Что значит разложить на множители число
Разложение числа на простые множители
Простой множитель — это множитель, который представляет собой простое число.
Любое составное число можно представить в виде произведения простых чисел.
Пример. Представим в виде произведения простых множителей числа 4, 6 и 8:
Правые части полученных равенств называются разложением на простые множители.
Разложение на простые множители — это представление составного числа в виде произведения простых множителей.
Разложить составное число на простые множители — значит представить это число в виде произведения простых множителей.
Простые множители в разложении числа могут повторяться. Повторяющиеся простые множители можно записывать более компактно — в виде степени.
24 = 2 · 2 · 2 · 3 = 2 3 · 3.
Примечание. Простые множители обычно записывают в порядке их возрастания.
Как разложить число на простые множители
Последовательность действий при разложении числа на простые множители:
Пример. Разложите число 102 на простые множители.
Начинаем поиск наименьшего простого делителя числа 102. Для этого последовательно подбираем самое маленькое простое число из таблицы простых чисел, на которое 102 разделится без остатка. Берём число 2 и пробуем разделить на него 102, получаем:
Число 102 разделилось на 2 без остатка, поэтому 2 — первый найденный простой множитель. Так как делимое равно делителю, умноженному на частное, то можно написать:
Переходим к следующему шагу. Проверяем по таблице простых чисел, не является ли полученное частное простым числом. Число 51 составное. Начиная с числа 2, подбираем из таблицы простых чисел наименьший простой делитель числа 51. Число 51 не делится нацело на 2. Переходим к следующему числу из таблицы простых чисел (к числу 3) и пробуем разделить на него 51, получаем:
Число 51 разделилось на 3, поэтому 3 — второй найденный простой множитель. Теперь мы можем и число 51 представить в виде произведения. Этот процесс можно записать так:
102 = 2 · 51 = 2 · 3 · 17.
Проверяем по таблице простых чисел, не является ли полученное частное простым числом. Число 17 простое. Значит наименьшим простым числом, на которое делится 17, будет само это число:
Так как в частном у нас получилась единица, то разложение закончено. Таким образом, разложение числа 102 на простые множители имеет вид:
Ответ: 102 = 2 · 3 · 17.
В арифметике имеется ещё другая форма записи, облегчающая процесс разложения составных чисел. Она состоит в том, что весь процесс разложения записывают столбиком (в две колонки, разделённые вертикальной чертой). Слева от вертикальной черты, сверху вниз, записывают последовательно: данное составное число, затем получающиеся частные, а справа от черты — соответствующие наименьшие простые делители.
Пример. Разложить на простые множители число 120.
Пишем число 120 и справа от него проводим вертикальную черту:
Справа от черты записываем самый маленький простой делитель числа 120:
Выполняем деление и получившееся частное (60) записываем под данным числом:
Подбираем наименьший простой делитель для 60, записываем его справа от вертикальной черты под предыдущим делителем и выполняем деление. Продолжаем процесс до тех пор, пока в частном не получится единица:
В частном у нас получилась единица, значит разложение закончено. После разложения в столбик множители следует выписать в строчку:
Ответ: 120 = 2 3 · 3 · 5.
Составное число разлагается на простые множители единственным образом.
Это значит, что если, например, число 20 разложилось на две двойки и одну пятёрку, то оно и всегда будет так разлагаться независимо от того, начнём ли мы разложение с малых множителей или с больших. Принято начинать разложение с малых множителей, т. е. с двоек, троек и т. д.
Калькулятор разложения на множители
Разложение чисел на простые множители, способы и примеры разложения.
В этой статье Вы найдете всю необходимую информацию, отвечающую на вопрос, как разложить число на простые множители. Сначала дано общее представление о разложении числа на простые множители, приведены примеры разложений. Дальше показана каноническая форма разложения числа на простые множители. После этого дан алгоритм разложения произвольных чисел на простые множители и приведены примеры разложения чисел с использованием этого алгоритма. Также рассмотрены альтернативные способы, позволяющие быстро раскладывать небольшие целые числа на простые множители с использованием признаков делимости и таблицы умножения.
Навигация по странице.
Что значит разложить число на простые множители?
Сначала разберемся с тем, что такое простые множители.
А что же значит разложить число на простые множители?
Возникает следующий вопрос: «А какие вообще числа можно разложить на простые множители»?
Но все ли целые числа, превосходящие единицу, раскладываются на простые множители?
Каноническое разложение числа на простые множители
Каноническое разложение числа на простые множители позволяет найти все делители числа и число делителей числа.
Алгоритм разложения числа на простые множители
Чтобы успешно справиться с задачей разложения числа на простые множители, нужно очень хорошо владеть информацией статьи простые и составные числа.
Заметим, что в общем случае для разложения на простые множители числа a нам потребуется таблица простых чисел до числа, не меньшего, чем 
. К этой таблице нам придется обращаться на каждом шаге, так что ее нужно иметь под рукой. Например, для разложения на простые множители числа 95 нам будет достаточно таблицы простых чисел до 10 (так как 10 больше, чем 
). А для разложения числа 846 653 уже будет нужна таблица простых чисел до 1 000 (так как 1 000 больше, чем 
).
Теперь мы обладаем достаточными сведениями, чтобы записать алгоритм разложения числа на простые множители. Алгоритм разложения числа a таков:
Осталось лишь рассмотреть несколько примеров применения полученного алгоритма для разложения чисел на простые множители.
Примеры разложения на простые множители
Сейчас мы подробно разберем примеры разложения чисел на простые множители. При разложении будем применять алгоритм из предыдущего пункта. Начнем с простых случаев, и постепенно их будем усложнять, чтобы столкнуться со всеми возможными нюансами, возникающими при разложении чисел на простые множители.
Урок 5 Бесплатно Разложение на простые множители
Разложение на простые множители
Недавно мы с вами разобрались, что существуют три группы чисел: простые, составные и единица, которая не относится к ним.
На рисунке можно увидеть это деление.
Составные числа всегда можно представить в виде пары множителей, больших единицы.
Например:
Видим, что было дано число 60. Мы его расписали как произведение чисел, больших единицы: 2 и 3, 2 и 5
Если посмотреть внимательно, видно, что все множители в нашем случае являются простыми числами. То есть, мы разложили на простые множители число 60
Можно сделать вывод, что каждое из составных чисел записывается единственным образом в виде произведения простых чисел.
Мы с вами познакомились с основной теоремой арифметики для натуральных чисел.
Если разложить любое натуральное число на простые множители, то всегда получим одни и те же простые множители, просто в разном порядке.
Например, представим число 390 в виде произведения простых чисел.
Таким образом, чтобы разложить натуральное число на простые множители, нужно:
Пример:
Решение
Ответ: Шифр 413222
Пример:
Разложите на множители число 60 всеми возможными способами:
Решение
Пример:
Разложить на простые множители числа: 2520, 4100, 472, 888
Решение
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
Мы с вами узнали, что простыми называются числа, у которых всего два делителя: единица и само это число, например, 19, 23 и многие другие. Искать эти числа начали еще в третьем столетии до нашей эры, когда были приведено доказательство того, что их количество бесконечно. Это сделал учёный-математик Евклид.
Но до развития ЭВМ в 20 веке нашей эры поиск простых чисел был проблемным, так как вычисления производились вручную. Компьютерная техника позволила сделать рывок в поиске и изучении простых чисел. Например, в 1985 году самое большое из найденных простых чисел содержало в себе 65050 цифр.
В наше время этот рекорд уже побит. Каждый раз для этого компьютер отбирает число и делит его на все известные простые числа. Поиск не останавливается, и энтузиасты ищут дальше.
Спрашивается, зачем всё это делается? Ответ таков: простые числа широко используются в науке, особенное место занимают в криптографии при разработке шифров. Поэтому изучение простых чисел и поиск новых кандидатов оправдан.
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Второй способ разложения на простые множители
Натуральное число можно разложить на простые множители и другим способом:
Ниже можно увидеть пример того, как нужно оформить такой способ нахождения разложения.
В итоге мы получили разложение на простые множители.
Получается, что составное число можно поделить без остатка только на те простые числа, из которых можно записать разложение этого числа на простые множители.
Составное натуральное число можно разделить без остатка на те составные числа, разложения которых на простые множители входят целиком в разложение нашего числа.
Пример:
Разложите вторым способом числа на простые множители.
а) 48
б) 3600
в) 532
г) 780
д) 8160
е) 624
Решение
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
Великий русский математик Пафнутий Львович Чебышев (1821-1894) занимался изучением свойств простых чисел.
Ему удалось доказать интересный факт: между любым натуральным числом, большим 1, и удвоенным числом, есть хотя бы одно простое число. Ниже представлены несколько примеров в подтверждение этого факта:
По этим примерам видно, что есть хотя бы одно простое число между числом и его удвоенным результатом.
Христиан Гольдбах (1690-1764), известный математик, служивший более 250 лет назад в Академии наук в Санкт- Петербурге, предположил, что для всех нечётных чисел, больших 5, можно составить сумму из трех простых чисел.
Посмотрим, как это может выглядеть на примерах:
7 = 2 + 2 + 3
11 = 3 + 3 + 5
19= 5 + 7 + 7
31= 13 + 13 + 5
Виноградов И.М. (1891-1983), известный советский математик, доказал его предположение спустя 200 лет.
Но есть утверждение, которое остаётся не доказанным до сих пор: «Любое четное число, больше 2, можно представить в виде суммы двух простых чисел».
12 = 5 + 7
18 = 7 + 11
26 = 13 + 13
36 = 17 + 19
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Интересная информация
Закономерность между расположением простых чисел на числовой прямой так и остается загадкой с древнейших времён.
Уже точно известно, что простых чисел бесчисленное множество и никто не знает точное их количество.
При Эратосфене появился первый алгоритм того, как можно определить, простое перед нами число или нет.
Начиная с работ известных математиков Эйлера и Ферма, множество других ученых до сих пор пытаются разгадать тайну простых чисел.
Придумано и описано несколько алгоритмов, закономерностей, но они работают только для небольшого количества простых чисел. А для всех сразу уже возникают проблемы.
К числу таких проблем относится так называемая гипотеза Римана. За её решение, а так же за решение других шести проблем тысячелетия предлагается премия в размере одного миллиона долларов.
На сегодняшний день ученые уже говорят о 23 проблемах, которые появились в более позднее время и тоже относятся к неразрешенным.
Рассмотрим 2 проблемы по изучаемой нами теме.
Первая проблема Ландау.
Каждое чётное число, большее 2, записывается как сумма двух простых чисел, а каждое нечётное число, большее 5, записывается как сумма трёх простых чисел.
Примеры:
14 = 7 + 7
17 = 5 + 5 + 7
22 = 11 + 11
23 = 11+5+7
51 = 1 + 13 + 37
Вторая проблема Ландау.
1. Среди чисел нашлись «близнецы»:
3 и 5; 5 и 7; 7 и 9; 11 и 13, 17 и 19; 41 и 43;
2. Пары близнецов состоят из двойников с общим элементом. Математики смогли найти такие пары близнецов-«двойников» (3, 5) и (5, 7).
Мы знаем, что число простых чисел неограничено, но бесконечность количества пар близнецов не была доказана или опровергнута.
Заключительный тест
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Множитель. Разложение числа на множители Факторизация.
Простые и составные числа.
Все целые числа (кроме 0 и 1) имеют минимум два делителя: 1 и самого себя. Числа, не имеющие других делителей, называются простыми числами. Числа, имеющие другие делители, называются составными (или сложными) числами. Простых чисел – бесконечное множество. Ниже приведены простые числа, не превосходящие 200:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43,
47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101,
103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151,
157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199.
Умножение — одно из четырёх основных арифметических действий, бинарная математическая операция, в которой один аргумент складывается столько раз, сколько показывает другой. В арифметике под умножением понимают краткую запись сложения указанного количества одинаковых слагаемых.
Например, запись 5*3 обозначает «сложить три пятёрки», то есть 5+5+5. Результат умножения называется произведением, а умножаемые числа — множителями или сомножителями. Первый множитель иногда называется «множимое».
Всякое составное число можно разложить на простые множители. При любом способе получается одно и то же разложение, если не учитывать порядка записи множителей.
Разложение числа на множители ( Факторизация ).
Разложение на множители (факторизация) – перебор делителей — алгоритм факторизации или тестирования простоты числа путем полного перебора всех возможных потенциальных делителей.
Т.е., простым языком, факторизация – это название процесса разложения чисел на множители, выраженное научным языком.
Последовательность действий при разложении на простые множители:
1. Проверяем, не является ли предложенное число простым.
2. Если нет, то подбираем, руководствуясь признаками деления делитель, из простых чисел начиная с наименьшего (2, 3, 5 …).
3. Повторяем это действие до тех пор, пока частное не окажется простым числом.
Разложим на простые множители число 27 :
Математика
Именная карта банка для детей
с крутым дизайном, +200 бонусов
Закажи свою собственную карту банка и получи бонусы
План урока:
Все вещи можно представить в виде чисел.
Рассмотрим привычный всем карандаш. Привычный, обыденный предмет. Большинство людей даже не задумываются, из чего он состоит.
На самом деле, для изготовления карандаша понадобится древесина, грифель, краска. И это самый простейший перечень составляющих. Ведь собственные составляющие имеют краска, грифель, древесина. Поэтому список компонентов, необходимых для изготовления обычного карандаша, можно продолжать очень долго. Точно так происходит и с математическими числами. Каждое число имеет свой состав, в зависимости от состава – название.
А из чего состоят числа? Какие бывают? Как разложить число? На эти и многие другие вопросы ищите ответы в нашем уроке!
Простые и составные числа
На столе лежало 2 яблока, 4 апельсина. Сколько детей, смогут полакомиться, каждым видом фруктов?
Чтобы ответить на главный вопрос задачи нужно выяснить на какое количество человек можно разделить фрукты, не деля их на части (целыми).
В математике такие числа называют простыми
Получается, четыре мы можем разделить на 1, на само себя и еще на два. Такой вид чисел в арифметике называют составными:
Разложение на простые множители
В математике возникают ситуации, когда для выполнения определенных вычислений нужно знать, какие множители входят в состав того, или иного числа.
Например в состав 6, входит два простых множителя:
А как быть с большими числами, в записи, которых 2 и более знака? Как правильно выполнять и записывать разложение на простые множители?
Что значит «Разложить на простые множители?».
В арифметике для выполнения разложения на простые множители, существует специальный вид записи и алгоритм действий.
Давайте рассмотрим алгоритм действий:
Запись разложения числа на простые множители выполняется столбиком, состоящим из двух колонок. В правой колонке записываем делимое и полученное частное, в левой – пишем подходящие, простые делители. Между собой колонки разделены вертикальной чертой:
Разложим на множители число 20.
Для выполнения данного задания, используем рассмотренный алгоритм.
20 можно разделить на: 1, 2, 4, 5, 10,20.
Мы подобрали шесть делителей, значит, делимое, является составным числом.
Для этого вспоминаем изученные признаки делимости, и проверяем данное число.
Начнем с наименьшего простого числа 2
Делимое 20 оканчивается цифрой 0, значит, оно делится без остатка на 2.
Далее, подбираем делитель к полученному частному. Опять начинаем с наименьшего простого числа 2. Так как запись 10, оканчивается 0, по признаку делимости, число делится на 2 без остатка:
В результате мы получили простое число, которое можно разделить, только на само себя (на 1 деление не выполняем, оно не является простым числом).
Когда в частном получилась единица, то говорят, разложение числа на простые множители окончено.
Давайте запишем данную математическую операцию.
Выполнять запись будем в столбик.
Сначала записываем делимое и проводим вертикальную черту.
Рядом, с правой стороны, пишем первый делитель.
Выполняем деление и записываем частное под делимым.
После, снова подбираем делитель к полученному частному, справа пишем подходящий делитель. Выполняем деление до тех пор, пока в результате не увидим 1.
Выходит, 20 = 2×2×5. Полученное выражение можно записать немного иначе. В записи использовано два одинаковых множителя, повторяющихся два раза. Используя определение степени
Ничего сложного. Главное – запомнить порядок действий!
Рассмотрим еще один пример.
Разложим число 156.
Чтобы выполнить данное задание используем правило разложения числа на простые множители.
Выполняем деление и частное запишем под делимым: 156 : 2 = 78.
Полученное частное (78) оканчивается четной цифрой, следовательно,делится на 2. Рядом записываем делитель, выполняем деление:
Новый результат оканчивается нечетной цифрой, поэтому на два разделить нельзя. Смотрим, подойдет ли в качестве делителя следующее – 3. Вспоминаем признак делимости на 3:
В записи 39 использованы цифры 3,9. Найдем их сумму:
Полученная сумма делится на 3, следовательно, все число делится на 3.
Записываем делитель и выполняем деление 39 : 3 = 13. Частное, пишем в левый столбик:
Частное 13 – простое, делится на 1 и на само себя. Поэтому:
Разложение на простые множители выполнено.
Очень важно запомнить рассмотренные определения и алгоритм, так как умение раскладывать число на простые множители пригодится вам в течение всего учебного процесса!
Минутка истории
Интерес ученых к простым числам проснулся в третьем веке до нашей эры. Первым заинтересовался Евклид, нашел доказательство, что ряд простых чисел бесконечен. К сожалению,перечень известных, пополнялся новыми, очень медленно, пока не появились первые вычислительные машины, самостоятельно подбирающие делители к огромным числовым значениям. В 1952 г. самое большое простое числовое значение, известное науке содержало 157 цифр, уже в 1985 году количество цифр стало 65050. Сегодня, математики продолжают работать над этим вопросом. Результатом проделанной работы стало открытие американскими учеными нового, самого большого простого числового значения, состоящего из 65087 цифр. Научные сотрудники более 12 месяцев проверяли, подходящие под требования числовые значения. Проверено более 350000 чисел, подобрано несколько миллиардов различных делителей.
В декабре 2018, американский разработчик Патрик Ларош, побил мировые рекорды и открыл наибольшее простое число 2 82 589 933 – 1. Количество цифр этого числа равно 24 862 048. За свое открытие Патрик получил премию в размере 2 миллионов долларов.