Что значит симметричен относительно начала координат

Урок по теме «Симметрия на координатной плоскости»

Разделы: Математика

Основные цели урока: тренировать способность к определению координат точек и построению точек по их координатам; выявить взаимосвязь между координатами точек симметричных относительно начала координат и повторить взаимосвязь между координатами точек симметричных относительно координатных осей.

Перед началом урока учитель собирает творческое домашнее задание: на альбомных листах учащиеся оформляли свои рисунки по координатам.

Ход урока

1. Самоопределение к деятельности.

Маршрут: Бухта знаний – Залив Исторический – Остров сокровищ – Школа Робинзона Крузо – Мыс Настроения – Бухта знаний.

– Итак, мы отправляемся в путь, но чтобы не сбиться с маршрута, преодолеть все рифы и подводные течения, нам необходимо внимательно следить за координатами нашего корабля. Давайте вспомним, какую тему мы недавно начали изучать? (Координатная плоскость).

– Чтобы преодолеть залив Исторический и не разбиться о его скалистые берега, давайте вспомним как давно появилось понятие координатной плоскости, и кто впервые ввёл его? ( Рене Декарт.)

– Что вам о нём известно? Тогда давайте обратимся к нашей энциклопедии.

– Из чего же состоит координатная плоскость?

Вызвать ученика. (Весь класс помогает: две пересекающиеся под прямым углом прямые – оси абсцисс и ординат, точка их пересечения – начало отсчёта, стрелочки – указывают положительное направление осей, единичный отрезок.) Ученик заполняет маркером пустые места на координатной плоскости. Оценка.

– Сколько углов образовалось при построении координатной плоскости? (четыре) Как они называются? (координатные углы или координатные четверти). Покажите, как они расположены.

Ученик нумерует маркером углы и указывает координаты точек в этих углах схематично с помощью знаков “+” и “-”.

– Как с помощью неравенств записать знаки координат точек в каждом из углов? Ученики обсуждают в парах и предлагают свои варианты, из которых выбирается верный.

I. x>0, y>0
II. x 0
III. x 0, y 27.01.2012

Источник

Осевая и центральная симметрия

Что такое симметрия

Симметрия — это соразмерность, пропорциональность частей чего-либо, расположенных по обе стороны от центра. Говоря проще, если обе части от центра одинаковы, то это симметрия.

Ось симметрии фигуры — это прямая, которая делит фигуру на две симметричные части. Чтобы наглядно понять, что такое ось симметрии, внимательно рассмотрите рисунок.

Центр симметрии — это точка, в которой пересекаются все оси симметрии.

Вернемся к рисунку: на нем мы видим фигуры, имеющие ось и центр симметрии.

Рассмотрите фигуры с осевой и центральной симметрией.

Витрувианский человек да Винчи — хрестоматийный пример симметрии. Принято считать, что, чем предмет симметричнее, тем он красивее. Хотя, по секрету, в природе нет ничего абсолютно симметричного, так уж задумано. Вся идеальная симметрия — дело рук человека.

Осевая симметрия

Вот как звучит определение осевой симметрии:

Осевой симметрией называется симметрия, проведенная относительно прямой. При осевой симметрии любой точке, расположенной по одну сторону прямой, всегда соответствует другая точка на второй стороне этой прямой.

При этом отрезки, соединяющие эти точки, перпендикулярны оси симметрии.

Осевая симметрия часто встречается в повседневной жизни. К сожалению, не на фото в паспорте и не в стрелках на глазах. Но её вполне себе можно встретить в половинках авокадо, на морде кота или в зданиях вокруг. Осевая симметрия — неотъемлемая часть архитектуры. Оглядитесь и поищите примеры осевой симметрии вокруг вас.

В геометрии есть фигуры, обладающие осевой симметрией: квадрат, треугольник, ромб, прямоугольник.

Давайте разберемся, как построить фигуру, симметричную данной относительно прямой.

Пример 2. Постройте треугольник, симметричный треугольнику ABC относительно прямой d.

Пример 3. Построить отрезок A₁B₁, симметричный отрезку AB относительно прямой l.

Больше примеров и увлекательных заданий — на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart!

Центральная симметрия

Теперь поговорим о центральной симметрии — вот ее определение:

Центральной симметрией называется симметрия относительно точки.

Фигуры с центральной симметрией, как и фигуры с осевой симметрией, окружают нас повсюду. Центральную симметрию можно заметить в живой природе, в разрезе фруктов и в цветах.

Давайте разберемся, как построить центральную симметрию и рассмотрим алгоритм построения фигур с центральной симметрией.

Пример 2. Построить отрезок A₁B₁, симметричный отрезку AB относительно центра (точки О).

Задачи на самопроверку

В 8 классе геометрия — сплошная симметрия: центральная, осевая, зеркальная да какая угодно. Чтобы во всем этом не поплыть, больше тренируйтесь. Чертите и приглядывайтесь, угадывайте вид симметрии и решайте больше задачек. Вот несколько упражнений для тренировки. Мы в вас очень верим!

Задачка 1. Рассмотрите симметричные геометрические рисунки и назовите вид симметрии.

Мы рассмотрели примеры осевой и центральной симметрии и знаем, что:

Симметрия относительно прямой — осевая
Симметрия относительно точки — центральная

Задачка 2. Пусть M и N какие-либо точки, l — ось симметрии. М₁ и N₁ — точки,
симметричные точкам M и N относительно прямой l. Докажите, что MN = М₁N₁.

Подсказка: опустите перпендикуляры из точек N и N₁ на прямую MМ₁.

Задачка 3. Постройте фигуру, симметричную данной относительно прямой a.

Источник

Координаты симметричных точек

Выясним, как связаны между собой координаты симметричных точек и рассмотрим на примерах, как найти координаты точки, симметричной данной точке.

По формулам координаты середины отрезка получаем связь координат этих точек:

Координаты точек, симметричных относительно начала координат — точки O(0;0) — противоположные числа.

То есть координаты точки B, симметричной точке A относительно начала координат, отличаются от координат точки A только знаками:

A(a;b) и B(-a;-b) — точки, симметричные относительно начала координат.

1) Найти точку, симметричную точке A(-3;7) относительно точки F(5; 11).

Пусть B(x_B;y_B) — точка, симметричная точке A относительно точки F. Тогда

2) Найти точку, симметричную точке C (9;-4) относительно начала координат.

Точка D, симметричная точке C относительно начала координат, имеет координаты, противоположные координатам точки C: D(-9;4).

II. Две точки A(x_A;y_A) и B(x_B;y_B) симметричны относительно прямой g, если эта прямая проходит через середину отрезка AB и перпендикулярна к нему.

Таким образом, чтобы найти координаты точки B, симметричной данной точке A относительно прямой g, можно:

Найти точку, симметричную точке A(-4;5) относительно прямой y=2x+4.

Уравнение прямой, перпендикулярной данной прямой y=2x+4, ищем в виде y=-0,5x+b. Так как эта прямая проходит через точку A, координаты A удовлетворяют уравнению прямой:

Таким образом, y=-0,5x+3 — прямая, перпендикулярная прямой y=2x+4 и проходящая через точку A.

Значит точка B(3,2;1,4) симметрична точке A(-4;5) относительно прямой y=2x+4.

Координаты точек, симметричных относительно осей координат и биссектрис координатных четвертей — прямых y=x и y=-x — находятся проще:

Источник

Урок по теме » Координаты симметричных точек»

Описание презентации по отдельным слайдам:

Описание слайда:

НЕ ДЛЯ ШКОЛЫ,
А ДЛЯ ЖИЗНИ МЫ УЧИМСЯ.

Не для школы,
а для жизни мы учимся

Описание слайда:

Владимиров Иван,6 а класс

Рамиханов Саид,6 а класс
Балашов Александр,6 а класс

Описание слайда:

Груздев Дмитрий,6 а класс
Маслов Олег, 6 а класс

Описание слайда:

26.11.16. Классная работа.

КООРДИНАТЫ
СИММЕТРИЧНЫХ ТОЧЕК

Описание слайда:

Учебник № 430,стр.100
Найдите координаты точки, симметричной точке
A(2, 3) относительно: а) оси абсцисс; б) оси ординат; в) начала координат. Запишите координаты полученных точек и сравните их с координатами точки А. Сделайте вывод.
Ответ: а) A1(2, –3);
б) A2(–2, 3);
в) A3(–2, –3).

Описание слайда:

Вывод :
1.Если точки симметричны относительно оси (ох), то их абсциссы __________, а ординаты_________
2. Если точки симметричны относительно оси (оу), то ____________
3. Если точки симметричны относительно начала координат, то их координаты____________

Описание слайда:

Описание слайда:

Описание слайда:

Описание слайда:

Точки N(…, 6) и N1(2, …) симметричны относительно оси ординат. Назовите пропущенные координаты этих точек.
Ответ: N(–2, 6); N1(2, 6).

Описание слайда:

Описание слайда:

Описание слайда:

Описание слайда:

Ребята, берегите зрение!

Описание слайда:

Детям 10-12 лет можно находиться за компьютером не более 1 часа в сутки!
13-16 лет – не более 2 часов.

Описание слайда:

Пробуем быть в роли старшеклассников

Описание слайда:

С помощью трех точек, соединенных отрезками нарисуйте на координатной плоскости число пять. Одна из точек-начало координат.

Описание слайда:

Описание слайда:

1
Относительно какой оси симметричны эти точки?
(-4;3) и (4;3)

Описание слайда:

2
Относительно какой оси симметричны эти точки?
(-4;3) и (-4;-3)

Описание слайда:

На прямой, параллельной оси х, взяты две точки.
У одной из них ордината у=2.
Чему равна ордината другой точки?

Описание слайда:

На прямой, перпендикулярной оси х, взяты две точки. У одной из них абсцисса х=3. Чему равна абсцисса другой точки?

Описание слайда:

Описание слайда:

Карта правильных ответов

Описание слайда:

Критерий оценки диктанта

3
Число вопросов 5
Число верных ответов
Оценка
4

Описание слайда:

Задание для самоподготовки:

Учебник, № 431(а),432(а),433(а).
продолжить работу над созданием книги
рисунков по координатам.

Описание слайда:

Сегодня я узнал…
Было интересно…
Было трудно…
Теперь я могу…
Я научился…
У меня получилось…
Я попробую…
Меня удивило…
Мне захотелось…

Описание слайда:

Русский советский писатель, поэт, киносценарист, общественный деятель. Герой Социалистического Труда. Лауреат Ленинской и шести Сталинских премий. Во время войны-военный корреспондент. За всю жизнь Константин Михайлович Симонов получил несколько военных званий, самым высоким из которых стало звание полковника, присвоенное писателю уже после окончания войны.

Описание слайда:

Описание слайда:

Всем спасибо за работу!
5
5
5

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

также Вы можете выбрать тип материала:

Общая информация

Похожие материалы

Урок «Сложение рациональных чисел»

Закрепление по теме «Нумерация в пределах 20»

Исследовательская работа по математике «Магические квадраты»

Презентация НПК по математике «Магические квадраты»

Выступление на НПК школьников по теме:»Приёмы быстрого умножения»

МОДЕЛЬ «ПЕРЕВЕРНУТЫЙ КЛАСС» КАК УСЛОВИЕ АКТИВНОГО ОБУЧЕНИЯ В ДОВУЗОВСКОМ ВОЕННОМ ОБРАЗОВАНИИ

Урок по математике: «Название компонентов и результата действия умножения ( 2 класс)»

Олимпиада по математике 2 кл

Не нашли то что искали?

Воспользуйтесь поиском по нашей базе из
5402005 материалов.

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

В России утвердили новый порядок формирования федерального перечня учебников

Время чтения: 1 минута

В Москве новогодние каникулы в школах могут начаться с 27 декабря

Время чтения: 1 минута

Дума приняла закон о бесплатном проживании одаренных детей в интернатах при вузах

Время чтения: 1 минута

Путин поручил не считать выплаты за классное руководство в средней зарплате

Время чтения: 1 минута

Школьников Улан-Удэ перевели на удаленку из-за гриппа и ОРВИ

Время чтения: 1 минута

Учителям предлагают 1,5 миллиона рублей за переезд в Златоуст

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник

Параллельный перенос и симметричные отображения графиков функций

Параллельный перенос графика по оси OX

Сравним графики пар функций, которые в общем виде можно записать так:

$y_2=y_1 при x_2=x_1-3$

График смещается влево на 3 по оси OX

График смещается влево на 3 по оси OX

$y_2 = y_1 при x_2 = x_1-3$

График смещается влево на 3 по оси OX

Теперь сравним графики пар функций, которые в общем виде можно записать так:

$y_2 = y_1 при x_2 = x_1+2$

График смещается вправо на 2 по оси OX

$ y_2 = y_1 при x_2 = x_1+2$

График смещается вправо на 2 по оси OX

$y_2=y_1 при x_2 = x_1+2$

График смещается вправо на 2 по оси OX

При сравнении графиков двух функций

график второй функции смещается влево на a по оси OX по сравнению с графиком первой функции.

При сравнении графиков двух функций

график второй функции смещается вправо на a по оси OX по сравнению с графиком первой функции.

Заметим, что данные утверждения справедливы не только для рассмотренных функций, но и для любых других (синусов, косинусов, логарифмов и т.п.)

Параллельный перенос графика по оси OY

Сравним графики пар функций, которые в общем виде можно записать так:

$$ y_1 = f(x), \quad y_2 = f(x)+a$$

$y_2 = y_1+1 при x_2 = x_1$

График смещается вверх на 1 по оси OY

График смещается вверх на 1 по оси OY

$y_2 = y_1+1 при x_2 = x_1$

График смещается вверх на 1 по оси OY

Теперь сравним графики пар функций, которые в общем виде можно записать так:

$y_2 = y_1-2 при x_2 = x_1$

График смещается вниз на 2 по оси OY

$ y_2 = y_1-2 при x_2 = x_1$

График смещается вниз на 2 по оси OY

$y_2 = y_1-2 при x_2 = x_1$

График смещается вниз на 2 по оси OY

При сравнении графиков двух функций

график второй функции смещается вверх на a по оси OY по сравнению с графиком первой функции.

При сравнении графиков двух функций

график второй функции смещается вниз на a по оси OY по сравнению с графиком первой функции.

Заметим, что данные утверждения справедливы не только для рассмотренных функций, но и для любых других (синусов, косинусов, логарифмов и т.п.)

Симметрия относительно оси OX

Сравним графики пар функций, которые в общем виде можно записать так:

График симметричен относительно оси OX

График симметричен относительно оси OX

Это справедливо для любой функции f(x).

Симметрия относительно оси OY

Сравним графики пар функций, которые в общем виде можно записать так:

$$ y_1 = f(x), \quad y_2 = f(-x)$$

График симметричен относительно оси OY

График симметричен относительно оси OY

Это справедливо для любой функции f(x).

Примеры

Пример 1. Постройте в одной координатной плоскости функции

Пример 2. Постройте в одной координатной плоскости функции

Источник