Тетраэдр — правильный многогранник (четырёхгранный), имеющий 4 грани, они, в свою очередь, оказываются правильными треугольниками. У тетраэдра 4 вершины, к каждой из них сходится 3 ребра. Общее количество ребер у тетраэдра 6.
Свойства тетраэдра.
Параллельные плоскости, которые проходят через пары рёбер тетраэдра, что скрещиваются, и определяют описанный параллелепипед около тетраэдра.
Плоскость, которая проходит сквозь середины 2-х рёбер тетраэдра, что скрещиваются, и делит его на 2 части, одинаковые по объему.
Все медианы и бимедианы тетраэдра пересекаются в одной точке. Эта точка делит медианы в отношении 3:1, если считать от вершины. Она же делит бимедианы на две равные части.
Типы тетраэдров.
У правильного тетраэдра каждый двугранный угол при рёбрах и каждый трёхгранный угол при вершинах имеют одинаковую величину.
Тетраэдр состоит из 4 граней, 4 вершин и 6 ребер.
Кроме правильного тетраэдра, заслуживают внимания такие типы тетраэдров:
— Равногранный тетраэдр, у него каждая грань представляет собой треугольник. Все грани-треугольники такого тетраэдра равны.
— Ортоцентрический тетраэдр, у него каждая высота, опущенная из вершин на противоположную грань, пересекается с остальными в одной точке.
— Прямоугольный тетраэдр, у него каждое ребро, прилежащее к одной из вершин, перпендикулярно другим ребрам, прилежащим к этой же вершине.
— Каркасный тетраэдр — тетраэдр, который таким условиям:
— Соразмерный тетраэдр, бивысоты у него одинаковы.
— Инцентрический тетраэдр, у него отрезки, которые соединяют вершины тетраэдра с центрами окружностей, которые вписаны в противоположные грани, пересекаются в одной точке.
Формулы для определения элементов тетраэдра.
Высота тетраэдра:
Объем тетраэдра рассчитывается по классической формуле объема пирамиды. В нее нужно подставить высоту тетраэдра и площадь правильного (равностороннего) треугольника.
Правильный тетраэдр составлен из четырех равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной трех треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 180°. Тетраэдр не имеет центра симметрии, но имеет 3 оси симметрии и 6 плоскостей симметрии.
Является ли тетраэдр пирамидой? Да, тетраэдр это треугольная пирамида у которой все стороны равны.
Может ли пирамида быть тетраэдром? Только если это пирамида с треугольным основанием и каждая из её сторон равносторонний треугольник.
Отметим, что очень редко, но встречаются геометрические тела, составленные не из правильных треугольников, и их тоже называют тетраэдры, так как они имеют четыре грани.
Математические характеристики тетраэдра
Тетраэдр может быть помещен в сферу (вписан), так, что каждая из его вершин будет касаться внутренней стенки сферы.
Радиус описанной сферы тетраэдра определяется по формуле:
Сфера может быть вписана внутрь тетраэдра.
Радиус вписанной сферы тетраэдра определяется по формуле:
Площадь поверхности тетраэдра
Для наглядности, площадь поверхности тетраэдра можно представить в виде площади развёртки. Площадь поверхности можно определить как площадь одной из сторон тетраэдра (это площадь правильного треугольника) умноженной на 4. Либо воспользоваться формулой:
Объем тетраэдра определяется по следующей формуле:
Высота тетраэдра определяется по следующей формуле:
Расстояние до центра основания тетраэдра определяется по формуле:
Вариант развертки
Древнегреческий философ Платон ассоциировал тетраэдр с «земным» элементом огонь, поэтому для построения модели этого правильного многогранника мы выбрали красный цвет.
Заметим, что это не единственный вариант развертки.
Видео. Тетраэдр из набора «Волшебные грани»
Вы можете изготовить модель тетраэдра воспользовавшись деталями для сборки из набора «Волшебные грани».
Сборка многогранника из набора:
Подробная сборка от Алексея Жигулева (youtube-канал Оригами)
вращение готового многогранника:
Видео. Вращение всех правильных многогранников
Популярное
Что будет, если плоскую геометрическую фигуру, например прямоугольник, начать быстро вращать относительно одной из его сторон? Одним лишь вращением мы можем.
Это новый, весьма необычный способ создать модель Звёздчатого многогранника открытого 1619 году немецким математиком и астрономом Иоганном Кеплером.
Лето – это время, которое хочется провести вне помещения. За парту дети сядут в сентябре, а сейчас – все на детскую площадку!
Архитекторы с древних времен применяли элементы многогранников в создании своих творений. В современно мире этот подход выделяет здания среди тысяч других.
Мы приоткрываем завесу таинства – как производится наша продукция. И сделаем это на примере.
Архитектурные шедевры находятся в разных уголках земного шара и отражают особенности человеческой души. Тайные людские желания воплощаются в форме необыкновенных зданий. В.
Смотреть что такое «Правильный тетраэдр» в других словарях:
правильный тетраэдр — taisyklingasis tetraedras statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. regular tetrahedron vok. reguläres Tetraeder, n rus. правильный тетраэдр, m pranc. tétraèdre régulier, m … Fizikos terminų žodynas
Правильный треугольник — Правильный треугольник. Правильный (или равносторонний) треугольник это правильный многоугольник с тремя сторонами, первый из правильных многоугольников. Все стороны … Википедия
Правильный многогранник — Додекаэдр Правильный многогранник или платоново тело это выпуклый многогранник, состоящий из одинаковых правильных многоугольников и обладающий пространственной симметрией … Википедия
Тетраэдр — (греч. τετραεδρον четырёхгранник) простейший многогранник, гранями которого являются четыре треугольника. У тетраэдра 4 грани, 4 вершины и 6 рёбер. Содержание 1 Связанные определения … Википедия
Правильный многогранник — геометрическое тело, ограниченное плоскими гранями, имеющими вид правильных многоугольников одинакового размера; все двугранные углы такого многогранника равны между собой, все многогранные углы при вершинах равны и заключают равное число граней … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
ТЕТРАЭДР КУБИЧЕСКИЙ — простая форма в куб. синг. Правильный замкнутый четырехгранник с гранями в виде правильных треугольников. Син.: тетраэдр, тетраэдр правильный. Геологический словарь: в 2 х томах. М.: Недра. Под редакцией К. Н. Паффенгольца и др.. 1978 … Геологическая энциклопедия
ТЕТРАЭДР — (греч., от tetras четыре, и hedra основание). Тело ограниченное четырьмя равносторонними треугольниками четырехгранник. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. ТЕТРАЭДР греч., от tetras, четыре, и hedra,… … Словарь иностранных слов русского языка
ТЕТРАЭДР ПРАВИЛЬНЫЙ — син. термина тетраэдр кубический. Геологический словарь: в 2 х томах. М.: Недра. Под редакцией К. Н. Паффенгольца и др.. 1978 … Геологическая энциклопедия
тетраэдр — [тэ], а; м. [греч. tetra четыре и hedra грань] Матем. Правильный четырёхгранник, каждая грань которого имеет форму треугольника; треугольная пирамида. * * * тетраэдр (от тетра. и греч. hédra грань), один из пяти типов правильных… … Энциклопедический словарь
Это свойство также применяется к тетрагональным дифеноидам при применении к двум специальным парам ребер.
Сферическая черепица
Ортографическая проекция
Стереографическая проекция
Спиральная укладка
Отношения подгруппы тетраэдрической симметрии
Тетраэдрические симметрии показаны на тетраэдрических диаграммах
Изометрии неправильных тетраэдров
Имя тетраэдра
Край Эквивалентность диаграмма
Описание
Симметрия
Schön.
Кокс.
Сфера.
Ord.
Правильный тетраэдр
C 1
[] +
1
1
Дисфеноиды (четыре равных треугольника)
Тетрагональный дисфеноид
D2
[2,2] +
222
4
Обобщенные дисфеноиды (2 пары равных треугольников)
Дигональный дисфеноид
Объем
Объем тетраэдра определяется формулой объема пирамиды:
Абсолютное значение скалярного тройного произведения можно представить в виде следующих абсолютных значений определителей:
Учитывая расстояния между вершинами тетраэдра, объем можно вычислить с помощью определителя Кэли-Менгера :
В приведенной выше формуле используются шесть длин ребер, а в следующей формуле используются три длины ребер и три угла.
Формула типа Герона для объема тетраэдра
Делитель объема
Неевклидово произведение
Расстояние между краями
Свойства, аналогичные свойствам треугольника
Тетраэдр обладает многими свойствами, аналогичными свойствам треугольника, включая внутреннюю сферу, описанную сферу, средний тетраэдр и внешние сферы. Он имеет соответствующие центры, такие как центр окружности, центр окружности, эксцентриситет, центр Шпикера и такие точки, как центроид. Однако обычно нет ортоцентра в смысле пересечения высот. [14]
Ортогональная линия, проведенная от точки Монжа к любой грани, пересекает эту грань в середине отрезка прямой между ортоцентром этой грани и основанием высоты, опущенной из противоположной вершины.
Радиус двенадцатигранной сферы составляет одну треть описанного радиуса контрольного тетраэдра.
Существует соотношение между углами, образованными гранями общего тетраэдра, определенное формулой [17]
Геометрические отношения
Включение тетраэдров внутрь правильного соединения пяти кубов дает еще два правильных соединения, содержащих пять и десять тетраэдров.
Обычные тетраэдры не могут замощить пространство сами по себе, хотя этот результат кажется достаточно вероятным, чтобы Аристотель утверждал, что это возможно. Однако два правильных тетраэдра могут быть объединены с октаэдром, давая ромбоэдр, который может замостить пространство.
Если ослабить требование, чтобы все тетраэдры были одинаковой формы, можно разбить пространство, используя только тетраэдры, разными способами. Например, можно разделить октаэдр на четыре одинаковых тетраэдра и снова объединить их с двумя правильными. (В качестве примечания: эти два вида тетраэдров имеют одинаковый объем.)
Тетраэдр уникален среди однородных многогранников тем, что не имеет параллельных граней.
Закон синусов для тетраэдров и пространство всех форм тетраэдров
Можно рассматривать две стороны этого тождества как соответствующие ориентации поверхности по часовой стрелке и против часовой стрелки.
Если поставить любую из четырех вершин в роли O, мы получим четыре таких тождества, но не более трех из них являются независимыми: если стороны трех из них умножаются по часовой стрелке, и получается, что произведение равно произведению «против часовой стрелки» стороны одних и тех же трех тождеств, а затем общие множители отменяются с обеих сторон, в результате получается четвертая идентичность.
Закон косинусов для тетраэдров
Внутренняя точка
Inradius
Обозначая внутренний радиус тетраэдра как r, а внутренние радиусы его треугольных граней как ri для i = 1, 2, 3, 4, мы имеем [22] : p.81, # 1990
с равенством тогда и только тогда, когда тетраэдр правильный.
Circumradius
Кругоцентр
В отличие от центроида, центр описанной окружности не всегда может лежать внутри тетраэдра. Аналогично тупому треугольнику, у тупого тетраэдра центр описанной окружности находится вне объекта.
Центроид
Сумма площадей любых трех граней больше площади четвертой грани. [22] : с.225, №159.
Тетраэдр может иметь целочисленный объем и последовательные целые числа в качестве ребер, например, с ребрами 6, 7, 8, 9, 10 и 11 и объемом 48. [27]
Название антипризмы
Дигональная антипризма
(Тригональная) Треугольная антипризма
(Тетрагональная) Квадратная антипризма
Пятиугольная антипризма
Шестиугольная антипризма
Семиугольная антипризма
Восьмиугольная антипризма
Эннеагональная антипризма
Десятиугольная антипризма
Хендекагональная антипризма
Додекагональная антипризма
.
Апейрогональная антипризма
Изображение многогранника
.
Сферическое мозаичное изображение
Плоское мозаичное изображение
Конфигурация вершины.
2.3.3.3
3.3.3.3
4.3.3.3
5.3.3.3
6.3.3.3
7.3.3.3
8.3.3.3
9.3.3.3
10.3.3.3
11.3.3.3
12.3.3.3
.
∞.3.3.3
* n 32 изменение симметрии правильных мозаик: <3, n >
Многогранники.jpg/440px-Tetraedro_(Matemateca_IME-USP).jpg "440px Tetraedro (Matemateca IME USP)")
