Что значит спроецировать точку на две или три взаимно перпендикулярные плоскости проекций

10.04.202211.04.2022 admin 0 Comments

Проецирование на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций

Обратимость чертежа может быть обеспечена проецированием на две непараллельные плоскости проекций.

Для удобства проецирования в качестве двух плоскостей проекций выбирают две взаимно перпендикулярные плоскости (рис. 1.11). Одну из них принято располагать горизонтально — ее называют горизонтальной плоскостью проекций, другую — вертикально. Вертикальную плоскость называют фронтальной плоскостью проекций. Эти плоскости проекций пересекаются по линии, называемой осью проекций.

Ось проекций разделяет каждую из плоскостей проекций на две полуплоскости.

Обозначим плоскости проекций буквами: V — фронтальную, Н — горизонтальную, ось проекций — буквой х или в виде

дроби V/H. Плоскости V и Н образуют систему V, Н. (Наряду с указанными обозначениями плоскостей проекций в литературе применяют и другие обозначения, например буквой π с индексами.)

Плоскости проекций, пересекаясь, образуют четыре двугранных угла, из которых приведенный на рисунке 1.11 (с обозначениями граней V, Н) считают первым.

В промышленности чертежи многих деталей выполняют также в системе двух взаимно перпендикулярных плоскостей, пересекающихся по вертикальной оси проекций z (рис. 1.12). При этом фронтальной плоскостью проекций оставляют также плоскость V, а перпендикулярную к ней и обозначаемую W называют профильной плоскостью проекций.

В системе двух взаимно перпендикулярных плоскостей проекций горизонтальной проекцией точки называют прямоугольную проекцию точки на горизонтальной плоскости проекций;

фронтальной проекцией точки называют прямоугольную проекцию точки на фронтальной плоскости проекций.

Наглядное изображение построения проекций произвольной точки А в системе V, Н показано на рисунке 1.13. Горизонтальную проекцию, обозначенную а, находят как пересечение перпендикуляра, проведенного из точки А к плоскости Н, с этой плоскостью. Фронтальную проекцию, обозначенную а’, находят как пересечение перпендикуляра, проведенного из точки А к плоскости V, с этой плоскостью.

Проецирующие прямые Аа’ и Аа, перпендикулярные к плоскостям V и Н, принадлежат плоскости Q. Она перпендикулярна плоскостям проекций и пересекает ось проекций в точке а_х. Три взаимно перпендикулярные плоскости Q, V и Н пересекаются по взаимно перпендикулярным прямым, т. е. прямые а’а_х, аа_х и ось х взаимно перпендикулярны.

Построение некоторой точки А в пространстве по двум заданным ее проекциям — фронтальной а’ и горизонтальной а — показано на рисунке 1.14. Точку А находят на пересечении перпендикуляров, проведенных из проекции а’ к плоскости V и из проекции а к плоскости Н. Проведенные перпендикуляры принадлежат одной плоскости Q, перпендикулярной к плоскостям V и Н, и пересекаются в единственной искомой точке А пространства.

Таким образом, две прямоугольные проекции точки вполне определяют ее положение в пространстве относительно данной системы взаимно перпендикулярных плоскостей проекций.

В дальнейшем прямоугольные проекции точки в системе взаимно перпендикулярных плоскостей проекций будем называть ортогональными проекциями точки.

Рассмотренное наглядное изображение точки в системе V, Н неудобно ввиду своей сложности для целей черчения. Преобразуем его так, чтобы горизонтальная плоскость проекций совпадала с фронтальной плоскостью проекций, образуя одну плоскость чертежа. Это преобразование осуществляют (рис. 1.15) путем поворота вокруг оси х плоскости Н на угол 90° вниз. При этом отрезки а_х= а’ и а_х = а образуют один отрезок а’а, перпендикулярный оси проекции, называемый линией связи. В результате указанного совмещения плоскостей V и Н получается чертеж — рисунок 1.16, известный под названием эпюр (от французского ериrе — чертеж, проект) или эпюр Монжа. Этот чертеж в системе V, Н (или в системе двух прямоугольных проекций) называют чертежом Монжа. Без обозначения плоскостей V и H этот чертеж приведен на рис. 1.17.

Источник

Проецирование точки в начертательной геометрии с примерами

Проецирование точки на две и три плоскости проекций:

Если из точки А, находящуюся в пространстве, относительно двух плоскостей проекций

Они характеризуются координатами, которые численно равны расстоянию от точки А до соответствующих плоскостей проекций. Координаты обозначаются теми же буквами, что и оси вдоль которых измеряется расстояние, с присвоением индекса самой буквы.

Так, для точки А:

Плоскость прямоугольника , перпендикулярна к: оси x, а линии пересечений плоскостей и плоскости являются прямыми и , перпендикулярными к оси х.

Изображение точки и её проекций на рис.3.1 является пространственным чертежом, что не всегда удобно для практики.

Рис. 2.4 Чтобы получить плоский чертёж, поворачивают плоскость , вокруг оси х и совмещают её с плоскостью (рис. 3.1), получая таким образом. комплексный чертеж (эпюр Монжа)

Проекции и оказываются на одной линии, которая называется линией проекционной связи. Она перпендикулярна к оси х (рис. 3.2). При проецировании точки А на три плоскости проекций от плоскости она отстоит на расстоянии (рис. 3.3). При этом, аналогично вышесказанному:

Для получения плоского чертежа в этом случае уже две плоскости и совмещаются с плоскостью путём поворота их соответственно вокруг осей х и z. При этом ось у как бы раздваивается (как бы разрезается вдоль), и положение плоскостей будет таким, как показано на рис. 3.3. Профильная проекция точки А находится на пересечении линий связи и (расстояние ).

Это не означает, что модули этих величин обязательно равны между собой, т.е. (в частном случае это равенство Ах Ау может быть). Те же рассуждения будут справедливы и в отношении направлений осей z и y (рис. 3.4).

Таким образом, горизонтальная и фронтальная проекции точки А на плоском чертеже лежат на одной линии проекционной связи, перпендикулярной к оси x, а фронтальная и профильная проекции точки А на линии проекционной связи, перпендикулярной к оси z.

Определение по плоскому чертежу принадлежности точки тому или другому октанту пространства

Точка, например А, принадлежит:

Определение по плоскому чертежу принадлежности точки плоскостям проекций

Точка А принадлежит:

Любая точка лежит на оси проекций, если её смежные две проекции совпадают.

Так, точка А лежит на оси х, если совпадает с ; на оси у, если совпадает с , и оси z, если совпадает с .

Правила знаков координат проекции точки

При построении проекции точки координата x всегда откладывается от начала координат (точка 0).

Таблица 3.1

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник

Точка в системе плоскостей проекций h v и w

Точка в системе плоскостей проекций , и . Проекции точки в системе прямоугольных координат .

Для получения изображений предметов на чертежах французский геометр Гаспар Монж (основоположник начертательной геометрии как науки и автор первой, изданной в Париже, книги по начертательной геометрии «Geometrie descriptive», 1795 г.) предложил следующий метод — метод параллельного прямоугольного проецирования на взаимно перпендикулярные плоскости проекций.

На рис 4.2, а показано наглядное изображение трех взаимно перпендикулярных плоскостей проекций:

Плоскости проекций, пересекаясь в пространстве, делят пространство на восемь частей, которые называют октантами Слева от плоскости проекций располагаются 1, 2, 3 и 4 октанты, пронумерованные против часовой стрелки. Для получения изображений предмет располагал в 1-м октанте (европейская система) между наблюдателем и плоскостью проекций и проецируют ею на каждую из взаимно перпендикулярных плоскостей проекций , и . построив соответственно горизонтальную, фронтальную и профильную проекции предмета.

В качестве предмета проецирования на рис. 4.2, а взята точка и построены ее прямоугольные проекции на каждую плоскость проекций:

Плоскости проекций пересекаются между собой по линиям, которые называют осями проекций: ось , ось и ось .

Оси проекций принимают за оси координат, определяющих положение точки в пространстве, и называют системой прямоугольных координат , и .

Оси проекций пересекаются в точке — это точка начата координат.

Расстояния точки от каждой плоскости проекции определяют ее положение в пространстве и называются ее прямоугольными координатами: координата расстояние от плоскости проекций (абсцисса); координата расстояние от плоскости проекций (ордината); координата расстояние от плоскости проекций (аппликата).

Чтобы перейти от наглядного изображения системы трех плоскостей проекций , и и получить чертеж (эпюр), плоскости проекций первого октанта повертывают относительно координатных осей и совмещают с фронтальной плоскостью проекций следующим образом:

На чертеже (см. рис. 4.2, 6) координатные оси проекций располагают следующим образом:

Чертеж предмета содержит изображения проекций этого предмета.

Проекции предмета строятся как проекции совокупного множества точек, определяющих и задающих поверхность этого предмета. Точки объединяются в более общие известные из геометрии элементы: прямые, плоскости и различные поверхности (гранные, цилиндрические, конические и т.д.).

Чертеж точки содержит ее проекции, которые строятся по координатам этой точки.

На рис. 4.2, б показано построение чертежа произвольной точки . заданной на рис. 4.2, а. положение которой в пространстве определяют координаты и . Для построения чертежа этой точки выполнены следующие графические действия:

. Запомните! Горизонтальная и фронтальная проекции точки лежат на одной вертикальной линии, перпендикулярной оси , которая называется ЛИНИЕЙ СВЯЗИ.

Чтобы построить профильную проекцию точки, следует провести горизонтальную ЛИНИЮ СВЯЗИ, перпендикулярную оси проекций , и отложить от полученной точки отрезок , равный координате (или отложить от точки вправо по оси отрезок и провести вертикальную линию до пересечения с линией связи от фронтальной проекции точки ).