Что значит решить прямоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник – треугольник, в котором один угол прямой (то есть равен 90˚).

Сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой прямоугольного треугольника.

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по двум катетам ).

Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по катету и острому углу ).

Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по гипотенузе и острому углу ).

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по гипотенузе и катету ).

Свойства прямоугольного треугольника

1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90˚.

2. Катет, противолежащий углу в 30˚, равен половине гипотенузы.

И обратно, если в треугольнике катет вдвое меньше гипотенузы, то напротив него лежит угол в 30˚.

3. Теорема Пифагора:

, где – катеты, – гипотенуза. Видеодоказательство

4. Площадь прямоугольного треугольника с катетами :

5. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе выражается через катеты и гипотенузу следующим образом:

6. Центр описанной окружности – есть середина гипотенузы.

7. Радиус описанной окружности есть половина гипотенузы :

8. Медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине

9. Радиус вписанной окружности выражается через катеты и гипотенузу следующим образом:

Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике смотрите здесь.

Источник

Прямоугольный треугольник. Теорема Пифагора.

теория по математике 📈 планиметрия

Если в треугольнике есть угол, равный 90 градусов, то такой треугольник называется прямоугольным. Стороны прямоугольного треугольника называются – катеты и гипотенуза. Катеты – это стороны, образующие прямой угол. Гипотенуза – сторона, которая располагается напротив прямого угла.

На рисунке треугольник АВС – прямоугольный, угол С равен 90º, стороны АС и ВС – катеты, а сторона АВ – гипотенуза.

Свойства прямоугольного треугольника

На рисунке изображен прямоугольный треугольник АВС, где CD – медиана, проведенная к гипотенузе. По свойству – медиана CD=0,5АВ, то есть AD=DB=CD.

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Существует 4 признака равенства прямоугольных треугольников:

Чтобы быстрее запомнить данные признаки, можно использовать их краткую трактовку:

Теорема Пифагора

Древнегреческий философ, ученый, математик – Пифагор Самосский вывел теорему, которая до сих применима для решения задач. Теорема названа в честь него – «теорема Пифагора».

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

На рисунке в прямоугольном треугольнике АВ 2 =АС 2 +ВС 2

Египетский треугольник

Треугольник со сторонами 3, 4 и 5 см называют Египетским треугольником.

Пифагоровы тройки

Источник

Треугольник. Решение прямоугольного треугольника.

Решение треугольников — исторический термин, который означают решение главной тригонометрической задачи: из известных данных о треугольнике (сторона, угол и так далее) найти другие характеристики этого треугольника.

Для решения задач на определение сторон и углов прямоугольного треугольника необходимо вспомнить определения sin, cos и tg.

В случае с прямоугольными треугольниками: всегда известен 1-ин из углов — равный 90 градусам. Нежно найти еще 2 элемента, хотя бы один из них — сторона. Обычно обозначают так: вершина прямого угла буквой C, а гипотенуза — c. Катеты обозначают буквами a и b, а величины противоположных им углов — α и β.

Формулы для расчета очень упрощаются, т.к. вместо теорем sin и cos используют более простое соотношение — теорему Пифагора:

и определения sin и cos:

Кроме того известно, что углы α и β являются острыми, т.к. сумма всех углов треугольника равняется 90°. Значит, каждый из неизвестных углов точно можно определить по всякой из его тригонометрических функций (sin, cos, tg и др.) методом вычисления соответствующей обратной тригонометрической функции.

Так как 1-на из известных величин является прямым углом, случай «3 стороны» исключаем из рассмотрения. Другие случаи:

При правильной постановке задачи (когда известна гипотенуза и катет, значит катет меньше гипотенузы; когда известен 1 из углов кроме прямого, значит он острый) решение всегда есть и оно единственно.

2. Дальше везде предполагают, что взаимное расположение заданных характеристик треугольника известно; если это не так, значит, зеркальное отражение построенного треугольника также окажется решением задачи. К примеру, 3 стороны точно определяют треугольник с точностью до отражения.

3. Каждый треугольник подразумевается невырожденным, т.е. длина стороны не может быть равной нулю, а величина угла — неотрицательное число, меньшее 180°.

Источник

Свойства прямоугольного треугольника

В данной публикации мы рассмотрим определение и свойства прямоугольного треугольника. Также разберем пример решения задачи для закрепления изложенного материала.

Определение прямоугольного треугольника

Прямоугольным называют треугольник, в котором один из трех углов является прямым, т.е. равным 90°.

Прямоугольный треугольник может быть равнобедренным – когда оба катета равны, а угол между каждым из них и гипотенузой составляет 45°.

Свойства прямоугольного треугольника

Свойство 1

Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равняется 90°.

α + β = 90°

Сумма всех углов любого треугольника составляет 180°. Т.к. один угол равен 90°, на два других, также, остается 90°.

Свойство 2

Катет прямоугольного треугольника, расположенный напротив угла в 30°, равняется половине его гипотенузы.

В нашем случае, катет AB лежит напротив ∠ACB = 30°. Следовательно:

Если длина одного из катетов прямоугольного треугольника в два раза меньше длины его гипотенузы, значит угол напротив этого катета равняется 30°.

Свойство 3

Терему Пифагора можно, также, отнести к свойствам прямоугольного треугольника. Согласно ее формулировке, сумма квадратов катетов (a и b) равняется квадрату гипотенузы (c).

Таким образом, гипотенуза прямоугольного треугольника больше любого из его катетов.

Свойство 4

Медиана, опущенная на гипотенузу прямоугольного треугольника (проведенная из вершины прямого угла), равняется половине гипотенузы.

Свойство 5

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника – это центр описанной вокруг него окружности.

Согласно свойству 4, рассмотренному выше, медиана BO равняется половине гипотенузы AC и, одновременно, радиусу окружности, описанной вокруг △ABC.

Пример задачи

В качестве примера давайте рассмотрим второе свойство, представленное выше. Допустим у нас имеется прямоугольный треугольник ABC с прямым углом в вершине C. Катет BC расположен напротив угла в 30°. Нужно доказать, что BC в два раза меньше гипотенузы AB.

Решение

Нарисуем чертеж по условиям задачи, и зеркально отразим получившийся треугольник.

Получаем △ABD, в котором ∠BAD равен 60° (30° + 30°). Т.к. все три угла данного треугольника равны, он является равносторонним. Следовательно, AD = AB = BD.

Отрезки BC и CD равны между собой (зеркально отраженные), и каждый из них составляет половину BD. Как мы уже выяснили, BD равняется AB.

Таким образом, BC в два раза меньше AB (или AB = 2BC).

Источник

Прямоугольный треугольник (ЕГЭ 2022)

Ты, наверно, знаешь, что треугольники – очень полезная штука. А местами даже таинственная. Сегодня мы раскроем все «тайны» о прямоугольном треугольнике.

Ну, хотя бы те, что возникают в математике и пригодятся тебе на ЕГЭ 🙂

А хочешь научиться решать задачи? Мы прикрутим в этот пост вебинары с нашего курса подготовки к ЕГЭ. Обязательно посмотри их и ты сможешь решить любую задачу на эту тему.

Прямоугольный треугольник — коротко о главном

Прямоугольный треугольник –треугольник, у которого один из углов – прямой (= \( \displaystyle <<90>^<\circ >>\)).

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: \( <^<2>>+<^<2>>=<^<2>>\).

Признаки равенства прямоугольных треугольников:

Признаки подобия прямоугольных треугольников:

Синус, косинус, тангенс, котангенс в прямоугольном треугольнике:

Высота прямоугольного треугольника

Медиана и описанная окружность

Вписанная окружность

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности:

Площадь прямоугольного треугольника:

Источник