Что значит представить многочлен в виде произведения

Алгебра. 7 класс

Конспект урока

Перечень рассматриваемых вопросов:

Многочлен – сумма одночленов.

Любой многочлен можно разложить на два множителя, один из которых это число, не равное нулю.

Произведение нулевого многочлена на любой многочлен есть нулевой многочлен.

Чтобы найти произведение многочленов, необходимо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена, а полученные одночлены сложить.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Это мы научились выполнять на предыдущем занятии.

Сегодня мы будем находить произведение многочленов.

Для начала выясним, что такое произведение многочленов.

Оказывается, произведение многочленов равно многочлену, членами которого являются произведения каждого члена другого многочлена. Т. е. чтобы найти произведение многочленов, необходимо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена, а полученные одночлены сложить.

Например, так выглядит произведение многочленов а + с и многочлена х + у.

Найдите произведение многочленов а + с и х + у.

Видно, что произведение двух многочленов не зависит от того, какой из многочленов будем мы умножать.

Если поменяем полученные равенства местами, то получим разложение многочлена на множители.

ах + ау + сх +су = (а + с)(х + у)

Введём определение разложения многочлена на множители.

Разложением многочлена на множители называют его преобразование в произведение двух или нескольких многочленов.

Пример. Разложите многочлен на множители

Для этого возьмём любое число, не равное нулю, например, пять, вынесем его за скобки. Получается разложение на множители, один из которых имеет нулевую степень (это число пять), а другой – ту же степень, что и исходный многочлен (степень многочлена один).

Стоит отметить, что, если при умножении многочленов, один из них не представлен (или записан) в нестандартном виде, то его сначала можно привести к стандартному виду, а затем выполнить вычисления. В противном случае вычисления могут быть более сложными.

Найдём двумя способами произведение многочленов (2а – 4с + а)( х + 3у +х).

Первый способ: сначала приведём к стандартному виду тот многочлен, который записан не в стандартном виде, и затем выполним умножение.

Второй способ: будем выполнять умножение сразу, а затем приводить полученный многочлен к стандартному виду.

Запись первым способом короче, но результат вычислений одинаковый.

Выполним ещё одно задание.

Найдём произведение многочленов.

Данное выражение будет равно нулю.

Следовательно, произведение нулевого многочлена на любой многочлен есть нулевой многочлен.

Доказательство: для доказательства данного равенства, воспользуемся формулой площади прямоугольника. S = ab, где а, b – стороны прямоугольника.

Для этого на рисунке выделим 6 прямоугольников (первый – со сторонами а и с, второй – со сторонами у и с, третий – со сторонами а и k, четвёртый – со сторонами а и х, пятый – со сторонами у и k, шестой – со сторонами у и х).

Чтобы найти площадь прямоугольника, состоящего из шести других, можно найти площадь каждого из шести прямоугольников, а затем сложить все найденные площади. Или сразу найти площадь прямоугольника, состоящего из шести других, как произведение двух его смежных сторон (а + у) и (с + k + х).

Что и требовалось доказать.

Разбор заданий тренировочного модуля.

1. Упростите выражение.

Это верное выражение.

Итак, сегодня мы получили представление о том, как находить произведение многочленов, раскрывать скобки, выполнять разложение многочленов на множители.

Источник

Многочлены

Определения и примеры

Многочлен — это сумма одночленов.

Например, выражение 2x + 4xy 2 + x + 2xy 2 является многочленом. Проще говоря, многочлен это несколько одночленов, соединенных знаком «плюс».

Но это действие нагромождает многочлен скобками, поэтому вычитание на сложение не заменяют, учитывая в будущем, что каждый одночлен многочлена будет рассматриваться вместе со знаком, который перед ним располагается.

Одночлены, из которых состоит многочлен, называют членами многочлена.

Если многочлен состоит из двух членов, то такой многочлен называют двучленом. Например, многочлен x + y является двучленом.

Если многочлен состоит из трёх членов, то такой многочлен называют трехчленом. Например, многочлен x + y + z является трехчленом.

Если какой-нибудь многочлен содержит обычное число, то это число называют свободным членом многочлена. Например, в многочлене 3x + 5y + z + 7 член 7 является свободным членом. Свободный член многочлена не содержит буквенной части.

Многочленом также является любое числовое выражение. Так, следующие выражения являются многочленами:

Сложение многочленов

К многочлену можно прибавить другой многочлен. Например, прибавим к многочлену 2x + y многочлен 3x + y.

Заключим в скобки каждый многочлен и соединим их знаком «плюс», указывая тем самым, что мы складываем многочлены:

Теперь раскрываем скобки:

Далее приведём подобные слагаемые:

Таким образом, при сложении многочленов 2x + y и 3x + y получается многочлен 5x + 2y.

Разрешается также сложение многочленов в столбик. Для этого их следует записать так, чтобы подобные слагаемые располагались друг под другом, затем выполнить самó сложение. Решим предыдущий пример в столбик:

Если в одном из многочленов окажется слагаемое, которое не имеет подобного слагаемого в другом многочлене, оно переносится к результату без изменений. Как говорят при сложении обычных чисел — «сносится».

Решим этот же пример с помощью скобок:

Пример 3. Сложить многочлены 7x 3 + y + z 2 и x 3 − z 2

Решим этот пример в столбик. Запишем второй многочлен под первым так, чтобы подобные слагаемые располагались друг под другом:

Решим этот же пример с помощью скобок:

Вычитание многочленов

Заключим в скобки каждый многочлен и соединим их знаком «минус», указывая тем самым, что мы выполняем вычитание:

Теперь раскроем скобки:

Приведём подобные слагаемые. Слагаемые y и −y являются противоположными. Сумма противоположных слагаемых равна нулю

Приводя подобные слагаемые, мы обычно складываем их. Но в качестве знака операции можно использовать знак одночлена. Так, приводя подобные слагаемые y и −y мы сложили их по правилу приведения подобных слагаемых. Но можно не складывая, записать их друг за другом

Получится тот же результат, поскольку выражения y + (−y) и y − y одинаково равны нулю:

Возвращаемся к нашему примеру. Вычеркнем члены y и −y :

Или без сложения, записав члены друг за другом:

Решим этот же пример в столбик:

Пример 2. Вычесть из многочлена 13x − 11y + 10z многочлен −15x + 10y − 15z

Решим этот пример с помощью скобок, а затем в столбик:

Следует быть внимательным при вычитании в столбик. Если не следить за знаками, вероятность допустить ошибку очень высокá. Нужно учитывать не только знак операции вычитания, но и знак располагающийся перед слагаемым.

Так, в данном примере из слагаемого 10z вычиталось слагаемое −15z

Складывая или вычитая многочлены при помощи скобок, первый многочлен в скобки можно не заключать. Так, в данном примере из многочлена 13x − 11y + 10z требовалось вычесть многочлен −15x + 10y − 15z

Вычитание было записано так:

Но первый многочлен можно не заключать в скобки:

Заключение первого многочлена в скобки на первых порах позволяет начинающим наглядно увидеть, что второй многочлен полностью вычитается из первого, а не из определенной его части.

Представление многочлена в виде суммы или разности

Многочлен можно представить в виде суммы или разности многочленов. По сути это обратное действие раскрытию скобок, поскольку идея подразумевает, что имеется некий многочлен, и из него можно образовать сумму или разность многочленов, заключив в скобки некоторые из членов исходного многочлена.

В скобки также можно было бы заключить члены 3x, 5y, z и прибавить это выражение в скобках к члену 7

Представляя многочлен в виде разности многочленов, нужно придерживаться следующего правила. Если члены заключаются в скобки после знака минуса, то этим членам внутри скобок нужно поменять знаки на противоположные.

Но мы видим, что после знака минуса следует заключение членов z и 7 в скобки. Поэтому этим членам нужно поменять знаки на противоположные. Делать это нужно внутри скобок:

Вообще, представляя многочлен в виде суммы или разности, можно придерживаться следующих правил:

Если перед скобками ставится знак «плюс», то все члены внутри скобок записываются со своими же знаками.

Если перед скобками ставится знак «минус», то все члены внутри скобок записываются с противоположными знаками.

Пример 1. Представить многочлен 3x 4 + 2x 3 + 5x 2 − 4 в виде суммы каких-нибудь двучленов:

Пример 2. Представить многочлен 3x 4 + 2x 3 + 5x 2 − 4 в виде разности каких-нибудь двучленов:

Перед вторыми скобками располагался минус, поэтому члены 5x 2 и −4 были записаны с противоположными знаками.

Многочлен и его стандартный вид

Многочлен, как и одночлен, можно привести к стандартному виду. В результате получается упрощенный многочлен, с которым удобно работать.

Чтобы привести многочлен к стандартному виду, нужно привести подобные слагаемые в этом многочлене. Подобные слагаемые в многочлене называют подобными членами многочлена, а приведение подобных слагаемых в многочлене — приведением его подобных членов.

Подобные члены многочлена это члены, имеющие одинаковую буквенную часть.

Как и у одночлена, у многочлена имеется степень. Чтобы определить степень многочлена, сначала его нужно привести к стандартному виду, затем выбрать тот одночлен, степень которого является наибольшей из всех.

Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней, входящих в него одночленов.

В некоторых многочленах прежде всего требуется привести к стандартному виду одночлены, входящие в него, и только потом приводить сам многочлен к стандартному виду.

Например, приведем многочлен 3xx 4 + 3xx 3 − 5x 2 x 3 − 5x 2 x к стандартному виду. Этот многочлен состоит из одночленов, которые не приведены к стандартному виду. Сначала приведём их к стандартному виду:

Пример 2. Привести многочлен 3ab + 4cc + ab + 3c 2 к стандартному виду.

Далее приведём подобные члены:

Пример 3. Привести многочлен 4x 2 − 4y − x 2 + 17y − y к стандартному виду.

Приводя подобные члены, можно использовать скобки. Для этого подобные члены следует заключить в скобки, затем объединить выражения в скобках с помощью знака «плюс».

Теперь в скобках выполним приведение подобных членов:

В получившемся выражении (3x 2 ) + (12y) раскроем скобки:

Конечно, такой подход нагромождает выражение, но зато позволяет свести к минимуму допущение ошибок.

Пример 4. Привести многочлен 12x 2 − 9y − 9x 2 + 6y + y к стандартному виду.

Заключим в скобки подобные слагаемые и объединим их с помощью знака «плюс»

Далее вычисляем содержимое скобок:

Избавляемся от скобок при помощи раскрытия:

Изменение порядка следования членов

Многочлен это сумма одночленов. То есть исходный двучлен двучлен x − y является суммой x и −y

От перестановки мест слагаемых сумма не меняется. Тогда x и −y можно поменять местами

Пример 2. В двучлене −y − x поменять местами члены.

Двучлен −y − x это сумма членов −y и −x

Таким образом, решение можно записать покороче:

Пример 3. Упорядочить члены многочлена x + xy 3 − x 2 в порядке убывания степеней.

Умножение одночлена на многочлен

Одночлен можно умножить на многочлен. Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно этот одночлен умножить на каждый член многочлена и полученные произведения сложить.

Вычислим получившиеся произведения:

Умножение желательно выполнять в уме. Так решение получается короче:

В некоторых примерах одночлен располагается после многочлена. В этом случае опять же каждый член многочлена нужно перемножить с одночленом и полученные произведения сложить.

Например, предыдущий пример мог быть дан в следующем виде:

В этом случае мы умножили бы каждый член многочлен (2x + y + 5) на одночлен 3x 2 и сложили бы полученные результаты:

Умножение одночлена на многочлен (или умножение многочлена на одночлен) основано на распределительном законе умножения.

Вообще, умножение одночлена на многочлен, да и распределительный закон умножения имеют геометрический смысл.

Допустим, имеется прямоугольник со сторонами a и b

Увеличим сторону b на c

Достроим отсутствующую сторону и закрасим для наглядности получившийся прямоугольник:

Теперь вычислим площадь получившегося большого прямоугольника. Он включает в себя желтый и серый прямоугольники.

или ширину умножить на длину, чтобы расположить буквы a, b и c в алфавитном порядке:

Таким образом, выражения a × (b + c) и ab + ac равны одному и тому же значению (одной и той же площади)

К примеру, пусть у нас имеется прямоугольник длиной 4 см, и шириной 2 см, и мы увеличили длину на 2 см

2 × (4 + 2) = 2 × 4 + 2 × 2 = 12.

Действительно, в получившемся большом прямоугольнике содержится двенадцать квадратных сантиметров:

Пример 2. Умножить одночлен 2a на многочлен a 2 − 7a − 3

Умножим одночлен 2a на каждый член многочлена a 2 − 7a − 3 и сложим полученные произведения:

Пример 3. Умножить одночлен −a 2 b 2 на многочлен a 2 b 2 − a 2 − b 2

Умножим одночлен −a 2 b 2 на каждый член многочлена a 2 b 2 − a 2 − b 2 и сложим полученные произведения:

Пример 4. Выполнить умножение −1,4x 2 y 6 (5x 3 y − 1,5xy 2 − 2y 3 )

Умножим одночлен −1,4x 2 y 6 на каждый член многочлена 5x 3 y − 1,5xy 2 − 2y 3 и сложим полученные произведения:

Пример 5. Выполнить умножение

Умножим одночлен на каждый член многочлена и сложим полученные произведения:

Выполняя короткие решения, результаты записывают сразу друг за другом вместе со знаком полученного члена. Рассмотрим поэтапно, как было выполнено короткое решение данного примера.

Сначала одночлен нужно умножить на первый член многочлена , то есть на . Умножение выполняется в уме. Получается результат . В исходном выражении ставим знак равенства и записываем первый результат:

После этого в исходном выражении никаких знаков ставить нельзя. Нужно сразу приступать к следующему умножению.

Следующим шагом будет умножение одночлена на второй член многочлена , то есть на . Получается результат . Этот результат является положительным, то есть со знаком плюс . В исходном выражении этот результат записывается вместе с этим плюсом сразу после члена

После этого в исходном выражении никаких знаков ставить нельзя. Нужно сразу приступать к следующему умножению.

Следующим шагом будет умножение одночлена на третий член многочлена , то есть на . Получается результат . Этот результат является отрицательным, то есть со знаком минус. В исходном выражении этот результат записывается вместе со своим минусом сразу после члена

Иногда встречаются выражения, в которых сначала нужно выполнить умножение одночлена на многочлен, затем опять на одночлен. Например:

Умножение также можно было бы выполнить сначала умножив (a + b) на с и полученный результат перемножить с членом 2

В данном случае срабатывает сочетательный закон умножения, который говорит о том, что если выражение состоит из нескольких сомножителей, то произведение не будет зависеть от порядка действий:

a × b × с = (a × b) × с = a × (b × с)

То есть умножение можно выполнять в любом порядке. Это не приведёт к изменению значения изначального выражения.

Умножение многочлена на многочлен

Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлена и полученные произведения сложить.

Например, умножим многочлен x + 3 на y + 4

Заключим в скобки каждый многочлен и объединим их знаком умножения ×

Получаем умножение многочлена (x + 3) на одночлен 4. Выполним это умножение. Умножение необходимо продолжать в исходном примере (x + 3)(y + 4) = xy + 3y

Таким образом, при умножении многочлена (x + 3) на многочлен (y + 4) получается многочлен xy + 3y + 4x + 12.

По другому умножение многочлена на многочлен можно выполнить ещё так: каждый член первого многочлена умножить на второй многочлен целиком и полученные произведения сложить.

Решим предыдущий пример, воспользовавшись этим способом. Умножим каждый член многочлена x + 3 на весь многочлен y + 4 целиком и сложим полученные произведения:

В результате приходим к умножению одночлена на многочлен, которое мы изучили ранее. Выполним это умножение:

Получится тот же результат что и раньше, но члены полученного многочлена будут располагаться немного по другому.

Умножение многочлена на многочлен имеет геометрический смысл. Допустим, имеется прямоугольник, длина которого a и ширина b

Достроим отсутствующие стороны и закрасим для наглядности получившиеся прямоугольники:

То есть выражения (a + x)(b + y) и ab + xb + ay + xy тождественно равны

Представим, что у нас имелся прямоугольник, длиной 6 см и шириной 3 см, и мы увеличили его длину на 2 см, а ширину на 1 см

Достроим отсутствующие стороны и закрасим для наглядности получившиеся прямоугольники:

6 × 3 + 2 × 3 + 6 × 1 + 2 × 1 = 32

(6 + 2)(3 + 1) = 6 × 3 + 2 × 3 + 6 × 1 + 2 × 1 = 18 + 6 + 6 + 2 = 32

Действительно, в получившемся большом прямоугольнике содержится тридцать два квадратных сантиметра:

Пример 2. Умножить многочлен a + b на c + d

Заключим исходные многочлены в скобки и запишем их друг за другом:

Теперь умножим каждый член первого многочлена (a + b) на каждый член второго многочлена (c + d)

Пример 4. Выполнить умножение (−x − 2y)(x + 2y 2 )

Умножим каждый член многочлена (−x − 2y) на каждый член многочлена (x + 2y 2 )

Результат перемножения членов нужно записывать вместе со знаками этих членов. Рассмотрим поэтапно, как был решён данный пример.

Пример 5. Выполнить умножение (4a 2 + 2ab − b 2 )(2a − b)

Умножим каждый член многочлена (4a 2 + 2ab − b 2 ) на каждый член многочлена (2a − b)

В получившемся выражении можно привести подобные слагаемые:

Пример 6. Выполнить умножение −(a + b)(с − d)

Согласно сочетательному закону умножения, если выражение состоит из нескольких сомножителей, то его можно вычислять в любом порядке.

Либо можно было перемножить −1 с первым многочленом (a + b) и результат перемножить с многочленом (с − d)

Пример 7. Выполнить умножение x 2 (x + 5)(x − 3)

Пример 8. Выполнить умножение (a + 1)(a + 2)(a + 3)

Итак, перемножим (a + 1) и (a + 2)

Полученный многочлен (a 2 + a + 2a + 2) перемножим с (a + 3)

Если быстрое перемножение многочленов на первых порах даётся тяжело, можно воспользоваться подробным решением, суть которого заключается в том, чтобы записать, как каждый член первого многочлена умножается на весь второй многочлен целиком. Такая запись хоть и занимает место, но позволяет свести к минимуму допущение ошибок.

Например, выполним умножение (a + b)(c + d)

Запишем как каждый член многочлена a + b умножается на весь многочлен c + d целиком. В результате придём к умножению одночлена на многочлен, выполнять которое проще:

Такая запись удобна при умножении двучлена на какой-нибудь многочлен, в котором содержится больше двух членов. Например:

Или при перемножении многочленов, содержащих больше двух членов. Например, умножим многочлен x 2 + 2x − 5 на многочлен x 3 − x + 2

Получили привычное для нас умножения одночленов на многочлены. Выполним эти умножения:

В получившемся многочлене приведём подобные члены:

Одночлены, входящие в получившийся многочлен, расположим в порядке убывания степеней. Делать это необязательно. Но такая запись будет красивее:

Вынесение общего множителя за скобки

Мы уже учились выносить общий множитель за скобки в простых буквенных выражениях. Теперь мы немного углубимся в эту тему, и научимся выносить общий множитель за скобки в многочлене. Принцип вынесения будет таким же, как и в простом буквенном выражении. Небольшие трудности могут возникнуть лишь с многочленами, состоящими из степеней.

Пример 2. Вынести общий множитель за скобки в многочлене x 2 + x + xy

Все члены данного многочлены имеют коэффициент единицу. Наибольший общий делитель модулей из этих единиц есть единица. Поэтому числовая часть выносимого за скобки множителя будет единицей. Но единицу в качестве коэффициента не записывают.

Каждый член многочлена представлен в виде произведения множителей, из которых состоят эти члены. Легко заметить, что во всех трёх произведениях общим сомножителем является x. Выделим его:

Этот множитель x и вынесем за скобки. Опять же при вынесении общего множителя за скобки каждое слагаемое исходного выражения делим на этот общий множитель. В нашем случае каждый член многочлена x × x + 1 × x + x × y нужно разделить на общий множитель x

В результате в скобках остаются члены, которые не имеют общих буквенных сомножителей, а модули коэффициентов этих членов не имеют общих делителей, кроме 1.

Пример 2. Вынести общий множитель за скобки в многочлене 15x 2 y 3 + 12xy 2 + 3xy 2

Определим коэффициент общего множителя, выносимого за скобки. Наибольший общий делитель модулей коэффициентов 15, 12 и 3 это число 3. Значит, число 3 будет коэффициентом общего множителя, выносимого за скобки.

Теперь определим буквенную часть общего множителя, выносимого за скобки. Её нужно выбирать так, чтобы в скобках остались члены, которые не содержат общего буквенного множителя.

Перепишем буквенные части исходного многочлена 15x 2 y 3 + 12xy 2 + 3xy 2 в виде разложения на множители. Это позволит хорошо увидеть, что именно можно вынести за скобки:

В итоге общим множителем, выносимым за скобки, будет множитель 3xy 2

Пример 3. Вынести общий множитель за скобки в выражении x 2 + x

В данном случае за скобки можно вынести x

Не следует на письме подробно расписывать содержимое каждого члена, разлагая его на множители. Это легко делается в уме.

Пример 4. Вынести общий множитель за скобки в многочлене 5y 2 − 15y

Пример 5. Вынести общий множитель за скобки в многочлене 5y 2 − 15y 3

Пример 6. Вынести общий множитель за скобки в многочлене 20x 4 − 25x 2 y 2 − 10x 3

Пример 7. Вынести общий множитель за скобки в многочлене a m + a m + 1

Проверка на тождественность

Решение задачи с многочленами порой растягивается на несколько строк. Каждое следующее преобразование должно быть тождественно равно предыдущему. Если возникают сомнения в правильности своих действий, то можно подставить произвольные значения переменных в исходное и полученное выражение. Если исходное и полученное выражение будут равны одному и тому же значению, то можно быть уверенным, что задача была решена правильно.

Допустим, нам нужно вынести общий множитель за скобки в следующем многочлене:

В данном случае за скобки можно вынести общий множитель 2x

2x + 4x 2 = 2 × 2 + 4 × 2 2 = 4 + 16 = 20

Теперь подставим значение 2 в преобразованное выражение 2x(1 + 2x)

2x(1 + 2x) = 2 × 2 × (1 + 2 × 2 ) = 4 × 5 = 20

2x + 4x 2 = 2 × 1 + 4 × 1 2 = 2 + 4 = 6
2x(1 + 2x) = 2 × 1 × (1 + 2 × 1 ) = 2 × 3 = 6

Пример 2. Вычесть из многочлена 5x 2 − 3x + 4 многочлен 4x 2 − x и проверить полученный результат, подставив вместо переменной x произвольное значение.

Видим, что при каждом преобразовании значение выражения при x = 2 не менялось. Это значит, что задача была решена правильно.

Источник