Что значит приближенное значение с недостатком и с избытком

Правильное округление чисел

Приближенные значения

В обычной жизни мы часто встречаем два вида чисел: точные и приближенные. И если точные до сих пор были понятны, то с приближенными предстоит познакомиться в 5 классе.

У квадрата четыре стороны — число 4 невозможно оспорить, оно точное. У каждого окна есть своя ширина, и его параметры однозначно точные. А вот арбуз весит примерно 5 кг, и никакие весы не покажут абсолютно точный вес. И градусник показывает температуру с небольшой погрешностью. Поэтому вместо точных значений величин иногда можно использовать приближенные значения.

Онлайн-школа Skysmart приглашает детей и подростков на курсы по математике — за интересными задачами, новыми прикладными знаниями и хорошими оценками!

Примерчики

Весы показывают, что арбуз весит 5,160 кг. Можно сказать, что арбуз весит примерно 5 кг. Это приближенное значение с недостатком.

Часы показывают время: два часа дня и пятьдесят пять минут. В разговоре про время можно сказать: «почти три» или «время около трех». Это значение времени с избытком.

Если длина платья 1 м 30 см, то 1 м — это приближенное значение длины с недостатком, а 1,5 м — это приближенное значение длины с избытком.

Приближенное значение — число, которое получилось после округления.

Для записи результата округления используют знак «приблизительно равно» — ≈.

Округлить можно любое число — для всех чисел работают одни и те же правила.

Округлить число значит сократить его значение до нужного разряда, например, до сотых, десятков или тысячных, остальные значения откидываются. Это нужно в случаях, когда полная точность не нужна или невозможна.

Округление натуральных чисел

Натуральные числа — это числа, которые мы используем, чтобы посчитать что-то конкретное, осязаемое. Вот они: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 и так далее.

Особенности натуральных чисел:

Округление натурального числа — это замена его таким ближайшим по значению числом, у которого одна или несколько последних цифр в его записи заменены нулями.

Чтобы округлить натуральное число, нужно в записи числа выбрать разряд, до которого производится округление.

Правила округления чисел:

Давайте рассмотрим, как округлить число 57 861 до тысяч. Выполним первые два пункта из правил округления.

После подчеркнутой цифры стоит 8, значит к цифре разряда тысяч (в данном случае 7) прибавим 1. На месте цифр, отделенных вертикальной чертой, ставим нули.

Теперь округлим 756 485 до сотен:

Округлим число 123 до десятков: 123 ≈ 120.

Округлим число 3581 до сотен: 3581 ≈ 3580.

Если в разряде, до которого производится округление, стоит цифра 9 и необходимо ее увеличить на единицу — в этом разряде записывается цифра 0, а цифра слева в соседнем старшем разряде увеличивается на 1.

Иногда уместно записать округленный результат с сокращениями «тыс.» (тысяча), «млн.» (миллион) и «млрд.» (миллиард). Вот так:

Округление десятичных дробей

Дробь — одна из форм записи частного чисел a и b, представленная в виде a/b. Есть два формата записи:

В десятичной дроби знаменатель всегда равен 10, 100, 1000, 10 000 и т. д. Выходит, что десятичная дробь — это то, что получается, если разделить числитель на знаменатель. Такую дробь записывают в строчку через запятую, чтобы отделить целую часть от дробной. Вот так:

При округлении десятичных дробей следует быть особенно внимательным, потому что десятичная дробь состоит из целой и дробной части. И у каждой из этих частей есть свои разряды:

Разряды целой части:

Разряды дробной части:

Разряд — это позиция, место расположения цифры в записи натурального числа. У каждого разряда есть свое название. Слева всегда располагаются старшие разряды, а справа — младшие.

Рассмотрим десятичную дробь 7396,1248. Здесь целая часть — 7396, а дробная — 1248. При этом у каждой из них есть свои разряды, которые важно не перепутать:

Чтобы округлить десятичную дробь, нужно в записи числа выбрать разряд, до которого производится округление.

То число, к которому дробь ближе, называют округленным значением числа.

Цифра, которая записана в данном разряде:

Как округлить до десятых. Оставить одну цифру после запятой, остальные отбросить. Согласно правилу выше, если первая отбрасываемая цифра — 0, 1, 2, 3 или 4, то цифра после запятой остается той же. Если мы отбрасываем цифру 5, 6, 7, 8 или 9 — цифра после запятой увеличивается на единицу.

Как округлить до сотых. Оставить две цифры после запятой, остальные отбросить. И снова не забываем про правило: если следующая цифра 0, 1, 2, 4 — цифра в разряде сотых остается неизменной. Если же это 5, 6, 7, 8 или 9, то цифра в разряде сотых увеличится на 1.

Как округлить до целых. Заменить десятичную дробь ближайшим к ней целым числом. Ближайшим будет наименьшее расстояние. При этом если расстояние до приближенного значения числа с недостатком и расстояние до приближенного значения числа с избытком равны, то округляют в большую сторону.

Все цифры, которые стоят справа от данного разряда, заменяются нулями. Если эти нули стоят в дробной части числа, то их можно не писать.

Пример 1

256,43 ≈ 256,4 — округление до десятых;

4,578 ≈ 4,58 — округление до сотых;

17,935 ≈ 18 — округление до целых.

Если в разряде, до которого производится округление, стоит цифра 9 и необходимо ее увеличить на единицу, то в этом разряде записывается цифра 0, а цифра слева в предыдущем разряде увеличивается на 1.

Пример 2

79,7 ≈ 80 — округление до десятков;

0,099 ≈ 0,10 — округление до сотых.

Математическое округление и его правила быстро запомнится, если не лениться решать примеры и задачки из учебников 5 класса.

Источник

Что значит приближенное значение с недостатком и с избытком

Письмо с инструкцией по восстановлению пароля
будет отправлено на вашу почту

В жизни человека встречается два вида чисел: точные и приближённые.

Например, у квадрата четыре стороны, число 4 является точным.

Другая ситуация, на вопрос, сколько вам лет вы отвечаете 12, это приближенная величина, мы ведь не говорим 12 лет 7 месяцев 26 дней.

На практике мы часто не знаем точных значений величин. Никакие весы, как бы хорошо они ни были настроены, не могут показать абсолютно точный вес. Любой термометр показывает температуру с той или иной погрешностью. Наш глаз не в состоянии увидеть четко показания прибора, поэтому вместо того, чтобы иметь дело с точным значением величины, мы вынуждены оперировать с ее приближённым значением

Однако знание о приближённом числе уже даёт понимание о сути дела, и к тому же не всегда точное значение бывает необходимо.

Приближенные значения чисел в математике разделяют на:

1. приближенные значения с избытком;

2. приближенные значения с недостатком.

Например, про арбуз, который весит 9 кг 280 г, мы можем сказать, что его вес примерно равен 9 кг. Это приближенное значение с недостатком. А если бы его вес составлял 9 кг 980 грамм, мы бы сказали 10 кг – это приближенное значение с избытком.

Давайте рассмотрим такие примеры:

1)число 58,79 больше чем 58, но меньше 59. Число 58,79 ближе расположено к натуральному числу 59;

2)число 181, 123 больше, чем 181, но меньше, чем 182. Число 181,123 расположено ближе к натуральному числу 181. То натуральное число, к которому дробь ближе называют округленным значением этого числа.

Под округлением числа понимают отбрасывание одной или нескольких цифр в десятичном представлении числа. Замену числа ближайшим к нему натуральным числом или нулем называют округлением этого числа до целых.

Например, число 58,79 округляется до 59, так как число 59 расположено ближе, а число 181,123 округляется до 181.

А что делать, если расстояния до приближенного значения числа с недостатком и избытком равны, например, 23,5? Оказывается, округляют в большую сторону! Т.е. получится 24

Наверняка у вас возник вопрос: «А можно ли округлять не до целого?» Конечно! Округлять можно и до других разрядов, например, до десятых, сотых, тысячных или же до десятков, сотен, тысяч и так далее.

Существует четкое правило для округления чисел:

Чтобы округлить число до какого-либо разряда – подчеркнем цифру этого разряда, а затем все цифры, стоящие за подчеркнутой, заменяем нулями, а если они стоят после запятой – отбрасываем. Если первая замененная нулем или отброшенная цифра равна 0, 1, 2, 3 или 4, то подчеркнутую цифру оставляем без изменения. Если за подчеркнутой цифрой стоит цифра 5, 6, 7, 8 или 9, то подчеркнутую цифру увеличиваем на 1.

Теперь стало понятно, почему число 23,5 округлили до 24.

Т.к. отбрасываемая цифра равна 5.

Округлим число 86,275 до десятых.

Подчеркнем цифру 2, отбрасываем цифры 7 и 5, которые следуют за разрядом десятых. За подчеркнутой цифрой 2 стоит цифра 7, поэтому цифру 2 увеличиваем на 1. Получаем 86,3. Записывают это так:

Округлим число 6,6739 до сотых.

Подчеркиваем цифру 7, отбрасываем цифры 3 и 9, которые следуют за разрядом сотых. За подчеркнутой цифрой 7 стоит цифра 3, поэтому цифру 7 оставляем без изменения. Получаем 6,67.

Записывают это так:

Таким образом, можно убедиться, что если десятичную дробь округляют до какого-нибудь разряда, то все следующие за этим разрядом цифры отбрасывают.

Округлим число 8 154 до сотен.

Подчеркиваем цифру 1, за ней следует цифра 5, значит 1 заменяем цифрой 2, а все последующие цифры нулями, то есть получится 8200.

Записывают это так:

Делаем вывод, что при округлении натурального числа до некоторого разряда все цифры последующих разрядов заменяются нулями.

Итак, перед вами несложный алгоритм, который позволяет правильно выполнить округление любого числа:

Первое: найти нужный разряд и подчеркнуть стоящую в нем цифру.

Второе: переписать все цифры, стоящие до нее.

Третье: заменить все цифры, стоящие после выделенной, нулями до конца целой части или отбросить все цифры, имеющиеся после выделенной, если они стоят после запятой.

Четвертое: увеличить выделенную цифру на единицу, если за этой цифрой стоит цифра 5,6,7,8,9 или переписать выделенную цифру без изменений, если за ней стоит цифра 0,1,2,3,4.

Таким образом, в ходе этого урока Вы узнали, что такое приближенные значения чисел с недостатком и избытком округление чисел, а также приобрели четкий алгоритм, который позволяет правильно выполнить округление любого числа!

Источник

Приближённые значения. Округление чисел.

Содержание

Приближённые значения применяются в случаях, если невозможно вычислить точное значение или если точное значение не требуется.

Приближённые значения

Правила округления натуральных чисел

Округлением натурального числа называют замену этого числа таким ближайшим по значению, у которого одна или несколько последних цифр в записи заменяется нулями.

Поэтому такой процесс и называется округление – число заканчивается на круглые нули.

Как правильно округлить натуральное число

При округлении используется вот такой знак:

Обратите внимание, что когда мы округляли массу слона, у нас получилось меньшее число, а когда массу слонихи – большее.

Округление десятичных дробей до целых

Образавру подарили арбуз. Он решил его взвесить, но у него не было хороших весов. На тех, которые были, оказались только килограммовые деления. Вот что показали весы:

Можете ли сказать, чему приближённо равен отрезок АВ?

Как правильно округлить десятичную дробь

$$2 Рисунок 6

Округление дробных чисел при переводе обыкновенных дробей в десятичные

При переводе обыкновенных дробей в десятичные иногда мы сталкиваемся с ситуацией, когда дробь не может быть представлена в виде десятичной.

Например, мы можем округлить число на рисунке 5 до тысячных.

Как это можно сделать?

Выделим число, до которого нужно округлить (тысячные) и то, которое следует за ним (десятитысячные).

Приближённые значения приходят к нам на помощь, когда вычислить точное значение не представляется возможным. Но всё-таки в рамках школьного курса математики мы чаще имеем дело с точными цифрами, и, если есть возможность получить точный ответ, следует стараться это сделать.

Источник

Приближение по недостатку и по избытку. Вычисление с точностью до 0,1; 0,01 и т.д.

При решении практических задач часто приходится иметь дело с приближёнными значениями различных величин. Приближённые значения обычно получаются при подсчёте большого количества предметов, например, числа деревьев в лесу; при измерениях различных величин с помощью приборов, например, длины, массы, температуры; при округлении чисел; при вычислениях на микрокалькуляторах и т.д.

Один из школьников на вопрос о том, сколько учащихся учится в школе, ответил: «приблизительно 1000», а другой на тот же вопрос ответил: «приблизительно 950». Чей ответ точнее, если в школе учится 986 учащихся?

Первый школьник ошибся на 14, а второй – на 36. Следовательно, более точным был ответ первого учащегося.

Заметим, что разность между точным и приближённым значениями числа учащихся в первом случае отрицательна: , а во втором случае положительна: .

1000 – это приближение с избытком, а 950 – с недостатком.

Практически важно знать отклонение приближённого значения от точного в ту или другую сторону, т.е. модуль (абсолютную величину) разности между точным значением и приближённым.

Модуль разности между точным значением величины и её приближённым значением называется абсолютной погрешностью приближения.

Таким образом, если а – приближённое значение величины, точное значение которой равно х, то абсолютная погрешность приближения равна . Абсолютную погрешность приближения часто называют просто погрешностью.

Округление чисел используется при действиях с приближёнными значениями различных величин во многих практических задачах математики, физики, техники.

Запись означает, что число а является приближённым значением числа х.

Чтобы абсолютная погрешность приближения при округлении положительных чисел была наименьшей, пользуются следующим правилом:

Если первая отбрасываемая цифра меньше 5, то нужно округлять с недостатком (просто отбросить), а если эта цифра больше или равна 5, то нужно округлять с избытком (увеличить цифру перед отбрасываемой на 1).

Например, при округлении до десятых получаем: 3,647≈3,6; 2,658≈2,7; при округлении до сотых получаем: 0,6532≈0,65; 9,0374≈9,04.

Заменить число десятичной дробью, равной этому числу с точностью до 0,01. Это задание не что иное, как округление десятичного представления числа до сотых.

Запишем результат деления 2 на 7 в виде десятичной дроби с тремя знаками после запятой: . Округляя это число до сотых, получаем .

Для оценки качества приближения вводится относительная погрешность. Относительной погрешностью называют частное от деления абсолютной погрешности на модуль приближённого значения величины.

Пример 3. Представим произведение в стандартном виде числа.

Пример 4. Разделим 1,767⸳10 5 на .

Приближённые значения, как и точные, можно складывать и умножать между собой.

Пример 5. Найдём х + у, если

Чтобы результат сложения получить в стандартном виде, выполним следующие преобразования:

При умножении и делении приближённых значений в произведении и частном оставляют столько цифр (не считая нулей, стоящих перед первой значащей цифрой), сколько значащих цифр имеет приближённое значение с меньшим числом значащих цифр.

Пример 6. Найдём ху, если х≈0,69, у≈2,3857. Округлив второй множитель до 3 значащих цифр, получим 2,3857≈2,39. Найдём произведение ху и результат округлим до двух значащих цифр: ху≈0,69⸳2,39=1,6491≈1,6.

Источник

Что значит приближенное значение с недостатком и с избытком

Автор: Додонов Вячеслав Григорьевич

Организация: МОУ Ново-Томышевская основная школа

Населенный пункт: Ульяновская область, с. Новое Томышево

Класс: 5

Предмет: МАТЕМАТИКА

Тип урока: Урок изучения нового материала.

Цели урока:

— формировать умения и навыки определять расстояние между двумя точками;

— измерять длину отрезка с точностью до 1 см с недостатком, с избытком, с округлением;

Формировать УУД:

Личностные: способность к самооценке на основе критерия успешности учебной деятельности.

Регулятивные: умение определять и формулировать цель на уроке с помощью учителя; проговаривать последовательность действий на уроке; оценивать правильность выполнения действия на уровне адекватной оценки; планировать свое действие в соответствии с поставленной задачей; вносить необходимые коррективы в действие после его завершения на основе его оценки и учёта характера сделанных ошибок; высказывать свое предположение.

Коммуникативные: умение оформлять свои мысли в устной и письменной форме; слушать и понимать речь других; совместно договариваться о правилах поведения и общения в школе и следовать им; планирование сотрудничества с учителем и одноклассниками в поиске и выборе информации; слушать и понимать речь других; построение логической цепи рассуждений, выдвижение гипотез и их обоснование.

Познавательные: умение ориентироваться в своей системе знаний (отличать новое от уже известного с помощью учителя); добывать новые знания (находить ответы на вопросы, используя учебник, свой жизненный опыт и информацию, полученную на уроке)

Планируемые результаты

Коммуникативные: формировать умения учащихся воспроизводить мысли устной и письменной речью;

Регулятивные: анализировать, сравнивать, обобщать и делать выводы, выступать перед аудиторией.

Личностные: способность к самоуправлению, сознательную дисциплину, трудолюбие, усидчивость, самостоятельность в работе.

Предметные: знать единицы измерения отрезков, понятие приближённой длины отрезка с недостатком, с избытком, с округлением.

Оборудование: ноутбук, презентация.

Мы сегодня продолжим работать по теме «Измерение отрезков». Поэтому давайте вспомним понятия, с которыми познакомились на прошлом уроке (слайд 1):

— Расшифруйте предложенные термины: плоскость, прямая, луч, отрезок.

— Скажите, что из перечисленного мы сможем измерить?

— Чем?

— Как называется отрезок, длина которого принята за единицу измерения?

— Что называют расстоянием между двумя точками?

— Расскажите, как мне с помощью линейки измерить отрезок?

— Посмотрим небольшой сюжет (демонстрация фрагмента мультфильма «38 попугаев»): https://yandex.ru/video/preview/?text=мультфильм%2038%20попугаев%20измерение%20удава&path=wizard&parent-reqid=1616507733142502-441565576134106352500121-production-app-host-vla-web-yp-38&wiz_type=vital&filmId=4340551432591760197

— Какой значение имеет этот сюжет к нашей теме?

— Удалось ли друзьям удава точно измерить его длину?

Цель: Обеспечение мотивации учения детьми, принятие ими темы и целей урока.\

Мы сейчас с вами проведем небольшое исследование и попытаемся ответить на вопросы (слайд 3):

Понятно, что каждый отрезок имеет определенную длину, но длина не всякого отрезка в точности равна целому числу единичных отрезков, которыми он измеряется.

В этом случае точная длина отрезка АВ осталась неизвестной.

Однако известно, что 5 см

Знак ≈ называют знаком приближенного равенства и читают «приближенно равно».

В рассмотренном примере длина отрезка АВ приближенно равна 5 см с недостатком и 6 см с избытком с точностью до 1 см.

Однако ещё можно получить приближённую длину отрезка с точностью до 1 см с округлением. Поясним эти слова.

Т.к. точка В расположена ближе к делению 5, то более точным приближением длины отрезка АВ является 5 см. В таком случае говорят, что длина отрезка АВ приближённо равна 5 см с округлением с точностью до 1 см.

Если же точка В оказалась бы ближе к делению 6, то мы сказали бы, что длина отрезка АВ приближённо равна 6 см с округлением с точностью до 1 см.

Остается ещё третий случай, когда точка В окажется точно посередине между делениями линейки 5 и 6. В этом случае условились считать, что 6 см есть приближенная длина отрезка АВ с точностью до 1 см с округлением.

5. Закрепление изученного материала.

Цель: Выявить качество и уровень усвоения знаний, а также установить причины выявленных ошибок.

Задание (слайд 4): Найдите приближенно длину отрезка (у доски работают 2 ученика):

6. Физминутка.

Цель: сменить вид деятельности.

Давайте немного отдохнем.

Поднимает руки класс – это «раз».

Повернулась голова – это «два».

Руки вниз, вперед смотри – это «три».

Руки в стороны пошире развернули на «четыре»,

С силой их к плечам прижать – это «пять».

Всем ребятам надо сесть – это «шесть».

Задание (слайд 5): Найдите и запишите длину отрезков округлением. (самостоятельно в тетрадях с последующей проверкой),

Задание (слайд 6): № 374 (соревнования между рядами).

7. Самостоятельная работа (слайд 7):

8. Рефлексия (слайд 8):

Цель: оценить результаты собственной деятельности.

— Итак, над какой темой урока мы сегодня с вами работали?

— Как происходить округление с избытком; недостатком.

— Как найти длину отрезка округлением?

9. Домашнее задание (слайд 9):

п. 2.2., стр. 81-82, учить определения,

№ 374, № 377 на стр. 83 выполнить в тетрадях.

10. Подвести итог урока. Оценить работу класса. Выставить оценки учащимся.

Источник