Что значит расстояние между двумя ближайшими точками по прямой
Как найти расстояние между двумя точками?
Расстоянием между точками также называют прямую,
у которой одна из точек это начало, а соответственно
другая конец. Найти расстояние между этими
двумя точками, значит найти длину прямой,
связывающей точки.
Есть много разных способов найти расстояние между
двумя точками, но самый универсальный, на мой взгляд,
это найти расстояние взяв за основу Теорему Пифагора.
Исходя из этой теоремы, можно сказать, что в нашем
случае расстоянием(прямой), является гипотенуза,
а чем тогда являются точки, сейчас разберемся.
Формулировка великой Теоремы Пифагора звучит так:
в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен
сумме квадратов катетов. Или же кратко, формулой:
\( c^2 = a^2 + b^2 \) где c — это гипотенуза, a и b — катеты.
Формулировка этой теоремы применяется почти всегда и везде,
где нужно найти расстояние от чего-то до чего-то. Сейчас, мы
используя эту теорему найдем расстояние между точками.
На рисунке 1 мы изобразили для наглядности
прямоугольный треугольник, с координатами
которые мы взяли для примера. На рисунке 2
тот же самый прямоугольный треугольник,
только без координат! Эти два прямоугольных
треугольника идентичные, поэтому вернемся
к Теореме Пифагора.
Заменяем длины катетов a и b, из Теоремы Пифагора,
на разность координат точек. Взгляните на формулу,
которая получилась:
Подставляем наши координаты:
В итоге получилось, что расстояние в нашем примере
равно 5(корень из 25). Как видите все просто, и вы можете
смело применять эту формулу, решая не только задачи,
но и на практике, находя расстояние зная только две точки.
Расстояние от точки до точки: формулы, примеры, решения
В данной статье рассмотрим способы определить расстояние от точки до точки теоретически и на примере конкретных задач. И для начала введем некоторые определения.
Расстояние между точками – это длина отрезка, их соединяющего, в имеющемся масштабе. Задать масштаб необходимо, чтобы иметь для измерения единицу длины. Потому в основном задача нахождения расстояния между точками решается при использовании их координат на координатной прямой, в координатной плоскости или трехмерном пространстве.
Расстояние между точками на координатной прямой
В целом можно говорить о том, что оценка длины некого отрезка происходит в сравнении с отрезком, принятым за единицу длины в заданном масштабе.
Если точке А соответствует целое действительное число, отложив последовательно от точки О до точки по прямой О А отрезки – единицы длины, мы можем определить длину отрезка O A по итоговому количеству отложенных единичных отрезков.
Резюмируя: расстояние от начала отсчета до точки, которой соответствует действительное число на координатной прямой, равно:
При этом очевидно, что сама длина отрезка не может быть отрицательной, поэтому, используя знак модуля, запишем расстояние от точки O до точки A с координатой x A : O A = x A
Расстояние между точками на плоскости
— если точки А и В совпадают, то расстояние между ними равно нулю;
— если точки A и B не лежат на прямой, перпендикулярной одной из координатных осей, найдем расстояние между ними, выведя формулу расчета:
Сформируем вывод из полученного результата: расстояние от точки А до точки В на плоскости определяется расчётом по формуле с использованием координат этих точек
Для ситуации, когда точки A и B лежат на прямой, перпендикулярной оси абсцисс:
Для случая, когда точки A и B лежат на прямой, перпендикулярной оси ординат:
Расстояние между точками в пространстве
Из курса геометрии известно, что квадрат диагонали параллелепипеда равен сумме квадратов его измерений. Исходя из этого утверждения получим равенство: A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2
Используя полученные ранее выводы, запишем следующее:
Итоговая формула для определения расстояния между точками в пространстве будет выглядеть следующим образом:
Полученная формула действительна также для случаев, когда:
— лежат на одной координатной оси или прямой, параллельной одной из координатных осей.
Примеры решения задач на нахождение расстояния между точками
Решение
Решение
А также используем имеющееся условие, что А В = 5 и тогда будет верным равенство:
λ 2 + 16 = 5 λ 2 + 16 = 25 λ = ± 3
Решение
Расстояние между двумя точками онлайн
С помощю этого онлайн калькулятора можно найти расстояние между точками по известным координатам этих точек. Дается решение с пояснениями. Для нахождения расстояния между точками задайте размерность (2-если задача рассматривается в двухмерном пространстве, 3- если задача рассматривается в трехмерном пространстве), введите координаты точек в ячейки и нажмите на кнопку «Решить». Теоретическую часть смотрите ниже.
Предупреждение
Расстояние между двумя точками на прямой
Пусть заданы на оси OX точки A с координатой xa и B с координатой xb (Рис.1). Найдем расстояние между точками A и B.
 |
Расстояние между точками A и В равно:
Поскольку расстояние от O до В равна xb, а расстояние от O до A равна xa, получим:
 |
На рисунке 2 точки A и В находятся по разные стороны начала координат O. B этом случае рассояние между точками A и B равно:
Поскольку координата точки A отрицательна а координата точки B положительна, то (2) можно записать так:
На рисунке 3 точки A и В находятся c левой стороны начала координат O.
 |
B этом случае рассояние между точками A и B равно:
Из формул (2),(4),(6) следует, что независимо от расположения точек отностительно начала координат рассояние этих точек равна разности координат этих точек, причем от большего значения вычитается меньшее (так как расстояние не может быть отрицательным числом).
Формулы (2),(4),(6) можно записать и так:
Решение. Для нахождения расстояния между точками A и B воспользуемся формулой (7):
Расстояние между двумя точками на плоскости
Пусть на плоскости задана декартова прямоугольная система координат XOY и пусть на плоскости заданы точки A и B, где A имеет координаты (xa,ya), а B имеет координаты (xb,yb) (Рис.4).
 |
Учитывая результаты предыдующего параграфа, можем найти расстояние между точками A и M, а также расстояние между точками B и M:
ABM является прямоугольным треугольником, где AB гипотенуза, а AM и BM катеты. Тогда, исходя из теоремы Пифагора, имеем:
Тогда, учитывая (8), получим:
Решение. Для нахождения расстояния между точками A и B воспользуемся формулой (9). Подставляя координаты точек A и B в формулу (9), получим:
   , |
Ответ: 
.
Расстояние между двумя точками в пространстве
Рассмотрим в пространстве, в декартовой прямоугольной системе координат точки A и B, где A имеет координаты (xa,ya,za), а B имеет координаты (xb,yb,zb) (Рис.5).
 |
AB является диагональю параллелепипеда, грани которго параллельны координатным плоскостьям и проходят через точки A и B. Но AB является гипотенузой прямоугольного треугольника AMB, а AM и BM являются катетами этого прямоугольного треугольника. Тогда, по теореме Пифагора, имеем:
Учитывая, что BM равно разности третьих координат точек B и A, получим:
Из предыдующего параграфа следует, что:
Но AM=A’B’. Тогда из (10) и (11) следует:
Пример 3. В пространстве задана декартова прямоугольная система координат XOY и точки \( \small A(x_a; \ y_a ;\ z_a)=A(5;1;0) \) и \( \small B(x_b, \ y_b, \ z_b)=B(-8,-4;21). \) Найти рассояние между этими точками.
Решение. Для нахождения расстояния между точками A и B воспользуемся формулой (12). Подставляя координаты точек A и B в формулу (12), получим:
   , |
Ответ: 
.
Расстояние между точками на координатной прямой
Расстояние между двумя точками на координатной прямой равно модулю разности их координат.
Формула расстояния между точками на координатной прямой:
где A и B — это произвольные точки, расстояние между которыми надо найти, то есть, найти длину отрезка AB, a и b — координаты точек.
Следовательно, чтобы найти расстояние между точками координатной прямой надо из координаты одной точки вычесть координату другой точки.
Пример 1. Найти расстояние между точками L(-3) и M(5), отмеченными на координатной прямой.
Решение. Чтобы найти расстояние между точками L и M надо из координаты точки L вычесть координату точки M или наоборот, а в качестве ответа взять модуль полученного результата:
Ответ. Расстояние между точками L и M равно 8.
Пример 2. Найдите координаты середины отрезка AB, если A(-5) и B(5).
Решение. Обозначим середину отрезка точкой C. Так как C — середина отрезка AB, то |AC| = |CB|. Значит, чтобы найти координату точки C, надо сначала вычислить длину отрезка AB и разделить её на 2, то есть, на две равные части AC и CB:
10 : 2 = 5, значит |AC| = |CB| = 5.
Как видно из чертежа, чтобы найти координату середины отрезка, надо половину длины отрезка либо прибавить к точке с наименьшей координатой, либо отнять от точки с наибольшей координатой:
Ответ. Координата середины отрезка C(0).
Пример 3. Найдите координату точки C, которая является серединой отрезка с концами в точках A(7) и B(25).
Ответ. Координата точки C — 16.
Расстояние между точками на координатной прямой
Расстоянием между двумя точками A и B называется длина отрезка, соединяющего эти точки.
Чтобы найти длину отрезка на координатной прямой, надо из координаты его правого конца вычесть координату левого конца.
Найти расстояние в единичных отрезках между точками:
Чтобы найти расстояние между точками на координатной прямой, определим, какая из точек находится правее, и из координаты правого конца отрезка вычтем координату его левого конца.
Из двух точек на координатной прямой точка с большей координатой лежит правее точки с меньшей координатой.
Для точек A(a) и B(b) это означает, что если b>a, то точка B на координатной прямой лежит правее точки A и расстояние между точками A и B равно
3) Так как 0>-12, точка C (0) на координатной прямой лежит правее точки D(-12). Расстояние между точками C и D:
— \frac<2><9>,\]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>
поэтому точка K на координатной прямой расположена правее, чем точка P.
— 2\frac<1><6>,\]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>
значит, точка E на координатной прямой находится справа от точки F. Поэтому длина отрезка EF, а значит, и расстояние между точками E и F
2 Comments
Для чего находить наибольшее число, если |a-b|=|b-a|?
Дмитрий, всё зависит от учебника. Если данную тему изучают после того, как ввели понятие модуля, то расстояния между точками на координатной прямой можно искать как модуль разности координат этих точек. В противном случае действуем, как описано выше.