Что значит положительное число в математике

Положительные и отрицательные числа, определение, примеры.

Сейчас мы разберем положительные и отрицательные числа. Сначала дадим определения, введем обозначения, после чего приведем примеры положительных и отрицательных чисел. Также остановимся на смысловой нагрузке, которую несут в себе положительные и отрицательные числа.

Навигация по странице.

Положительные и отрицательные числа – определения и примеры

Дать определение положительных и отрицательных чисел нам поможет координатная прямая. Для удобства будем считать, что она расположена горизонтально и направлена слева направо.

Числа, которые соответствуют точкам координатной прямой, лежащим правее начала отсчета, называют положительными.

Числа, которые соответствуют точкам координатной прямой, лежащим левее начала отсчета называю отрицательными.

Число нуль, соответствующее началу отсчета, не является ни положительным, ни отрицательным числом.

Из определения отрицательных и положительных чисел следует, что множество всех отрицательных чисел представляет собой множество чисел, противоположных всем положительным числам (при необходимости смотрите статью противоположные числа). Следовательно, отрицательные числа всегда записываются со знаком минус.

Числа со знаком плюс называют положительными, а со знаком минус – отрицательными.

Существует еще одно определение положительных и отрицательных чисел, основанное на сравнении чисел. Чтобы дать это определение, достаточно лишь вспомнить, что точка на координатной прямой, соответствующая большему числу, лежит правее точки, соответствующей меньшему числу.

Положительные числа – это числа, которые больше нуля, а отрицательные числа – это числа, меньшие нуля.

Таким образом, нуль как бы отделяет положительные числа от отрицательных.

Конечно же, следует еще остановиться на правилах чтения положительных и отрицательных чисел. Если число записано со знаком + или −, то произносят название знака, после чего произносят число. Например, +8 читается как плюс восемь, а — как минус одна целая две пятых. Названия знаков + и − не склоняются по падежам. Примером правильного произношения является фраза «a равно минус трем» (не минусу трем).

Интерпретация положительных и отрицательных чисел

Мы уже достаточно долго описываем положительные и отрицательные числа. Однако неплохо было бы знать, какой смысл они несут в себе? Давайте разберемся с этим вопросом.

Положительные числа можно интерпретировать как приход, как прибавку, как увеличение какой-либо величины и тому подобное. Отрицательные числа, в свою очередь, означают строго противоположное – расход, недостаток, долг, уменьшение какой-либо величины и т.п. Разберемся с этим на примерах.

Источник

Положительные числа

Положительные числа — это числа со знаком «+» перед ними. Знак «+» обычно не пишется (если перед числом не написан знак, то, по умолчанию, это число со знаком «+»).

— положительные числа. Перед этими числами не записан знак, значит, по умолчанию, перед ними стоит знак «плюс» (это сокращенная форма записи

Таким образом, +12=12, то есть +12 и 12 — это одно и то же число, только по-разному обозначенное.

Любое положительное число больше нуля.

0\]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

означает, что число a — положительное.

Все натуральные числа являются положительными.

На координатной прямой все положительные числа расположены правее нуля.

Любое положительное число на координатной прямой лежит правее любого отрицательного числа.

Число нуль не является ни положительным, ни отрицательным. Оно отделяет положительные числа от отрицательных.

Источник

Целые числа

Целые числа — это положительные и отрицательные числа, не имеющие дробной части и число нуль.

Число 0 целое, но не является ни положительным, ни отрицательным числом.

представляют собой одно и тоже число:

Положительные и отрицательные числа

Существуют величины, отсчёт которых производиться в двух противоположных направлениях.

Пример. Температура отсчитывается в двух противоположных направлениях от температуры тающего льда, принимаемой за нулевую:

1) Уровень ртути при нулевой температуре (температуре тающего льда).

2) Уровень ртути при температуре, более низкой, чем нулевая.

3) Уровень ртути при температуре, более высокой, чем нулевая.

Если мы имеем какую-либо величину, отсчёт которой производится в двух противоположных направлениях, то одно из направлений, безразлично какое, принято называть положительным, а другое отрицательным.

Положительное число — это число, полученное в результате измерения величины, отсчитанной в положительном направлении. Положительное число изображается в виде числа со знаком + (плюс) впереди. Например, +16 — положительное число.

Примечание: все градусы пишутся с буквой C (Цельсия), знак градуса отделяется от числа пробелом. Например, +7 °C.

Наименьшее целое положительное число – это 1 (единица).

+1, +15, +57 и т. д. — положительные числа;

можно написать просто

Сравнение целых чисел

Сравнить два целых числа — значит, узнать, какое из них больше, какое меньше, или определить, что числа равны.

Сравнивать целые числа можно с помощью ряда целых чисел, так как числа в нём расположены от меньшего к большему, если двигаться по ряду слева направо. Поэтому в ряду целых чисел можно заменить запятые на знак меньше:

Источник

Математика

Именная карта банка для детей
с крутым дизайном, +200 бонусов

Закажи свою собственную карту банка и получи бонусы

План урока:

В выходной день папа с Никитой собирались в городской парк, на открытие большой горки.

А если, говоря о погоде, используется слово «плюс», или сообщается количество градусов с использованием выражения «выше нуля», например: «сегодня за окном пятнадцать градусов выше нуля», или «на улице плюс три», то значит, что шкала термометра поднялась выше 0.

Но даже после папиного рассказа у Никиты осталось много вопросов о числовых значениях со знаком минус и плюс. Всю прогулку мальчик думал о непонятных цифрах со знаком «минус».

Найти ответы на все свои вопросы Никита смог, только после того, как внимательно изучил наш урок на сайте 100urokov.ru.

Положительные числа

В каждом доме и квартире есть термометр– незаменимый прибор для измерения температуры воздуха. Давайте внимательно его рассмотрим.

Мы видим шкалу, с нанесенными цифрами, которая расположена в стеклянной колбе. Стоит отметить, что шкала прибора разделена точно пополам делением с цифрой 0. Все цифры, находящиеся вверху от нуля имеют положительное значение и записываются со знаком «плюс».

В арифметике такие значения имеют свое название – положительные.

Примеры положительных чисел: 5,18,39,156.

Исходя из рассмотренного правила, делаем вывод, что числа, перед которыми не стоит знак и числа со знаком «+» равны.

Положительные числа можно использовать для выполнения любых математических действий:

возведения в степень.

Получается, что именно с положительными значениями вы знакомы с первого класса.

Отрицательные числа

Ну а теперь, давайте представим, что за окном зима. Какую же температуру покажет рассмотренный прибор для измерения температуры воздуха?

В зимнее время года холодно. Поэтому, обычно говорят, что держится минусовая температура, то есть столбик прибора не поднимается выше 0.

В математике такие числа принято называть отрицательными, при записи, перед данным числовым значением нужно ставить знак «минус».

Примеры отрицательных чисел:

Координатная прямая

Давайте внимательно рассмотрим шкалу термометра и постараемся схематично её изобразить. Шкала является прямой линией. Чертим её:

Замечаем, что каждое деление соответствует 1 градусу. Выходит, шкала имеет единичный отрезок.

Выбираем на нашем рисунке единичный отрезок не забывая, отложить его в обе стороны от начала отсчета:

Посмотрим на полученное изображение. Построенная геометрическая фигура имеет направление, точку начала отсчета и единичный отрезок. В математике, такие фигуры имеют свое название – координатная прямая.

Важным моментом, является то, что на координатной прямой по правую сторону от точки начала отсчета (0) находятся положительные числа, а по левой стороне – отрицательные (записанные со знаком «минус»).

На самом деле, на рисунке изображен небольшой фрагмент прямой. Данная линия продолжается в обе стороны до бесконечности, так как по определению, она не имеет ни начала, ни конца.

Координата точки

Каждая точка, нанесенная на координатную прямую,всегда имеет свое числовое обозначение или координату.

Разберем на примере.

Построим координатную прямую. Нанесем начало отсчета и выберем единичный отрезок, равный 1 сантиметру. Обозначим деление буквой A:

Читается, точка A с координатой 1.

Нет ничего сложного!

Давайте применим на практике полученные знания и разберем задание.

Постройте координатную прямую и нанесите на неё точки:В(4), С(-2).

Чтобы выполнить данное задание необходимо изобразить прямую, выбрать на ней направление, точку начала координат и единичный отрезок, который будет равен 1 сантиметру.

Теперь нужно поставить точку В с координатой 4. Значение координаты точки положительное, поэтому отмечать её, будем с правой стороны от начала отсчета (0).Координата 4 говорит о том, что отметка В находится от нуля на расстоянии четырех единичных отрезков, то есть, расстояние от нуля до отметки В равно четырем сантиметрам.

Запомни! Положительные числа всегда расположены с правой стороны от нуля, а отрицательные числа с левой стороны от точки начала координат. В данном случае ноль и есть точка начала координат.

Противоположные числа

Рассмотрим такую ситуацию.

На уроке, учительница математики, Нина Николаевна вызвала Егора к доске и дала задание, построить координатную прямую и нанести на неё две отметки с различными координатами положительной и отрицательной.

Егор выполнил задание. Мальчик построил координатную прямую, отметил точку начала координат, направление и единичный отрезок. После этого, школьник нанес на прямую отметки M(3) и K(-3).

Но Егор с нетерпением ждал пояснений Нины Николаевны.

Учительница объяснила детям, что в математике, числа, которые отличаются только знаком, имеют собственное название – противоположные числа.

Если два числа отличаются только знаком, то их называют противоположными числами.

Примеры противоположных чисел:

Но при этом, модули противоположных чисел всегда равны.

Мы видим, что от начала отсчета до точек с координатами (4) и (-4) отложено равное количество единичных отрезков – четыре. Поэтому модуль (количество единичных отрезков от нуля до выбранной точки) в рассматриваемых записях будет одинаковым – |4|.

Выходит, что у противоположных числовых значений равными будут только модули! А сами числа имеют совершенно разное числовое значение!

Егор получил заслуженную пятерку за правильно выполненное задание.

Минутка истории

Отрицательные числа стали для нас чем-то обычным и привычным. Но так было не всегда. Довольно длительное время, положительные значения определяли словом «прибыль», а отрицательные трактовали, как «убыток». И другого применения отрицательным числам не было.

Первыми, признали отрицательные числа, правители Китая в начале 3 века, до нашей эры. Но, несмотря на это, большая часть китайцев считала данное решение правительства бессмысленным. Так как использовать на практике отрицательные числа было негде.

После, числовые значения со знаком «минус», стали использовать в Индии. Их применяли для записи долгов.

В Европу, значения со знаком «минус», попали благодаря Леонардо Пизанскому. Леонардо начал использовать отрицательные числа исключительно для записи в долговой книге и проведения финансовых операций, связанных с долгами. А уже в 1202 году Пизанский подсчитывал свои убытки пользуясь числовыми значениями со знаком «минус».

Однако до начала 19 века рассматриваемые значения находились в гонениях мировых математиков. Ученые утверждали, что выражение 0-4=0 бессмысленно, так как не существует числового значения, которое меньше чем «ничто» (нуль). Поэтому великие математики старались не использовать «бесполезные» цифры в своих вычислительных операциях.

Источник

Положительное число

Отрицательное число — элемент множества отрицательных чисел, которое (вместе с нулём) появилось в математике при расширении множества натуральных чисел. Цель расширения: обеспечить выполнение операции вычитания для любых чисел. В результате расширения получается множество (кольцо) целых чисел, состоящее из положительных (натуральных) чисел, отрицательных чисел и нуля.

Все отрицательные числа, и только они, меньше, чем нуль. На числовой оси отрицательные числа располагаются слева от нуля. Для них, как и для положительных чисел, определено отношение порядка, позволяющее сравнивать одно целое число с другим.

Содержание

Свойства отрицательных чисел

Отрицательные числа подчиняются практически тем же правилам, что и натуральные, но имеют некоторые особенности.

Исторический очерк

Древний Египет, Вавилон и Древняя Греция не использовали отрицательных чисел, а если получались отрицательные корни уравнений (при вычитании), они отвергались как невозможные.

Впервые отрицательные числа были частично узаконены в Китае, а затем (примерно с VII века) и в Индии, где трактовались как долги (недостача), или признавались как промежуточный этап, полезный для вычисления окончательного, положительного результата. Правда, умножение и деление для отрицательных чисел тогда ещё не были определены.

Диофант в III веке уже знал правило знаков и умел умножать отрицательные числа. Однако и он рассматривал их лишь как временные значения.

В XVII веке, с появлением аналитической геометрии, отрицательные числа получили наглядное геометрическое представление на числовой оси. С этого момента наступает их полное равноправие. Тем не менее теория отрицательных чисел долго находилась в стадии становления. Оживлённо обсуждалась, например, странная пропорция 1:(-1) = (-1):1 — в ней первый член слева больше второго, а справа — наоборот, и получается, что большее равно меньшему («парадокс Арно»). Непонятно было также, какой смысл имеет умножение отрицательных чисел, и почему произведение отрицательных положительно; на эту тему проходили жаркие дискуссии.

Полная и вполне строгая теория отрицательных чисел была создана только в XIX веке (Уильям Гамильтон и Герман Грассман).

Источник