Что значит проекция на ось
Содержание:
Проекция вектора на ось:
Вы уже знаете, что вектор имеет модуль и направление. При решении задач часто используется понятие проекция вектора на ось. Что такое проекция вектора? Как ее определяют?
Начнем с понятия проекция точки на ось.
Проекция точки — это основание перпендикуляра, опущенного из данной точки на ось.
На рисунке 24 точка 
Как определяют проекцию вектора на ось
Проекция вектора на ось — это длина отрезка между проекциями начала и конца вектора, взятая со знаком «+» или «-». Знак «+» берут, если угол между вектором и осью острый, а знак «-» — если угол тупой.
На рисунке 25 проекция вектора 
на ось Ох обозначена через 
а проекция вектора 
— через 
Проекция 
— число положительное, т. к. угол 
на рисунке 25, а — острый. Проекция 
— число отрицательное 
т. к. угол 
на рисунке 25, б — тупой.
А если вектор перпендикулярен оси? Тогда его проекция на эту ось равна нулю (рис. 26).
Проекцию вектора можно выразить через его модуль и угол между вектором и осью.
Рассмотрим треугольник 
на рисунке 25, а. Его гипотенуза 
катет 
а угол между ними равен 
Следовательно,
Проекция вектора на ось равна модулю вектора, умноженному на косинус угла между вектором и осью.
Это правило справедливо при любых углах между вектором и осью. Подтвердите это с помощью рисунков 25 и 26.
Обратим внимание на еще одно важное свойство проекций: проекция суммы векторов на ось равна сумме их проекций на эту ось.
С помощью рисунка 27, а, б убедитесь, что из векторного равенства 
следует равенство для проекций: 
Не забывайте о знаках проекций.
Можно ли найти модуль и направление вектора по его проекциям на координатные оси
Рассмотрим вектор 
лежащий в плоскости 
(рис. 28). Его проекции на оси 
определим из рисунка: 
Модуль вектора 
находим по теореме Пифагора из треугольника ACD: 
Разделив 
на 
получим: 
По значению косинуса находим угол 
Таким образом, вектор, лежащий в заданной плоскости, полностью определяется двумя проекциями на оси координат.
Вектор в пространстве определяется тремя проекциями: 
(рис. 29). 
Главные выводы:
Пример №1
1. Определите сумму и разность взаимно перпендикулярных векторов 
(рис. 30). Найдите модули векторов суммы 
и разности 
Решение
Сумму векторов 
находим по правилу треугольника (рис. 31, а) или параллелограмма (рис. 31, б). Так как векторы 
взаимно перпендикулярны, модуль вектора 
находим по теореме Пифагора: 
Разность векторов 
определим по правилам вычитания векторов (рис. 32, а, б).
Модуль вектора 
находим аналогично:
Ответ: 
Пример №2
Выразите вектор 
через векторы 
(рис. 33). Как связаны между собой проекции этих векторов на оси Ох и Оу?
Решение
По правилу треугольника находим: 
Отсюда 
Определив координаты 
начальных и конечных точек векторов 
находим проекции этих векторов: 
Вычислением убедимся, что проекции векторов связаны теми же равенствами, что и сами векторы: 
Ответ: 
При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org
Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи
Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей
Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.
Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.
Вектор. Проекция вектора на ось.
Проекцию вектора 
на ось ОХ принято понимать в различных смысловых значениях: геометрическом и арифметическом (алгебраическом).
На письме геометрическую проекцию данного вектора можно показать следующим образом:
или 
.
В случае задачи оси ОХ с помощью вектора с, вектор 
называется проекцией вектора 
на направление вектора с, и на письме его принято обозначать в виде 
.
Геометрическую проекцию вектора на ось ОХ иначе принято называть компонентой вектора по оси ОХ.
2. Алгебраической или арифметической проекцией вектора 
на ось ОХ (или на направление вектора с) называется длина вектора 
, которая берется с положительным «+» или с отрицательным «-» знаком, согласно тому, направлен ли рассматриваемый вектор одинаково с осью ОХ или иначе.
На письме обозначается следующим образом:
или 
.
Геометрическая проекция вектора выражена в виде вектора, а алгебраическая проекция вектора представлена числовым значением.
В случае, когда векторы 
и 
равны, их алгебраические проекции по одинаковой оси тоже равны между собой 
Аналогично можно выразить случай с геометрической проекцией вектора.
Арифметическая проекция одного и того же вектора, но для случая разнонаправленных осей, (О1Х1 и О2Х2) равна:
.
Аналогично получаем и для случая геометрической проекции векторов, но только при условии параллельности осей, которые нам заданы.
3. Рассмотрим взаимосвязь между компонентой (геометрической проекцией) и алгебраической проекцией вектора.
При условии когда c1 является разнонаправленным с осью ОХ вектором, и имеет длину равную 1, геометрическая проекция выбранного вектора а по оси ОХ равна произведению вектора с1 на алгебраическую проекцию вектора а по оси ОХ. Сказанное записывают в виде:
.
В случае параллельности, но разнонаправленности осей алгебраические проекции не равны, т.к. отличаются своим знаком.
Таким образом, 
=-2 
.
Проекции вектора на ось и на плоскость
Проекции вектора на ось и на плоскость
Аналитический способ решения задач статики основан на применении метода проекции, знакомого студентам из векторной алгебры. Ввиду особой важности этого метода для дальнейшего, напомним его основы.
Проекцией вектора на ось называется скалярная величина, равная взятой с соответствующим знаком длине отрезка оси проекций, заключенного между проекциями на нее начала и конца данного вектора (рис. 24).
Проекция считается положительной, если переход от ее начала к концу совпадает с заданным положительным
направлением оси, и отрицательной — если с противоположным.
Проекцию вектора на ось принято обозначать теми же буквами, что и вектор, но обычного шрифта, указывая нижним индексом ось проекций.
Проекции вектора на две параллельные и одинаково направленные оси равны между собой. Этим особенно удобно бывает пользоваться в тех случаях, когда вектор не лежит в одной плоскости с осью (рис. 24,(5). Из рис. 24, а и б имеем:
Проекция вектора на ось равна модулю вектора, умноженному на косинус угла между направлением вектора и положительным направлением оси проекций
Проекция будет положительной, если направление вектора составляет с положительным направлением оси острый угол, н отрицательной — если тупой.
Проекцией вектора на плоскость называется вектор, заключенный между проекциями на эту плоскость начала и конца данного вектора.
Так, например, проекцией_вектора 
на плоскость 
(рис. 25) будет вектор 
.
По модулю проекция вектора на плоскость:
где 
— угол между направлением вектора и направлением его проекции 
на плоскость.
Для нахождения проекции вектора на ось, не лежащую с ним в одной плоскости, иногда бывает удобно
спроектировать сначала вектор на плоскость, в которой лежит эта ось, а затем уже проекцию вектора на плоскость спроектировать на данную ось.
Так, проекция вектора на ось 
(рис. 25):
где 
— угол между направлениями вектора и оси .
Зная проекции вектора па оси прямоугольной декартовой системы координат, легко найти и модуль и направление вектора.
Так как модуль вектора равен диагонали прямоугольного параллелепипеда (рис. 26), ребра которого равны абсолютным значениям проекций вектора на оси координат, то модуль вектора
Модуль вектора равен квадратному корню из суммы квадратов его проекций на три любые взаимно перпендикулярные оси.
Направление вектора определяется из равенств:
Косинус угла между вектором и положительным направлением оси проекции называется направляющим косинусом. Он равен отношению проекции вектора на соответствующую ось к модулю вектора.
Заметим, что в формуле (4) надо брать арифметическое значение корня.
Вектор 
(рис. 27) является замыкающем стороной векторного многоугольника 
, следовательно его можно рассматривать как геометрическую сумму составляющих векторов, расположенных па координатных осях
Век горы 
и 
называются составляющими вектора 
но осям координат (или его компонентами).
Векторы 
и 
совпадающие с положительными направлениями координатных осей и равные по модулю единице, называются единичными координатными векторами или координатными ортами соответствующих осей.
Составляющая вектора по оси координат равна проекции вектора на данную ось, умноженной на соответствующий координатный орт:
Подставляя последние выражения в предыдущее равенство. получаем весьма важную формулу разложения вектора по осям координат
где коэффициенты 
и 
при координатных ортах представляют собой проекции данного вектора на соответствующие координатные оси.
Пример задачи:
Даны проекции силы на оси прямоугольной системы координат
Написать формулу разложения заданной силы по осям координат, а также найти ее модуль и направление.
Решение:
По формуле 
находим
Отсюда, углы между направлением силы и положительными направлениями осей координат:
Эта теория взята с полного курса лекций на странице решения задач с подробными примерами по предмету теоретическая механика:
Возможно вам будут полезны эти дополнительные темы:
Образовательный сайт для студентов и школьников
Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.
© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института
Проекция вектора на ось и свойства проекции
Проекция вектора (допустим, a) на ось L – это разность X1 – X2 между координатами проекций конца и начала вектора на эту же ось.
Определение и свойства проекции
Очевидно, что когда 
перпендикулярна 
, тогда 
, и наоборот.
Основные свойства проекций:
1). 
= 
,^ 
(рис. 2);
2). 
= 
(рис. 3);
3). 
= + 
(рис. 4).
Свойство 3 выполняется для суммы конечного числа векторов.
Нужна помощь в написании работы?
Написание учебной работы за 1 день от 100 рублей. Посмотрите отзывы наших клиентов и узнайте стоимость вашей работы.
Примеры нахождения проекции
Задача
Найти проекцию вектора 
на вектор 
Решение
Сначала находим скалярное произведение вектора:
x 
= 
x 
x 
= 
.
Найдём модуль вектора :
= 
= 
= 
Найдём проекцию вектора на вектор
x = x 
= 
= 
Ответ: =
Задача
Вычислить числовую проекцию вектора на ось, направление которой определяется вектором , если модуль вектора равен 3, а угол между векторами и равен 
.
Решение
Итак, у нас есть = 
, ^ = , тогда искомая числовая проекция
. = x 
= x 
= 
.
Ответ: . =
Задача
Вектор 
задает направление оси 
. Найдите числовую проекцию вектора 
на эту ось.
Решение
Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами, равно сумме произведений соответствующих координат, то есть для данных векторов имеем:
= 
x 
x 
= 
=
Модуль вектора равен корню квадратному из суммы квадратов координат:
= 
= 
= 
=
Тогда: = 
. = 
=
Ответ: = .