Что значит сократить дробь 6 класс

10.04.202210.04.2022 admin 0 Comments

Сокращение дробей. Что значит сократить дробь?

Сокращение дробей нужно для того, чтобы привести дробь к более простому виду, например, в ответе полученном в результате решения выражения.

Сокращение дробей, определение и формула.

Что такое сокращение дробей? Что значит сократить дробь?

Определение:
Сокращение дробей – это разделение у дроби числитель и знаменатель на одно и то же положительное число не равное нулю и единице. В итоге сокращения получается дробь с меньшим числителем и знаменателем, равная предыдущей дроби согласно основному свойству рациональных чисел.

Формула сокращения дробей основного свойства рациональных чисел.

Рассмотрим пример:
Сократите дробь \(\frac<9><15>\)

Решение:
Мы можем разложить дробь на простые множители и сократить общие множители.

Ответ: после сокращения получили дробь \(\frac<3><5>\). По основному свойству рациональных чисел первоначальная и получившееся дробь равны.

Как сокращать дроби? Сокращение дроби до несократимого вида.

Чтобы нам получить в результате несократимую дробь, нужно найти наибольший общий делитель (НОД) для числителя и знаменателя дроби.

Есть несколько способов найти НОД мы воспользуемся в примере разложением чисел на простые множители.

Получите несократимую дробь \(\frac<48><136>\).

Решение:
Найдем НОД(48, 136). Распишем числа 48 и 136 на простые множители.
48=2⋅2⋅2⋅2⋅3
136=2⋅2⋅2⋅17
НОД(48, 136)= 2⋅2⋅2=6

Правило сокращения дроби до несократимого вида.

Пример:
Сократите дробь \(\frac<152><168>\).

Решение:
Найдем НОД(152, 168). Распишем числа 152 и 168 на простые множители.
152=2⋅2⋅2⋅19
168=2⋅2⋅2⋅3⋅7
НОД(152, 168)= 2⋅2⋅2=6

Ответ: \(\frac<19><21>\) несократимая дробь.

Сокращение неправильной дроби.

Как сократить неправильную дробь?
Правила сокращения дробей для правильных и неправильных дробей одинаковы.

Рассмотрим пример:
Сократите неправильную дробь \(\frac<44><32>\).

Решение:
Распишем на простые множители числитель и знаменатель. А потом общие множители сократим.

Сокращение смешанных дробей.

Смешанные дроби по тем же правилам что и обыкновенные дроби. Разница лишь в том, что мы можем целую часть не трогать, а дробную часть сократить или смешанную дробь перевести в неправильную дробь, сократить и перевести обратно в правильную дробь.

Рассмотрим пример:
Сократите смешанную дробь \(2\frac<30><45>\).

Решение:
Решим двумя способами:
Первый способ:
Распишем дробную часть на простые множители, а целую часть не будем трогать.

Второй способ:
Переведем сначала в неправильную дробь, а потом распишем на простые множители и сократим. Полученную неправильную дробь переведем в правильную.

Вопросы по теме:
Можно ли сокращать дроби при сложении или вычитании?
Ответ: нет, нужно сначала сложить или вычесть дроби по правилам, а только потом сокращать. Рассмотрим пример:

Решение:
Часто допускают ошибку сокращая одинаковые числа в числителе и знаменателе в нашем случаем число 20, но их сокращать нельзя пока не выполните сложение и вычитание.

На какие числа можно сокращать дробь?
Ответ: можно сокращать дробь на наибольший общий делитель или обычный делитель числителя и знаменателя. Например, дробь \(\frac<100><150>\).

Распишем на простые множители числа 100 и 150.
100=2⋅2⋅5⋅5
150=2⋅5⋅5⋅3
Наибольшим общим делителем будет число НОД(100, 150)= 2⋅5⋅5=50

Получили несократимую дробь \(\frac<2><3>\).

Но необязательно всегда делить на НОД не всегда нужна несократимая дробь, можно сократить дробь на простой делитель числителя и знаменателя. Например, у числа 100 и 150 общий делитель 2. Сократим дробь \(\frac<100><150>\) на 2.

Получили сократимую дробь \(\frac<50><75>\).

Какие дроби можно сокращать?
Ответ: сокращать можно дроби у которых числитель и знаменатель имеют общий делитель. Например, дробь \(\frac<4><8>\). У числа 4 и 8 есть число, на которое они оба делятся это число 2. Поэтому такую дробь можно сократить на число 2.

Пример:
Сравните две дроби \(\frac<2><3>\) и \(\frac<8><12>\).

Эти две дроби равны. Рассмотрим подробно дробь \(\frac<8><12>\):

Две дроби равны тогда и только тогда, когда одна из них получена путем сокращения другой дроби на общий множитель числителя и знаменателя.

Пример:
Сократите если возможно следующие дроби: а) \(\frac<90><65>\) б) \(\frac<27><63>\) в) \(\frac<17><100>\) г) \(\frac<100><250>\)

Источник

Сокращение дробей – примеры, правила, формулы (6 класс, математика)

Сокращение дробей тема достаточно трудная для математики 6 класса, поэтому разбирать ее стоит поэтапно. Чтобы не допускать ошибок, первые сокращения лучше делать так же, поэтапно. Приведем алгоритм, чтобы не допускать ошибок и научится быстро и просто сокращать любые дроби.

Алгоритм сокращения дробей.

Сначала нужно сказать, что само сокращение дробей возможно благодаря одному из определений дроби.

Дробь – это незавершенная операция деления. Имеется в виде, что всегда любую дробь можно заменить частным. Замена дробью нужна, чтобы сохранить точность вычислений.

Посмотрим, как выглядит подробное сокращение на примере:

Чтобы каждый раз не расписывать – это выражение, можно пользоваться правилом сокращения дробей: если умножить или разделить знаменатель на одно и тоже число, то значение дроби не измениться.

Теперь запишем сам алгоритм. Для того, чтобы сократить дробь нужно:

Вместо того, чтобы расписывать в качестве множителей числитель и знаменатель, можно просто найти НОД числителя и знаменателя. Это и будет максимально возможное число, на которое можно разделить оба значения.

Специальной формулы для сокращения любой дроби не существует, зато можно использовать правила, приведенные в этом алгоритме.

Как найти НОД?

Вспомним, как находится НОД:

Приведем пример.
Необходимо найти НОД чисел 150 и 294.

Пример

Мы не будем искать НОД, разложим числа на простые множители и найдем общие значения.

513216:2=256608 – в первую очередь число делится на 2. Чтобы число делилось на два, нужно, чтобы число единиц было четным.

256608:2=128304 – деление на 2 продолжается вплоть до момента, когда последняя цифра числа перестанет быть четной. После этого пробуем делить число на 3 и другие простые числа. Все простые числа есть в таблице простых чисел.

Источник

Основные сведения о сокращении дробей — правила и свойства сокращения

Что такое «сокращение дробей»

Сокращение дроби — деление ее числителя и знаменателя на какой-то общий делитель.

Условия для общего делителя:

Итогом сокращения является некая новая дробь, которая равна начальной дроби.

Основное свойство дроби

Ключевое свойство дроби: при умножении или делении числителя и знаменателя дроби на одинаковое натуральное число в результате получается дробь, которая равна начальной дроби.

Правило сокращения дробей

Сокращение дробей состоит в том, чтобы в результате получить в числителе и знаменателе минимальные из возможных чисел.

Смысл сокращения заключается в получении несократимой дроби. Для этого требуется разделить числитель и знаменатель на наибольший общий делитель ( Н О Д ). В итоге дробь будет преобразована в несократимую дробь.

a ÷ Н О Д ( a ; b ) b ÷ Н О Д ( a ; b )

Данная дробь является несократимой. Этот вывод сделан на основании свойства Н О Д :

Алгоритм сокращения

Сокращение любой обыкновенной дроби следует выполнять в соответствии со стандартным алгоритмом:

Секретом быстрого сокращения дроби является умение определять Н О Д для числителя и знаменателя. Хорошими помощниками в этом случае станут таблица умножения и навыки разложения чисел на простейшие множители.

При умножении всех общих множителей получается:

Н О Д для 36 и 84 равен 12.

Допускается последовательное сокращение числителя и знаменателя на общий делитель. Данная методика позволяет упростить сокращение дробей, на месте числителя и знаменателя в которых присутствуют крупные числа, а определенный ранее НОД вызывает сомнения.

Характерные примеры

Дана дробь, которую требуется сократить:

Заметим, что в условии задания записана обыкновенная дробь. Воспользуемся стандартным алгоритмом сокращения, то есть выполним деление числителя и знаменателя на общий делитель 3. Получим:

3 15 = 3 ÷ 3 15 ÷ 3 = 1 5

Нужно выполнить сокращение обыкновенной дроби:

Сократить дробь получится, если найти частное от деления числителя и общего делителя, знаменателя и общего делителя. Общим делителем является число 2. Получим:

4 16 = 4 ÷ 2 16 ÷ 2 = 2 8

Далее можно еще раз сократить дробь, то есть разделить числитель и знаменатель на число 2:

Нужно сократить дробь:

В первую очередь следует выполнить разложение чисел, которые записаны в числителе и знаменателе:

Можно исключить общие множители и найти произведение оставшихся:

135 180 = 3 2 × 2 = 3 4

Дана обыкновенная дробь, которую нужно сократить:

18 81 = 18 ÷ 9 81 ÷ 9 = 2 9

Требуется сократить дробь:

150 225 = 50 75 = 10 15 = 2 3

Дана дробь, которую требуется сократить:

Определим Н О Д путем разложения числителя и знаменателя, чтобы получить простые множители:

168 = 2 × 2 × 2 × 3 × 7

240 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5

Найдем произведение всех общих множителей:

Таким образом, Н О Д 168 и 240 составляет 24.

Далее следует разделить числитель и знаменатель дроби на Н О Д :

168 240 = 168 ÷ 24 240 ÷ 24 = 7 10

Нужно выполнить сокращение дроби:

Определим Н О Д путем разложения числителя и знаменателя на простые множители:

360 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5

540 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 5

Перемножим все общие множители, получим:

2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 180

В результате, Н О Д для 360 и 540 составит 180.

Далее необходимо разделить числитель и знаменатель дроби на Н О Д :

360 540 = 360 ÷ 180 540 ÷ 180 = 2 3

Привести дробь к несократимому виду:

420 = 2 × 2 × 3 × 5 × 7

2520 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 × 7

Произведение общих множителей равно:

2 × 2 × 3 × 5 × 7 = 420

В результате Н О Д для 420 и 2520 равен 420.

420 2520 = 420 ÷ 420 2520 ÷ 420 = 1 6

Привести дробь к несократимому виду:

1575 = 3 × 3 × 5 × 5 × 7

3450 = 2 × 3 × 5 × 5 × 23

Найдем произведение общих множителей:

Н О Д для 1575 и 3450 составляет 72.

Сократим дробь с помощью деления числителя и знаменателя дроби на НОД:

Источник

Сокращение дробей

С помощью дробей одну и ту же часть целого предмета можно записать разными способами.

Таким образом, все эти дроби равны.

Для удобства дополнительный множитель записывают на наклонной черте справа над дробью.

Вернёмся ещё раз к нашим дробям и запишем их в другом порядке.

Дробь, равную данной, можно получить, если числитель и знаменатель дроби одновременно разделить на одно и то же число, не равное нулю.

Такое преобразование дроби называют сокращением дроби.

Сокращение дроби обычно записывают следующим образом.

Числитель и знаменатель зачёркиваются чёрточками, и рядом с ними записываются результаты деления (частные) числителя и знаменателя на одно и то же число.

Число, на которое делили числитель и знаменатель, держим в уме.