Что значит справедливо равенство в математике
Равенство (математика)
СОДЕРЖАНИЕ
Этимология [ править ]
Этимологию этого слова от латинского aequālis ( «равно», «как», «сопоставимы», «подобные») от aequus ( «равный», «уровень», «ярмарка», «просто»).
Основные свойства [ править ]
Вот некоторые конкретные примеры этого:
Равенство как предикат [ править ]
Личности [ править ]
Уравнения [ править ]
Не существует стандартной нотации, которая отличает уравнение от тождества или другого использования отношения равенства: нужно угадывать подходящую интерпретацию из семантики выражений и контекста. Утверждается, что идентичность истинна для всех значений переменных в данной области. «Уравнение» иногда может означать идентичность, но чаще всего оно определяет подмножество пространства переменных как подмножество, в котором уравнение истинно.
Конгруэнции [ править ]
Примерное равенство [ править ]
Проверяемое сомнительное равенство можно обозначить символом.
Связь с эквивалентностью и изоморфизмом [ править ]
Однако есть и другие варианты изоморфизма, например
Логические определения [ править ]
Лейбниц охарактеризовал понятие равенства следующим образом:
Равенство в теории множеств [ править ]
Равенство множеств аксиоматизируется в теории множеств двумя разными способами, в зависимости от того, основаны ли аксиомы на языке первого порядка с равенством или без него.
Установите равенство на основе логики первого порядка с помощью равенства [ править ]
В логике первого порядка с равенством аксиома протяженности утверждает, что два набора, содержащие одинаковые элементы, являются одним и тем же набором. [8]
Включение половины работы в логику первого порядка можно рассматривать как простое удобство, как отмечает Леви.
«Причина, по которой мы беремся за исчисление предикатов первого порядка с равенством, заключается в удобстве; тем самым мы экономим труд по определению равенства и доказательству всех его свойств; теперь это бремя ложится на логику». [9]
Установите равенство на основе логики первого порядка без равенства [ править ]
Понятие равенства, знак равенства, связанные определения
Материал статьи позволит ознакомиться с математической трактовкой понятия равенства. Порассуждаем на тему сути равенства; рассмотрим его виды и способы его записи; запишем свойства равенства и проиллюстрируем теорию примерами.
Что такое равенство
Само понятие равенства тесно переплетено с понятием сравнения, когда мы сопоставляем свойства и признаки, чтобы выявить схожие черты. Процесс сравнения требует наличия двух объектов, которые и сравниваются между собой. Данные рассуждения наводят на мысль, что понятие равенства не может иметь место, когда нет хотя бы двух объектов, чтобы было что сравнивать. При этом, конечно, может быть взято большее количество объектов: три и более, однако, в конечном, счете, мы так или иначе придем к сравнению пар, собранных из заданных объектов.
Смысл понятия «равенство» в обобщенном толковании отлично определяется словом «одинаковые». О двух одинаковых объектах можно говорить – «равные». Например, квадраты 
и . А вот объекты, которые хоть по какому-то признаку отличаются друг от другу, назовем неравными.
Говоря о равенстве, мы можем иметь в виду как объекты в целом, так и их отдельные свойства или признаки. Объекты являются равными в целом, когда одинаковы по всем характеристикам. Например, когда мы привели в пример равенство квадратов, имели в виду их равенство по всем присущим им свойствам: форме, размеру, цвету. Также объекты могут и не быть равными в целом, но обладать одинаковыми отдельными признаками. Например: 
и 
. Указанные объекты равны по форме (оба – круги), но различны (неравны) по цвету и размеру.
Таким образом, необходимо заранее понимать, равенство какого рода мы имеем в виду.
Запись равенств, знак равно
Равенство – запись, в которой использован знак равно, разделяющий два математических объекта (или числа, или выражения и т.п.).
Верные и неверные равенства
Составленные равенства могут соответствовать сути понятия равенства, а могут и противоречить ему. По этому признаку все равенства классифицируют на верные равенства и неверные равенства. Приведем примеры.
Свойства равенств
Запишем три основных свойства равенств:
Буквенно сформулированные свойства запишем так:
Отметим особенную пользу второго и третьего свойств равенств – свойств симметричности и транзитивности – они дают возможность утверждать равенство трех и более объектов через их попарное равенство.
Двойные, тройные и т.д. равенства
При помощи таких цепочек равенств оптимально составлять равенство трех и более объектов. Такие записи по своему смыслу являются обозначением равенства любых двух объектов, составляющих исходную цепочку равенств.
Составляя подобные цепочки, удобно записывать последовательность решения примеров и задач: такое решение становится наглядным и отражает все промежуточные этапы вычислений.
Числовые равенства, свойства числовых равенств
После получения общих сведений о равенствах в математике переходим к более узким темам. Материал этой статьи даст представление о свойствах числовых равенств.
Что такое числовое равенство
Числовое равенство – это равенство, обе части которого состоят из чисел и/или числовых выражений.
Свойства числовых равенств
Сложно переоценить значимость свойств числовых равенств в математике: они являются опорой многому, определяют принцип работы с числовыми равенствами, методы решений, правила работы с формулами и многое другое.Очевидно, что существует необходимость детального изучения свойств числовых равенств.
Свойства числовых равенств абсолютно согласованы с тем, как определяются действия с числами, а также с определением равных чисел через разность: число a равно числу b только в тех случаях, когда разность a − b есть нуль. Далее в описании каждого свойства мы проследим эту связь.
Основные свойства числовых равенств
Изучать свойства числовых равенств начнем с трех базовых свойств, которые присущи всем равенствам. Перечислим основные свойства числовых равенств:
Прочие важные свойства числовых равенств
Основные свойства числовых равенств, рассмотренные выше, являются базисом для ряда дополнительных свойств, довольно ценных в разрезе практики. Перечислим их:
Укажем еще на пару свойств, которые позволяют осуществлять сложение и умножение соответствующих частей верных числовых равенств:
Необходимо уточнить, что почленно можно сложить не только два верных числовых равенства, но и три, и более;
Завершим данную статью, собрав для наглядности все рассмотренные свойства:
Содержание
Этимология
В этимология слова происходит от латинского Aequālis («Равный», «подобный», «сопоставимый», «аналогичный») от Aequus («Равный», «уровень», «справедливый», «справедливый»).
Основные свойства
Вот некоторые конкретные примеры этого:
Эти три свойства делают равенство отношение эквивалентности. Первоначально они были включены в число Аксиомы Пеано для натуральных чисел. Хотя симметричные и транзитивные свойства часто рассматриваются как фундаментальные, их можно вывести из свойств замещения и рефлексивных свойств.
Равенство как предикат
Идентичности
Когда А и B можно рассматривать как функции некоторых переменных, то А = B Значит это А и B определяют ту же функцию. Такое равенство функций иногда называют личность. Пример: (Икс + 1) 2 = Икс 2 + 2Икс + 1. Иногда, но не всегда, личность пишется с тройной бар: (Икс + 1) 2 ≡ Икс 2 + 2Икс + 1.
Уравнения
Не существует стандартной нотации, которая отличает уравнение от тождества или другого использования отношения равенства: нужно угадывать подходящую интерпретацию из семантики выражений и контекста. Личность утверждал быть верным для всех значений переменных в данной области. «Уравнение» иногда может означать идентичность, но чаще всего это указывает подмножество пространства переменных, которое будет подмножеством, в котором уравнение истинно.
Сравнения
Примерное равенство
Есть некоторые логические системы которые не имеют понятия о равенстве. Это отражает неразрешимость равенства двух действительные числа, определяемый формулами, включающими целые числа, базовый арифметические операции, то логарифм и экспоненциальная функция. Другими словами, не может быть никаких алгоритм для решения такого равенства.
Связь с эквивалентностью и изоморфизмом
Однако есть и другие варианты изоморфизма, например
Логические определения
Лейбниц охарактеризовал понятие равенства следующим образом:
Понятие равенства, знак равенства, связанные определения.
В этой статье собрана информация, формирующая представление о равенстве в контексте математики. Здесь мы выясним, что такое равенство с математической точки зрения, и какие они бывают. Также поговорим о записи равенств и знаке равно. Наконец, перечислим основные свойства равенств и для наглядности приведем примеры.
Навигация по странице.
Что такое равенство?
Понятие равенства неразрывно связано со сравнением – сопоставлением свойств и признаков с целью выявлением схожих черт. А сравнение в свою очередь предполагает наличие двух предметов или объектов, один из которых сравнивается с другим. Если, конечно, не проводить сравнение предмета с самим собой, и то, это можно рассматривать как частный случай сравнения двух предметов: самого предмета и его «точной копии».
Из приведенных рассуждений понятно, что равенство не может существовать без наличия, по крайней мере, двух объектов, иначе нам просто нечего будет сравнивать. Понятно, что можно взять три, четыре и большее число объектов для сравнения. Но оно естественным образом сводится к сравнению всевозможных пар, составленных из этих объектов. Иными словами, оно сводится к сравнению двух объектов. Итак, равенство требует два объекта.
Суть понятия равенства в самом общем смысле наиболее отчетливо передается словом «одинаковые». Если взять два одинаковых объекта, то о них можно сказать, что они равные. В качестве примера приведем два равных квадрата 
и . Отличающиеся объекты, в свою очередь, называют неравными.
Из предыдущего примера для себя отметим, что нужно наперед знать, о равенстве чего именно мы говорим.
Все приведенные рассуждения применяются и к равенствам в математике, только здесь равенство относится к математическим объектам. То есть, изучая математику, мы будем говорить о равенстве чисел, равенстве значений выражений, равенстве каких-либо величин, например, длин, площадей, температур, производительностей труда и т.п.
Запись равенств, знак равно
Пришло время остановиться на правилах записи равенств. Для этого используется знак равно (его также называют знаком равенства), который имеет вид =, то есть, представляет собой две одинаковые черточки, расположенные горизонтально одна над другой. Знак равно = считается общепринятым.
Стоит отметить, что в математике рассмотренные записи равенств часто используют как определение равенства.
Записи, в которых используется знак равно, разделяющий два математических объекта (два числа, выражения и т.п.), называют равенствами.
Верные и неверные равенства
Записанные равенства могут отвечать смыслу понятия равенства, а могут и противоречить ему. В зависимости от этого равенства подразделяются на верные равенства и неверные равенства. Разберемся с этим на примерах.
Свойства равенств
Отдельно стоит отметить заслугу второго и третьего свойств равенств – свойств симметричности и транзитивности – в том, что они позволяют говорить о равенстве трех и большего числа объектов через их попарное равенство.
Двойные, тройные равенства и т.д.
В виде таких цепочек равенств удобно оформлять пошаговое решение примеров и задач, при этом решение выглядит кратко и видны промежуточные этапы преобразования исходного выражения.