Что значит решить функцию

Что такое функция?

7 класс, 11 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Понятие функции

Определение функции можно сформулировать по-разному. Рассмотрим несколько вариантов, чтобы усвоить наверняка.

1. Функция — это взаимосвязь между величинами, то есть зависимость одной переменной величины от другой.

Знакомое обозначение y = f (x) как раз и выражает идею такой зависимости одной величины от другой. Величина у зависит от величины х по определенному закону, или правилу, которое обозначается f.

Вывод: меняя х (независимую переменную, или аргумент) — меняем значение у.

2. Функция — это определенное действие над переменной.

Значит, можно взять величину х, как-то над ней поколдовать — и получить соответствующую величину у.

В технической литературе можно встретить такие определения функции для устройств, в которых на вход подается х — на выходе получается у. Схематично это выглядит так:

В этом значении слово «функция» используют и в далеких от математики областях. Например, так говорят о функциях ноутбука, костей в организме или даже о функциях менеджера в компании. В каждом перечисленном случае речь идет именно о неких действиях.

3. Функция — это соответствие между двумя множествами, причем каждому элементу первого множества соответствует один элемент второго множества. Это самое популярное определение в учебниках по математике.

Например, в функции у = 2х каждому действительному числу х ставит в соответствие число в два раза большее, чем х.

Область определения — множество х, то есть область допустимых значений выражения, которое записано в формуле.

Например, для функции вида

область определения выглядит так:

И записать это можно так: D (y): х ≠ 0.

Область значений — множество у, то есть это значения, которые может принимать функция.

Например, естественная область значений функции y = x2 — это все числа больше либо равные нулю. Можно записать вот так: Е (у): у ≥ 0.

Для примера рассмотрим соответствие между двумя множествами — человек-владелец странички в инстаграм и сама страничка, у которой есть владелец. Такое соответствие можно назвать взаимно-однозначным — у человека есть страничка, и это можно проверить. И наоборот — по аккаунту в инстаграм можно проверить, кто им владеет.

В математике тоже есть такие взаимно-однозначные функции. Например, линейная функция у = 3х +2. Каждому значению х соответствует одно и только одно значение у. И наоборот — зная у, можно сразу найти х.

Источник

Что значит решить функцию

Длина отрезка на координатной оси находится по формуле:

Длина отрезка на координатной плоскости ищется по формуле:

Для нахождения длины отрезка в трёхмерной системе координат используется следующая формула:

Функция – это соответствие вида y = f(x) между переменными величинами, в силу которого каждому рассматриваемому значению некоторой переменной величины x (аргумента или независимой переменной) соответствует определенное значение другой переменной величины, y (зависимой переменной, иногда это значение просто называют значением функции). Обратите внимание, что функция подразумевает, что одному значению аргумента х может соответствовать только одно значение зависимой переменной у. При этом одно и то же значение у может быть получено при различных х.

Область определения функции – это все значения независимой переменной (аргумента функции, обычно это х), при которых функция определена, т.е. ее значение существует. Обозначается область определения D(y). По большому счету Вы уже знакомы с этим понятием. Область определения функции по другому называется областью допустимых значений, или ОДЗ, которую Вы давно умеете находить.

Область значений функции – это все возможные значения зависимой переменной данной функции. Обозначается Е(у).

Функция возрастает на промежутке, на котором большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция убывает на промежутке, на котором большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Промежутки знакопостоянства функции – это промежутки независимой переменной, на которых зависимая переменная сохраняет свой положительный или отрицательный знак.

Нули функции – это такие значения аргумента, при которых величина функции равна нулю. В этих точках график функции пересекает ось абсцисс (ось ОХ). Очень часто необходимость найти нули функции означает необходимость просто решить уравнение. Также часто необходимость найти промежутки знакопостоянства означает необходимость просто решить неравенство.

Функцию y = f(x) называют четной, если она определена на симметричном множестве и для любого х из области определения выполняется равенство:

Это означает, что для любых противоположных значений аргумента, значения четной функции равны. График чётной функции всегда симметричен относительно оси ординат ОУ.

Функцию y = f(x) называют нечетной, если она определена на симметричном множестве и для любого х из области определения выполняется равенство:

Это означает, что для любых противоположных значений аргумента, значения нечетной функции также противоположны. График нечётной функции всегда симметричен относительно начала координат.

Сумма корней чётной и нечетной функций (точек пересечения оси абсцисс ОХ) всегда равна нулю, т.к. на каждый положительный корень х приходится отрицательный корень –х.

Важно отметить: некоторая функция не обязательно должна быть четной либо нечетной. Существует множество функций не являющихся ни четными ни нечетными. Такие функции называются функциями общего вида, и для них не выполняется ни одно из равенств или свойств приведенных выше.

График линейной функции

Линейной функцией называют функцию, которую можно задать формулой:

Графики других функций

Степенной функцией называют функцию, заданную формулой:

Приведем несколько примеров графиков степенных функций:

Обратно пропорциональной зависимостью называют функцию, заданную формулой:

В зависимости от знака числа k график обратно пропорциональной зависимости может иметь два принципиальных варианта:

Показательной функцией с основанием а называют функцию, заданную формулой:

В зависимости от того больше или меньше единицы число a график показательной функции может иметь два принципиальных варианта (приведем также примеры, см. ниже):

Логарифмической функцией называют функцию, заданную формулой:

В зависимости от того больше или меньше единицы число a график логарифмической функции может иметь два принципиальных варианта:

График функции y = |x| выглядит следующим образом:

Графики периодических (тригонометрических) функций

Функция у = f(x) называется периодической, если существует такое, неравное нулю, число Т, что f(x + Т) = f(x), для любого х из области определения функции f(x). Если функция f(x) является периодической с периодом T, то функция:

где: A, k, b – постоянные числа, причем k не равно нулю, также периодическая с периодом T₁, который определяется формулой:

График функции y = cosx называется косинусоидой. Этот график изображен на следующем рисунке. Так как и график синуса он бесконечно продолжается вдоль оси ОХ влево и вправо:

График функции y = tgx называют тангенсоидой. Этот график изображен на следующем рисунке. Как и графики других периодических функций, данный график неограниченно далеко повторяется вдоль оси ОХ влево и вправо.

Ну и наконец, график функции y = ctgx называется котангенсоидой. Этот график изображен на следующем рисунке. Как и графики других периодических и тригонометрических функций, данный график неограниченно далеко повторяется вдоль оси ОХ влево и вправо.

Как успешно подготовиться к ЦТ по физике и математике?

Для того чтобы успешно подготовиться к ЦТ по физике и математике, среди прочего, необходимо выполнить три важнейших условия:

Успешное, старательное и ответственное выполнение этих трех пунктов, а также ответственная проработка итоговых тренировочных тестов, позволит Вам показать на ЦТ отличный результат, максимальный из того, на что Вы способны.

Нашли ошибку?

Если Вы, как Вам кажется, нашли ошибку в учебных материалах, то напишите, пожалуйста, о ней на электронную почту (адрес электронной почты здесь). В письме укажите предмет (физика или математика), название либо номер темы или теста, номер задачи, или место в тексте (страницу) где по Вашему мнению есть ошибка. Также опишите в чем заключается предположительная ошибка. Ваше письмо не останется незамеченным, ошибка либо будет исправлена, либо Вам разъяснят почему это не ошибка.

ЗАПРЕЩЕНО использование представленных на сайте материалов или их частей в любых коммерческих целях, а также их копирование, перепечатка, повторная публикация или воспроизведение в любой форме. Нарушение прав правообладателей преследуется по закону. Подробнее.

Источник

Как решать задачи на функцию

Прежде чем перейти к разбору решения задач с функциями обязательно прочитайте урок «Что такое функция в математике».

После того, как вы действительно поймете, что такое функция (возможно, придется прочитать урок не один раз) вы с бóльшей уверенностью сможете решать задания с функциями.

В этом уроке мы разберем, как решать основные типы задач на функцию и графики функций.

Как получить значение функции

Рассмотрим задание. Функция задана формулой « y = 2x − 1 »

Для того, чтобы вычислить « y » при « x = 15 » достаточно подставить в функцию вместо « x » необходимое числовое значение.

Запись решения выглядит следующим образом.

Для того, чтобы найти « x » по известному « y », необходимо подставить вместо « y » в формулу функции числовое значение.

Мы получили линейное уравнение с неизвестным « x », которое решается по правилам решения линейных уравнений.

Не забывайте про правило переноса в уравнениях.

Как и при решении линейного уравнения, чтобы найти неизвестное, сейчас требуется умножить и левую, и правую часть на « −1 » для смены знака.

Как проверить верно ли равенство для функции

Рассмотрим задание. Функция задана формулой « f(x) = 2 − 5x ».

Верно ли равенство « f(−2) = −18 »?

Чтобы проверить верно ли равенство, нужно подставить в функцию « f(x) = 2 − 5x » числовое значение « x = −2 » и сопоставить с тем, что получится при расчетах.

Когда подставляете отрицательное число вместо « x », обязательно заключайте его в скобки.

Не забывайте использовать правило знаков.

Неправильно

Правильно

С помощью расчетов мы получили « f(−2) = 12 ».

Это означает, что « f(−2) = −18 » для функции « f(x) = 2 − 5x » не является верным равенством.

Как проверить, что точка принадлежит графику функции

Рассмотрим функцию « y = x 2 −5x + 6 »

Для этой задачи нет необходимости, строить график заданной функции.

Чтобы определить, принадлежит ли точка функции, достаточно подставить её координаты в функцию (координату по оси « Ox » вместо « x » и координату по оси « Oy » вместо « y »).

Вместо « x » подставим « 1 ». Вместо « y » подставим « 2 ».

У нас получилось верное равенство, значит, точка с координатами (1; 2) принадлежит заданной функции.

Вместо « x » подставим « 0 ». Вместо « y » подставим « 1 ».

В этом случае мы не получили верное равенство. Это означает, что точка с координатами (0; 1) не принадлежит функции « y = x 2 − 5x + 6 »

Как получить координаты точки функции

С любого графика функции можно снять координаты точки. Затем необходимо убедиться, что при подстановке координат в формулу функции получается верное равенство.

Рассмотрим функцию « y(x) = −2x + 1 ». Её график мы уже строили в предыдущем уроке.

Для этого из значения « 2 » на оси « Ox » проведем перпендикуляр к графику функции. Из точки пересечения перпендикуляра и графика функции проведем еще один перпендикуляр к оси « Oy ».

Полученное значение « −3 » на оси « Oy » и будет искомым значением « y ».

Убедимся, что мы правильно сняли координаты точки для x = 2
в функции « y(x) = −2x + 1 ».

Значит, мы правильно получили координаты с графика функции.

Все полученные координаты точки с графика функции обязательно проверяйте подстановкой значений « x » в функцию.

При подстановке числового значения « x » в функцию в результате должно получиться то же значение « y », которое вы получили на графике.

При получении координат точек с графика функции высока вероятность, что вы ошибетесь, т.к. проведение перпендикуляра к осям выполняется «на глазок».

Только подстановка значений в формулу функции дает точные результаты.

Источник

Построение графиков функций

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Понятие функции

Функция — это зависимость y от x, где x является переменной или аргументом функции, а y — зависимой переменной или значением функции.

Задать функцию значит определить правило, в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие ее значения. Вот, какими способами ее можно задать:

Область определения — множество х, то есть область допустимых значений выражения, которое записано в формуле.

Например, для функции вида область определения выглядит так

Область значений — множество у, то есть это значения, которые может принимать функция.

Например, естественная область значений функции y = x² — это все числа больше либо равные нулю. Можно записать вот так: Е (у): у ≥ 0.

Понятие графика функции

Графиком функции y = f(x) называется множество точек (x; y), координаты которых связаны соотношением y = f(x). Само равенство y = f(x) называется уравнением данного графика.

График функции — это множество точек (x; y), где x — это аргумент, а y — значение функции, которое соответствует данному аргументу.

Проще говоря, график функции показывает множество всех точек, координаты которых можно найти, просто подставив в функцию любые числа вместо x.

Для примера возьмём самую простую функцию, в которой аргумент равен значению функции, то есть y = x.

В этом случае нам не придётся вычислять для каждого аргумента значение функции, так как они равны, поэтому у всех точек нашего графика абсцисса будет равна ординате.

Если мы последовательно от наименьшего значения аргумента к большему соединим отмеченные точки, то у нас получится прямая линия. Значит графиком функции y = x является прямая. На графике это выглядит так:

Надпись на чертеже y = x — это уравнение графика. Ставить надпись с уравнением на чертеже удобно, чтобы не запутаться в решении задач.

Важно отметить, что прямая линия бесконечна в обе стороны. Хоть мы и называем часть прямой графиком функции, на самом деле на чертеже изображена только малая часть графика.

Исследование функции

Важные точки графика функции y = f(x):

Стационарные точки — точки, в которых производная функции f(x) равна нулю.

Критические точки — точки, в которых производная функции f(x) равна нулю либо не существует. Стационарные точки являются подмножеством множества критических точек.

Экстремум в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума.

Нули функции — это значения аргумента, при которых функция равна нулю.

Асимптота — прямая, которая обладает таким свойством, что расстояние от точки графика функции до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат. По способам их отыскания выделяют три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные, наклонные.

Функция непрерывна в точке k, если предел функции в данной точке равен значению функции в этой точке:

Если функция f(x) не является непрерывной в точке x = a, то говорят, что f(x) имеет разрыв в этой точке.

Если нам нужно построить график незнакомой функции, когда заранее невозможно представить вид графика, полезно применять схему исследования свойств функции. Она поможет составить представление о графике и приступить к построению по точкам.

Схема построения графика функции:

У нас есть отличные курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы!

Построение графика функции

Чтобы понять, как строить графики функций, потренируемся на примерах.

Задача 1. Построим график функции

Упростим формулу функции:

Задача 2. Построим график функции

Выделим в формуле функции целую часть:

График функции — гипербола, сдвинутая на 3 вправо по x и на 2 вверх по y и растянутая в 10 раз по сравнению с графиком функции

Выделение целой части — полезный прием, который применяется в решении неравенств, построении графиков и оценке целых величин.

Задача 3. По виду графика определить знаки коэффициентов общего вида функции y = ax2 + bx + c.

Вспомним, как параметры a, b и c определяют положение параболы.

Ветви вниз, следовательно, a 0.

Точка пересечения с осью Oy — c = 0.

Координата вершины , т.к. неизвестное число при делении на положительное дает отрицательный результат, то это число отрицательное, следовательно, b > 0.

Ветви вниз, следовательно, a 0.

Координата вершины , т.к. неизвестное число при делении на отрицательное дает в результате положительное, то это число отрицательное, следовательно, b

k = 2 > 0 — угол наклона к оси Ox острый, B = 0 — график проходит через начало координат.

Задача 5. Построить график функции

Это дробно-рациональная функция. Область определения функции D(y): x ≠ 4; x ≠ 0.

Нули функции: 3, 2, 6.

Промежутки знакопостоянства функции определим с помощью метода интервалов.

Вертикальные асимптоты: x = 0, x = 4.

Если x стремится к бесконечности, то у стремится к 1. Значит, y = 1 — горизонтальная асимптота.

Вот так выглядит график:

Задача 6. Построить графики функций:

б)

г)

д)

Когда сложная функция получена из простейшей через несколько преобразований, то преобразования графиков можно выполнить в порядке арифметических действий с аргументом.

а)

Преобразование в одно действие типа f(x) + a.

Сдвигаем график вверх на 1:

б)

Сдвигаем график вправо на 1:

Сдвигаем график вправо на 1:

Сдвигаем график вверх на 2:

г)

Преобразование в одно действие типа

Растягиваем график в 2 раза от оси ординат вдоль оси абсцисс:

д)

Чтобы выполнить преобразования, посмотрим на порядок действий: сначала умножаем, затем складываем, а уже потом меняем знак. Чтобы применить умножение ко всему аргументу модуля в целом, вынесем двойку за скобки в модуле.

Сжимаем график в два раза вдоль оси абсцисс:

Сдвигаем график влево на 1/2 вдоль оси абсцисс:

Отражаем график симметрично относительно оси абсцисс:

Источник