Что значит параллельны друг другу
Параллельные прямые, признаки и условия параллельности прямых
В этой статье мы расскажем о параллельных прямых, дадим определения, обозначим признаки и условия параллельности. Для наглядности теоретического материала будем использовать иллюстрации и решение типовых примеров.
Параллельные прямые: основные сведения
Параллельные прямые на плоскости – две прямые на плоскости, не имеющие общих точек.
Параллельные прямые в трехмерном пространстве – две прямые в трехмерном пространстве, лежащие в одной плоскости и не имеющие общих точек.
Необходимо обратить внимание, что для определения параллельных прямых в пространстве крайне важно уточнение «лежащие в одной плоскости»: две прямые в трехмерном пространстве, не имеющие общих точек и не лежащие в одной плоскости, являются не параллельными, а скрещивающимися.
Сформулируем утверждение, играющее важную роль в изучаемой теме.
Через точку, не принадлежащую заданной прямой проходит единственная прямая, параллельная заданной. Это утверждение невозможно доказать на базе известных аксиом планиметрии.
В случае, когда речь идет о пространстве, верна теорема:
Через любую точку пространства, не принадлежащую заданной прямой, будет проходить единственная прямая, параллельная заданной.
Параллельность прямых: признаки и условия параллельности
Признак параллельности есть достаточное условие, при выполнении которого гарантирована параллельность прямых. Иначе говоря, выполнения этого условия достаточно, чтобы подтвердить факт параллельности.
В том числе, имеют место необходимые и достаточные условия параллельности прямых на плоскости и в пространстве. Поясним: необходимое – значит то условие, выполнение которого необходимо для параллельности прямых; если оно не выполнено – прямые не являются параллельными.
Резюмируя, необходимое и достаточное условие параллельности прямых – такое условие, соблюдение которого необходимо и достаточно, чтобы прямые были параллельны между собой. С одной стороны, это признак параллельности, с другой – свойство, присущее параллельным прямым.
Перед тем, как дать точную формулировку необходимого и достаточного условия, напомним еще несколько дополнительных понятий.
Секущая прямая – прямая, пересекающая каждую из двух заданных несовпадающих прямых.
Пересекая две прямые, секущая образует восемь неразвернутых углов. Чтобы сформулировать необходимое и достаточное условие, будем использовать такие типы углов, как накрест лежащие, соответственные и односторонние. Продемонстрируем их на иллюстрации:
Если две прямые на плоскости пересекаются секущей, то для параллельности заданных прямых необходимо и достаточно, чтобы накрест лежащие углы были равными, либо были равными соответственные углы, либо сумма односторонних углов была равна 180 градусам.
Проиллюстрируем графически необходимое и достаточное условие параллельности прямых на плоскости:
В общем, эти условия применимы и для трехмерного пространства при том, что две прямые и секущая принадлежат одной плоскости.
Укажем еще несколько теорем, часто используемых при доказательстве факта параллельности прямых.
На плоскости две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой. Этот признак доказывается на основе аксиомы параллельности, указанной выше.
В трехмерном пространстве две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.
Доказательство признака изучается в программе геометрии 10 класса.
Дадим иллюстрацию указанных теорем:
Укажем еще одну пару теорем, являющихся доказательством параллельности прямых.
На плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой.
Сформулируем аналогичное для трехмерного пространства.
В трехмерном пространстве две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой.
Все указанные выше теоремы, признаки и условия позволяют удобно доказать параллельность прямых методами геометрии. Т.е., чтобы привести доказательство параллельности прямых, можно показать, что равны соответственные углы, или продемонстрировать факт, что две заданные прямые перпендикулярны третьей и т.д. Но отметим, что зачастую для доказательства параллельности прямых на плоскости или в трехмерном пространстве удобнее использовать метод координат.
Параллельность прямых в прямоугольной системе координат
В заданной прямоугольной системе координат прямая определяется уравнением прямой на плоскости одного из возможных видов. Так и прямой линии, заданной в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве, соответствуют некоторые уравнения прямой в пространстве.
Запишем необходимые и достаточные условия параллельности прямых в прямоугольной системе координат в зависимости от типа уравнения, описывающего заданные прямые.
Начнем с условия параллельности прямых на плоскости. Оно базируется на определениях направляющего вектора прямой и нормального вектора прямой на плоскости.
Чтобы на плоскости две несовпадающие прямые были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы заданных прямых были коллинеарными, или были коллинеарными нормальные векторы заданных прямых, или направляющий вектор одной прямой был перпендикулярен нормальному вектору другой прямой.
A 1 = t · A 2 B 1 = t · B 2
Таким образом, если параллельные прямые на плоскости в прямоугольной системе координат задаются уравнениями с угловыми коэффициентами, то угловые коэффициенты заданных прямых будут равны. И верно обратное утверждение: если несовпадающие прямые на плоскости в прямоугольной системе координат определяются уравнениями прямой с одинаковыми угловыми коэффициентами, то эти заданные прямые параллельны.
a x = t · b x a y = t · b y
Решение
Запишем уравнение прямой в отрезках в виде общего уравнения:
Таким образом, не выполняется необходимое и достаточное условие параллельности прямых на плоскости, а значит заданные прямые не параллельны.
Ответ: заданные прямые не параллельны.
Решение
Мы видим, что уравнения прямых y = 2 x + 1 и y = 2 x + 4 не являются одинаковыми (если бы было иначе, прямые были бы совпадающими) и угловые коэффициенты прямых равны, а значит заданные прямые являются параллельными.
Следующим шагом определим выполнение условия параллельности заданных прямых.
Таким образом, векторы перпендикулярны: это демонстрирует нам выполнение необходимого и достаточного условия параллельности исходных прямых. Т.е. заданные прямые параллельны.
Ответ: данные прямые параллельны.
Для доказательства параллельности прямых в прямоугольной системе координат трехмерного пространства используется следующее необходимое и достаточное условие.
Чтобы две несовпадающие прямые в трехмерном пространстве были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы направляюще векторы этих прямых были коллинеарными.
a → = t · b → ⇔ a x = t · b x a y = t · b y a z = t · b z
Решение
Следовательно, необходимое и достаточное условие параллельности прямых в пространстве выполнено.
Ответ: параллельность заданных прямых доказана.
Параллельно
Смотреть что такое «Параллельно» в других словарях:
параллельно — параллельно … Орфографический словарь-справочник
параллельно — синхронно, все равно, единовременно, безразлично, враз, в то же время, симультанно, наплевать, разом, в одно время, сразу, вместе, соответствующе, одновременно Словарь русских синонимов. параллельно см. одновременно 1 Словарь сино … Словарь синонимов
параллельно — ПАРАЛЛЕЛЬНО, нареч. Наплевать, все равно, безразлично. Мне параллельно, что он там сопит (говорит). Он нас пугает, а нам параллельно … Словарь русского арго
параллельно — одновременно — [http://www.iks media.ru/glossary/index.html?glossid=2400324] Тематики электросвязь, основные понятия Синонимы одновременно EN concurrently … Справочник технического переводчика
параллельно — чему и с чем. Налево, параллельно дороге, тянулся холм (Чехов). [Мы] любовались длинною, идущею параллельно с берегом, кедровою аллеею (Гончаров) … Словарь управления
ПАРАЛЛЕЛЬНО — Строго параллельно кому что. Жарг. мол. Безразлично, всё равно кому л. Никитина, 2003, 482 … Большой словарь русских поговорок
параллельно — [20/3] безразлично, все равно, неважно. Мне абсолютно параллельно, как у тебя идут дела. Молодежный сленг … Cловарь современной лексики, жаргона и сленга
параллельно — паралле/льно Моя улица идёт параллельно твоей … Правописание трудных наречий
параллельно — см. параллельный 2), 4); нареч. Улицы шли паралле/льно друг другу. Смотреть телевизор и выполнять мелкую работу паралле/льно … Словарь многих выражений
Параллельно — Безразлично, все равно, неважно. Син.: коллинеарно … Словарь криминального и полукриминального мира
Значение слова «параллельно»
ПАРАЛЛЕ́ЛЬНО. Нареч. к параллельный (во 2 и 4 знач.). [Мы] любовались длинною, идущею параллельно с берегом, кедровою аллеею. И. Гончаров, Фрегат «Паллада». — Один мой знакомый, — сказал он, — желая изучить новые языки, положил перед собой французское, немецкое и латинское евангелия, читал их параллельно. Чехов, Дорогие уроки.
Источник (печатная версия): Словарь русского языка: В 4-х т. / РАН, Ин-т лингвистич. исследований; Под ред. А. П. Евгеньевой. — 4-е изд., стер. — М.: Рус. яз.; Полиграфресурсы, 1999; (электронная версия): Фундаментальная электронная библиотека
паралле́льно
1. геометр. наречие к прилагательному параллельный; образуя параллель с чем-либо, идя в одном направлении с чем-либо и нигде не пересекаясь
2. перен. одновременно с чем-либо
3. перен. повторяя, дублируя что-либо
4. техн. с помощью параллельного соединения проводников, то есть с наличием двух узлов электрической цепи, объединяющих все её элементы
Делаем Карту слов лучше вместе
Привет! Меня зовут Лампобот, я компьютерная программа, которая помогает делать Карту слов. Я отлично умею считать, но пока плохо понимаю, как устроен ваш мир. Помоги мне разобраться!
Спасибо! Я стал чуточку лучше понимать мир эмоций.
Вопрос: выхвалять — это что-то нейтральное, положительное или отрицательное?
Параллельность прямых
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Определение параллельности прямых
Начнем с главного — определимся, какие прямые параллельны согласно евклидовой геометрии. Мы недаром упомянули Евклида, ведь именно в его трудах, написанных за 300 лет до н. э., до нас дошли первые упоминания о параллельности.
Параллельными называются прямые в одной плоскости, не имеющие точек пересечения, даже если их продолжать бесконечно долго. Обозначаются они следующим образом: a II b.
Казалось бы, здесь все просто, но со времен Евклида над определением параллельных прямых и признаками параллельности прямых бились лучшие умы. Особый интерес вызывал 5-й постулат древнегреческого математика: через точку, которая не относится к прямой, в той же плоскости можно провести только одну прямую, параллельную первой. В XIX веке российский математик Н. Лобачевский смог опровергнуть постулат и указать на условия, при которых возможно провести как минимум 2 параллельные прямые через одну точку.
Впрочем, поскольку школьная программа ограничена евклидовой геометрией, вышеуказанное утверждение мы принимаем как аксиому.
На плоскости через любую точку, не принадлежащую некой прямой, можно провести единственную прямую, которая была бы ей параллельна.
Свойства и признаки параллельных прямых
Есть ряд признаков, по которым можно определить, что одна прямая параллельна другой. К счастью, свойства и признаки параллельности прямых тесно связаны, поэтому не придется запоминать много информации.
Начнем со свойств. Для этого проведем третью прямую, пересекающую параллельные прямые — она будет называться секущей. В результате у нас образуется 8 углов.
Если секущая проходит через две параллельные прямые, то:
∠4 + ∠6 = 180°; ∠3 + ∠5 = 180°.
∠1 = ∠5, ∠3 = ∠7, ∠4 = ∠8, ∠2 = ∠6.
Вышеуказанные свойства являются одновременно признаками, по которым мы можем сделать вывод о параллельности прямых. Причем достаточно установить и доказать лишь один признак — остальные будут к нему прилагаться.
А сейчас посмотрим, как все это помогает решать задачи и практиковаться в определении параллельности двух прямых.
Задача 1
Прямые MN и KP пересекают две другие прямые, образуя несколько углов. Известно, что ∠1 = 73°; ∠3 = 92°; ∠2 = 73°. Требуется найти величину ∠4.
Решение
Поскольку ∠1 и ∠2 являются соответственными, их равенство говорит о том, что MN II KP. Следовательно, ∠3 = ∠MPK = 92°.
Согласно другому свойству параллельных прямых ∠4 + ∠MPK = 180°.
Задача 2
Две параллельные прямые а и b удалены друг от друга на расстояние 27 см. Секущая к этим прямым образует с одной из них угол в 150°. Требуется найти величину отрезка секущей, расположенного между а и b.
Решение
Поскольку а II b, значит ∠MKD + ∠KDN = 180°.
Теперь рассмотрим треугольник KDM. Мы знаем, что отрезок DM представляет собой расстояние между прямыми а и b, а значит, DM ┴ b и наш треугольник является прямоугольным.
Поскольку катет, противолежащий углу в 30°, равен ½ гипотенузы, DM = 1/2DK.
Значение слова «параллельный»
1. Мат. Находящийся на всем протяжении на равном расстоянии от другой линии (плоскости) и при продолжении не пересекающийся с нею. Параллельные линии. Параллельные плоскости.
2. Расположенный в одном направлении, находящийся на всем протяжении приблизительно на равном расстоянии от чего-л. Параллельные улицы. Параллельные брусья. □ — Ось канала ствола и ось оптического прибора должны быть строго параллельны, — пояснил лейтенант. Ю. Яковлев, Погонщик слона.
3. Совпадающий, одинаковый, сходный. Параллельные классы школы. Выполнять параллельные функции. □ Открыл обложку — вижу: «Библия». Да какое еще редкостное издание! С тремя параллельными текстами — на русском, славянском и французском языках. Крутилин, Липяги.
4. Протекающий наряду с чем-л., одновременно. Параллельная работа двух генераторов. Параллельные репетиции в театре.
Источник (печатная версия): Словарь русского языка: В 4-х т. / РАН, Ин-т лингвистич. исследований; Под ред. А. П. Евгеньевой. — 4-е изд., стер. — М.: Рус. яз.; Полиграфресурсы, 1999; (электронная версия): Фундаментальная электронная библиотека
Источник: «Толковый словарь русского языка» под редакцией Д. Н. Ушакова (1935-1940); (электронная версия): Фундаментальная электронная библиотека
паралле́льный
1. геометр. о прямых и плоскостях — лежащий в той же плоскости (или в том же пространстве), что и другая линия (плоскость), но не пересекающийся с нею ◆ Неприятельские корабли вышли на параллельный курс и приблизились к правому траверзу «Ушакова». А. С. Новиков-Прибой, «Цусима», 1932–1935 г. (цитата из НКРЯ)
2. перен. происходящий одновременно с чем-либо, но независимо от этого ◆ В эпоху студенчества Герцен свёл знакомство с рядом талантливых студентов; у него образовался кружок, параллельный кружку Станкевича, но отличавшийся от него социально-политическими интересами. В. В. Зеньковский, «История русской философии», 1948 г. (цитата из НКРЯ) ◆ Совершенно обнаглев, мы входили во время урока физики в параллельный класс, и Серёжа с обычным своим невозмутимым, серьёзным выражением лица объявлял: — Довольно вы показывали ваши опыты, теперь мы покажем свои опыты! И. М. Дьяконов, «Книга воспоминаний», 1995 г. (цитата из НКРЯ)
3. физ. техн. относящийся к соединению элементов электрической цепи, при котором все элементы объединены двумя узлами и не имеют связей с другими узлами
4. использующий нетрадиционные выразительные средства, официально непризнанные (о литературе, изобразительном искусстве, кино и т. п.)