Что значит шаблон угла
Математика. 5 класс
Конспект урока
Углы. Измерение углов
Перечень рассматриваемых вопросов:
— понятие «угол», «величина угла»;
— измерение величины угла.
Угол – геометрическая фигура, образованная двумя лучами (сторонами угла), выходящими из одной точки, которая называется вершиной угла.
Градус – единица измерения углов, составляющая часть развёрнутого угла.
Градусная мера угла – число, которое показывает, сколько единиц измерения (градусов) содержится между сторонами этого угла.
Никольский С. М. Математика. 5 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017. – 272 с.
1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5 класс. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О.Ф. Зарапина. – М.: Просвещение, 2009. – 142 с.
2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 классы. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин. – М.: Просвещение, 2014. – 95 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
«Я думаю, что никогда до настоящего времени мы не жили в такой геометрический период. Всё вокруг – геометрия», – сказал в своё время французский архитектор Ле Корбюзье, и трудно с ним не согласиться. Геометрические фигуры постоянно встречаются в творениях природы и человека.
Сегодня мы рассмотрим ещё одну геометрическую фигуру – угол, разберём его виды и опишем процесс построения и измерения углов.
Для начала определим, что называют углом.
Углом называют геометрическую фигуру, образованную двумя лучами, выходящими из одной точки.
Построим угол. Для этого отметим на плоскости точку О и проведём два луча – ОК и ОМ. Получим геометрическую фигуру, образованную точкой О и двумя лучами, исходящими из этой точки. Такую геометрическую фигуру и называют углом.
Лучи ОК и ОМ называют сторонами угла, точку О – общее начало этих лучей – называют вершиной угла.
Обозначается угол чаще всего тремя буквами. Например, ∠КОМ или ∠МОК. В середине пишется буква, которой обозначена вершина угла. Также угол можно обозначать и одной буквой, поставленной у вершины угла. Например, ∠О.
Начертим два луча, исходящих из точки О и принадлежащих одной прямой.
Лучи ОС и OК вместе с точкой О дополняют друг друга до прямой – это дополнительные лучи. Угол называют развёрнутым, если его стороны являются дополнительными лучами.
Угол СОК – развёрнутый.
Построим развёрнутый угол АОВ и полуокружность с центром в точке О. Полуокружность разделим на 180 равных частей. Если построим углы с вершиной в точке О, стороны которых проходят через точки деления полуокружности, то таких углов будет 180. Один такой угол будет составлять часть развёрнутого угла.
Меру угла, составляющего часть развёрнутого угла, принимают за единицу измерения углов и называют градусом. Обозначают: 1º.
Градусной мерой угла называют число, которое показывает, сколько единиц измерения (градусов) содержится между сторонами этого угла.
Например, градусная мера угла КOВ равна 25 градусам, так как в нём единица измерения градус содержится двадцать пять раз. Записывают: ∠КОВ = 25º.
Стоит отметить, что для более точного измерения угла используют доли градуса:
– минуты, которые обозначают одной чёрточкой сверху над цифрой справа,
– секунды, которые обозначаются двумя чёрточками над цифрой справа.
В одном градусе содержится 60 минут, а в одной минуте – 60 секунд.
Например, если угол А равен 10 градусам 5 минутам, записывают: ∠А = 10º5′.
Градусная мера развёрнутого угла равна 180º.
Для измерения углов в градусах пользуются прибором, который называется транспортиром. На транспортире имеется шкала – полуокружность, разделённая на 180 равных частей. На линейке транспортира чёрточкой отмечен центр полуокружности транспортира.
Чтобы найти градусную меру угла, например, угла АВС, нужно совместить центр транспортира с вершиной угла, в данном случае точкой В; расположить линейку транспортира так, чтобы одна из сторон угла прошла через начало отсчёта шкалы транспортира – ноль градусов (в данном случае сторона АВ), и найти на шкале транспортира деление, через которое проходит другая сторона угла – в данном случае сторона ВС.
Это деление шкалы покажет градусную меру угла. В нашем случае – это 120º.
Транспортир применяется также для построения угла, мера которого известна. Построим, например, угол KNM, равный 60º. Для этого:
— совместим центр транспортира с точкой N;
— расположим линейку транспортира так, чтобы луч NM прошёл через начало отсчёта шкалы транспортира;
— найдём на шкале транспортира деление, соответствующее шестидесяти градусам, и отметим напротив него точку К;
— проведём луч NK. Мы построили угол KNM, равный 60º.
Ответить на вопрос, равны ли углы, и, если не равны, то какой из них больше или меньше, можно, сравнивая их градусные меры. Углы с равными градусными мерами равны. Из двух углов больше тот, который имеет большую градусную меру; а меньше тот, который имеет меньшую градусную меру.
Углы можно сравнить также наложением. Если при этом они совпадают, то равны.
Помимо развёрнутого, углы можно разделить на следующие виды: прямой, острый и тупой.
Угол называют прямым, если его градусная мера равна 90º.
Острым – если его градусная мера меньше 90º.
Тупым – если его градусная мера больше 90º и меньше 180º.
Рассмотрим ещё два вида углов, которые встречаются в геометрических задачах: это вертикальные углы, то есть пара углов с общей вершиной, которые образованы при пересечении двух прямых так, что стороны одного угла являются продолжением сторон другого. Например, угол один и два.
И смежные углы – это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются дополнительными полупрямыми.
Например, угол САВ и угол САD.
Вместе смежные углы составляют развёрнутый угол. Следовательно, сумма величин смежных углов составляет 180º.
Итак, сегодня мы познакомились с разными видами углов и научились строить их с помощью транспортира.
Для определения величины углов используется прибор, который называют транспортир. Но существуют и более высокоточные приборы.
Так, гониометр использовался для определения положения судна в море или океане.
Теодолит – прибор для измерения горизонтальных и вертикальных углов при геодезических работах, в строительстве и т. п.
Секстант применялся для измерения высоты Солнца над горизонтом с целью определения географических координат той местности, в которой производится измерение, и на судах.
Посох Якова, служащий для измерения углов, – один из первых инструментов для астрономических наблюдений.
Углы 30, 45, 60, 90 градусов: наглядные, стихотворные, боевые, электрические, драматические, музыкальные
Можно определить углы 30, 45, 60, 90 градусов с помощью своей ладони.
Градусы наглядные: как их определить с помощью своей ладони
Наша рука, оказывается, очень даже может помочь с величинами углов, с градусами. Если посмотреть на нее под определенным углом зрения (см. рис. 1), то вот они, родимые: 0 градусов, 30, 45, 60 и даже 90 градусов!
Почему нам так важны именно эти величины? Почему нас могут интересовать углы 0, 30, 60 и 90 градусов, а также 45? Нет бы поинтересоваться, скажем, углами 15, 20, 75 или 80 градусов…
Оказывается, все дело в синусах и косинусах! Ибо синус нуля градусов есть ноль, а косинус 90 градусов — тоже равен нулю. Синус 30 градусов равен половинке единицы. Такое же значение 0,5 дает косинус 60 градусов.
А вот 45 градусов интересны тем, что синус и косинус 45 градусов равны между собой. Это значит, что тангенс 45 градусов будет равен единице. Ведь мы помним, что тангенс угла есть частное от деления синуса угла на косинус угла.
Но не только об этом хотелось сказать, глядя на рисунок…
Градусы стихотворные и число «пи»
Есть такое число – «пи». Оно почему-то равно 3,14. Хотя не совсем так. Это число с бесконечным количеством цифр после запятой. После запятой стоят не только цифры 1 и 4, но и множество других цифр.
Первый десяток цифр числа «пи» легко написать, если запомнить необычное стихотворение. Правда, стихи про «пи» нужно писать со старинной буквой «ять» — ведь и число «пи» очень старое, и стихотворение совсем не молодое:
Кто и шутя, и скоро пожелаетъ
Пи узнать число — ужъ знаетъ
Зачем в стихотворении стоит «ять» на конце? И при чем тут «пи»? Все очень просто: считаем буквы в словах стихотворения и подставляем цифры в число «пи».
Получается, кто=3, и=1, шутя=4, и=1, скоро=5 и так далее: 3,1415926536… Многоточие на конце — это значит, что есть продолжение цифрам, бесконечное продолжение.
Причем тут градусы? При том, что «пи» — это величина развернутого угла, но не в градусах, а в радианах (другая единица измерения величины угла). «Пи» радиан есть угол величиной 180 градусов.
Как говорят математики, отсюда нетрудно догадаться, что 0 градусов есть ноль радиан. 90 градусов есть «пи пополам» радиан. Нам этот термин «пи пополам» еще пригодится далее. Все остальные градусы таким же образом можно свести к разным частям числа «пи».
Получается, что мы теперь знаем стишок про 180 градусов — стишок про «пи»! Что это дает?
Градусы боевые: почему наши деды победили
Штурман откладывает карту в сторону. Достает маневренный планшет. Теперь он отслеживает на нем положение корабля относительно одного противника или сразу нескольких противников.
Тут — сплошные градусы. Кто из супостатов виден под каким углом? Угол есть решающая величина. Приходится учитывать как углы, так и их синусы, и косинусы.
Кто в школе учился, тот помнит, что синус и косинус угла не может быть больше единицы. Хоть что делай, больше единицы не получается.
А вот в годы войны у штурмана боевого корабля косинусы углов доходили порой до четырех! Потому и победили, что делали невозможное! Даже с косинусами, ограниченными правильной математикой!
Так что запомним вопреки математике: в годы войны косинусы углов могут доходить до «четырех». В том числе, поэтому наши деды победили!
Градусы электрические: отклонение между напряжением и током
Ну, синус? Ну, косинус? И что тут такого? Спросим любого человека, например, возле пивного ларька, что такое синус и как давно он пользовался косинусом после школы. Что услышим в ответ?! Во, именно «это» и услышим.
Вместе с тем мы постоянно живем, можно сказать, под градусом, точнее, под косинусом! Ежедневно мы пользуемся электричеством: нажимаем кнопки и выключатели, и дело с концом — все светится, крутится, работает.
Чтобы электричество выполняло свое предназначение, нужно электрическое напряжение и электрический ток. Обе «субстанции» должны быть вместе и одновременно. Но эти две величины могут иметь между собой угол отклонения, измеряемый «косинусом фи», как выражаются энергетики на своем профессиональном языке.
Если отклонение напряжения от тока есть ноль градусов, то электрическая мощность будет получена умножением величины напряжения на величину тока.
Допустим, подключаем электрообогреватель. Он начинает излучать тепло, равное по мощности этой самой величине: напряжение 220В (двести двадцать вольт) умножить на ток, скажем, 5А (пять ампер) равно 1КВт (1 киловатт) мощности. Становится тепло!
Если между напряжением и током есть отклонение, хотя бы на 1 градус, то придется перемножать не только напряжение и ток, но и полученный результат дополнительно умножать на косинус угла отклонения. Ноль градусов отклонения — косинус равен единице, умножение на единицу ничего не меняет. А вот косинус всего лишь 1-го градуса возможного отклонения уже меньше единицы. Не намного, но меньше. Это значит, что греть наша батарея будет уже слабее.
Чем больше отклонение электрического напряжения от электрического тока, чем будет больше между ними градусов так называемого угла «фи». Тем слабее будут греть батареи, хуже станет накал лампочек, и вообще будет меньше электричества.
И не говорите теперь, что косинус — это абстракция, которую мы оставили в школе навсегда…
Градусы драматические: косинус 90 градусов равен нулю
А что как напряжение и ток отклоняются друг от друга на 90 градусов?! Ведь косинус такого угла равен нулю. Умножение на ноль есть ноль. Это, что называется, страшный сон энергетиков — ужасная апокалиптическая драма!
Представьте себе, газ сжигается на тепловых электростанциях, вода крутит турбины на гидроэлектростанциях, нейтроны делятся в реакторах атомных электростанций. Ток «бежит» по проводам в дома. А там — косинус угла «фи» равен нулю — полный швах! Батареи не греют, лампочки не светятся, холодильники не работают.
Чтобы мысленный эксперимент с отклонением напряжения и тока на 90 градусов не стал реальностью, энергетики по всему миру постоянно следят за «косинусом фи». Денно и нощно, без устали, без перерывов.
Почему отклоняются напряжение и ток? Из-за потребителей электричества! Нет, не из-за домашних электрических обогревателей. И не из-за домашних лампочек накаливания. Но из-за оборудования заводов и фабрик.
Везде, где крутятся электромоторы, их «кручение» приводит как бы к обратному закручиванию электричества. Работающее оборудование возвращает энергетикам в электрические сети сдвинутое между собой напряжение и ток.
Образно говоря, чтобы крутить моторы, электричество должно «упираться» во что-то. И из-за этого понемногу «проворачивается» в обратную сторону. Что и приводит к возникновению угла сдвига между напряжением и током.
Если не следить за последствиями такого «сдвига», то угол между напряжением и током будет постоянно расти. Косинус фи начнет уменьшаться. Электростанции начнут работать сначала чуть-чуть вхолостую, потом все больше и больше, потом еще больше…
Градусы из радиоточки
Если напряжение и ток встанут друг относительно друга на 90 градусов — это будет недопустимое отклонение или «сдвиг по фазе на пи пополам»! Тогда электричество останется в проводах, но оно ничего не будет греть, освещать, двигать.
«Сдвиг по фазе на пи пополам» есть расхожее выражение, которое означает абсолютную неприемлемость того или иного действия, поступка.
Пришло оно к нам из того самого электротехнического «косинуса фи».
Про сдвиг между напряжением и током можно написать не одну драму с яркими событиями и участниками. Но мы не будем это делать, ибо наши энергетики не допустят подобного хода событий…
Кстати, кто помнит еще советское радио, что звучало практически в каждом доме? Там по утрам во многих городах сообщали не только про погоду. Погода — это тоже градусы, но другие.
Из радиоточки строго так говорили, обычно после прогноза погоды: «на сегодня режим энергопотребления установлен два тире два» или «. два тире один». Это про «наши» градусы, про «косинус фи»!
Что это за режимы такие: 2-2, 2-1 и другое? То были прямые указания предприятиям, как они должны именно сегодня компенсировать возникающие сдвиги между напряжением и током.
Энергетики шли к компенсирующим установкам и включали озвученные по радио режимы. Вот ведь насколько важны углы! Про них даже по центральному радио (с местным уклоном, разумеется) вещали ежедневно.
А вы говорите градусы, синусы, косинусы! И зачем мы их в школе «проходили», если вокруг нас их как не было, так и нет? Оказывается, были, есть и будут. Даже в обычной электрической розетке, в лампочке, в утюге.
Градусы музыкальные
Для тех, кто «добрался» до конца — маленький сюрприз: музыкальные «градусы». Вот как, оказывается, можно сыграть на фортепиано про число «пи» с точностью аж до 122 знаков после запятой. Музыка «развернутого угла 180 градусов»!
Словами добавить нечего, достаточно послушать. И все это про «пи» и про градусы, которые в школе «прошли» и забыли:
Как построить углы без транспортира
Мастер-класс по теме «Как построить углы без транспортира»
1 . Обучающие: Совершенствовать знания учащихся о видах углов; научить построить углы разной величины без транспортира
2. Развивающие: Развивать умения практического применения полученных знаний, творческие способности, логико-математическую речь;
3. Воспитывающие: Формировать познавательный интерес к изучаемому предмету, воспитывать чувство ответственности за себя и своих товарищей и чувство гордости за родной г.Альметьевск.
Поиск и предложение возможных вариантов решения проблемы
Постановка новых вопросов.
МЕТОДЫ И ПРИЕМЫ: исследовательская беседа, критическое мышление, групповая и индивидуальная работа.
ОБОРУДОВАНИЕ: презентация, раздаточный материал – карточки с заданиями, флипчарты, маркеры.
Приобретать знания –храбрость,
Преумножить их – мудрость,
Добрый день уважаемые гости, дорогие ребята! Рада приветствовать всех Вас и очень надеюсь на сотрудничество и взаимопонимание.
Проведите координатную прямую и отметьте пожалуйста на ней точки с координатами: Г(-2): Л(4);У(-7); Ы(8) и прочитайте полученное слово.
О чем сегодня мы будем говорить?
Сегодня мы поговорим об углах и об их применении на практике, особенно в строительстве, да и ещё о строительстве в нашем родном городе Альметьевске.
2.Решение задач ( по строительству в г. Альметьевске)
Найдите пропущенные числа, решая задания:
1) Альметьевск каждый год участвует во Всероссийском конкурсе на звание «Самый благоустроенный город России» и несколько лет подряд является победителем среди городов с населением более (…) тысяч человек. (100) ∙
2) Состояние строительной отрасли является одним из основных индикаторов благоустройства нашего города. В Альметьевске ежегодно вводится (…) тысяч квадратных метров жилья. (155)
Решите уравнение: х : 5 =62 :2
3) По объёму строительства Альметьевск занимает (…)-е место по республике Татарстан после Казани и Набережных Челнов. (3)
4) По программе социальной ипотеки в 2015 году введено (…) дома для работников бюджетной сферы. (2)
6) По программе обеспечения жильём детей-сирот в 2015 году в г.Альметьевске получили квартиры (…) человек. (7)
7) В микрорайоне «Дружба» построен детский сад« Дружба» на (…) мест.
Решите уравнение: х +(-125) = 135 (260)
8)В микрорайоне «Поле чудес» построен детский сад «Городок чудес» на 140 мест.
В 2015 году в микрорайонах «Дружба» и «Поле чудес» построены 2 детских сада всего на 400 мест. На сколько мест рассчитан каждый садик, если известно, что в 1 садике на 120 мест больше, чем во втором?
Ну конечно же, ни один жилой дом, ни одно здание не обходится без лестницы.
3. Задача : Основным показателем при расчете и построении лестницы является её уклон (крутизна). Идеальный уклон ступенек –это угол в 30 градусов. Представьте, что ваш папа на даче строит лестницу и хочет установить угол наклона лестницы в 30 градусов. Для этого ему нужен макет угла из фанеры. Он просит вас помочь ему сделать бумажный шаблон угла, который он затем приложит к фанере и выпилит нужный макет.
— Как изготовить шаблон?
При наличии транспортира отложить любой угол можно! Но транспортира на даче нет, и данный угол нужно получить здесь и сейчас.
— Можно ли построить угол БЕЗ ТРАНСПОРТИРА?
Проблема: изготовить шаблон угла без транспортира
— У вас есть только квадратный лист бумаги! Оказывается, что с помощью него можно отложить угол в 30 градусов!
Гипотеза: можно отложить угол, равный 30 градусам, без транспортира с помощью квадратного листа бумаги.
Как это можно сделать? (дать время подумать)
Проведем эксперимент – это некоторое количество опытов, которые показывают одинаковый результат.
1.Берем обыкновенный квадратный лист бумаги и сворачиваем его пополам
2.Затем, делаем второй сгиб, посмотрите на доску, мы загибаем угол квадрата таким образом, чтобы вершина квадрата, она обозначена точкой совпала с линией первого сгиба
Посмотрите на слайд, что должно получиться.
-Ребята, у вас получилось.
— А теперь с помощью транспортира измерьте получившийся угол.
— Какой способ легче применить на практике?
— Что нам нужно было получить? (шаблон угла)
Предлагаю воспользоваться ножницами.
Прогладьте хорошо сгиб несколько раз и сделайте отрыв угла.
4. Переходим к постановке новых вопросов.
— Где можно применить новые знания!
Оказывается, у дизайнеров очень популярна геометрическая фигура – ГЕКСАГОН, другими словами правильный шестиугольник, его часто используют для создания рамок. (Показать рамки на слайде)
— Все углы правильного шестиугольника 120 градусов.
Папа с сыном, закончив лестницу, решили сделать приятно маме, смастерить рамочку для семейного портрета.
— Что нужно, для того чтобы создать рамку в форме шестиугольника? (шаблон угла 120 градусов)
— А как сделать шаблон угла в 120 градусов, используя ваш шаблон угла в 30 градусов и остаток листа? (дать время на обсуждения)
Полученную модель приклейте к листу бумаги в центр, и измерьте полученный угол транспортиром.
— Какой вид угла мы получили? Он больше или меньше 90 градусов?
(Данная модель даёт наглядное представление о тупом угле, а также, доказывает, что его градусная мера больше 90 градусов. Тем самым, на моделях отрабатываются понятия тупого и острого угла).
Работая в группе, вместе смастерите рамку в форме шестиугольника.
Для этого вы будете использовать шаблон угла 120 градусов, палочки одинаковой длины, клей. Посмотрите на слайд, каким образом, вы прикладываете палочки.
Одна пара клеит два угла, вторая пара клеит два угла, а затем соедините между собой полученные части. Придерживайте угол, досчитали до 10, можно, перейти к следующему! У вас 2 минуты
Время истекло. Заканчиваем работу.
Продемонстрируйте нам рамку!
Рефлексия. Уважаемые ребята, подводя итоги мастер – класса, хотелось бы узнать ваши мнения.
Шаблоны для разметки углов
Дмитрий Сидоров на видеоканале демонстрирует шаблоны для точной разметки углов. Раньше же размечал и изготавливал детали на глаз, получалось относительно нормально, никаких углов не знал.
Как и из чего сделаны шаблоны угломеры. Кусок алюминиевого потолка — великолепный материал, можно из него сделать много вещей. Взял радиус циркулем, отметил его, процарапал. Получилась восьмерка. Разметили его, разметку также сделал дополнительную.
Некоторые делают углы на шаблонах, чтобы шли от 90, в данном случае от 90 до 55. Так удобнее, если 90, 85, через 5 градусов и т.д., удобнее проверять, но его тяжелее оказалось вымерить. Без заморочек сделали 90 – напротив 85, 75 – напротив 80 и т.д. Прекрасно режется ножницами, т.е. вырезается ножницами по кругу. Дальше обрабатывается мелкозернистым напильником, с личной насечкой. После того, как получили кружок с этой окружностью, сделали разметку на 8 частей (есть масса вариантов).
Дальше в этих центрах сверлим отверстие, 1,5 мм такое сверло, которое чуть более остро заточено. Такие сверла делаются даже в домашних условиях просто, из обычной биты, с куска. Сверлится, потому что отверткой ударной сверлим. Сверлится 8 отверстий. И дальше берется бумажка, берется карандаш, на бумажке отмечается нужная точка, нужный угол. Например, 55 градусов, отметили угол. Потом взяли вырезали, старайтесь резать поточнее, потому что нужна точность. Все же получается инструмент. Наложили сюда. Все совпадает. Положили, перекрестье линий. Если смотреть, то накладывать надо, в определенное место. Дальше чертилкой тоненькой: раз, два отметка. После этого по линейке рисуем. Алюминий легко ножницами режется.
Далее на видео с 5 мин. о шаблонах для точной разметки и обрезки углов