\ sqrt <<\ text > _ <\ text > ^ <2>+ <\ text > _ <\ text > ^ <2>>>>

Средняя электрическая мощность

Однако, если ток является изменяющейся во времени функцией I ( t ), эту формулу необходимо расширить, чтобы отразить тот факт, что ток (и, следовательно, мгновенная мощность) изменяется во времени. Если функция является периодической (например, бытовая мощность переменного тока), все еще имеет смысл обсудить среднюю мощность, рассеиваемую с течением времени, которая рассчитывается путем взятия средней рассеиваемой мощности:

Таким образом, среднеквадратичное значение I _RMS функции I ( t ) представляет собой постоянный ток, который дает такое же рассеяние мощности, как и усредненное по времени рассеяние мощности тока I ( t ).

Получив квадратный корень из обоих этих уравнений и умножив их, получим степень:

В общем случае переменного тока, когда I ( t ) является синусоидальным током, что приблизительно верно для сетевого питания, среднеквадратичное значение легко вычислить из уравнения для непрерывного случая, приведенного выше. Если I _p определяется как пиковый ток, тогда:

Использование тригонометрического тождества для устранения возведения триггерной функции в квадрат:

но поскольку интервал представляет собой целое число полных циклов (согласно определению RMS), синусоидальные члены будут сокращаться, оставляя:

Подобный анализ приводит к аналогичному уравнению для синусоидального напряжения:

где I _P представляет пиковый ток, а V _P представляет собой пиковое напряжение.

Среднеквадратичные величины, такие как электрический ток, обычно рассчитываются за один цикл. Однако для некоторых целей при расчете потерь мощности при передаче требуется среднеквадратичный ток за более длительный период. Применяется тот же принцип, и (например) ток в 10 ампер, используемый в течение 12 часов каждый 24-часовой день, представляет средний ток 5 ампер, но среднеквадратичный ток 7,07 ампер в долгосрочной перспективе.

Скорость

В физике из газовых молекул, то среднеквадратическое скорость определяется как квадратный корень из среднего квадрата скорости. Среднеквадратичная скорость идеального газа рассчитывается по следующему уравнению:

v RMS знак равно 3 р Т M <\ displaystyle v _ <\ text > = <\ sqrt <3RT \ over M>>>

Ошибка

В частотной области

В этом случае среднеквадратичное значение, вычисленное во временной области, такое же, как и в частотной области:

Связь с другой статистикой

Отсюда ясно, что среднеквадратичное значение всегда больше или равно среднему, поскольку среднеквадратичное значение также включает «ошибку» / квадратное отклонение.

Ученые-физики часто используют термин среднеквадратичное отклонение как синоним стандартного отклонения, когда можно предположить, что входной сигнал имеет нулевое среднее значение, то есть относится к квадратному корню из среднеквадратичного отклонения сигнала от заданной базовой линии или соответствия. Это полезно для инженеров-электриков при вычислении RMS сигнала «только переменный ток». Стандартное отклонение представляет собой среднеквадратичное отклонение сигнала от среднего, а не около 0, составляющая постоянного тока удаляется (то есть, среднеквадратичное отклонение (сигнал) = stdev (сигнал), если средний сигнал равен 0).

Источник

Среднеквадратичное значение

В математике и ее приложениях среднеквадратичное ( RMS или среднеквадратичное ) определяется как квадратный корень из среднего квадрата ( среднее арифметическое из квадратов одного набора чисел). [1] Среднеквадратичное значение также известно как среднее квадратичное [2] [3] и является частным случаем обобщенного среднего с показателем 2. Среднеквадратичное значение также может быть определено для непрерывно меняющейся функции в терминах интеграла квадратов от мгновенные значения в течение цикла.

СОДЕРЖАНИЕ

Определение [ править ]

Среднеквадратичное значение набора значений (или непрерывного сигнала ) представляет собой квадратный корень из среднего арифметического квадратов значений или квадрата функции, определяющей непрерывный сигнал. В физике среднеквадратичное значение тока также можно определить как «значение постоянного тока, который рассеивает ту же мощность в резисторе».

а среднеквадратичное значение функции за все время равно

Распространенные формы волны [ править ]

Для других сигналов отношения не такие же, как для синусоидальных волн. Например, для треугольной или пилообразной волны

В комбинациях сигналов [ править ]

Формы сигналов, полученные путем суммирования известных простых сигналов, имеют среднеквадратичное значение, которое является корнем из суммы квадратов значений компонентных среднеквадратичных значений, если формы сигналов компонентов ортогональны (то есть, если среднее произведение одного простого сигнала на другой равно нулю. для всех пар, кроме самого времени сигнала). [5]

RMS Total = RMS 1 2 + RMS 2 2 + ⋯ + RMS n 2 <\displaystyle <\text>_<\text>=<\sqrt <<\text>_<1>^<2>+<\text>_<2>^<2>+\cdots +<\text>_^<2>>>>

В качестве альтернативы, для сигналов, которые полностью положительно коррелированы или «синфазны» друг с другом, их среднеквадратичные значения суммируются напрямую.

Использует [ редактировать ]

В электротехнике [ править ]

Напряжение [ редактировать ]

Частным случаем среднеквадратичного значения комбинаций сигналов является: [6]

RMS AC+DC = RMS DC 2 + RMS AC 2 <\displaystyle <\text>_<\text>=<\sqrt <<\text>_<\text>^<2>+<\text>_<\text>^<2>>>>

Средняя электрическая мощность [ редактировать ]

Однако, если ток является изменяющейся во времени функцией I ( t ), эту формулу необходимо расширить, чтобы отразить тот факт, что ток (и, следовательно, мгновенная мощность) изменяется во времени. Если функция является периодической (например, бытовая мощность переменного тока), все еще имеет смысл обсудить среднюю мощность, рассеиваемую с течением времени, которая рассчитывается путем взятия средней рассеиваемой мощности:

P a v = ( I ( t ) 2 R ) a v where ( ⋯ ) a v denotes the temporal mean of a function = ( I ( t ) 2 ) a v R (as R does not vary over time, it can be factored out) = I RMS 2 R by definition of root-mean-square <\displaystyle <\beginP_&=\left(I(t)^<2>R\right)_&&<\text>\left(\cdots \right)_<\text< denotes the temporal mean of a function>>\\[3pt]&=\left(I(t)^<2>\right)_R&&<\text<(as >>R<\text< does not vary over time, it can be factored out)>>\\[3pt]&=I_<\text>^<2>R&&<\text>\end>>

Таким образом, среднеквадратичное значение I _RMS функции I ( t ) представляет собой постоянный ток, который дает такое же рассеяние мощности, как и усредненное по времени рассеяние мощности тока I ( t ).

Получив квадратный корень из обоих этих уравнений и умножив их, получим степень:

В общем случае переменного тока, когда I ( t ) является синусоидальным током, что приблизительно верно для сетевого питания, среднеквадратичное значение легко вычислить из уравнения для непрерывного случая, приведенного выше. Если I _p определяется как пиковый ток, тогда:

Использование тригонометрического тождества для устранения возведения в квадрат тригонометрической функции:

I RMS = I p 1 T 2 − T 1 ∫ T 1 T 2 1 − cos ⁡ ( 2 ω t ) 2 d t = I p 1 T 2 − T 1 [ t 2 − sin ⁡ ( 2 ω t ) 4 ω ] T 1 T 2 <\displaystyle <\beginI_<\text>&=I_<\text

><\sqrt <<1 \over -T_<1>>><\int _>^><1-\cos(2\omega t) \over 2>\,dt>>>\\[3pt]&=I_<\text

><\sqrt <<1 \over -T_<1>>>\left[—<\sin(2\omega t) \over 4\omega >\right]_>^>>>\end>>

но поскольку интервал представляет собой целое число полных циклов (согласно определению RMS), синусоидальные члены будут сокращены, в результате чего останется:

Подобный анализ приводит к аналогичному уравнению для синусоидального напряжения:

где I _P представляет пиковый ток, а V _P представляет собой пиковое напряжение.

Значения RMS, такие как электрический ток, обычно рассчитываются за один цикл. Однако для некоторых целей при расчете потерь мощности при передаче требуется среднеквадратичный ток за более длительный период. Применяется тот же принцип, и (например) ток в 10 ампер, используемый в течение 12 часов каждый 24-часовой день, представляет средний ток 5 ампер, но среднеквадратичный ток 7,07 ампер в долгосрочной перспективе.

Скорость [ править ]

В физике из газовых молекул, то среднеквадратическое скорость определяется как квадратный корень из среднего квадрата скорости. Среднеквадратичная скорость идеального газа рассчитывается по следующему уравнению:

Ошибка [ редактировать ]

В частотной области [ править ]

В этом случае среднеквадратичное значение, вычисленное во временной области, такое же, как и в частотной области:

Связь с другой статистикой [ править ]

Отсюда ясно, что среднеквадратичное значение всегда больше или равно среднему, поскольку среднеквадратичное значение также включает «ошибку» / квадратное отклонение.

Ученые-физики часто используют термин среднеквадратичное отклонение как синоним стандартного отклонения, когда можно предположить, что входной сигнал имеет нулевое среднее значение, то есть относится к квадратному корню из среднеквадратичного отклонения сигнала от заданной базовой линии или соответствия. [9] [10] Это полезно для инженеров-электриков при вычислении RMS сигнала «только переменный ток». Стандартное отклонение, представляющее собой среднеквадратичное отклонение сигнала относительно среднего, а не около 0, составляющая постоянного тока удаляется (то есть RMS (сигнал) = stdev (сигнал), если средний сигнал равен 0).

Источник

Среднеквадратичное значение

Например, для чисел 2,3 и 6 среднеквадратичным значением будет квадратный корень из (2²+3²+6²)/3. √(49/3) = 4.04

Среднеквадратичным значением двух или нескольких чисел является квадратный корень из среднеарифметического значения квадратов этих чисел.

Среднеквадратичное значение применяется в расчётах, где существует пропорциональная зависимость не самих переменных значений, а их квадратов.

Действующее значение напряжения и тока

В качестве примера можно рассмотреть квадратичную зависимость мощности или работы электрического тока от значений тока или напряжения.

P = I²R; A = I²Rt; P = U²/R; A = U²t/R

Величина постоянного напряжения или тока является его среднеквадратичным значением.
Среднеквадратичное значение переменного тока равно величине постоянного тока, действие которого произведёт такую же работу в активной (резистивной) нагрузке за время периода.
Определяющим фактором здесь является среднее (среднеарифметическое) значение мощности P avg или работы A avg, пропорциональное квадрату значения тока.
Так же среднеквадратичное значение переменного напряжения за период равносильно по своему воздействию на активную нагрузку такому же значению постоянного напряжения.

Среднеквадратичное значение переменного напряжения или тока часто называют действующим или эффективным.

Примечание:
Электромагнитные приборы используют для измерения переменного тока и напряжения в промышленных установках. Усилие, создаваемое измерительной катушкой в электромагнитном приборе, пропорционально квадрату тока, поэтому не меняется по направлению.
Угол отклонения стрелки определится некоторым средним усилием F, которое будет пропорционально среднеквадратичному значению тока.

Расчёт действующего значения

В качестве примера рассчитаем среднеквадратичное значение синусоидального напряжения.

Запишем выражение U rms с применением интеграла функции U = U ampsin(t) для одного периода 2π :

Вынесем U amp из под знака радикала. Воспользуемся табличным интегралом , перепишем и решим последнее выражение с применением формулы Ньютона-Лейбница:

Так как sin(2π), sin(4π) и sin(0) равны нулю, вычисляем RMS синусоиды следующим образом:

В результате решения в итоге получим:

Расчёт RMS для напряжения или тока треугольной и пилообразной формы можно рассмотреть на примере одного периода T для функции , представленной на рисунке:

Выразим U rms искомой функции с помощью определённого интеграла:

Используя табличный интеграл и формулу Ньютона-Лейбница, получаем:

В итоге преобразований получим:

Для вариантов однополярного или двуполярного напряжения пилообразной и треугольной формы в периоде 2T или 4T, представленных на рисунке ниже, T и U amp имеют те же расчётные величины, что и в рассмотренном случае c функцией , а интегралы, определённые в интервалах, равных T, для квадратов используемых функций , будут иметь одно и то же значение

Следовательно, вышеуказанные варианты однополярного или двуполярного напряжения пилообразной и треугольной формы будут иметь среднеквадратичное значение .

В результате получаем значение RMS, равное произведению амплитуды импульсов U amp на квадратный корень из коэффициента заполнения (T i / T).

В качестве дополнительного материала предлагаем рассмотреть расчёт средеквадратичного значения напряжения накала кинескопа цветного телевизора, исходя из амплитуды и формы напряжения.

Замечания и предложения принимаются и приветствуются!

Источник