Что значит разложение на простые множители

Разложение числа на простые множители

Что значит разложение числа на простые множители

В теории чисел важная роль отводится классу простых чисел.

Простым называется такое число, большее единицы, которое не имеет иных делителей, кроме единицы и самого себя.

Например, к простым числам относят: 2, 7, 11, 13 и т. д.

Любое число может быть представлено в виде произведения простых чисел. Эти простые числа будут делителями заданного числа.

Делитель — это число, на которое делится нацело данное число.

Если число не простое, то его можно последовательно раскладывать на множители, пока все множители не окажутся простыми.

Число, которое отличается от нуля и единицы и не является простым, называют составным.

Например, составными числами являются: 4, 6, 8, 9, 10 и т. д.

Разложить число на простые множители = представить число в виде произведения простых чисел.

При разложении множители могут располагаться в любом порядке, но единственным образом. В этом заключается свойство единственности.

Каждое натуральное число N, которое больше единицы, может быть разложено на простые множители только одним способом.

Основные способы, описание алгоритмов

Составное число можно разложить на простые множители путем представления его в виде произведения меньших составных чисел, которые потом преобразуются в произведения простых чисел.

1 вариант

Больше составных чисел в произведении нет. Значит, разложение на множители закончено.

Вся цепочка разложения: 144 = 12 · 12 = 3 · 4 · 2 · 6 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 · 3 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3

Здесь есть повторяющиеся числа: двойка встречается 4 раза, тройка — 2 раза.

Тогда разложение можно упростить, представив выражение в виде произведения степеней чисел 2 и 3:

2 вариант

72 можно представить в виде произведения 6 и 12. Эти числа составные, тогда их можно разложить на множители:

В этих разложениях составным числом будет 4. Осталось представить 4 в виде произведения простых множителей:

Все множители в конечном варианте являются простыми, значит, разложение закончено.

Каноническое разложение числа на простые множители

Разложение на простые множители рассматривают как процесс последовательного деления заданного числа на простые числа. Для этого используют признаки делимости.

Алгоритм выполнения заданий на разложение числа на простые множители:

Разложите 18 на простые множители.

Записываем число 18 и проводим справа вертикальную черту.

Подбираем простое число, на которое делится 18. Самое маленькое число, на которое делится 18 — 2.

Записываем 2 справа от черты.

Делим 18 на 2. Результат деления записываем под 18.

Подбираем число, на которое делится 9 нацело. Этим простым числом является 3. Записываем 3 под 2.

Делим 9 на 3. Получаем 3. Подписываем 3 слева от черты под 9.

Подбираем простое число, на которое делится 3 нацело. Это 3. Подписываем 3 справа от черты.

Делим 3 на 3. Получаем 1. Подписываем 1 под 3 слева от черты.

Дошли до единицы в результатах деления, записанных слева от вертикальной черты. Значит, разложение на простые множители закончили.

Простые множители — делители — оказались записаны справа от вертикальной черты.

Использование признаков делимости

При разложении числа на простые множители также используют признаки делимости.

Примеры признаков:

При разложении числа 100 на простые множители воспользуемся признаками делимости. Число оканчивается нулем, значит, по признаку делимости на 10 оно делится нацело на 10.

Числа 2 и 5 являются простыми, тогда разложение можно записать:

Примеры решения задач для 6 класса

Разложить на простые множители число 218.

Чтобы разложить 218 на простые множители, воспользуемся соответствующим алгоритмом.

Пишем число 218 и отделяем его вертикальной чертой справа.

По признаку делимости определяем, что число 218 делится нацело на 2, потому что заканчивается четной цифрой 8. Справа от черты записываем делитель 2:

Теперь делим 218 на 2. Получим 109. Число 109 пишем слева от черты под 218:

Берем число 109. Определим его делитель. 109 — это простое число, поэтому оно делится только на 1 и на 109. Соответственно, пишем справа от черты делитель 109:

При делении 109 на 109 получаем 1.

Когда получили единицу в результате деления, заканчиваем разложение на простые множители.

Представьте в виде произведения простых множителей число 325.

Используем алгоритм разложения на простые множители: ищем самое маленькое простое число, на которое делится 325.

325 не делится нацело ни на 2 — число нечетное, ни на 3 — сумма цифр числа (3+2+5=10) не делится нацело на 3. Следующим простым числом является 5.

По признаку делимости: число 325 заканчивается на пять, значит, делится нацело на 5.

Число 65 делится нацело на 5 по признаку делимости:

Число 13 является простым. Значит, делителем станет само число:

В результате деления получили единицу, значит, разложение на простые множители закончено.

В разложении есть повторяющиеся числа: пять встречается два раза. Поэтому запись можно изменить:

Напишите все однозначные числа, разложение которых на простые множители состоит из двух одинаковых чисел.

Выделим однозначные составные числа: 4, 6, 8, 9.

Разложим каждое на простые множители:

Из них выберем те числа, разложение которых состоит из двух одинаковых чисел: 4 и 9.

Источник

Что такое множитель и разложение на простые множители

Дадим определение понятию «множитель» и разберемся что такое множитель. Какие множители бывают и почему некоторые из множителей — простые.

Определение множителя

В младших классах вы учили, что множители — это числа, которые мы умножаем, называя результат их умножения произведением.

Определения множителя как компонента умножения

Сейчас немного расширим понятие множителя.

Давайте рассмотрим определение множителя на примерах. Давайте определим где в представлении числа или выражения прячется множитель?

Пример 1

Пусть нам дано число 15. Это число можно представить в виде произведения . Значит, согласно определению 5 — это множитель, 3 — это тоже множитель.

Пример 2

Рассмотрим теперь выражение: . Это выражение можно представить в виде произведения . Получаем два множителя — первый множитель (2x-3) и второй множитель (2x+3).

Самое простое произведение имеет два множителя, но может быть и больше множителей.

Простые множители

Пример 1

Разложите число 65 на простые множители.

Решение: число 65 будем делить на простые числа, пока оно нацело не разделится. Так мы видим, что число 65 не делится на 2, 3 и 4, так как не соответствует признакам делимости на эти числа. Зато делится на 5, так как оканчивается на 5. При делении мы получаем 13. Число 13 — простое, так как делится только на себя и на единицу. Таким образом, число . И мы выполнили разложение числа на простые множители. Теперь вы знаете, как разложить число на простые множители.

Пример 2

Разложите число 270 на простые множители.

Решение: Разделим сначала число 270 на 2 (сначала берем самое маленькое простое число), получим 135. Посмотрим, делится ли это число на 3. Для этого сложим все числа, стоящие в разрядах данного числа — . Девять делится на 3, значит, и число 135 разделится на 3: . Получившееся число опять делится на 3: . И снова число 15 делится на 3: . Получили простое число 5. Делим .

Итак, запишем разложение числа 270 на простые множители в виде столбца, где справа от черты мы пишем на какое простое число мы делим, а слева — что получаем:

Разложение числа на простые множители в столбик.

Разложение числа на простые множители в строчку записывается так: .

Про разложение многочлена на множители поговорим в отдельной теме.

Источник

Разложение на множители что значит и как раскладывать на простые множители число, корни, трехчлен, квадратное уравнение, примеры и решения, правило и алгоритм

При решении математических уравнений часто приходится преобразовывать равенства для упрощения выражений. Делается это с помощью разложения на множители. Приводить к простому виду можно как многочлены, так и одночлены, при этом необязательно знать даже формулы. Для решения сложных заданий можно воспользоваться онлайн-калькулятором. Пользоваться им несложно, главное, иметь чёткое условие задачи и доступ к интернету.

Термины и понятия

Под разложением в математике понимается операция, которую выполняют для превращения сложного неудобного для вычисления примера в простой. В учебниках и литературе такое преобразование выражений называется тождественным, то есть без изменения сути задания.

Из слова «множители» можно понять, что в превращении используется умножение. Зная, как разложить полином на простые числа, можно быстро решать задачи на действия с корнями и сложными дробями. Например, выражение (3*h*y + 9*y — 8*h — 24) * (3*h — 8) после упрощения примет вид: h + 3 — и быстро решается в уме.

В математике все алгебраические выражения могут быть:

Числа часто записывают в так называемом стандартном виде. Например, 296,8 = 2,968 * 102. То есть используется формула приведения: a * 10r, где 1≤а Простое разложение

На уроках математики ученикам предлагают разложить на простые множители числа с помощью столбика (двух колонок). Делается это по следующему алгоритму. Исходное число проверяют на возможность деления без остатка на два. Если делится, то рисуют две колонки, в правую вписывают двойку, а в левую число, получившееся после деления на него исходного. В обратном случае вместо двойки используют цифру три. Далее действия повторяют для числа, находящегося уже в правой колонке. Выполняют деление до тех пор, пока в левой колонке не останется единица. Например, число 1176 можно разложить следующим образом:

1176 | 2 (1176 / 2 = 588).

588 | 2 (588 / 2 = 294).

294 | 2 (294 / 2 = 147).

1176 = 2 * 2 * 2 * 3 * 7 * 7 = 23 * 3 * 72.

Для того чтобы понять алгоритм, лучше рассмотреть ещё несколько интересных примеров:

Используя метод, можно представить любое число как произведение простых множителей, но с условием, что изначально оно будет кратным двум или трём. В ином же случае простые множители подобрать не получится, как, например, для числа 247, которое можно заменить произведением чисел 13 и 19.

Вынесение коэффициента

Это довольно простой способ разложения многочлена. Выполняют его с помощью перестановки общего множителя за скобку, в которой остаётся сумма выражения. То есть для этого метода необходимо представить искомое в виде произведения нескольких полиномов.

Чтобы выделить общий множитель, следует выполнить:

Например, пусть дано выражение: 3у2 — 3y + 6 r*y. Согласно правилу, необходимо найти число, на которое без остатка можно разделить каждый из трёх коэффициентов многочлена. Для рассматриваемого примера это будет цифра 3.

Затем определить буквенный множитель, имеющийся в каждом члене выражения. Найденную цифру и повторяющееся неизвестное с наименьшей степенью записать за скобкой. Теперь нужно каждый одночлен разделить на вынесенное значение, а полученный результат записать в скобках: 3y * (y — 1 + 2r). Для проверки правильности действий нужно просто раскрыть скобки путём умножения каждого члена на вынесенный множитель.

Формулы умножения

Довольно часто для упрощения расчётов используют формулы сокращённого умножения. Всего существует семь выражений, которые необходимо выучить. Найти их можно в таблицах любого учебника по алгебре за седьмой класс. Смысл этих теорем в следующем:

Все эти формулы умножения можно использовать также в обратную сторону, то есть собирать многочлен. Например, для решения примеров типа: «квадратный трёхчлен разложен на множители, найдите а». Если понять смысл этих формул, то запомнить их наизусть будет довольно легко.

Метод группировки

Пожалуй, самый распространённый способ разложения на множители. Его удобно применять для упрощения квадратных уравнений без поиска корней. Разложение этим методом выполняют в следующей последовательности действий:

Выполнять группировку можно по-разному, но в итоге обязательно должен остаться общий многочлен. Например, выражение 48 * h * e 2 + 32 * h * q — 15 * e 2 — 10 * q2 возможно решить двумя способами.

Для того чтобы вынести многочлен за скобку, может понадобиться инвертировать все знаки. Следует помнить, что при выносе минуса у всех одночленов, оставшихся под скобкой, знак изменится на противоположный.

Выделение квадрата

По сути, выделение общего квадрата соответствует преобразованию, при котором трёхчлен представляют в виде (k + e)2 или (k — e)2. Метод используется для решения биквадратных уравнений. Для выделения полного квадрата при разложении многочлена на множители применяют две формулы:

Например, нужно упростить дробь: (k4 + 4 * e4) / (k4 + 2 * e2 + 2 * k * e). Необходимо разложить числитель, используя формулы для полного квадрата: (k4 + 4 * e4) = (k4 + 4 * e2 * k2 + 4 * e 4). Значит, если отнять от многочлена 4 * k2 * e2, то получится уравнение: (k2 + 2 * e2) * 2 − 4 * k2 * e2. Используя формулу умножения квадратов, верно будет записать: (k2 + 2 e 2 − 2 * k * e) * (k2 + 2 e 2 + 2 * k * e).

Заменив полученным выражением числитель, можно будет его часть взаимно сократить со знаменателем. В итоге получится простое выражение: h2 + 2 * e2 − 2 * h * e.

Неприводимые множители

Решая различные задачи, можно столкнуться со сложными выражениями, которые, как кажется, разложить нельзя. Например, (2 * p2 — 5 * p — 3)/(3 * p — 9). В числителе дроби находится квадратный трёхчлен, который на самом деле можно разложить. Для того чтобы его можно было упростить, используется формула: ar2 + br + p = a (r — r1) * (r — r2), где r1 и r2 корни выражения.

Чтобы найти решения для линейного уравнения, необходимо определить дискриминант. То есть нужно из задачи отделить числитель, найти его решения и подставить найденные значения в формулу разложения.

Теперь вместо числителя нужно подставить полученное разложение: (2*p2 — 5*p — 3)/(3*p — 9) = 2*(p — 3) * (p + ½)/3 * (p — 3) = (2 *p + 1)/3.

Использование онлайн-калькуляторов

Порой, для решения сложных заданий нужно затратить много времени. При этом всегда существует риск допустить ошибку при расчётах. Чтобы этого избежать или проверить свой ответ, можно воспользоваться сайтами, предлагающие онлайн-калькуляторы. Использовать их сможет даже пользователь, совершенно не понимающий методов, используемых для упрощения выражений.

Расчёт обычно занимает менее 30 секунд. Приложений для упрощений уравнений достаточно много. Написаны они на Паскале или javascript. Появление ошибки при вычислении невозможно. Нередко на этих сайтах ещё и содержится информация о способах упрощения полиномов.

Для того чтобы получить ответ, необходимо будет с помощью браузера зайти на сайт онлайн-калькулятора и заполнить предлагаемые им поля. После того как упрощаемое выражение будет вписано, следует нажать кнопку «Рассчитать» или «Упростить выражение» и получить ответ с пошаговым решением.

Источник

Урок 5 Бесплатно Разложение на простые множители

Разложение на простые множители

Недавно мы с вами разобрались, что существуют три группы чисел: простые, составные и единица, которая не относится к ним.

На рисунке можно увидеть это деление.

Составные числа всегда можно представить в виде пары множителей, больших единицы.

Например:

Видим, что было дано число 60. Мы его расписали как произведение чисел, больших единицы: 2 и 3, 2 и 5

Если посмотреть внимательно, видно, что все множители в нашем случае являются простыми числами. То есть, мы разложили на простые множители число 60

Можно сделать вывод, что каждое из составных чисел записывается единственным образом в виде произведения простых чисел.

Мы с вами познакомились с основной теоремой арифметики для натуральных чисел.

Если разложить любое натуральное число на простые множители, то всегда получим одни и те же простые множители, просто в разном порядке.

Например, представим число 390 в виде произведения простых чисел.

Таким образом, чтобы разложить натуральное число на простые множители, нужно:

Пример:

Решение

Ответ: Шифр 413222

Пример:

Разложите на множители число 60 всеми возможными способами:

Решение

Пример:

Разложить на простые множители числа: 2520, 4100, 472, 888

Решение

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Мы с вами узнали, что простыми называются числа, у которых всего два делителя: единица и само это число, например, 19, 23 и многие другие. Искать эти числа начали еще в третьем столетии до нашей эры, когда были приведено доказательство того, что их количество бесконечно. Это сделал учёный-математик Евклид.

Но до развития ЭВМ в 20 веке нашей эры поиск простых чисел был проблемным, так как вычисления производились вручную. Компьютерная техника позволила сделать рывок в поиске и изучении простых чисел. Например, в 1985 году самое большое из найденных простых чисел содержало в себе 65050 цифр.

В наше время этот рекорд уже побит. Каждый раз для этого компьютер отбирает число и делит его на все известные простые числа. Поиск не останавливается, и энтузиасты ищут дальше.

Спрашивается, зачем всё это делается? Ответ таков: простые числа широко используются в науке, особенное место занимают в криптографии при разработке шифров. Поэтому изучение простых чисел и поиск новых кандидатов оправдан.

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Второй способ разложения на простые множители

Натуральное число можно разложить на простые множители и другим способом:

Ниже можно увидеть пример того, как нужно оформить такой способ нахождения разложения.

В итоге мы получили разложение на простые множители.

Получается, что составное число можно поделить без остатка только на те простые числа, из которых можно записать разложение этого числа на простые множители.

Составное натуральное число можно разделить без остатка на те составные числа, разложения которых на простые множители входят целиком в разложение нашего числа.

Пример:

Разложите вторым способом числа на простые множители.

а) 48

б) 3600

в) 532

г) 780

д) 8160

е) 624

Решение

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Великий русский математик Пафнутий Львович Чебышев (1821-1894) занимался изучением свойств простых чисел.

Ему удалось доказать интересный факт: между любым натуральным числом, большим 1, и удвоенным числом, есть хотя бы одно простое число. Ниже представлены несколько примеров в подтверждение этого факта:

По этим примерам видно, что есть хотя бы одно простое число между числом и его удвоенным результатом.

Христиан Гольдбах (1690-1764), известный математик, служивший более 250 лет назад в Академии наук в Санкт- Петербурге, предположил, что для всех нечётных чисел, больших 5, можно составить сумму из трех простых чисел.

Посмотрим, как это может выглядеть на примерах:

7 = 2 + 2 + 3

11 = 3 + 3 + 5

19= 5 + 7 + 7

31= 13 + 13 + 5

Виноградов И.М. (1891-1983), известный советский математик, доказал его предположение спустя 200 лет.

Но есть утверждение, которое остаётся не доказанным до сих пор: «Любое четное число, больше 2, можно представить в виде суммы двух простых чисел».

12 = 5 + 7

18 = 7 + 11

26 = 13 + 13

36 = 17 + 19

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Интересная информация

Закономерность между расположением простых чисел на числовой прямой так и остается загадкой с древнейших времён.

Уже точно известно, что простых чисел бесчисленное множество и никто не знает точное их количество.

При Эратосфене появился первый алгоритм того, как можно определить, простое перед нами число или нет.

Начиная с работ известных математиков Эйлера и Ферма, множество других ученых до сих пор пытаются разгадать тайну простых чисел.

Придумано и описано несколько алгоритмов, закономерностей, но они работают только для небольшого количества простых чисел. А для всех сразу уже возникают проблемы.

К числу таких проблем относится так называемая гипотеза Римана. За её решение, а так же за решение других шести проблем тысячелетия предлагается премия в размере одного миллиона долларов.

На сегодняшний день ученые уже говорят о 23 проблемах, которые появились в более позднее время и тоже относятся к неразрешенным.

Рассмотрим 2 проблемы по изучаемой нами теме.

Первая проблема Ландау.

Каждое чётное число, большее 2, записывается как сумма двух простых чисел, а каждое нечётное число, большее 5, записывается как сумма трёх простых чисел.

Примеры:

14 = 7 + 7

17 = 5 + 5 + 7

22 = 11 + 11

23 = 11+5+7

51 = 1 + 13 + 37

Вторая проблема Ландау.

1. Среди чисел нашлись «близнецы»:

3 и 5; 5 и 7; 7 и 9; 11 и 13, 17 и 19; 41 и 43;

2. Пары близнецов состоят из двойников с общим элементом. Математики смогли найти такие пары близнецов-«двойников» (3, 5) и (5, 7).

Мы знаем, что число простых чисел неограничено, но бесконечность количества пар близнецов не была доказана или опровергнута.

Заключительный тест

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Источник