Что значит решить систему нелинейных уравнений с двумя переменными

10.04.202210.04.2022 admin 0 Comments

Нелинейные уравнения с двумя переменными и их система

То есть решением уравнения с двумя переменными называют множество упорядоченных пар значений переменных, образующих это уравнение в верное равенство.

Нелинейные уравнения с двумя переменными решаются так же, как и линейные уравнения с двумя переменными, – с помощью графика. При этом желательно переменную у выразить через х и построить график полученной функции. Все соответствующие координаты точек графика будут являться парами ответов данного уравнения.

Две системы называются равносильными, если множества их решений совпадают или обе системы не имеют решений.

Утверждения о равносильности систем уравнений:

Рассмотрим некоторые методы решения нелинейных систем уравнений.

Метод разложения на множители

Пример 1. Решить систему: \(\left\< \begin x^2-2y^2-xy+2x-y+1=0, \\ 2x^2-y^2+xy+3y-5=0. \\ \end \right.\)

Решим второе уравнение:

Метод исключения одной из неизвестных

Метод исключения неизвестных позволяет последовательно сводить решение данной системы к решению системы (или совокупности систем), содержащей на одну переменную меньше.

Пример 2. Решить систему: \(\left\< \begin 3x^2y^2+x^2-3xy=7, \\ 10x^2y^2+3x^2-20xy=3. \\ \end \right. \)

Решим данное уравнение путем замены.

Таким образом, исходная система распадается на системы:

Метод подстановки

Пример 3. Решить систему: \(\left\< \begin x + y = 3, \\ x^3 + x^2 y = 12. \\ \end \right.\)

Решение: \(\left\< \begin x + y = 3 \\ x^3 + x^2 y = 12 \\ \end \right. \Rightarrow \left\< \begin x + y = 3 \\ x^2 \left( \right) = 12 \\ \end \right. \Rightarrow \left\< \begin x + y = 3 \\ x^2 \cdot 3 = 12 \\ \end \right. \Rightarrow \left\< \begin x + y = 3 \\ x^2 =4 \\ \end \right. \)

\(\left\< \begin x + y = 3 \\ x_1=2; x_2=-2 \\ \end \right. \Rightarrow y=3-x \Rightarrow y_1=3-2=1, y_2=3-(-2)=5\)

Метод введения новых переменных

Пример 4. Решить систему: \(\left\< \begin x + y +\frac=\frac12, \\ \frac<(x+y)x>=-\frac12. \\ \end \right.\)

Источник

Урок «Решение систем нелинейных уравнений»

КГУ «Средняя школа-гимназия №1 имени Абая»

«РЕШЕНИЕ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ»

Тема: Система нелинейных уравнений с двумя переменными

Цели: систематизировать материал и применить знания в новой ситуации.

— научить определять рациональный способ решения систем уравнений с двумя переменными

— воспитание сознательного отношения к изучению предмета.

Тип: Ознакомление с новым материалом.

Метод: Словесное объяснение материала с демонстрацией и практическим решением заданий.

Постановка цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности

Девизом урока будут слова: хочу, могу, умею, делаю. МОГУ: на уроке можно ошибаться, сомневаться, консультироваться. УМЕЮ: мы умеем решать линейные уравнения с двумя переменными и нелинейные уравнения с двумя переменным ХОЧУ: познакомиться с методами решения систем нелинейных уравнений с двумя переменными. ДЕЛАЮ: делаем каждый себе установку: Понять и быть тем первым, который увидит правильный путь решения. Желаю всем удачи!

Актуализация знаний учащихся

-Что такое уравнение?

-Что значит уравнение с двумя переменными?

-Что является решением уравнения?

-Что значит система уравнений?

-Какие уравнения называются нелинейными?

— Выполнить задание на доске: разложить уравнения по местам (провести стрелки)

Система уравнений с двумя переменными, в составе которой хотя бы одно уравнение является нелинейным, называется системой нелинейных уравнений с двумя переменными

Для решения системы нелинейных уравнений применяют несколько способов.

Способы решения систем уравнений второй степени:

-введения новой переменной

Для решения системы способом алгебраического сложения обычно используют следующий алгоритм:

1) Умножить почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными членам;

2) Сложить почленно левые и правые части уравнений системы;

3) Решить получившееся уравнение с одной переменной;

4) Найти соответствующее значение второй переменной;

5) Записать ответ в виде пар числовых значений переменных.

Решим способом алгебраического сложения систему

В одном из уравнений системы нужно выразить одну переменную через другую;

Подставить это выражение во второе уравнение для получения уравнения с одной переменной;

Решить полученное уравнение с одной переменной;

Найти соответствующее значение второй переменной;

Записать ответ в виде пар числовых значений переменных.

Решим способом подстановки систему

нужно рассмотреть одну из переменных системы уравнений как аргумент, а другую как функцию;

построить графики уравнений системы в одной прямоугольной системе координат;

определить координаты точек пересечения графиков уравнений;

записать ответ в виде пар числовых значений переменных

Решим графическим способом систему Решим систему уравнений:

Построим в одной системе координат графики первого х 2 + у 2 = 25
(окружность) и второго ху = 12 (гипербола) уравнений. Видно что графики уравнений пересекаются в четырех точках А(3; 4), В(4; 3)
С(-3;-4) и Д(-4; 3), координаты которых являются решениями одной системы. Так как при графическом способе решения могут быть найдены с некоторой точностью, то их необходимо проверить подстановкой. Проверка показывает, что система действительно имеет четыре решения: (3;4),(4;3),(-3;-4),(-4;-3).

Ввести новые переменные для выражения определенных соотношений переменных в уравнений системы;

Записать уравнения системы через введенные переменные;

Решать полученную сстему уравнений относительно новых переменных;

Найти значения исходных переменных, используя числовые значения введенных переменных;

Записать ответ в виде пар числовых значений переменных исходных уравнений системы.

Решим способом введения новой переменной систему ⇔ t = s =

5.Закрепление изученного материала. № 42 (а)- методом подстановки

№ 47 (а) – графическим методом

7.Задание на дом: § 3

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Номер материала: ДБ-284221

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Путин поручил не считать выплаты за классное руководство в средней зарплате

Время чтения: 1 минута

В МГУ заработала университетская квантовая сеть

Время чтения: 1 минута

Учителям предлагают 1,5 миллиона рублей за переезд в Златоуст

Время чтения: 1 минута

В России утвердили новый порядок формирования федерального перечня учебников

Время чтения: 1 минута

Время чтения: 2 минуты

Школьников Улан-Удэ перевели на удаленку из-за гриппа и ОРВИ

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник

Алгебра и начала математического анализа. 11 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №43.Нелинейные уравнения и неравенства с двумя переменными.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

Уравнение вида ах + by +с =0, где а,b,с – некоторые числа, называется линейным уравнением с двумя переменными х и у.

Все уравнения, которые не являются линейными называются нелинейными.

Линейным неравенством с двумя переменными называется неравенство вида ах + bу + с 0, где х и у – переменные, а, b, c – некоторые числа.

Все неравенства, которые не являются линейными называются нелинейными.

Системой линейных неравенств с двумя переменными называется такая система неравенств, которая в своем составе имеет два и более линейных неравенств с двумя переменными.

Все системы неравенств, которые не являются линейными называются нелинейными.

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. Учебник: Алгебра 9 кл с углубленным изучением математики Мнемозина, 2014.

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/.

Открытый банк заданий ЕГЭ ФИПИ, Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей, базовый уровень. Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей. Базовый уровень. http://ege.fipi.ru/.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Сегодня на уроке мы вспомним нелинейные уравнения и неравенства с двумя переменными; системы линейный уравнений и неравенств, а также научимся изображать множество на плоскости, задаваемое нелинейным уравнением и неравенством.

1.Линейные уравнения с двумя переменными.

Уравнение вида ах + by +с =0, где а,b,с – некоторые числа, называется линейным уравнением с двумя переменными х и у.

Все уравнения, которые не являются линейными называются нелинейными.

Например, нелинейные уравнения с двумя переменными. Уравнение с двумя переменными можно заменить равносильным уравнением, в котором правая часть будет нулем, а левая многочленом стандартного вида:

Нелинейные уравнения с двумя переменными изображаются на координатной плоскости различными фигурами, каждое уравнение нужно рассматривать индивидуально.

Найти множество точек координатной плоскости, удовлетворяющих уравнению:

Уравнение запишем в виде (х-у)(х+у) = 0, значит либо х-у=0, либо х

+у=0. Поэтому множество точек удовлетворяющих уравнению – пара пересекающихся прямых.

Преобразуем левую часть уравнения, используя метод выделения полного квадрата:

Сумма неотрицательных слагаемых равна 0 только в одном случае, когда оба слагаемых одновременно равны 0.

Это уравнение имеет единственное решение: х=2; у=-3. Поэтому множество точек удовлетворяющих уравнению – точка (2;-3).

Пусть на координатной плоскости Оху выбрана точка А(а;b), М(х;у) – произвольная точка этой плоскости, R- расстояние от точки М до точки А. Тогда , где R>0. Уравнение окружности с радиусом R и с центром в точке А(а;b).

Запишем уравнение в виде Множеством решения данного уравнения является окружность центром в точке (-1;4) и радиусом 3 единичных отрезка.

Рассмотрим примеры уравнений с двумя переменными, содержащих знак модуля:

Если то х+у=2 Множество решений этого уравнения часть прямой (отрезок АВ), где А(2;0), В(0;2)

Аналогично строятся отрезки в трех оставшихся координатных углах. (рисунок 1)

Рисунок 1 – графика

2.Нелинейные неравенства с двумя переменными.

Линейным неравенством с двумя переменными называется неравенство вида ах + bу + с 0, где х и у – переменные, а, b, c – некоторые числа.

Все неравенства, которые не являются линейными называются нелинейными.

Решением неравенства с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая его в верное равенство.

Если каждое решение неравенства с двумя переменными изобразить точкой в координатной плоскости, то получится график этого неравенства. Он является некоторой фигурой.

Изобразите в координатной плоскости множества решений неравенства .

3. Системы нелинейных уравнений с двумя переменными.

Система вида , где а,b,с,d,e,f – некоторые числа, называется линейной системой с двумя переменными х и у.

Все системы уравнений, которые не являются линейными называются нелинейными.

Пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы уравнений с двумя переменными в верное равенство называют решением системы.

Решить систему – значит найти множество ее решений.

Каждое решение уравнения с двумя переменными представляет координаты некоторой его точки его графика. Каждое решение системы есть координаты общих точек графиков уравнений системы. Построим графики этих уравнений и найдем координаты точек пересечения.
Например.

Решить систему уравнений

Первое уравнение системы задает параболу, второе – окружность с центром (-1;3) и радиусом . Окружность и парабола имеют две общие точки (0;1) (-1,3;5,3). Координаты второй точки приближенные (рисунок 2).

Рисунок 2 – решение системы

4. Системы нелинейных неравенств с двумя переменными.

Системой линейных неравенств с двумя переменными называется такая система неравенств, которая в своем составе имеет два и более линейных неравенств с двумя переменными.

Все системы неравенств, которые не являются линейными называются нелинейными.

Рассмотрим систему нелинейных неравенств с двумя переменными на примере:

Изобразить на координатной плоскости Оху фигуру Ф, заданную системой неравенств, и найти площадь фигуры:

Неравенство заменим равносильной системой которая задает множество точек, лежащих на полуокружности и вне ее. А неравенство заменим равносильной совокупностью систем или (рисунок 3)

Рисунок 3 – решение системы

График уравнения х^2 можно получить из окружности сжатием к оси х в 2 раза.

Рисунок 4 – график уравнения

Заметим, что фигуру, которая получается сжатием окружности к одному из ее диаметров, называют эллипсом.

Рассмотрим частный случай:

Если k=m, то диагонали ромба будут равны, значит заданная фигура – квадрат.

Примеры и разборы решений заданий тренировочного модуля

Графиком данного уравнения является парабола, показанная на рисунке.(рисунок 5)

Рисунок 5 – график

Изобразите в координатной плоскости множества решений неравенства (рисунок 6)

Начертим график уравнения . Графиком данного уравнения является парабола. Нижняя из образовавшихся областей является графиком неравенства

Источник

План-конспект по математике на тему «Системы нелинейных уравнений с двумя переменными»

Методическая разработка занятия

по дисциплине «Математика»

Тема: «Системы нелинейных уравнений с двумя переменными» для студентов 1 курса

Составитель: Котенева Е.А., преподаватель математики

Тема урока : Системы нелинейных уравнений с двумя переменными.

Тип урока : урок изучения нового материала.

Цель урока : Систематизация материала и применение знаний в новой ситуации; умение определять рациональный способ решения систем уравнений с двумя переменными.

повторение и систематизация знаний и умений решения систем уравнений с двумя переменными;

стимулирование интереса обучающихся к решению систем уравнений различными методами..

продолжение работы над развитием операционного стиля мышления через всестороннюю оценку ситуации, оптимальное планирование действий, поиск информации, необходимой для решения задачи – формирование компетентности в сфере познавательной деятельности;

развитие внимания, творческих способностей обучающихся.

воспитание ответственности, внимательности, аккуратности, дисциплинированности, усидчивости.

технология обучения в сотрудничестве;

систематизация и обобщение знаний об основных методах решения систем уравнений;

совершенствование навыков решения систем нелинейных уравнений с двумя переменными;

применение знаний на практике для углубления и расширения ранее усвоенных знаний.

формирование умений анализировать, сопоставлять, обобщать знания;

развитие умения работать в группах;

формирование чувства ответственности за свою работу;

овладение опытом переноса знаний и умений в нестандартные ситуации при решении возникающих новых задач.

формирование культуры общения и осознанной потребности в знаниях;

развитие умения управлять своей учебной деятельностью.

Формы организации познавательной деятельности обучающихся : групповая, индивидуальная.

— самоанализ и самооценка, рефлексия.

Цель: обеспечить нормальную внешнюю обстановку для работы на уроке и психологически приготовить обучающихся к общению и предстоящему занятию

приветствие студентов, проверка их готовности к занятию, проверка отсутствующих.

Постановка цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности обучающихся

Цель: поднять мотивацию обучающихся к участию в процессе познавательной деятельности, организация активной, самостоятельной и результативной работы каждого обучающегося при решении учебно-познавательных задач. Познакомить с планом и правилами работы, постановка проблемы и целей.

сообщение студентам темы урока, раскрытие её содержание (план занятия), а так же разъяснение цели и формы их деятельности на уроке.

Актуализация опорных знаний

Цель: проверить правильность, полноту и осознанность приобретенных ранее знаний, мотивировать и мобилизовать силы обучающихся.

повторение навыков решения систем линейных уравнений по формулам Крамера.

Обобщение и систематизация знаний

подготовка обучающихся к обобщённой деятельности;

воспроизведение на новом уровне.

Применение знаний и умений в новой ситуации

Цель: закрепить в памяти обучающихся те знания, которые они приобрели в ходе теоретического изучения материала, работая в парах, способствовать формированию у обучающихся умений и навыков при решении систем нелинейных уравнений

выполнение обучающимися заданий

Контроль усвоения изученного материала

Цель: подвести итог урока, оценить работу обучающихся, создать условия для самооценки учебной деятельности, закрепить положительные эмоции от познания нового, сообщить обучающимся о Д/з и разъяснить методику его выполнения.

анализ и содержание итогов работы;

формирование выводов по изученному материалу;

выдача домашнего задания.

I. ОРГАНИЗАЦИОННЫЙ МОМЕНТ

Приветствие обучающихся, проверка готовности к уроку.

II. ПОСТАНОВКА ЦЕЛИ И ЗАДАЧ УРОКА. МОТИВАЦИЯ УЧЕБНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ОБУЧАЮЩИХСЯ

Сообщение студентам темы урока, раскрытие её содержание (план занятия), а так же разъяснение цели и формы их деятельности на уроке.

III . АКТУАЛИЗАЦИЯ ОПОРНЫХ ЗНАНИЙ

1) Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2) Контроль усвоения материала (задания по карточкам).

Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера:

а) ;

б) ;

в) .

IV . ОБОБЩЕНИЕ И СИСТЕМАТИЗАЦИЯ ЗНАНИЙ

Вспомним основные методы решения систем уравнений.

1. Метод подстановки.

2. Метод алгебраического сложения уравнений.

3. Метод замены переменной.

4. Метод разложения на множители.

5. Графическое решение систем уравнений.

1. Метод подстановки.

Решите систему уравнений: .

Из второго уравнения находим: Подставляя это значение в первое уравнение, получаем: или . Корнями этого уравнения являются числа . Таким образом, получаем совокупность двух систем уравнений:

Первая система имеет решения , а вторая . Значит, данная система имеет решения:

2. Метод алгебраического сложения уравнений.

Решите систему уравнений:

Метод подстановки в данном случае приводит к сложным выкладкам. Прибавим к первому уравнению системы второе уравнение, тогда получаем т.е.

равносильную заданной. А теперь воспользуемся методом подстановки:

то есть

Полученная система уравнений равносильна совокупности двух систем уравнений:

Первая система имеет решение а вторая Значит, решение данной системы имеет вид: .

3. Метод замены переменных.

Решите систему уравнений: .

Пусть u = тогда получаем более простую систему ,

равносильно исходной. Решив полученную систему, будем иметь:

или т.е.

Ответ: .

4. Метод разложения на множители.

Решите систему уравнений:

Второе уравнение системы представим в виде: =0. Тогда данная система будет равна совокупности двух систем, решаемых методом подстановки.

или значит

И решением первой системы будет

или значит и решением второй системы будет

Ответ: ;

5. Графическое решение систем уравнений.

Решите систему уравнений:

Уравнение задает окружность с центром в начале координат и радиусом 6. Уравнение — парабола, это уравнение можно переписать в виде: . Вершиной этой параболы является точка (0; 6), ветви параболы направлены вниз, она пересекает ось Ох в точках (6; 0); (-6; 0). Построим графики указанных линий и найдем их точки пересечения.

Из чертежа видно, что линии пересекаются трижды и точками пересечения являются А (-6; 0); В (0; 6); С (6; 0).

Рассмотрим два распространённых вида нелинейных систем: однородные системы и симметричные системы. Сначала обсудим однородные системы.

Решим систему уравнений: .

Особенностью системы является то, что первое уравнение – однородное. Решим его, считая y неизвестной, а х – постоянной величиной. Получаем: y = , т.е. Таким образом, нашли линейную связь между переменными (фактически получили линейное уравнение ). Далее исходная система сводится к совокупности двух систем уравнений:

а) Решения этой системы (1;1),(-1;-1);

б) Подставляя первое уравнение во второе, получим:

или Тогда х= и решения системы

При решении сходной системы все преобразования были равносильными. Поэтому решения проверять не надо. Исходная система имеет 4 решения: (1;1), (-1;-1),

Решим систему уравнений:

Решая это уравнение, найдём корни: и Исходная система сводится к совокупности двух систем уравнений. Причём в качестве второго уравнения систем можно использовать любое из уравнений исходной системы. Будем использовать, например, второе уравнение. Получаем:

а) Подставим первое уравнение во второе: 2 или 352у 2 = 8, откуда (тогда х= ). Система имеет решения:

б) Подставим первое уравнение во второе:

Все преобразования были равносильны, и решения исходной системы (которые не проверяем): (1; 2), (-1; 2).

Решим систему уравнений:

Прежде всего убедимся, что эта система симметричная. В каждом уравнении поменяем х и у и наоборот. Получаем систему уравнений Видим, что каждое уравнение такой системы совпадает с соответствующим уравнением исходной системы. Следовательно, данная система симметричная.

Заметим, что это общее свойство симметричных систем: если система имеет решение (с; d), то она обязательно имеет и решение (d; с);

Получаем квадратное уравнение t 2 + 5t + 12 = 0. Его дискриминант отрицательный, и оно корней не имеет. Поэтому и такая система решений не имеет.

Все преобразования (метод замены переменных, метод алгебраического сложения) были равносильны. Поэтому решения проверять не надо. Итак, исходная система уравнений имеет два решения: (1; 3), (3; 1).

V . ПРИМЕНЕНИЕ ЗНАНИЙ И УМЕНИЙ В НОВОЙ СИТУАЦИИ

Решите систему уравнений

Решение. Пусть Тогда . Теперь первое уравнение системы можно записать так: . Отсюда
Для решения исходной системы достаточно решить две более простые системы.
1) Отсюда ,
Из второго уравнения получаем: . Тогда .
2) Отсюда
Из второго уравнения получаем: Тогда
Ответ:

Решите систему уравнений

Перепишем данную систему так:

Выполним указанную замену. Получим систему:

Её можно решить методом подстановки (сделайте это самостоятельно). Получаем:
или

Остается решить 2 системы: и Каждую из них можно решить методом подстановки. Однако здесь удобнее воспользоваться теоремой, обратной теореме Виета. Так, для системы Можно считать, что x и y – корни квадратного уравнения . Отсюда Следовательно, пары чисел (1;2) и (2;1) являются решениями этой системы.
Используя теорему, обратной теореме Виета, легко убедиться, что система решений не имеет.