Что значит сложить неравенства
Действия с неравенствами
Какие действия можно выполнять с неравенствами?
Неравенства вида a>b и c>d называются неравенствами одинакового смысла (одинакового знака, одноимённые).
Неравенства a>b и c
2) Неравенства противоположного смысла можно почленно вычитать, оставляя знак того неравенства из которого производится вычитание.
3) Неравенства одинакового смысла с положительными членами можно почленно умножать.
Для a>0, b>0, c>0, d>0, m>0, n>o
4) Неравенства противоположного смысла ч положительными членами можно почленно делить, оставляя знак того неравенства, которое является делимым.
Для a>0, b>0, c>0, d>0, m>0, n>o
5) Обе части неравенства с положительными членами можно возводить в одну и ту же натуральную степень.
b,\]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>
Верно и обратное: для a>0, b>o, k∈ N
b.\]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>
Почленное сложение неравенств и другие действия с неравенств используются как в алгебре, так и в геометрии.
Виды числовых неравенств и их решение
Числовые неравенства — что это в математике
Ранее на уроках алгебры математическая модель в разных реальных ситуациях представлялась в виде уравнения или системы уравнений. Однако нередко при решении задач можно столкнуться с понятием числовых неравенств. Объяснение этого термина заключается в том, что:
при а > b значение выражения (а−b) является положительным;
если а Определение 1
Закономерности сравнения чисел и числовых выражений:
Примеры сравнения чисел:
123 > 118, так как 123–118=5, a 5 > 0;
–15 > –65, так как –15–(–65)= –15+65=50, а 50 > 0
Числовые неравенства обладают рядом ключевых свойств:
Разберем несколько примеров, наглядно демонстрирующих действие перечисленных свойств числовых неравенств:
Запишем некое неравенство:
Умножим левую и правую части неравенства на число 10, которое является положительным, получим верное неравенство:
Рассмотрим следующее неравенство:
В результате получается верное неравенство:
Данное неравенство является верным. В качестве доказательства можно вспомнить третье свойство числовых неравенств.
Виды числовых неравенств
В зависимости от состава неравенства бывают:
Виды числовых неравенств:
Верное числовое неравенство:
Типы неравенств с переменными:
Неравенства также могут быть:
Действия с неравенствами, сложение и умножение
Неравенства одного знака или неравенства одинакового смысла являются математическими выражениями, которые соединены идентичными знаками неравенства.
Примеры неравенств одного знака:
Неравенства противоположных знаков или неравенства противоположных смыслов являются математическими выражениями, которые соединены неодинаковыми знаками неравенств.
Примеры неравенств противоположных знаков:
При решении задач допускается складывать неравенства почленно в том случае, когда выражения являются неравенствами одного знака:
В качестве примера попробуем найти сумму двух неравенств:
Согласно ранее записанному правилу, получим:
Примеры решения задач
Найти корни неравенства:
Выполним перенос слагаемых влево:
— ( x – 2 ) ( 3 x + 5 ) 0 ⇒ ( x – 2 ) ( 3 x + 5 ) > 0
При решении методом интервалов получим:
Необходимо решить следующее неравенство:
Воспользуемся формулой квадрата суммы:
x 2 + 34 x + 289 = ( x + 17 ) 2
Используя метод интервалов, найдем корни:
Дано неравенство, которое нужно решить:
Воспользуемся формулой квадрата разности:
С помощью метода интервалов определим:
Найти сумму двух неравенств:
Выполним сложение неравенств одного знака почленно:
Найти сумму двух неравенств:
Даны верные неравенства, произведение которых нужно найти:
Сложение и умножение числовых неравенств
Сложение и умножение числовых неравенств
Все разобранные выше свойства объединяет то, что сначала дано верное числовое неравенство, и из него посредствам некоторых манипуляций с частями неравенства и знаком получается другое верное числовое неравенство. Сейчас мы приведём блок свойств, в которых изначально дано не одно, а несколько верных числовых неравенств, а новый результат получается из их совместного использования после сложения или умножения их частей.
Указанное свойство справедливо и для умножения любого конечного числа верных числовых неравенств с положительными частями.
Заметим, что если в записи числовых неравенств содержатся неположительные числа, то их почленное умножение может приводить к неверным числовым неравенствам.
Следствие . Почленное умножение одинаковых верных неравенств вида с положительными a и b даёт верное числовое неравенство
В заключение, соберём все изученные свойства в таблицу свойств числовых неравенств:
если и – любое число, то
если – положительные числа,
Пусть и – положительные числа. Верно ли, что
Пусть и – отрицательные числа. Верно ли, что
Из данных неравенств выпишите те, которые верны при любом значении :
Сложите почленно неравенства:
Пусть – произвольное число. Сравнить с нулём значение выражения:
Докажите, что при любом а дробь принимает значение, большее или равное 2.
Докажите, что правильная дробь ( a и b – натуральные числа, ) увеличится при прибавлении к её числителю и знаменателю одного и того же положительного числа.
Докажите, что неправильная дробь ( a и b – натуральные числа, ) уменьшится при прибавлении к её числителю и знаменателю одного и того же положительного числа.
Первый велосипедист проехал из посёлка в город и возвратился обратно, двигаясь с постоянной скоростью. Второй велосипедист ехал в город со скоростью, на 2 км/ч большей скорости первого, а возвращался в посёлок со скоростью, на 2 км/ч меньшей, чем скорость первого велосипедиста. Кто из них затратил на весь путь больше времени?
Расстояние от турбазы до станции равно 18 км. Чтобы попасть на поезд, туристы должны были пройти это расстояние с определённой скоростью. Однако, половину пути они шли со скоростью на 1 км/ч меньше намеченной, а вторую половину пути – со скоростью на 1 км/ч больше намеченной. Успеют ли туристы попасть на поезд?
Оцените значение выражения:
Математика
Урок 1: Числовые неравенства и их свойства. Сложение и умножение числовых неравенств
Числовые неравенства и их свойства. Сложение и умножение числовых неравенств.
Пример 2. Сравним десятичные дроби 3,6748 и 3,675.
В зависимости от вида числа мы использовали тот или иной способ сравнения. Но есть универсальный способ сравнения, который охватывает все случаи.
Число а больше числа b, если разность а-b – положительное число; число а меньше числа b, если разность a-b – отрицательное число. Если разность а-b = 0, то числа а и b равны.
На координатной прямой большее число изображается точкой, лежащей правее, а меньшее – точкой, лежащей левее.
Рассмотрим некоторые свойства числовых неравенств.
Действительно, если разность a-b – положительное число, то разность b-a – отрицательное число, и наоборот.
Представим разность ас-bc в виде произведения: ас-bc = с(а-b).
Так как a 0, то произведение с(а-b) отрицательно, и, следовательно, ас bc.
Так как деление можно заменить умножением на число, обратное делителю, то аналогичное свойство справедливо и для деления.
Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство.
Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число и изменить знак неравенства на противоположный, то получится верное неравенство.
Приведем пример использования рассмотренных свойств неравенств.
Пример 5. Оценим периметр равностороннего треугольника со стороной а мм, если известно, что 54,2
Доказанные свойства используют для оценки суммы, разности, произведения и частного.
Свойства неравенств
Понятие числового неравенства и неравенства с одной переменной
Каждая из сторон числового неравенства является числом или числовым выражением.
Каждая из сторон неравенства с одной переменной является алгебраическим выражением с этой переменной.
Понятие «больше», «меньше», «равно» для двух выражений a и b связано с отношением разности этих двух выражений и нуля:
Свойства неравенства
Три основные свойства неравенства
Антирефлексивность для строгого неравенства
Рефлексивность для нестрогого неравенства
$a \gt a, a \lt a$ – ложные неравенства
$ <\left\< \begin
Свойства неравенства по отношению к основным математическим операциям
Сохранение знака при сложении
$ a \lt b \Rightarrow a+c \lt b+c$
Сохранение знака при вычитании
$ a \lt b \Rightarrow a-c \lt b-c$
Сохранение знака при умножении на положительное число
$ <\left\< \begin
Изменение знака при умножении на отрицательное число
$ <\left\< \begin
Сохранение знака при делении на положительное число
Изменение знака при умножении на отрицательное число
Изменение знака для чисел обратных данным положительным числам
Сложение и умножение неравенств
При сложении любого конечного числа неравенств с одним знаком этот знак сохраняется.
$<\left\< \begin
При умножении любого конечного числа неравенств с одним знаком и положительными числами этот знак сохраняется.
$<\left\< \begin
Примеры
Пример 1. Расположите в порядке возрастания числа:
Пример 2. Число a положительное или отрицательное, если известно:
Умножение на отрицательное число, знак меняется
Деление на положительное число, знак не меняется
Деление на отрицательное число, знак меняется
Умножение на положительное число, знак не меняется
Оцените площадь квадрата.
Периметр квадрата: P = 4a. Получаем оценку для стороны квадрата:
По свойству неравенств при возведении в квадрат его положительных сторон знак не меняется: