Что значит сосчитать элементы конечного множества сформулируйте правила которые должны соблюдать

Контрольные вопросы для самоконтроля по усвоению теоретического материала, здесь же предлагается комплекс упражнений для самостоятельной работы

Теорема 1. Одно и то же множество А не может быть взаимно од­нозначно отображено на два различных отрезка натурального ряда чисел.

Взаимно однозначное отображение множества А на отрезок N_a можно понимать как нумерацию элементов множества А: А N_a

Этот процесс нумерации называют СЧЕТОМ.

При пересчете элементы конечного множества А не только расставляются в определенном порядке (при этом используются порядковые натуральные числа, выражаемые числительными «первый» «второй», «третий» и так далее), но и устанавливается также, сколько элементов содержит множество А (при этом используются количес­твенные натуральные числа, выражаемые числительными «один» «два», «три» и так далее.).

Тесная связь порядкового и количественного натурального числа нашла отражение и в начальном обучении математике. С этими чис­лами учащиеся знакомятся уже при изучении чисел первого десятка. Происходит это при счете элементов различных множеств.

Объясните смысл равенств: п(А) = 3; n(B) = 0. Приведите примеры множеств А и В, удовлетворяющих этим условиям.

n(A) = 3 – число элементов (количество элементов) множества А равно трем. В качестве множества А можно взять множество сторон треугольника, углов треугольника, высот треугольника, п(В)=0 – чис­ло (количество) элементов множества В равно нулю, В – пустое мно­жество. Например, В – множество действительных решений уравнения х 2 +1 = 0.

351. Докажите, что отношение «равенства» на множестве натуральных чисел является отношением эквивалентности.

352. Докажите, что отношение «меньше» на множестве натуральных чисел является отношением строгого линейного порядка.

353. Дайте теоретико-множественную трактовку отношения порядка «больше». Каков теоретико-множественный смысл свойства транзитивности этого отношения?

354. Прочитайте предложения: п(А) = 4; п(В) = 1. Приведите примеры множеств А и В, удовлетворяющих этим условиям.

356. Используя теоретико-множественную трактовку отношения «меньше», покажите, что:

а) 4 2. СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ЦЕЛЫХ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ.
Пусть а = п(А); b= п(В).

Определение 16. Суммой чисел а и b называют количество эле­ментов в объединении непересекающихся множеств А и В. а + b = п(А В), если А  В = .
Так как А  В = , то п(А В)= п(А) + п(В)

(для любых множеств А и В п(А В) = п(А) + п(В) – n(А  В)).

Теорема. Сумма двух любых целых неотрицательных чисел всегда существует и определена однозначно.

Определение 6. Операция по нахождению суммы целых неотри­цательных чисел называется операцией сложения.

Определение 7.Разностью чисел а и b называется количество элементов разности множеств А и В при условии В  А.

А

Определение 8. Разностью чисел а и b называют число с, если оно существует, такое, что а = b + с, а – в = с а = в + с

Определение 9. Операция по нахождению разности целых не­отрицательных чисел называется операцией вычитания.

Дадим теоретико-множественное истолкование числовых выра­жений, записанных в левой и правой частях этого числового раве­нства. Пусть

Используя диаграммы Эйлера-Венна, множества А, В и С можно изобразить так:

Пользуясь свойством ассоциативности операции объединения множеств, получаем

(равные множества имеют и равное число элементов).

2. Рассмотрим один из способов вычитания, например (а + b)–с =(а – с)+b, если а>с. Пусть а = п(А); b= п(В); с = п(С). Дадим теоре­тико-множественное истолкование числовых выражений, запи­санных в левой и правой частях этого числового равенства. Для левой части равенства получим:

Используя диаграммы Эйлера-Венна, множества А и В можно изобразить так:

Множество С может быть подмножеством А или В. Рассмотрим случай, когда С  А.

В правой части равенства получим:

а – с = п(А\C, т.к. С  А, (а – с) + b = п((А\С)  В), если (А\С) B = .
В этом случае множества изображаются так:

В

В левой части равенства круг для множества С расположен внутри круга для множества А.

Можно доказать, что (А  В) \ С = (А \ С)  В. Так как равные множества имеют равное число элементов, получаем:

п((А В)\С) = п((А \С)  В) => (а + b) – с = (а – с) + b.

Переведем условие и вопрос задач на язык теории множеств.

1. Пусть А – множество белых грибов, которые собрала Оля, по условию задачи п(А) = 2;

В – множество подосиновиков, которые собрала Оля, по условию задачи п(В)=5;

Множество С являетсяобъединением множеств А и В; С = А В, причем А B = .

Оля собрала 7 грибов.

Эта задача на уяснение конкретного смысла сложения натураль­ных чисел.

2. Пусть А – множество шариков, которые были у Тани, по условию задачи п(А) = 5;

В – множество шариков, которые Таня отдала Лене, по условию задачи п(В)=2;

Выразим множество С через множества А и В.

С В

У Тани осталось три шарика.

Эта задача на уяснение смысла действия вычитания натуральных чисел.
Задача 5

Переведем условие и вопрос задач на язык теории множеств.

А и тогда n(B₁) = п(А)= 3; В₂ – множество шаров у Тани, которых у Кати нет. По условию задачи п(В₂) = 1, т.к. у Тани на 1 шар больше.

Изобразим схематически множества и выразим множество В че­рез вспомогательные множества.

А –

В –

У Тани было 4 шара.

Эта задача на смысл отношения «больше на. ».

Елей на три меньше, чем берез, т.е. елей столько же, сколько бе­рез, но без трех. Введем в рассмотрение вспомогательные мно­жества:

B₁– множество елей в парке, которых было бы столько же, сколько берез, т.е. В₁

Изобразим схематически множества и выразим множество В через вспомогательные множества.

В₁ –

Эта задача на смысл отношения «меньше на. ».

3. Пусть А – множество книг на верхней полке, число их равно 9, т.е. п(А) = 9;

В – множество книг на нижней полке, число их равно 5, т.е. п(В) = 5;

Введем в рассмотрение вспомогательные множества:

А₁ – множество книг на верхней полке, в котором их столько же, сколько на нижней, т.е. A₁

Изобразим схематически множества и выразим множество А₂через другие множества.

А –

На верхней полке на четыре книги больше, чем на нижней.

Источник

Задания для экзамена, проверяющего усвоение знаний и умений студентов по ПМ.01 МДК 04 Теоретические основы начального курса математики с методикой преподавания

Задания для экзамена, проверяющего усвоение знаний и умений студентов по ПМ.01 МДК 04 Теоретические основы начального курса математики с методикой преподавания

(Выписка из комплекта КОС по ПМ 01 МДК 04 Теоретические основы начального курса математики с методикой преподавания программы подготовки специалистов среднего звена (ППССЗ) по специальности СПО 44.02.02 Преподавание в начальных классах)

Преподаватель: Давыдова Э.В.

— требования образовательного стандарта начального общего образования и примерные программы начального общего образования;

— программы и учебно-методические комплекты для начальной школы;

— воспитательные возможности урока в начальной школе;

— методы и приемы развития мотивации учебно-познавательной деятельности на уроке математики;

— содержание основ начального курса математики и методику их преподавания начального курса математики;

-требования к содержанию и уровню подготовки младших школьников;

.-основы оценочной деятельности учителя начальных классов, критерии выставления отметок и виды учета успеваемости обучающихся;

.-логику анализа уроков;

— находить и использовать методическую литературу и др. источники информации, необходимой для подготовки к урокам;

— определять цели и задачи урока, планировать его с учетом особенностей учебного предмета, возраста, класса, отдельных обучающихся и в соответствии с санитарно-гигиеническими нормами;

— использовать различные средства, методы и формы организации учебной деятельности обучающихся на уроке математики, строить его с учетом особенностей учебного предмета, возраста и уровня подготовленности обучающихся;

— использовать технические средства обучения (ТСО) в образовательном процессе;

-проводить педагогический контроль на уроке математики, осуществлять отбор контрольно-измерительных материалов, форм и методов диагностики результатов обучения;

-осуществлять самоанализ и самоконтроль при проведении урока математики;.-анализировать процесс и результаты педагогической деятельности и обучения по математике,

-осуществлять самоанализ, самоконтроль при проведении уроков.

Время выполнения заданий : 1ч.30 мин.

Тестовые задания для 1 варианта

1.Пусть а = n (А); в = n (В). Суммой целых неотрицательных чисел а и в называется :

а) число элементов декартова произведения множеств А и В;

б) число элементов в пересечении множеств В и А, при условии: В подмножествоА;

в) число элементов в объединении непересекающихся множеств А и В;

г) число элементов в дополнении множества В до множества А при условии: В подмножество А.

Задача«В корзине было 7 морковок, 3 из них отдали кроликам. Сколько морковок осталось в корзине» решается вычитанием, т.к. в ней находится число элементов в:

а) пересечении двух конечных множеств А и В;

б) дополнении множества В до множества А (при условии В А);

в) объединении двух конечных непересекающихся множеств А и В.

Обобщением различных способов решения задачи

«В коробке лежало 12 зеленых и 20 красных хлопушек. Все хлопушки раздали детям, по 4 каждому. Сколько ребят получили хлопушки?» является правило:

а) умножения суммы чисел на число;

б) деления суммы чисел на число;

в) перестановки слагаемых;

г) деления числа на произведение.

Отрезком натурального ряда чисел является множество:

Натуральное число это:

а) свойство конечного множества;

б) общее свойство конечных множеств;

в) общее свойство класса конечных равномощных множеств.

Каждые три цифры в записи числа образуют:

Высшим классом в числе 712 340 500 является класс:

б) десятков миллионов;

IV разряд в записи числа это разряд:

В числе 35847 всего десятков:

Тема урока, на котором знакомятся с тройками примеров вида

4 + 2 = 6 4 + 3 = 1 + 2 =

б) связь между компонентами и результатом действия вычитания;

в) связь между компонентами и результатом действия сложения.

Теоретико-множественный смысл произведения целых неотрицательных

чисел раскрывается при решении задачи:

а) У Пети 3 марки, а у Коли в 2 раза больше. Сколько марок у Коли?

б) У школы посадили липы и березы. Берез посадили 4, это в 2 раза меньше, чем посадили лип. Сколько лип посадили?

в) На 3 вазы положили по 8 яблок. Сколько всего яблок на вазах?

12. Разбиение на 4 этапа изучения сложения и вычитания в пределах чисел первого десятка связано с:

а) нарастанием трудности вычислительных приемов;

б) разной теоретической основой вычислительных приемов;

в) увеличением объема случаев для запоминания.

13.Табличные случаи вычитания вида 12-5 раскрываются на основе правила вычитания:

а) числа из суммы чисел;

б) суммы чисел из числа.

14.Табличные случаи сложения вида 9 + 3 раскрываются на основе правила прибавления:

а) числа к сумме чисел;

б) суммы чисел к числу.

15.При нахождении значения выражения 5 · (10 + 4) могут быть использованы свойства умножения:

в) распределительное, относительно сложения.

16.Исходя из различных определений отношения «меньше» 3 меньше 7, т.к.:

а) 3 при счете называют раньше 7;

б) множество, содержащее 3 элемента, является подмножеством множества, содержащего 7 элементов;

17. При нахождении значения выражения (8 · 379) · 125 могут быть использованы свойства умножения:

18. Проверить умножением можно решение примера:

19. Теоретической основой задания «Не выполняя деления, найди выражения, значения которых равны»

а) числа на частное чисел;

б) числа на произведение чисел;

в) суммы чисел на число;

г) числа на сумму чисел.

20. Теоретической основой задания «Верны ли равенства?

96:4:2 = 96: (4 * 2)», является свойство деления:

а) числа на частное чисел;

б) числа на произведение чисел;

в) суммы чисел на число;

г) числа на сумму чисел.

21. Устный прием вычислений в примере 34 + 20 опирается на правило:

а) прибавления числа к сумме чисел;

б) прибавления к числу суммы чисел.

22. Устный прием вычислений в примере 50 – 34 опирается на правило:

а) вычитания из числа суммы чисел;

б) вычитания числа из суммы чисел.

23. Устный прием вычислений в примере 72 : 6 опирается на правило:

а) деления суммы чисел на число;

б) деления числа на произведение чисел;

в) подбора частного, основанное на связи между компонентами и результатом умножения.

24. Устный прием вычислений в примере 38-7 опирается на правило:

а) вычитания из числа суммы чисел;

б) вычитания числа из суммы чисел.

25.Устный прием вычислений в примере 96 : 16 опирается на правило:

а) деления суммы чисел на число;

б) деления числа на произведение чисел;

в) подбора частного, основанное на связи между компонентами и результатом умножения.

26 Устный прием вычислений в примере 16 · 4 опирается на правило:

а) умножения суммы чисел на число;

б) умножения числа на произведение чисел.

а) внетабличного сложения и вычитания

б) табличного сложения и вычитания

в) табличного умножения и деления

а) нахождение суммы

б) увеличение числа на несколько единиц

в) разностное сравнение чисел

а) нахождение суммы двух чисел

б) нахождение суммы одинаковых слагаемых

в) деление на равные части

г) увеличение числа на несколько единиц

31. При решении задачи «В пруду плавали 12 гусей, а уток в 3 раза меньше. Сколько уток плавало в пруду?» можно использовать рисунок:

32. При решении задачи «12 апельсинов разложили на тарелки по 4 апельсина на каждую. Сколько потребовалось тарелок?» можно использовать рисунок:

33. При решении задачи « У Кости было 4 значка, а у Пети в 3 раза больше. Сколько значков было у Пети?» можно использовать рисунок:

34. При решении задачи « У кормушки было 8 птиц, 4 птицы прилетели. Сколько птиц стало у кормушки?» можно использовать рисунок:

ОООООООО ОООО ОООООООО ОООО

35. При решении задачи « У кормушки было 8 воробьев, а синиц на 4 больше. Сколько синиц было у кормушки?» можно использовать рисунок:

ОООООООО ОООО ОООООООО ОООО

36. Способом иллюстрации условия задачи «В детский сад привезли 20 кг муки. Из 4 кг муки испекли блины, а из 8 кг испекли булочки. Сколько килограммов муки осталось?» является:

д) краткая запись условия.

37. Способом иллюстрации условия задачи «Из куска ткани длиной 24 м в мастерской сшили 8 одинаковых костюмов. Сколько ткани потребуется на 16 таких же костюмов?» является:

д) краткая запись условия.

38. Способом иллюстрации условия задачи «9 кусков сахара разложили в стаканы по 2 куска в каждый. Сколько потребовалось стаканов и сколько кусков осталось?» является:

д) краткая запись условия.

39. Способом иллюстрации условия задачи «Два пешехода вышли одновременно навстречу друг другу из двух сел, расстояние между которыми 27 км. Скорость первого пешехода 4 км/ч, а второго 5 км/ч.Найдите расстояние между пешеходами через 2 часа.» является:

д) краткая запись условия.

1. Установите соответствие между текстом простой арифметической задачи и ее видом по классификации Бантовой М.И.:

1)Отец раздал 9 конфет 3 сыновьям поровну. Сколько конфет получил каждый сын?

2) Когда в сумку с капустой добавили еще кочан массой 3 кг,в сумке стало 12 кг капусты. Сколько кг капусты было в сумке до того, как положили этот кочан!

3) Один дом построили за 10 недель, а другой за 8 недель. На сколько больше затратили на строительство первого дома?

4) Неизвестное число умножили на 8 и получили 32. Найти неизвестное число.

5)Мама купила 8 кг картофеля, это на 2 кг больше, чем моркови. Сколько килограммов моркови купила мама?

а) задача на разностное сравнение

б)задача на деление на равные части

в)задача на деление по содержанию

г)задача на кратное сравнение

д)задача на нахождение неизвестного слагаемого

е)задача на нахождения суммы

ж)задача на нахождения неизвестного уменьшаемого

з)задача на нахождение неизвестного вычитаемого

и) нахождение неизвестного делимого

к)нахождение неизвестного первого множителя

л)нахождение неизвестного второго множителя

м) на уменьшение числа на несколько единиц в прямой форме

н) на увеличение числа на несколько единиц в прямой форме

о) на уменьшение числа на несколько единиц в косвенной форме

п) на увеличение числа на несколько единиц в косвенной форме

2.Установите соответствие между выражениями и знаками отношений

3. Соответствие между названием закона и его формулой:

а) распределительный закон умножения относительно сложения

б)переместительный закон умножения

в)сочетательный закон умножения

г)сочетательный закон сложения

д) переместительный закон сложения

е)свойство деления числа на произведение

4..Напиши все возможные способы вычисления значения выражения вида:

6. Правила, которые должны соблюдать учащиеся при счете предметов конечного множества:

7. При счете между элементами непустого конечного множества и отрезком натурального ряда чисел устанавливается ………… соответствие.

В гараже в 6 рядов стояло по 9 машин. Из каждого ряда выехало 8 машин. Выражения, составленные по условию задачи означают:

9. Обучение сложению и вычитанию в пределах чисел первого десятка проходит в четыре этапа:

10.В выражении а · в первый множитель а показывает ……….

11. Пусть а – число элементов множества А и множество А разбито на попарно непересекающиеся равномощные подмножества:

если в – число подмножеств в разбиении множества А, то а : в – это ………

Составьте технологическую карту первого урока по теме: «Сложение и вычитание в пределах десяти». (УМК «Школа России, Математика 1 класс,1 часть Моро М.И., с. )

— как учтены в нем психологические особенности первоклассника (особенности внимания, памяти, мышления)?

— Обоснуйте целесообразность используемых методов и приемов обучения.

При применении вычислительных приемов сложения и вычитания в пределах 100 дети допускают ошибки. В чем причина ошибок учащихся? Какую работу по предупреждению этих ошибок необходимо провести учителю?

50-36=50-(30+6)=(50-30)+6=26 54+2=74 64+30=97

56-30=(50+6)-30=(50-30)-6=14 57-40=53 76-20=50

С какой целью учитель может предложить учащимся следующие задания?

Замените примеры на умножение примерами на сложение и вычислите результат: 5*3, 3*2, 10*5, 2*7

По данным примерам составьте рисунки:

3.Сравните выражения, изобразив каждое рисунком:

Составьте задания, обратные данным.

Какие задания можно дать к следующим записям:

На каком этапе обучения делению с остатком полезны эти задания? Объясните методику работы над данными упражнениями.

Составьте фронтальную беседу для разбора задачи, сделайте рисунок или чертеж: «В декабре было 15 ясных дней. Это на 1 день меньше, чем пасмурных дней. Сколько пасмурных дней было в декабре?» К какому виду относится данная простая задача?

Представьте содержание задачи в виде рисунка, чертежа так, чтобы смысл описанного в ней отношения был понятен учащимся а) с высоким уровнем математической подготовки; б) с низким уровнем математической подготовки. Как построить работу с данной задачей для достижения педагогической цели: «Учить детей выражать отношения «больше в» с помощью числовых равенств»? Опишите соответствующий фрагмент урока.

У Вити было 8 марок, а у его брата в 2 раза больше. Сколько марок у брата?

Проанализируйте урок математики (показательный) в 1 классе по УМК «Гармония» по предложенной схеме . Какие УУД формирует учитель на различных этапах обучения.

Схема анализа урока математики

2. Основная дидактическая цель урока, тип урока.

3. Какой материал изучался на уроке, его соответствие программным требованиям.

4.Структура урока: основные этапы урока, их последовательность, логическая связь, соответствие структуры урока его содержанию и целям, распределение времени на основные этапы урока.

5.Методы и приемы обучения: какие методы были использованы на уроке при формировании ЗУНов, их эффективность и соответствие целям и содержанию; методические приемы при проведении устных упражнений, при работе над решением задач, эффективность использования этих методических приемов.

6. Какие виды учебных заданий использованы на уроке: тренировочные, частично-поисковые, творческие? Какие из них заслуживают положительной оценки?

7. Соответствуют ли учебные задания, подобранные учителем, цели урока? Какие функции выполняли задания, предложенные учителем: обучающую, развивающую, контролирующую?

8. Грамотно ли учитель использовал математическую терминологию, предлагал учащимся вопросы и задания?

9. Организация учебной работы на уроке: постановка целей работ на каждом этапе урока, чередование различных видов деятельности в течение урока, контроль и оценка работы детей, сочетание фронтальной и индивидуальной работы с детьми, включение приемов дифференцированного обучения, приемы установления рабочей дисциплины и доброжелательной атмосферы.

11. Результаты урока: выполнение образовательных, воспитательных и развивающих функций обучения. Удалось ли учителю установить контакт с детьми (обратная связь), успешно осуществлять коррекцию действий, создавая ситуацию успеха, реализовывать идею сотрудничества? Какие моменты урока заслуживают положительной оценки с этой точки зрения?

Источник