Что значит представить в стандартном виде
Cтандартный вид числа
В задачах по физике часто приходится работать с очень большими и очень малыми величинами.
Как вести вычисления в атомной физике? Или записать радиус электрона? Если потребуется сравнить массу электрона и массу планеты Земля, как произвести вычисления с числами, которые несопоставимы друг с другом в обычном виде?
Физики и математики, столкнувшись с такими задачами, поняли, что для решения подобных задач требуется привести числа к единому стандартному виду. Так появилось понятие стандартный вид числа.
Прежде чем переходить к объяснению, как записать число в стандартном виде, нужно вспомнить определение степени. Особенно хорошо нужно помнить, чему равняется число « 10 » в различных степенях.
Вспомним, что при умножении целого числа на 10, 100, 1000 и т.д. мы просто добавляли тоже количество нулей, что и в 10, 100, 1000 и т.д..
Теперь запишем тоже самое, используя определение степени.
При делении целого числа на 10, 100, 1000 и т.д. мы убирали нули.
С помощью степени можно записать вычисления выше следующим образом:
С помощью определения отрицательной степени можно записать вычисления выше следующим образом:
Стандартный вид числа
Вначале обратимся к строгому математическому определению стандартного вида числа. Затем по традиции разберемся на примерах.
Любое натуральное число или конечную положительную десятичную дробь можно записать в виде:
Такая запись называется — стандартный вид числа.
При этом число « n » называют порядком числа « a ».
Теперь к примеру. Пусть нам дано число « 5 600 » и требуется записать его в стандартном виде.
По определению стандартного вида числа необходимо, чтобы перед запятой стояла только одна цифра от « 1 » до « 9 ».
В числе « 5 600 » первая цифра справа — « 5 ». Поставим справа от нее запятую и посчитаем, сколько знаков у нас осталось справа от запятой.
Теперь запишем « 1000 » с использованием степени.
Завершающим штрихом будет отбрасывание незначащих нулей в десятичной дроби.
Таким образом « 5 600 » в стандартном виде будет выглядеть следующим образом:
Чтобы проверить, что мы не ошиблись в вычислениях, произведем вычисления обратно. Если все выполнено корректно, мы должны получить изначальное число. Убедимся в этом.
Рассмотрим другой пример, когда нужно представить десятичную дробь в стандартном виде. Например, десятичную дробь « 0,017 ».
Согласно определению стандартного вида числа необходимо, чтобы первой цифрой перед запятой стояла только одна цифра от « 1 » до « 9 ».
В десятичной дроби « 0,017 » вначале идет « 0 ». Нам это не подходит, поэтому двигаемся слева направо, чтобы найти первую цифру отличную от « 0 ».
Это цифра « 1 ». Посчитаем сколько знаков (цифр) стояло от запятой до цифры « 1 », включая саму цифру « 1 ».
Получается два знака. Начнем записывать « 0,017 » в стандартном виде. Перенесем запятую и поставим ее справа от « 1 ».
Выходит, чтобы из « 1,7 » сделать 0,017 », нужно « 1,7 разделить на « 100 » (чтобы перенести запятую на два знака влево).
Запишем это деление на « 100 », используя обыкновенную дробь.
С помощью отрицательной степени запишем окончательный вид числа « 0,017 » в стандартном виде.
Примеры решения задач
на запись числа в стандартном виде
№ 237 Алимов 8 класс
(Устно) Определить порядок числа, выражающего значение физической константы:
1) масса покоя электрона
me = 9,1093897 · 10 −31
Напоминаем, что порядком числа, которое приведено в стандартный вид, называют степень, в которой стоит « 10 ». В данном примере « 10 » стоит в
степени « −31 ». Значит, порядком массы покоя электрона является « −31 ».
№ 238 Алимов 8 класс
2) постоянная Фарадея
F = 96485,309 Кл/моль;
По определению стандартного вида числа необходимо, чтобы перед запятой стояла только одна цифра от « 1 » до « 9 ».
Начнем записывать постоянную Фарадея в стандартном виде. Перенесем запятую после первой цифры отличной от нуля. Это цифра « 9 ».
Получается « 4 » знака. Значит постоянная Фарадея в стандартном виде будет выглядеть следующим образом:
Порядком числа « 9,6485309 · 10 4 » является степень, в которой стоит « 10 ». Следовательно, порядок « k = 4 ».
Начнем записывать постоянную Лошмидта в стандартном виде, т.е. как:
Завершим решение и запишем окончательный ответ, используя свойство «Произведение степеней».
Стандартный вид числа
В данной публикации мы рассмотрим, что такое стандартный вид числа, и как он записывается. Также разберем практические примеры по этой теме.
Запись больших и маленьких чисел
В точных науках время от времени встречаются очень большие или, наоборот, маленькие значения величин. Чтобы было комфортнее работать с ними, и тем более, одновременно использовать вместе в одних и тех же расчетах, был придуман некий общий принцип записи чисел, так называемый стандартный вид.
Чтобы в полной мере усвоить представленный ниже материал, необходимо знать, что такое степень. К примеру, продемонстрируем ее разные варианты на числе 10:
Также напомним, для того, чтобы какое-то число умножить на 10, 100, 1000, 10000 и т.д., мы просто приписываем к нему количество нулей, которое содержится в 10, 100, 1000, 10000 и т.д. Например,
То же самое касается и деления на 10, 100, 1000, 10000 и т.д., только здесь мы убираем нули:
Перечисленные выше действия можно представить в другом виде – как произведение на 10 в определенной степени:
Десятичные дроби
Если мы имеем дело с десятичным дробями, то в целом всё аналогично. При их умножении на 10, 100, 1000 и т.д. мы смещаем запятую-разделитель вправо на столько позиций, сколько нулей содержится в 10, 100, 1000 и т.д.
Если нужно разделить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и т.д., то мы смещаем запятую влево на соответствующее нулям количество позиций:
Стандартный вид числа
Натуральное число или десятичную дробь (конечную) в общем виде можно представить следующим образом:
Такая запись и есть стандартный вид числа.
Пример 1
Представим число 2300 в стандартном виде.
Решение:
Первая цифра числа – это 2, она находится между нулем и десятью, что удовлетворяет условию выше.
Ставим после двойки запятую-разделитель и отсчитываем, сколько цифр у нас осталось после нее справа. В нашем случае их три.
Следовательно, мы умножаем полученную десятичную дробь ( a ) на число 10, степень которого равняется количеству цифр после запятой:
Другими словами, мы умножили дробь на 1000 (10 3 ).
Как мы знаем, в десятичной дроби нули в конце дробной части можно опустить, т.е. финальная запись числа 2300 в стандартном виде выглядит так:
Пример 2
Представим число 0,0029 в стандартном виде.
Решение:
Нам нужно, чтобы до запятой (т.е. слева от нее) стояла цифра от 1 до 9. Следовательно, перемещаем запятую на три позиции вправо.
Получаем новую десятичную дробь 2,9. Ее нужно умножить на 10, но в отрицательной степени, т.к. мы сделали число кратно больше исходного. Значение степени равняется количеству позиций, на которое была сдвинута запятая, т.е. в нашем случае получается “минус три”.
Стандартный вид числа
Любая десятичная дробь может быть записана в виде Такие записи часто встречается в научных расчетах. Считается, что работать с ними еще удобнее, чем с обычной десятичной записью.
Сегодня мы научимся приводить к такому виду любую десятичную дробь. Заодно убедимся, что подобная запись — это уже «перебор», и никаких преимуществ в большинстве случаев она не дает.
Для начала — небольшое повторение. Как известно, десятичные дроби можно умножать не только между собой, но и на обычные целые числа (см. урок «Умножение и деление десятичных дробей»). Особый интерес представляет умножение на степени десятки. Взгляните:
Задача. Найдите значение выражения:
Умножение выполняется по стандартной схеме, с выделением значащей части у каждого множителя. Кратко опишем эти шаги:
Для первого выражения: 25,81 · 10.
Для второго выражения: 0,00005 · 1000.
Последнее выражение: 8,0034 · 100.
Давайте немного перепишем исходные примеры и сравним их с ответами:
Что происходит? Оказывается, умножение десятичной дроби на число 10 k равносильно сдвигу десятичной точки вправо Именно вправо — ведь число увеличивается.
Аналогично, умножение равносильно делению т.е. сдвигу влево, что приводит к уменьшению числа. Взгляните на примеры:
Задача. Найдите значение выражения: 2,73 · 10; 25,008 : 10; 1,447 : 100;
Во всех выражениях второе число — степень десятки, поэтому имеем:
Отсюда следует, что одну и ту же десятичную дробь можно записать бесконечным числом способов. Например:
— это выражения вида обычные цифры,
Для каждого числа, записанного в стандартном виде, рядом указана соответствующая десятичная дробь.
Переход к стандартному виду
Алгоритм перехода от обычной десятичной дроби к стандартному виду очень прост. Но перед тем как его использовать, обязательно повторите, что такое значащая часть числа (см. урок «Умножение и деление десятичных дробей»). Итак, алгоритм:
Задача. Запишите число в стандартном виде:
Как видите, в стандартном виде представляются не только десятичные дроби, но и обычные целые числа. Например:
Когда применять стандартную запись
По идее, стандартная запись числа должна сделать дробные вычисления еще проще. Но на практике заметный выигрыш получается только при выполнении операции сравнения. Потому что сравнение чисел, записанных в стандартном виде, выполняется так:
Разумеется, все это верно только для положительных чисел. Для отрицательных чисел все знаки меняются на противоположные.
Замечательно свойство дробей, записанных в стандартном виде, заключается в том, что к их значащей части можно приписывать любое количество нулей — как слева, так и справа. Аналогичное правило существует для других десятичных дробей (см. урок «Десятичные дроби»), но там есть свои ограничения.
Стандартный вид числа
Стандартный вид числа — это его запись в виде произведения
Число n называется порядком числа, записанного в стандартном виде.
В стандартном виде можно записать любое положительное число.
Как правило, стандартный вид числа используют для записи больших и малых величин.
Записать число в стандартном виде и указать порядок числа:
Чтобы записать число в стандартном виде, надо представить его в виде произведения, первый множитель которого — число от единицы до десяти (1≤a 
Получили число, записанное в стандартном виде. Его порядок n=6.
При решении примеров на приведение числа к стандартному виду удобнее деление числа на
заменить умножением на
Итак, для приведения к стандартному виду числа, больше либо равного 10, запятую в его записи переносим влево на n цифр и результат умножаем на 10 в степени n:
2) 12 346 000 000=12 346 000 000,
Чтобы величина первого множителя входила в промежуток от 1 до 10, надо запятую в записи данного числа перенести на 10 знаков влево, а чтобы число не изменилось, умножить результат на 10¹º:
Это число записано в стандартном виде. Его порядок n=10.
Чтобы первый множитель соответствовал условию 1≤a 
Число 5430 представляем в стандартном виде. Для этого запятую в его записи переносим на 3 цифры влево и результат умножаем на 10³.
Далее выполняем умножение степеней с одинаковыми основаниями.
Сравнение чисел, записанные в стандартном виде
9,8 \cdot 10^7 \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>
так как порядок первого числа больше порядка второго числа (8>7);
поскольку порядок первого числа меньше порядка второго числа (-8 
2,97 \cdot 10^9 \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>
так как при равных порядках первый множитель у первого числа больше, чем у второго (3,4>2,97).
Стандартная запись числа
Определение стандартного вида числа
Стандартным видом числа b называют его запись в виде
Оперировать числами в стандартном виде намного удобней, чем пересчитывать и переписывать бесчисленные нули слева или справа.
На рисунке вверху показан результат работы программы, находящей решение 128 линейных уравнений с 128 неизвестными.
Алгоритм записи числа в стандартном виде
Найдём, сколько секунд в году, и запишем результат в стандартном виде:
$$ 365 \frac<день> <год>\cdot 24 \frac<ч> <день>\cdot 3600 \frac<с> <ч>= 31536000 \frac<с> <год>= 3,1536 \cdot 10^7 \frac<с> <год>$$
Шаг 1. Поставить в данном числе новую запятую так, чтобы в целой части осталась одна, отличная от нуля, цифра.
Сравнение чисел, записанных в стандартном виде
Сравниваем два положительных числа:
Число с большим порядком больше числа с меньшим порядком:
Если порядки одинаковы, то сравнивают мантиссы:
Примеры
Пример 1. Выполните действия и запишите результат в стандартном виде:
$ б) (9,3 \cdot 10^<-9>)^2:(3 \cdot 10^ <-10>) = \frac<9,3^2> <3>\cdot 10^ <-18+10>= 28,83 \cdot 10^ <-8>= 2,883 \cdot 10^ <-7>$
Пример 2. Сравните числа:
$а) 5,8 \cdot 10^9 и 4,7 \cdot 10^<10>$
Порядки чисел одинаковы, мантисса первого числа больше.
$ в) 3,7 \cdot 10^ <-8>и 2,5 \cdot 10^<-9>$
$г) 2,1 \cdot 10^ <-7>и 2,5 \cdot 10^<-7>$
Порядки чисел одинаковы, мантисса второго числа больше.
Пример 3. Найдите массу одной молекулы углекислого газа в граммах.
Количество молекул газа в одном моле определяется числом Авогадро:
Пример 4. Космический аппарат «Вояджер-1» находится сейчас (март 2020 г.) на расстоянии 148,56 а.е. от Земли (https://voyager.jpl.nasa.gov/mission/status/). Через сколько часов мы принимаем радиосигнал после того, как он был передан аппаратом?
1 а.е. (астрономическая единица) = 149 597 870 700 м \approx 1,496 \cdot 10^ <11>м
Скорость распространения радиосигнала (скорость света)
$ c = 299 792 458 \frac<м> <с>\approx 3 \cdot 10^8 \frac<м><с>$
Получаем время приёма:
Таким образом, «Вояджер-1» спустя 43 года находится от нас на расстоянии ≈ 20,6 световых часов.
Пример 5. Космический аппарат «Вояджер-1» спустя 43 года находится от Земли на расстоянии 20,6 световых часов (см. Пример 4). Сколько тысячелетий ему понадобится, чтобы с такой скоростью добраться до ближайшей звезды Проксима Центавра, которая расположена примерно в 4,244 световых года от нас?
Переведём световые годы в световые часы:
$4,244 св.г = 4,244 \cdot 365 \cdot 24 св.ч \approx 3,718 \cdot 10^4 св.ч$