Что значит сосчитать элементы конечного множества

Количественные натуральные числа. Счет

Аксиоматическая теория описывает натуральное число как элемент бесконечного ряда, в котором числа располагаются в определенном порядке, существует первое число и т.д. Другими словами, в аксиоматике раскрывается порядковый смысл натурального числа. Но натуральные числа имеют и количественный смысл. Чтобы выяснить, как связаны между собой эти два смысла натурального числа, рассмотрим такие понятия, как отрезок натурального ряда, конечное множество, счет, и другие.

Определение. Отрезком Nа натурального ряда называется множество натуральных чисел, не превосходящих натурального числа а.

Используя запись множества, для элементов которого указано характеристическое свойство, можно записать, что Nа = <х\ х Î N и х £ а>.

Отметим два важных свойства отрезков натурального ряда.

1) Любой отрезок Nа содержит единицу. Это свойство вытекает из определения отрезка Nа.

2) Если число х содержится в отрезке Nа и х ¹ а, то и непосредственно следующее за ним число х+1 также содержится в Nа.

2. Докажите, что множество В конечное, если:

в) В — множество букв в учебнике математики.

3. Прочитайте записи n(А) = 5; n(А) = 7. Приведите примеры множеств, содержащих указанное число элементов.

4. Что значит сосчитать элементы конечного множества? Сформу­лируйте правила, которые должны соблюдать учащиеся при счете предметов и которые вытекают из определения счета элементов ко­нечного множества.

69. Основные выводы § 14

В этом параграфе мы рассмотрели подход к построению системы на­туральных чисел, основанный на аксиоматике Пеано. При этом подходе натуральное число определяется как элемент множества, на котором задано отношение «непосредственно следовать за», удовлетворяющее аксиомам Пеано. Несмотря на определенную абстрактность, при дан­ном подходе хорошо раскрывается суть натурального числа, он соот­ветствует историческому процессу развития понятия числа в практике.

Кроме понятия числа, мы определили понятия четырех арифметических действий, отношения «меньше», отрезка натурального ряда, конечного множества, числа элементов множества, счета.

Нами доказаны основные свойства сложения, умножения, вычитания и деления.

Мы установили, что всякое натуральное число, рассматриваемое в аксиоматической теории как порядковое, может иметь и количественный смысл, если является характеристикой численности некоторого конечного множества.

Дата добавления: 2016-05-11 ; просмотров: 3846 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Источник

Контрольные вопросы для самоконтроля по усвоению теоретического материала, здесь же предлагается комплекс упражнений для самостоятельной работы

Теорема 1. Одно и то же множество А не может быть взаимно од­нозначно отображено на два различных отрезка натурального ряда чисел.

Взаимно однозначное отображение множества А на отрезок N_a можно понимать как нумерацию элементов множества А: А N_a

Этот процесс нумерации называют СЧЕТОМ.

При пересчете элементы конечного множества А не только расставляются в определенном порядке (при этом используются порядковые натуральные числа, выражаемые числительными «первый» «второй», «третий» и так далее), но и устанавливается также, сколько элементов содержит множество А (при этом используются количес­твенные натуральные числа, выражаемые числительными «один» «два», «три» и так далее.).

Тесная связь порядкового и количественного натурального числа нашла отражение и в начальном обучении математике. С этими чис­лами учащиеся знакомятся уже при изучении чисел первого десятка. Происходит это при счете элементов различных множеств.

Объясните смысл равенств: п(А) = 3; n(B) = 0. Приведите примеры множеств А и В, удовлетворяющих этим условиям.

n(A) = 3 – число элементов (количество элементов) множества А равно трем. В качестве множества А можно взять множество сторон треугольника, углов треугольника, высот треугольника, п(В)=0 – чис­ло (количество) элементов множества В равно нулю, В – пустое мно­жество. Например, В – множество действительных решений уравнения х 2 +1 = 0.

351. Докажите, что отношение «равенства» на множестве натуральных чисел является отношением эквивалентности.

352. Докажите, что отношение «меньше» на множестве натуральных чисел является отношением строгого линейного порядка.

353. Дайте теоретико-множественную трактовку отношения порядка «больше». Каков теоретико-множественный смысл свойства транзитивности этого отношения?

354. Прочитайте предложения: п(А) = 4; п(В) = 1. Приведите примеры множеств А и В, удовлетворяющих этим условиям.

356. Используя теоретико-множественную трактовку отношения «меньше», покажите, что:

а) 4 2. СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ЦЕЛЫХ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ.
Пусть а = п(А); b= п(В).

Определение 16. Суммой чисел а и b называют количество эле­ментов в объединении непересекающихся множеств А и В. а + b = п(А В), если А  В = .
Так как А  В = , то п(А В)= п(А) + п(В)

(для любых множеств А и В п(А В) = п(А) + п(В) – n(А  В)).

Теорема. Сумма двух любых целых неотрицательных чисел всегда существует и определена однозначно.

Определение 6. Операция по нахождению суммы целых неотри­цательных чисел называется операцией сложения.

Определение 7.Разностью чисел а и b называется количество элементов разности множеств А и В при условии В  А.

А

Определение 8. Разностью чисел а и b называют число с, если оно существует, такое, что а = b + с, а – в = с а = в + с

Определение 9. Операция по нахождению разности целых не­отрицательных чисел называется операцией вычитания.

Дадим теоретико-множественное истолкование числовых выра­жений, записанных в левой и правой частях этого числового раве­нства. Пусть

Используя диаграммы Эйлера-Венна, множества А, В и С можно изобразить так:

Пользуясь свойством ассоциативности операции объединения множеств, получаем

(равные множества имеют и равное число элементов).

2. Рассмотрим один из способов вычитания, например (а + b)–с =(а – с)+b, если а>с. Пусть а = п(А); b= п(В); с = п(С). Дадим теоре­тико-множественное истолкование числовых выражений, запи­санных в левой и правой частях этого числового равенства. Для левой части равенства получим:

Используя диаграммы Эйлера-Венна, множества А и В можно изобразить так:

Множество С может быть подмножеством А или В. Рассмотрим случай, когда С  А.

В правой части равенства получим:

а – с = п(А\C, т.к. С  А, (а – с) + b = п((А\С)  В), если (А\С) B = .
В этом случае множества изображаются так:

В

В левой части равенства круг для множества С расположен внутри круга для множества А.

Можно доказать, что (А  В) \ С = (А \ С)  В. Так как равные множества имеют равное число элементов, получаем:

п((А В)\С) = п((А \С)  В) => (а + b) – с = (а – с) + b.

Переведем условие и вопрос задач на язык теории множеств.

1. Пусть А – множество белых грибов, которые собрала Оля, по условию задачи п(А) = 2;

В – множество подосиновиков, которые собрала Оля, по условию задачи п(В)=5;

Множество С являетсяобъединением множеств А и В; С = А В, причем А B = .

Оля собрала 7 грибов.

Эта задача на уяснение конкретного смысла сложения натураль­ных чисел.

2. Пусть А – множество шариков, которые были у Тани, по условию задачи п(А) = 5;

В – множество шариков, которые Таня отдала Лене, по условию задачи п(В)=2;

Выразим множество С через множества А и В.

С В

У Тани осталось три шарика.

Эта задача на уяснение смысла действия вычитания натуральных чисел.
Задача 5

Переведем условие и вопрос задач на язык теории множеств.

А и тогда n(B₁) = п(А)= 3; В₂ – множество шаров у Тани, которых у Кати нет. По условию задачи п(В₂) = 1, т.к. у Тани на 1 шар больше.

Изобразим схематически множества и выразим множество В че­рез вспомогательные множества.

А –

В –

У Тани было 4 шара.

Эта задача на смысл отношения «больше на. ».

Елей на три меньше, чем берез, т.е. елей столько же, сколько бе­рез, но без трех. Введем в рассмотрение вспомогательные мно­жества:

B₁– множество елей в парке, которых было бы столько же, сколько берез, т.е. В₁

Изобразим схематически множества и выразим множество В через вспомогательные множества.

В₁ –

Эта задача на смысл отношения «меньше на. ».

3. Пусть А – множество книг на верхней полке, число их равно 9, т.е. п(А) = 9;

В – множество книг на нижней полке, число их равно 5, т.е. п(В) = 5;

Введем в рассмотрение вспомогательные множества:

А₁ – множество книг на верхней полке, в котором их столько же, сколько на нижней, т.е. A₁

Изобразим схематически множества и выразим множество А₂через другие множества.

А –

На верхней полке на четыре книги больше, чем на нижней.

Источник

Множество и его элементы. Подмножества

Понятие множества

Что такое «множество», мы понимаем интуитивно. В этом смысле это понятие первично, так же как «точка» или «плоскость».

Создатель теории множеств Г.Кантор описывал множество как «многое, мыслимое нами как единое».

Приведём примеры множеств:

Множество людей в салоне самолёта

Множество деревьев в парке

Множество планет Солнечной системы

Множество электронов в атоме

Множество натуральных чисел

Множество «синих-синих презелёных красных шаров»

Конечное, бесконечное и пустое множества

Людей в салоне самолёта легко посчитать, это множество конечно.

С деревьями в парке, планетами и электронами – сложней. Скорее всего, мы не сможем назвать точное количество элементов этих множеств в данный момент времени. Однако, и эти множества конечны.

Натуральное число – это идеальный объект, абстракция. Множество натуральных чисел бесконечно. Как оказалось, человек может оперировать и абстракциями, и бесконечностями.

Можно себе представить даже то, «чего на свете вообще не может быть». Поскольку таких объектов нет, их множество будет пустым. Пустое множество является частью любого другого множества.

Помидоры на грядке

Числа (натуральные, рациональные, действительные и т.д.)

Количество рациональных чисел на отрезке [0;1]

Полосатые летающие слоны

Все точки пересечения двух параллельных прямых на плоскости

Способы задания множеств

1) Перечисление – в списке задаются все элементы множества.

Множество всех континентов Земли:

Множество букв слова «математика»:

Множество натуральных чисел меньших 5:

2) Характеристическое свойство – указывается особенность элементов множества.

D = – множество всех материков планеты Земля

3) Графическое изображение – визуальное моделирование с помощью различных диаграмм (круги Эйлера, интервалы, графики и т.п.)

Подмножества

Говорят, что B содержит A, или B покрывает A.

Пустое множество является подмножеством любого множества.

Множество людей является подмножеством приматов, живущих на Земле.

Множество квадратов является подмножеством прямоугольников.

Множество всех подмножеств данного множества A называют булеаном или степенью множества A.

Примеры

Пример 1. Запишите данное множество с помощью перечисления элементов:

Задано множество целых чисел, квадрат которых меньше 5. Перечисляем:

Задано множество целых чисел, модуль которых не больше 3. Перечисляем:

Задано множество рациональных чисел, являющихся корнями уравнения

(x-1)(2x+5) = 0. Перечисляем:

Пример 2. Запишите данное множество с помощью характеристического свойства:

а) Множество всех натуральных чисел меньше 10

б) Множество всех действительных чисел, кроме 0

в) Множество всех точек с целыми координатами, принадлежащих прямой y = 2x+1

Пример 3. Изобразите на графике в координатной плоскости данное множество:

Задано конечное множество точек, которое можно представить перечислением:

Пример 4. Укажите и запишите с помощью перечисления одно из непустых конечных подмножеств для данного множества:

Источник

Количественные натуральные числа. Счет

Аксиоматическая теория описывает натуральное число как элемент бесконечного ряда, в котором числа располагаются в определенном порядке, существует первое число и т.д. Другими словами, в аксиоматике раскрывается порядковый смысл натурального числа. Но натуральные числа имеют и количественный смысл. Чтобы выяснить, как связаны между собой эти два смысла натурального числа, рассмотрим такие понятия, как отрезок натурального ряда, конечное множество, счет, и другие.

Определение. Отрезком N_a натурального ряда называется множество натуральных чисел, не превосходящих натурального числа а.

Используя запись множества, для элементов которого указано характеристическое свойство, можно записать, что N_a = <х | х Î N и х£а>.

Отметим два важных свойства отрезков натурального ряда.

1)Любой отрезок N_a содержит единицу.Это свойство вытекает из определения отрезка N_a.

2)Если число х содержится в отрезке N_а и x ¹ а, то и непосредственно следующее за ним число x+1 также содержится в N_a.

Определение. Установление взаимно однозначного соответствия между элементами непустого конечного множества А и отрезками натурального ряда называется счетом элементов множества А.

Так как всякое непустое конечное множество равномощно только одному отрезку натурального ряда, то число элементов, т.е. результат счета не зависит от того, в каком порядке будут пересчитываться элементы множества. Поэтому можно какому-либо элементу множества А поставить в соответствие число 1 и больше этот элемент не рассматривать. Затем какому-либо из оставшихся элементов сопоставить число 2 и больше его не рассматривать. Продолжая это построение по следнему оставшемуся элементу мы поставим в соответствие число а.

Таким образом, всякое натуральное число а можно рассматривать как характеристику численности некоторого конечного множества А. Натуральное число а имеет при этом количественный смысл.

Упражнения

1.Можно ли назвать отрезком натурального ряда множество:

2. Докажите, что множество В конечное, если:

3.Прочитайте записи: п(А) = 5; п(А) = 7. Приведите примеры множеств, содержащих указанное число элементов.

4.Что значит сосчитать элементы конечного множества? Сформулируйте правила, которые должны соблюдать учащиеся при счете предметов и которые вытекают из определения счета элементов конечного множества.

§15 ТЕОРЕТИКО-МНОЖЕСТВЕННЫЙ СМЫСЛ НАТУРАЛЬНОГО ЧИСЛА, НУЛЯ И ОПЕРАЦИЙ НАД ЧИСЛАМИ

Введя понятие отрезка натурального ряда, мы выяснили, что счет элементов конечного множества приводит к числу количественному. Используя теоретико-множественные понятия, можно разъяснить смысл количественного натурального числа, не связывая его со счетом. Сделаем это в рамках так называемого теоретико-множественного подхода к числу. Учителю начальных классов знание этого подхода поможет понять, как построены те курсы начальной математики, которые основаны на теоретико-множественной модели системы натуральных чисел, используемой явно или неявно.

70. Теоретико-множественный смысл натурального числа, нуля и отношения «меньше»

Как было установлено ранее, количественное натуральное число а получается в результате счета элементов конечного множества А: а = п(А). Это же число а может быть получено и при пересчете элементов другого множества, например, В. Но если а = п(В), то множества А и В равномощны, поскольку содержат поровну элементов.

Так как любому непустому конечному множеству соответствует только одно натуральное число, то вся совокупность конечных множеств разбивается на классы равномощных множеств. В одном классе будут содержаться все одноэлементные множества, в другом – двухэлементные и т.д. Множества одного класса различны по своей природе, но все они содержат одинаковое число элементов. И это число можно рассматривать как общее свойство класса конечных равномощных множеств.

Так как каждый класс равномощных конечных множеств однозначно определяется выбором какого-нибудь его представителя, то о натуральном числе «три» можно сказать, что это общее свойство класса множеств, равномощных, например, множеству сторон треугольника, а о натуральном числе «четыре», что это общее свойство класса множеств, равномощных, например, множеству вершин квадрата.

Число «нуль» с теоретико-множественных позиций рассматривается как число элементов пустого множества: 0 =п(Æ).

Итак, натуральное число а как характеристику количества можно рассматривать с двух позиций:

1)как число элементов в множестве А, получаемое при счете, т.е. а = п(А), причем А

2)как общее свойство класса конечных равномощных множеств.

Установленная связь между конечными множествами и натуральными числами позволяет дать теоретико-множественное истолкование отношения «меньше».

В аксиоматической теории это отношение определено следующим образом:

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Источник